精品解析：海南省海口市第一中学2024-2025学年高一下学期期中数学试题

海南省海口市第一中学2024-2025学年高一下学期期中数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数（为虚数单位）在复平面内的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 若向量，则的取值集合为（ ） A. B. C. D. 4. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则的形状一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 锐角三角形 C 直角三角形 D. 钝角三角形 5. 一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，弧长为的扇形，则该圆锥的体积等于（ ） A B. C. D. 6. 如图所示，是水平放置的的斜二测直观图，其中，则以下说法正确的是（ ） A. 是钝角三角形 B. 的面积是的面积的2倍 C. 是等边三角形 D. 的周长是 7. 如图，在中，为上一点，且满足，若则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知正方体棱长为3，点分别在棱上，满足，点在正方体的面内，且平面，则线段长度的最小值为（ ） A. B. 3 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线，不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A 若，且，则 B. 若，且，则 C. 若，且，则 D. 若，且，则 10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数且的图象恒过定点 B. 若函数满足，则函数图象关于点对称 C. 当时，函数的最小值为 D. 函数的单调增区间为 11. 已知点是函数的图象的一个对称中心，则（ ） A. 是奇函数 B. ， C. 若在区间上有且仅有条对称轴，则 D. 若在区间上单调递减，则或 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若复数，则复数z的模________． 13. 点在正方形所在的平面外，平面，，则异面直线与所成的角是___________. 14. 如图，在平面四边形ABCD中，，．若点为边CD上的动点，则的最小值为______________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚． 15. 已知与是平面内的两个向量，，，与的夹角为. （1）求； （2）求； （3）在平面直角坐标系下，若，求在方向上的投影向量的坐标. 16. 如图：在正方体中，为的中点. （1）求三棱锥的体积； （2）求证：平面； （3）若为的中点，求证：平面平面. 17. 在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、C．已知． （1）求角C； （2）若，点D在边AB上，CD为的平分线，且，求边长a的值． 18. 如图，正四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，点在侧棱SD上，且． （1）求证：； （2）求二面角的平面角的正切值； （3）侧棱SC上是否存在一点，使得平面PAC．若存在，求的值；若不存在，试说明理由． 19. 定义非零向量的“伴随函数”为（），向量称为函数（）的“伴随向量”（其中O为坐标原点）．记平面内所有向量的“伴随函数”构成的集合为S． （1）设函数，求证：； （2）记向量的伴随函数为，当时，求的值域； （3）已知点满足：，向量的“伴随函数”在处取得最大值，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 海南省海口市第一中学2024-2025学年高一下学期期中数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的并集运算求解. 【详解】由，，所以. 故选：D. 2. 复数（为虚数单位）在复平面内的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】先用复数的乘法运算化简复数，然后求出复数所对应的点，即可得解. 【详解】因为， 所以复数在复平面内对应的点为，位于第一象限. 故选：A 3. 若向量，则的取值集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面共线向量的坐标表示建立方程，解之即可求解. 【详解】因为，， 所以，解得或0． 即x的取值集合为. 故选：C 4. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则的形状一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，结合和角正弦推理判断即可. 【详解】在中，由及正弦定理，得， 于是，而，则， 所以是等腰三角形. 故选：A 5. 一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，弧长为的扇形，则该圆锥的体积等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】计算出圆锥底面半径与高，利用锥体体积公式可求得结果. 【详解】设圆锥的母线长为，底面半径为，则，解得， 又，解得，所以圆锥的高为， 所以圆锥的体积是. 故选：C. 6. 如图所示，是水平放置的的斜二测直观图，其中，则以下说法正确的是（ ） A. 是钝角三角形 B. 的面积是的面积的2倍 C. 是等边三角形 D. 的周长是 【答案】D 【解析】 【分析】根据斜二测画法，求得高，并还原图形，对应表示出各边长，利用三角形的性质、面积以及周长公式，可得答案. 【详解】由题意，过作，垂足为，如下图： 则， 根据斜二测画法还原图形，可得下图： 则，，，， 易知为等腰三角形，故A错误；C错误； 由的面积， 的面积，则，故B错误； 的周长，故D正确. 故选：D. 7. 如图，在中，为上一点，且满足，若则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的线性运算及三点共线的条件，再利用平面向量的基本定理及向量的数量积的运算律即可求解. 【详解】因为所以 因为三点共线， 所以即, 又因为， 所以,且为不共线的非零向量， 所以，解得， 所以， 所以 . 故选：B. 8. 如图，已知正方体的棱长为3，点分别在棱上，满足，点在正方体的面内，且平面，则线段长度的最小值为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在上取点，使得，证得平面平面，得到点的轨迹为线段，在等腰三角形中，求得底边上的高，即可求解. 【详解】在上取点，使得， 分别连结， 因为，可得，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 由且，可得， 又由且，所以， 在正方体中，可得，所以 因为平面，且平面，所以平面， 同理可证平面， 又因为，且平面，所以平面平面， 因此点的轨迹为线段， 在等腰三角形中，， 可得底边上的高为，此即为长度的最小值. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线，不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A. 若，且，则 B. 若，且，则 C. 若，且，则 D. 若，且，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据点，线，面位置关系的定理和性质逐一判断即可. 【详解】A，因为，，所以， 又，所以不同的平面满足，故A正确； B，若，且，则或两平面相交， 比如：正方体的底面和侧面中分别取直线，且，但是底面和侧面并不平行，故B错误； C，若，且，则两平面相交或平行， 比如：正方体的上下两个底面中分别取直线，且，上底面与平行，但是上底面与下底面并不垂直；故C错误； D，因为，，则，又，所以，故D正确. 故选：AD 10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数且的图象恒过定点 B. 若函数满足，则函数的图象关于点对称 C. 当时，函数的最小值为 D. 函数的单调增区间为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A：根据指数函数恒过的定点，结合已知解析式，直接求解即可；对B：根据对称性的定义，转化后即可判断；对C：利用基本不等式，即可求得函数最小值：对D：根据复合函数的单调性，结合函数解析式和定义域，即可求得结果. 【详解】对A：令，解得，当时，，故恒过定点，A正确； 对B：因为，则，故的图象关于对称，B正确； 对C：因为，故， 当且仅当时取得等号，故C错误； 对D：要使有意义，则，解得， 则的定义域为， 由复合函数的单调性可得在单调递增，在单调递减，又在上单调递减， 故在单调递减，在单调递增，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知点是函数的图象的一个对称中心，则（ ） A. 是奇函数 B. ， C. 若在区间上有且仅有条对称轴，则 D. 若在区间上单调递减，则或 【答案】BC 【解析】 【分析】根据的对称中心求得，根据奇偶性、对称性、单调性等知识确定正确答案. 【详解】依题意，点是函数的图象的一个对称中心， 所以，且①，B选项正确. 则， 所以 ， 由于是奇数，所以是偶函数， A选项错误. C选项，， 将代入得： ， 整理得， 由于在区间上有且仅有条对称轴， 所以，解得，由于，所以， 对应，所以C选项正确. D选项，在区间上单调递减， ， 将代入得： ， 整理得， 则，解得，而，所以或， 时，，符合单调性， 时，，不符合单调性，所以舍去 所以，所以D选项错误. 故选：BC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若复数，则复数z的模________． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数运算求得正确答案. 【详解】， . 故答案为： 13. 点在正方形所在的平面外，平面，，则异面直线与所成的角是___________. 【答案】 【解析】 【分析】补全得到正方体中，连接，可确定（或其补角）是与所成的角. 【详解】因为为正方形，⊥平面，，可还原到正方体 中，连接，则平行于，如图所示. 所以（或其补角）是与所成角， 因为为正三角形， 所以，所以与所成角为. 故答案为： 14. 如图，在平面四边形ABCD中，，．若点为边CD上的动点，则的最小值为______________． 【答案】 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，将几何问题转化为代数问题，把向量用坐标表示，进而计算数量积并结合函数性质求出最小值. 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系. 因为，，所以，. 设，由，，， ，则①； 又，，，，即， 得，代入①式解得，所以. 设，，则， , 所以点坐标为. 则. ， 所以当时，取得最小值. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚． 15. 已知与是平面内的两个向量，，，与的夹角为. （1）求； （2）求； （3）在平面直角坐标系下，若，求在方向上的投影向量的坐标. 【答案】（1）1 （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）根据向量数量积的定义计算即可； （2）根据向量数量积的运算律，直接平方计算即可； （3）根据投影向量的计算公式即可得到答案. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 因为， 所以. 【小问3详解】 在方向上的投影向量为. 16. 如图：在正方体中，为的中点. （1）求三棱锥的体积； （2）求证：平面； （3）若为的中点，求证：平面平面. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据锥体的体积公式计算即可； （2）根据线面平行判定进行证明； （3）根据面面平行的判定进行证明. 【小问1详解】 显然平面，于是. 【小问2详解】 设，连接， 在正方体中，四边形是正方形，是中点， 是的中点，， 平面平面 平面； 【小问3详解】 为的中点，为的中点， ， 四边形为平行四边形，， 又平面平面平面， 由（2）知平面平面平面， 平面平面. 17. 在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、C．已知． （1）求角C； （2）若，点D在边AB上，CD为的平分线，且，求边长a的值． 【答案】（1）； （2）4 【解析】 【分析】（1）由正弦定理和，，得到，求出； （2）（1）基础上，得到，其中，由三角形面积公式得到方程，求出 【小问1详解】 ，由正弦定理得， 又， 所以，即， 因为，所以，故，即， 又，所以； 【小问2详解】 由（1）知，， 又CD为的平分线，故， 其中，由三角形面积公式得， ， 又， 显然，即， 解得. 18. 如图，正四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，点在侧棱SD上，且． （1）求证：； （2）求二面角的平面角的正切值； （3）侧棱SC上是否存在一点，使得平面PAC．若存在，求的值；若不存在，试说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在，，理由见解析 【解析】 【分析】（1）连接，连接，利用正四棱锥的结构特征，结合线面垂直的性质判定推理即得； （2）过作于，过作于，连接，即可得到是二面角的平面角，再由锐角三角函数计算可得； （3）过点作一平面平行于平面，再确定该平面与的交点即可得解. 【小问1详解】 在正四棱锥中，连接，设， 连接，则点是正方形的中心，根据正四棱锥的性质可得平面，而平面，则， 又，平面，，于平面，而 平面， 所以. 【小问2详解】 过作于，过作于，连接， 在三角形中，，又平面，所以平面， 因为平面，所以， 又平面，所以平面， 平面，所以，于是是二面角的平面角， 令正方形边长为2，则，， 因为， 所以，， 在直角三角形中，， 所以二面角的正切值为． 【小问3详解】 在上取点，使得，过作交于点，连接， 由平面平面PAC，得平面PAC，由是的中点，得， 而平面平面PAC，得平面PAC， 又平面，因此平面平面PAC，而平面， 则平面，由（2）知，，即点是中点，故， 于是，所以侧棱上存在一点，使得平面PAC，此时． 19. 定义非零向量的“伴随函数”为（），向量称为函数（）的“伴随向量”（其中O为坐标原点）．记平面内所有向量的“伴随函数”构成的集合为S． （1）设函数，求证：； （2）记向量的伴随函数为，当时，求的值域； （3）已知点满足：，向量的“伴随函数”在处取得最大值，求的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意易得三角恒等变换得；即可由伴随向量的定义求解， （2）先求，再利用整体法求值域； （3）利用辅助角公式可得最值点满足，即可由正切二倍角公式，结合换元法可以求取值范围． 【小问1详解】 ， ,，故得证； 【小问2详解】 由，得， ， 当时，， ， ； 【小问3详解】 ， 在处取得最大值， ， ， ， 令，则由，得， ， 由于均为上的单调递增函数， 所以在单调递增，故， 得， 则的取值范围为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$