解答题专练(18)概率与统计(三)-【鱼跃龙门卷】2026年高考数学试题逐题突破

高考试题逐题突破 (2)依题意，Y(k)服从超几何分布，且N=10十2=12，M=5十 k,n=3, 故EV=3x若- 4 (3)Z的所有可能取值为0,1,2,3，则由全概率公式得， P(Z-D)-P(Z-LlX=k)P(X=k) =2P(Y(k)=l)P(X=k),l=0,1,2,3, 因此E(Z)=2P(Z=1) =2L2P(Y()=)P(X=k)] 【-0-0 =2P(X=)2P(Y(k)=L) k=0 1-0 =2P(X=e)E[Y()] =2P(X=a)E[Y(a)门， 灰-1 15,3、6,3、731 故E(Z)=10×4+5×4+0×4-20: 4.解：(1)小王两组题目均有选择的方案有两种，1个A组题目 和2个B组题目；2个A组题目和1个B组题目，分别记两种 情况下小王至少答对1个题目的概率为P1,P2, n,=11-)广=1-×g-器 因为会-照<-号所以P,<P, 以至少答对1个题目的概率为依据，小王应选择2个A组题 目和1个B组题目的策略， (2)记小王所选题目中A组题目得分为X1,B组题目得分为 X2,X=X1+X2 (「)由于选择的3个题目均为A组题目，其得分的所有可能 为10,20,30， 则P(X-10)=C4C」 1 CC2=3 C ,P(X=20)= C ,P(X 30)=CC1 C =行，故X的分布列为 1020 30 5 故E(X)=E(X1)=10×号+20×号+30× 5=20 (ⅱ)设小王选择的3个题目中A组题目数量为x,B组题目 数量为3一x,其中x=0,1,2,3, 则服从超儿何分布，X~B(3-x,日），E()-。 (）=1-专， EX=EX,+x,)=E(x)+E(X,)-2g+a1-专) a+(20-a)x 3 当a=20时，E(X)的值与x无关， 即当a=20时，无论小王如何调整A,B组题目数量，其总得 分X的期望均为20分. 数学解答题专练（十八） 1.解：(1)电阻阻值X服从正态分布N(1000,52). 所以4=1000,0=5. 所以生产正常时，从这条生产线生产的电阻中抽取1只，则这 只电阻阻值在[995,1000]和在[1005,1010]的概率分别为 ·36 P,=P(995≤X≤10o0)=Pu-a≤X≤u)=2Pu-a≤X≤ μ+a)=0.34135, P2=P(1005≤X≤1010)=P(μ十o≤X≤u+2o)= 2a≤X≤4+2o)-P(4-o≤X≤μ+o)]=0.1359. 因此这两只电阻的阻值在区间[995,1000]和[1005,1010]内 各一只的概率P=2P1P2=2×0.34135×0.1359= 0.09277893≈0.093 (2)生产正常时，这5个样本的平均数服从正态分布N(1000, 5 5,即N(1000,(5)), 记o'=√5，由题意，可得这5个样本的平均数x=1009! 而1009>1000+3√5，即x>μ+3c', 因为在一次实验中，小概率事件发生了，因此认为这时生产线 生产不正常 解：(1)设事件A=“抽取1名学生每月平均坚持跑操的次数超 过40次”， 则A=“抽取1名学生每月平均坚持跑操的次数不超过40次”， 事件B=“抽取1名学生综合体测成绩达到“及格”等级”， 由全概率公式得P(B)=P(A)P(B|A)十P(A)P(B|A)= 导×+日×-号 所以从该学校任意抽取一名学生，该学生综合体测成绩达到 “及格等级的概率为号 (2)X的可能取值为0,1,2， 15P(X-1)-CiC8 P(X=0)=3=1 C号=5P(X=2) C 号，所以X的分布列为 0 1 15 15 1 (3)由题意得u=70,6=10,P(Z≥80)=P(Z≥4十σ)≈ 2(1-0.6827)≈0.15865， 则Y~B(40,0.15865),E(Y)=40×0.15865=6.346≈6， 所以Y的数学期望约为6. 解：(1)由问卷调查的成绩E近似服从正态分布N(77,σ2)，且 P(77≤≤80)=0.3， 则P(>80)=P(≥77)-P(77≤≤80)=0.5-0.3=0.2， 1000×0.2=200, 所以抽取市民中问卷成绩在80分以上的市民人数约为 200人. (2)由(1)知，对“数博会”的关注度较高事件的概率为力=5， X的可能取值为0,1,23，X~B(3,号） 则Px=-o)=c(号)广(1-)广-路 P(X=1)=( ()(1)》‘-, P(X=2)= ()广(1-》-品 P(X=3)= ()'(1-)°= 所以X的分布列为 ·数学· 0 1 2 P 64 48 1 125 125 125 X的数学期望为E(X)=3× 3 5 51 4.解：(1)由1.0×0.1+a×0.1+3.5×0.1+3.0×0.1+0.5× 0.1=1,则a=2.0, 这批零件内径的平均值为 z=235+2.45×1,0×0.1）+2.45+2.55×(2.0×0.1)+ 2 2 2.55+2.65×(3.5×0.1)+2.65+2.75×(3.0×0.1)+ 2 2 2.75+2.85×(0.5×0.1)=2.4×0.1+2.5×0.2+2.6× 2 0.35+2.7×0.3+2.8×0.05=2.6, 这批零件内径的方差为 s2=(2.4-2.6)2×0.1+(2.5-2.6)2×0.2+(2.6-2.6)2X 0.35+(2.7-2.6)2×0.3+(2.8-2.6)2×0.05=0.011. (2)由题意知，Z的可能取值为0,1,2,3,4， 则P(Z=0)=C4(0.8)4(0.2)°=0.4096， P(Z=1)=C1(0.8)3(0.2)1=0.4096, P(Z=2)=C2(0.8)2(0.2)2=0.1536, P(Z=3)=C(0.8)1(0.2)3=0.0256, P(Z=4)=C4(0.8)°(0.2)4=0.0016. 因此可得Z的分布列为 0 2 3 4 P 0.40960.40960.15360.02560.0016 则Z的数学期望E(Z)=0.4096×0+0.4096×1+0.1536× 2+0.0256×3+0.0016×4=0.8 (3)由题意知，4=x=2.6,0=√7=√0.017≈0.105， 又2.285=4-3g,2.705=4+0, 2 则P(2.285≤x≤2.705)=2Pu-g≤X≤+g)+2P(- 3a≤X≤4+3a)=0.6827+0,9973-0.84, 2 2 由二项分布的定义知Y~B(200,0.84), 由二项分布的方差公式知，D(Y)=200×0.84×(1-0.84)= 26.88. 数学解答题专练（十九）】 1.解：(1)由题设知am>0,当n=1时，a1=√2； 当m≥2时a=2-2=21,所以a.=2号， 又a1=√2不满足上式， W2,n=1, 故数列{an}的通项公式为a,= n-1 27,n≥2. 2-1 (2)由(1)知 2-1 w+1十an(W2)”+(W2)"√2)"-1(2+1) n-1 (W2-1)2(n≥2)， a 记S.=a+a+ag+a:a,+a aa+1十a’ 则当≥2时.-号+2-12+2++2)=) 9故 2m=1, (2)" 2,n≥2， ·37 参考答案及解析 当∈N≥2时，要使得y-竖>号包政立，即 2>n2恒成立， 由于n=4时，2=n2,判断函数f(x)=2-x2的单调性， 因为f'(x)=2ln2-2x=2-1ln4-2x>2-1-2x,显然当 x>4时，f'(x)>0, 所以当x>4时，函数f(x)=2一x2单调递增， 又因为x=4时，f(x)=0, 所以当≥5时，a十 as 一十…十 a2+al a3+az ai+a3 m+1十an n十号粒改立 故n的取值范围是n≥5. c 1 =2’ 解：(1)由题意得a +8-1 1 由C=号得a2=4c2=4(a2- a 6)得6=3a2,所以十品=1，得a4,测=3， 9 故贺C的方程为号+苦1 (2)由(1)可知c=1,则F(1,0), 因为直线1的斜率为V3,所以直线1的方程为y=√3(x一1)， 设A(x1y1),B(x2y2), x2y2 由4十3=1，得5x-8z=0, y=3(x-1), 8 所以x1十x,=后x1x2=0, 所以AB1=1+3X√x1+x2)-41x=2X8=1 5 ’ 因为点P(1,）到直线1的距离为d= 5X1-是5 3+1 3 所以△PAB的面积为宁ABd=号×号 1、16、36 4 51 (3)设Q(x,y),A(x1y1),B(x2y2), y个 则=(1-x,2-y),Qi=(x 3 x,y1-y),QB=(x2-x,y2-y), 因为QP+QA+QB=0, 3 所以(1-x十x1-x+x2-x,2-y十 y1-y+y2-y=(0,0), 3 所以x=1十x2十1 3,y=2+y1+y2 3 —() 设直线1的方程为y=k(x-1), x2,y2 由4+3=1，得(3+42)x2-8hx十42-3》=0， y=k(x-1), △=64k4-16(3+4k2)(k2-3)=144(k2+1)>0, 8k2 则工1十x2=3十4k2x1x?=3十46， 所以y1+y2=k(x1-1)+b(x2-1)=k(x1+x2-2)= -6k k（3+42二2)=34，」鱼跃龙门卷 2025一2026学年度高考试题还题突破—解答题专练（十八） 数学·概率与统计（三） 总分：60分时间：40分钟姓名： 得分： 1.(15分)一条生产电阻的生产线，生产正常时，生产的电阻阻值X(单位：2)服从正态分布 N(1000,52). (1)生产正常时，从这条生产线生产的电阻中抽取2只，求这2只电阻的阻值在区间[995， 1000]和[1005,1010]内各一只的概率（精确到0.001）； (2)根据统计学的知识，从服从正态分布N(μ，σ2)的总体中抽取容量为n的样本，则这个样本 的平均数服从正态分布N(μ，).某时刻，质检员从生产线上抽取5只电阻，测得阻值分 别为：1000,1007,1012,1013,1013（单位：2）.你认为这时生产线生产正常吗？说明理由. (参考数据：若X~N(,o2),则P(-o≤X≤μ十o)≈0.6827，P(4-2o≤X≤4十2a)≈ 0.9545,P(4-3o≤X≤μ+3o)≈0.9973). 2.(15分)高中生坚持跑操有利于增强体质.某高中实践活动小组经过调查所在学校学生坚持跑 操的次数与综合体测成绩等信息，得到如下数据：该学校有？的学生每月平均坚持跑操的次数 超过40次，这些学生中，综合体测成绩达到及格”等级的概率为，而每月平均坚持路操的次 数不超过40次的学生的综合体测成绩达到“及格”等级的概率为】 (1)若从该学校任意抽取一名学生，求该学生综合体测成绩达到“及格”等级的概率； (2)已知该实践活动小组的6名学生中有4名学生综合体测成绩达到“及格”等级，从这6名学 生中抽取2名学生，记X为抽取的这2名学生中综合体测成绩达到“及格”等级的人数，求 随机变量X的分布列和数学期望. (3)经统计：该校学生综合体测得分Z近似服从正态分布N(70,100),若得分Z≥80，则综合 体测成绩达到“优秀”等级，假设学生之间综合体测成绩相互独立.现从该校所有学生中抽 取40名学生，记Y为这40名学生中综合体测成绩达到“优秀”等级的人数，求Y的数学期 望（结果四舍五入保留整数）. 参考数据：若随机变量5服从正态分布N(4,o2),则P(u一o≤≤μ十o)≈0.6827，P(μ- 2o≤5≤+2o)≈0.9545，P(μ-3o≤ξ≤u+3o)=0.9973. 数学·解答题专练（十八）第1页（共2页） 3.(15分)某校机器人社团为了解市民对历年“数博会”科技成果的关注情况，在市内随机抽取了 1000名市民进行问卷调查，问卷调查的成绩近似服从正态分布N(77,σ2)，且P(77≤≤ 80)=0.3. (1)估计抽取市民中问卷成绩在80分以上的市民人数； (2)若本次问卷调查得分超过80分，则认为该市民对“数博会”的关注度较高，现从市内随机抽 取3名市民，记对“数博会”关注度较高的市民人数为随机变量X,求X的分布列和数 学期望. 4.（15分)某工厂为了提高精度，采购了一批新型机器，现对这批机器的生产效能进行测试，对其 生产的第一批零件的内径进行测量，统计绘制了如图所示的频率分布直方图. (I)求a的值以及这批零件内径的平均值x和方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值 作代表)； (2)以频率估计概率，若在这批零件中随机抽取4个，记内径在区间[2.45,2.55)内的零件个数 为Z,求Z的分布列以及数学期望； (3)已知这批零件的内径X(单位：mm)服从正态分布N(u,o2),现以频率分布直方图中的平 均数x作为4的估计值，频率分布直方图中的标准差s作为σ的估计值，则在这批零件中 随机抽取200个，记内径在区间[2.285,2.705]上的零件个数为Y,求Y的方差 参考数据：0.011≈0.105，若X~N(μ，o2),则P(4一o≤X≤4十o)≈0.6827，P(4-2o≤ X≤μ十2o)≈0.9545，P(μ-3o≤X≤μ+3o)≈0.9973. 频率 组距 3.5 3.0 1.0 0.5 2.352.452.552.652.752.85内径mm 数学·解答题专练（十八）第2页（共2页）