命题大赛 2026年高考模拟考试数学试题

**基本信息** 本卷以红军长征90周年、人工智能等时代情境为载体，覆盖函数、数列等核心知识，通过基础-能力-创新梯度设计，考查数学抽象、逻辑推理等核心素养，适配高三模拟预测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合、随机变量、等比数列|结合AI图像信号考查函数周期（第4题）| |多选|3/18|复数、等差数列、立体几何|直三棱柱与球结合考查空间轨迹（第11题）| |填空|3/15|二项式定理、椭圆、切线方程|椭圆上顶点与焦点关系求倾斜角（第14题）| |解答|5/77|解三角形、抛物线光学性质、概率期望|亲子游戏概率模型结合“双减”背景（第22题）|

Sheet1 2026届高三年级高考模拟考试卷双向细目表 主要知识 主要指标 核心素养 题号 一级指标 二级指标 题型 分值 难度 系数 分值 数学抽象 逻辑推理 数学建模 数学运算 直观想象 数据分析 命题人 1 集合 集合的运算与不等式 单选 5 易 0.95 4.75 5 刘少林 2 统计 样本的数字特征 单选 5 易 0.95 4.75 5 刘少林 3 数列 等差数列的运算 单选 5 易 0.9 4.5 5 刘少林 4 三角函数 三角变换 单选 5 易 0.9 4.5 5 刘少林 5 函数 指数、对数的运算 单选 5 易 0.8 4 5 刘少林 6 向量 空间向量基本定理 单选 5 易 0.75 3.75 5 刘少林 7 概率 全概率公式 单选 5 中 0.6 3 5 刘少林 8 解析几何 双曲线的几何性质 单选 5 中 0.5 2.5 5 刘少林 9 复数 复数概念、运算 多选 6 易 0.8 4.8 6 刘少林 10 数列 数列的性质 多选 6 中 0.7 4.2 6 刘少林 11 立体几何 动点问题 多选 6 中 0.5 3 6 刘少林 合计 58 0.7590909091 43.75 刘少林 12 二项式定理 展开式中某一项 填空 5 易 0.9 4.5 5 刘少林 13 解析几何 椭圆的方程和性质 填空 5 中 0.6 3 5 刘少林 14 导数 函数图象的公切线 填空 5 难 0.4 2 5 刘少林 合计 15 0.6333333333 9.5 刘少林 15 解三角形 正、余弦定理 解答 13 易 0.85 11.05 7 6 刘少林 16 解析几何 直线与抛物线 解答 15 易 0.7 10.5 7 4 4 刘少林 17 立体几何 垂直关系，平面夹角 解答 15 中 0.65 9.75 6 6 3 刘少林 18 导数 零点个数问题 解答 17 中 0.6 10.2 4 3 10 刘少林 19 概率统计 概率与数列综合 解答 17 难 0.4 6.8 5 8 4 刘少林 合计 解答题合计 77 0.64 48.3 合计 易：中：难 加权 中 9 6 18 85 13 19 150 比例 70:60:20 150 0.68 101.55 6% 4% 11% 53% 8% 12% Sheet2 Sheet3 $ 2026届高三年级高考模拟考试卷 数学 命题人： 刘少林 审题人： 高吉香 本试卷共4页，共19题．全卷满分分．考试用时分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 已知集合，则 已知随机变量满足，则 已知数列是等比数列，其前项和为，若，，则 或 或 某人工智能模型处理图像信号时，输出波动信号满足函数，则该函数的最小正周期和单调增区间分别为 2026年是红军长征胜利90周年，为传承长征精神，某红色文旅景区模拟长征行军路程衰减模型，设行军剩余路程占比与行进时间 满足：，则下列说法正确的是 在上单调递减 的值域为 任意，恒有 若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是 设有甲、乙两个盒子，甲盒中有个白球、个红球，乙盒中有个白球、个红球.从甲盒中任取一球放入乙盒，再从乙盒中任取一球，从乙盒中取出白球的概率为 已知双曲线的右焦点为，过坐标原点的直线交于两点，点满足，若，，则的离心率为 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 设为虚数单位，则下列关于复数的说法中，正确的是 若复数满足，则为纯虚数 复数和它的共轭复数在复平面内关于实轴对称 已知数列为等差数列，，，前项和为，数列满足，则下列说法正确的是 数列是等差数列 当时， 数列是递增数列 数列中的任意三项均不能构成等比数列 如图，直三棱柱的棱长均为，是的中点，是侧面内一点，且，则 若直三棱柱的六个顶点都在球面上，则该球的表面积为 点的轨迹长度为 当取最小值时，三棱锥的体积为 当与的夹角取最小值时，的长度为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 已知的展开式中所有项的系数和为，则 . 已知椭圆的上顶点为，右焦点为，过，的直线交椭圆于另一点，若，则直线的倾斜角为___________. 已知曲线在处的切线与曲线有且只有一个公共点，则. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） (分) 已知的内角，，的对边分别为，，，的面积为，边上的中线， . 求的大小； 求的长. (分) 抛物线有如下光学性质：由抛物线焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于其对称轴的方向射出. 现有抛物线：，一束平行于轴的光线射向抛物线上的点，反射后又射向抛物线上点，再反射后又沿平行于轴的方向射出，且两平行光线间的最小距离为. 求抛物线的方程； 为坐标原点，点，点，在上，若，且，求四边形的面积. (分) 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点，点为线段上的动点. 求证：平面平面； 若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值． (分) 已知函数，，其中，且. 若，求证； 若方程有且只有两个实数根，求的取值范围. (分) 父子二人利用双休时间开展“五子棋”亲子游戏，妈妈为每局游戏的获胜者奖励开心果，以此落实“双减”背景下的亲子陪伴与趣味学习。约定规则如下：第一局游戏中，若父亲胜，则父亲获得1颗；若儿子胜，则儿子获得2颗；从第二局开始，若父亲获胜，则父亲得1颗，若儿子获胜，则儿子获得的开心果数为上一局妈妈给出的开心果数量的两倍；已知每局游戏中，父亲获胜的概率为，儿子获胜的概率为，没有平局，且每局游戏结果互相独立，记妈妈在第局游戏中奖励的开心果数的数学期望为. 求，，； 求数列的通项公式； 求证：对于任意给定的，总存在，使得当时，成立； 结合“双减”“双休”的背景，谈谈你对亲子活动的看法（不超过80字）. 数学·第 1 页 （共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三年级高考模拟考试 参考答案 命题教师 ： 刘少林 高吉香 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C D B D C A C 解析：选，故选 解析：选C. 因为，所以选 解析：选当数列的公比时，由题意可解得，；当数列的公比时，由题意可解得， ，故选 解析：选C. 因为，令，，所以，所以.所以最小正周期为，令，解得，所以的单调增区间为，故选C. 解析：选B. 令，因为在上单增，在单减，在上单调递增，故A错；，故B正确；当时，，故C错；由（C）知比存在 解析：选C. 对于项， ，故项共面； 对于项， ，故项共面；对于项， 若共面， ，得矛盾，故项不共面；对于项， ，故项共面 . 故选C. 解析：选.设表示“从乙盒中取出白球”，表示“从甲盒中取出白球”，表示“从甲盒中取出红球”.则，，，，所以.故选. 解析：选. 设双曲线的左焦点为，连接,由双曲线对称性及知,为的垂直平分线，令，因为，所以,所以,因为,所以.所以，所以的离心率为.故选C. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 题号 9 10 11 答案 BD ACD ABD 解析：选.选项错误，因为当时，为实数；选项正确，共轭复数在复平面内关于实轴对称；对于C，，故C错误；对于，，故D正确.故选BD. 解析：选易知，数列的公差为，所以，. 所以，对于选项：显然，数列是公差为的等差数列，故正确；对于选项：，当时，，故错误；对于选项：函数在上单调递增，所以数列是递增数列，故正确；对于选项：设数列中的任意三项为，，，则.假设，，成等比数列，则，整理可得，所以，即，这与矛盾. 所以数列中的任意三项均不能构成等比数列，故正确；故选ACD. 解析：选. 对于，直三棱柱的六个顶点都在球面上，球心为上下底面中心连线的中点，所以，球的表面积当，故正确；对于，在直三棱柱中，，所以平面，平面，所以，所以，所以点的轨迹是以为圆心，为直径的半圆，点的轨迹长度为，故正确；对于，由点的轨迹知，取得最小值时，，，三点共线，取的中点，平面平面，平面平面，过作，则平面，所以为三棱锥的高，所以，所以，三棱锥的体积，故错误；对于，为平面内直线，为平面的一条斜线，故与的夹角大于或等于与平面所成的角，当平行于在平面上的射影时，与的夹角取得最小值，，解得，故正确．故选． 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 题号 12 13 14 答案 1 0或1或 12.解析：令，得，解得. 解析：由题意知，，因为，所以,所以，所以，因为在椭圆上，所以，又有，所以，所以直线的倾斜角为. 解析：，，所以，，所以的方程为：.联立，消去得，由题意知：当时，上面方程变为，即，符合题意；当时，要使上面方程有且只有一个解，则要，解得或. 综上所述，所求 或或. 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 解析：①，……………………2分 又②，……………………………………………………4分 由①②得，即.……………………………………………………6分 由知，，故，又， ，可得，………………………………10分 在中，，所以.…………13分 解析：由抛物线光学性质知：直线必过抛物线焦点，…………1分 当直线垂直于轴时，，………………2分 当直线不垂直于轴时，设的方程为，， 由，得，所以，…………4分 所以，所以当直线垂直于轴时最短，…………6分 所以，所以抛物线方程为.……………………7分 因为，且，所以四边形为菱形， 且，点，关于轴对称， ，所以，………………10分 所以，， 因为，所以，所以，……………………12分 ，边上的高， 所以四边形的面积为.……………………15分 解析：证明：因为底面，平面，所以， 在正方形中，，，所以平面， 平面，所以，………………3分 又因为，为线段的中点，所以， ，所以平面，………………5分 平面，所以平面平面.…………6分 设，，令. 以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 可得．，，，………………8分 设平面的法向量为，则所以 取则，.所以是平面的一个法向量；………………10分 设平面的法向量为，则则是平面的一个法向量.………………12分 所以，解得或， 所以或.………………15分 18. 解：因为，故，要证，即证，……2分 令，则， ，所以在为增函数。 令，解得，当时，为减函数， 当时为增函数，………………5分 所以， 因为所以. 所以， 即恒成立，即成立。………………8分 方程有且只有两个实数根，即，变形得， 即方程有且仅有两个不等实根，………………10分 令，则定义域为，， 当时，；当时，，在上单调递增，在上单调递减，，……………………13分 当时，；当时，； 可得大致图象如下图所示， 令，则，有且仅有两个不同实数根的充要条件为，………15分 即，实数的取值范围为.………………17分 解析：在第一局游戏中，妈妈给出1颗，2颗的概率分别为，， 所以；………………2分 在第二局游戏中，妈妈给出1颗，2颗，4颗的概率分别为，，，所以.………………5分 在第三局游戏中，妈妈给出1颗，2颗，4颗，8颗的概率分别为，，，，所以.…………8分 根据题意，当时，在第局游戏中，若儿子获胜则奖励的开心果数为，若父亲获胜则得1颗，其概率分别为，，所以，，，………………10分 所以，， 即数列是首项为，公比为的等比数列，……12分 因此，即，.……………14分 对于任意给定的，要证明，即证，只需证，…………15分 所以只需为大于的正整数，当时，就有成立.………………16分 该游戏在双休开展，落实双减减负要求，既增进亲子互动，又让孩子在趣味游戏中感受数学，实现劳逸结合。------------17分 1 学科网（北京）股份有限公司 $