精品解析：江苏盐城市大丰区白驹初级中学等校2025-2026学年七年级下学期4月期中数学试题

七 年 级 数 学 练习总分：150分 完成时间：120分钟 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列航天图标中，其图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 计算（ ） A. 1 B. 0 C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在科幻小说《三体》中，制造太空电梯的材料是由科学家汪淼发明的一种只有头发丝十分之一粗细的超高强度纳米丝“飞刃”，“飞刃”的直径为，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 电影《哪吒之魔童闹海》在中国电影史上锋芒毕露，迅速成为众人关注的焦点．它不仅是一部精彩的影片，更肩负着把中国文化传播到世界的重任．哪吒的剧照如图所示，下面四个图形中，由该图平移得到的图形是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，在三角形中，，将三角形绕点按逆时针方向旋转得到三角形，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 下列各式中，不能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，，将沿折叠，使得点恰好落在边上的点处，折痕为，若点为上一动点，则的周长最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 9 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 计算：_____________． 10. 若是完全平方式，则______． 11. 如果的乘积中不含x的一次项，则m的值为______． 12. 计算的结果为______ 13. 已知，则______． 14. 某同学计算一个多项式乘时，因抄错符号，算成了加上，得到的答案是，那么正确的计算结果是____． 15. 数学活动课上，小明同学尝试将正方形纸片剪去一个小正方形，剩余部分沿虚线剪开，其中能够验证平方差公式的方案是________．（请填上正确的序号，可多选） 16. 小聪在学习完乘法公式后，发现完全平方公式经过适当的变形或数形结合，可以解决很多数学问题．如图摆放两个正方形卡片，在同一直线上．若，且两个正方形面积之和为52，则阴影部分的面积是__________． 三、解答题（本大题共有11小题，共102分．解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤） 17. 计算： （1） （2） 18. 先化简，再求值：， 其中，． 19. 如图，直线上有两个大小相同的直角三角形，它们中较大锐角的度数为将沿直线向左平移到的位置，使点落在上的点处，为与的交点． （1）求的度数； （2）试判断与之间的位置关系，并说明理由． 20. 分别求出下列式子的值 （1）已知：，，求： ①； ②． （2）如果，求x的值． 21. 已知，求下列各式的值； （1）； （2）； （3）． 22. 如图，某中学校园内有一块长为米，宽为米的长方形地块，学校计划在中间留下一个“T”型的图形（阴影部分)修建一个文化广场． （1）用含x，y的式子表示“T”型图形的面积并化简； （2）若，预计修建文化广场每平方米的费用为150元，求修建文化广场所需要的费用． 23. 在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式，请阅读下列材料：若，则、的大小关系是a________b（填“<”或“>”．） 解：，且， ， 类比阅读材料的方法，解答下列问题： （1）比较的大小； （2）比较与的大小； （3）已知．求之间的等量关系． 24. 综合与实践 从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （1）上述操作可以得到一个公式：________； （2）利用你得到的公式，计算：； （3）计算：． 25. 【知识生成】图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．在学习整式的乘法时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题． （1）如图，用不同的代数式表示大正方形的面积，由此得到的等式为_____；（用、表示） 根据上面结论，当，时，_____． 【知识应用】 （2）类比的探究过程，请用不同的代数式表示图中大正方形的面积． 由此得到的等式为_____；（用、、表示）； 根据上面的结论，已知，，则_____． 【知识迁移】 （3）类比上述两个题目探究过程，请直接写出_____．（用、、、表示） 26. 如图1，将一张长方形纸片沿折叠，使角的顶点落在处． （1）如图1，若，求的度数． （2）如图2，将另一角沿折叠，点落在射线上的处．求的度数． （3）如图3，将对折，点落在射线上的处，得到折痕．再沿折叠，使点落在处，点在的内部．若，试探究与之间的数量关系，并说明理由． 27. 我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律． （1）根据上面的规律，则的展开式 ． （2）的展开式共有 项，系数和为 ． （3）运用：今天是星期一，经过天后是星期 ． （4）直接写出的展开式中第三项的系数 ． （5）若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七 年 级 数 学 练习总分：150分 完成时间：120分钟 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列航天图标中，其图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、是中心对称图形，故此选项符合题意； C、不是中心对称图形，故此选项符合题意； D、不是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选B． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 2. 计算（ ） A. 1 B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂的运算，根据指数运算性质，任何非零数的零次方均等于1． 【详解】解：∵对于任意非零数a，有， ∴． 故选：A． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用同底数幂乘除法、幂的乘方、积的乘方的运算法则，逐一计算选项即可判断正误． 【详解】解：选项A：∵ ，∴ A错误． 选项B：∵ ，∴ B错误． 选项C：∵ ，结果符合运算法则，∴ C正确． 选项D：∵ ，∴ D错误． 4. 在科幻小说《三体》中，制造太空电梯的材料是由科学家汪淼发明的一种只有头发丝十分之一粗细的超高强度纳米丝“飞刃”，“飞刃”的直径为，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解： 故选B． 5. 电影《哪吒之魔童闹海》在中国电影史上锋芒毕露，迅速成为众人关注的焦点．它不仅是一部精彩的影片，更肩负着把中国文化传播到世界的重任．哪吒的剧照如图所示，下面四个图形中，由该图平移得到的图形是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平移前后，图形的大小，形状，方向都不变，只是位置发生改变，判断即可． 【详解】解：上面四个图形中，由该图平移得到的图形是D． 6. 如图，在三角形中，，将三角形绕点按逆时针方向旋转得到三角形，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质，是解题的关键．根据旋转的性质得到即可． 【详解】解：∵将三角形绕点按逆时针方向旋转得到三角形， ∴， 故选：D． 7. 下列各式中，不能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】平方差公式为，两个二项式相乘需满足一项相同，另一项互为相反数，才能用平方差公式计算，据此判断各选项即可． 【详解】解： 平方差公式要求两个二项式相乘，有一项完全相同，另一项互为相反数， A选项，符合平方差公式结构，可以用平方差公式计算，不符合题意； B选项 ，符合平方差公式结构，可以用平方差公式计算，不符合题意； C选项，两项均互为相反数，不存在相同项，不符合平方差公式结构，不能用平方差公式计算，符合题意； D选项，符合平方差公式结构，可以用平方差公式计算，不符合题意； 答案选C． 8. 如图，在中，，，，将沿折叠，使得点恰好落在边上的点处，折痕为，若点为上一动点，则的周长最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据折叠的性质可得，点与点关于直线对称，从而得出，将的周长转化为，利用两点之间线段最短可知当三点共线时周长最小，进而求解即可． 【详解】解：如图，连接， 由折叠的性质可知，，点与点关于直线对称 点在上，点与点关于直线对称 的周长 两点之间线段最短 当点在同一直线上时，的值最小，最小值为的长 的周长最小值为． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 计算：_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式．根据单项式乘以单项式法则计算，即可求解． 【详解】解：． 故答案为： 10. 若是完全平方式，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了对完全平方公式的应用，能根据题意得出是解此题的关键，根据完全平方式有两个：和解答即可． 【详解】解：∵是关于的完全平方式， ， 故答案为：． 11. 如果的乘积中不含x的一次项，则m的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，先根据多项式乘多项式的法则展开，再合并同类项得，因为不含x的一次项，得，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∵的乘积中不含x项， ∴， 解得， 故答案为：2 12. 计算的结果为______ 【答案】 【解析】 【分析】先将原式中的小数化为分数，拆分指数后，逆用积的乘方法则进行化简，再计算最终结果． 【详解】解：原式 ． 13. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【详解】解：， ， ． 14. 某同学计算一个多项式乘时，因抄错符号，算成了加上，得到的答案是，那么正确的计算结果是____． 【答案】 【解析】 【分析】先用错误的结果减去已知多项式求得原式，再乘以即可解答． 【详解】解：这个多项式是（x2-0.5x+1）-（-3x2）=4x2-0.5x+1， 正确的计算结果是：（4x2-0.5x+1）（-3x2）=． 故答案为． 【点睛】本题考查了单项式与多项式相乘，熟练掌握单项式与多项式相乘运算法则是解答本题的关键． 15. 数学活动课上，小明同学尝试将正方形纸片剪去一个小正方形，剩余部分沿虚线剪开，其中能够验证平方差公式的方案是________．（请填上正确的序号，可多选） 【答案】①②③ 【解析】 【分析】通过分别计算三种拼法中拼接前、后阴影部分的面积，利用面积相等来验证平方差公式． 【详解】解：在图①中，左边的图形阴影部分的面积，右边图形中阴影部分的面积， 故可得：，可以验证平方差公式； 在图②中，左边阴影部分的面积，右边阴影部分面积， 可得：，可以验证平方差公式； 在图③中，左边阴影部分的面积，右边阴影部分面积， 可得：（，可以验证平方差公式． 16. 小聪在学习完乘法公式后，发现完全平方公式经过适当的变形或数形结合，可以解决很多数学问题．如图摆放两个正方形卡片，在同一直线上．若，且两个正方形面积之和为52，则阴影部分的面积是__________． 【答案】24 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，设，得到，将图形补成边长为的大正方形，利用分割法结合完全平方公式的变形式，进行求解即可． 【详解】解：设，由题意，得：， ∴， ∴， 如图，将图形补成边长为的大正方形， 则：阴影部分的面积为： ； 故答案为：24． 三、解答题（本大题共有11小题，共102分．解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据乘方的定义计算，根据零指数幂的定义计算，根据负整数指数幂的定义计算，最后进行加减运算． （2）根据同底数幂的乘法法则计算，根据积的乘方与幂的乘方法则计算，根据同底数幂的除法法则计算，最后进行合并同类项运算． 【小问1详解】 解： 原式 ． 【小问2详解】 解： 原式． 18. 先化简，再求值：， 其中，． 【答案】，40 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则成为解题的关键． 先根据整式的混合运算法则化简，然后再将、代入计算即可． 【详解】解： ； 当，时，原式． 19. 如图，直线上有两个大小相同的直角三角形，它们中较大锐角的度数为将沿直线向左平移到的位置，使点落在上的点处，为与的交点． （1）求的度数； （2）试判断与之间的位置关系，并说明理由． 【答案】（1） （2） ，理由如下： 由平移的性质知，，， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了平移的性质和平行线的性质．需要注意的是：平移前后图形的大小、形状都不改变． （1）由平移的性质知，，利用两直线平行，同位角相等得，故可求出， （2）由平移的性质知，，，利用两直线平行，同位角相等得，故可求出，故． 【小问1详解】 解：由平移的性质知，， ∴； 【小问2详解】 略 20. 分别求出下列式子的值 （1）已知：，，求： ①； ②． （2）如果，求x的值． 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】（1）①先将变形为，再代入求值即可；②先将变形为，再代入求值即可； （2）由变形为，再求解即可． 【小问1详解】 解：①∵， ∴ ②． 【小问2详解】 解： ∴ ∴ ∴ ∴ 解得：． 21. 已知，求下列各式的值； （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）10 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据，然后代入数值计算，即可作答． （2）由（1）得，再结合，然后代入数值计算，即可作答． （3）由（2）得，得，则或，分别代入数值计算，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，， 则 即． 【小问2详解】 解：由（1）得， ∵， 则， ∴； 【小问3详解】 解：由（2）得， ∴， ． 或 ． 22. 如图，某中学校园内有一块长为米，宽为米的长方形地块，学校计划在中间留下一个“T”型的图形（阴影部分)修建一个文化广场． （1）用含x，y的式子表示“T”型图形的面积并化简； （2）若，预计修建文化广场每平方米的费用为150元，求修建文化广场所需要的费用． 【答案】（1） （2）5700元 【解析】 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式与图形面积，准确识图，熟练运用相关知识是解题的关键； （1）用大长方形面积减去两个空白部分的面积即可得到阴影部分面积； （2）将，代入求出面积，然后乘以单价即可． 【小问1详解】 解：由题意得，“T”型图形的面积为： 平方米． 【小问2详解】 解：当时，， 修建文化广场所需要的费用为：（元）． 23. 在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式，请阅读下列材料：若，则、的大小关系是a________b（填“<”或“>”．） 解：，且， ， 类比阅读材料的方法，解答下列问题： （1）比较的大小； （2）比较与的大小； （3）已知．求之间的等量关系． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将三个数都化为以3为底数的幂，然后比较指数大小即可； （2）将两数都化为指数为的幂，然后比较底数大小即可； （3）因为，根据已知条件，则可得，通过幂的运算可得结论． 【小问1详解】 解：， 又∵， ； 【小问2详解】 解：， 又∵， 【小问3详解】 解：， 又∵， ． 24. 综合与实践 从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （1）上述操作可以得到一个公式：________； （2）利用你得到的公式，计算：； （3）计算：． 【答案】（1） （2）1 （3） 【解析】 【分析】（）求出图的剩余面积、图的面积即可求解； （）利用（）中公式即可求解； （）利用（）中公式即可求解； 【小问1详解】 解：图剩余面积为面积为，图面积为， 则上述操作可以得到一个公式：． 【小问2详解】 解：由（）得： ； 【小问3详解】 解： ． 25. 【知识生成】图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．在学习整式的乘法时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题． （1）如图，用不同的代数式表示大正方形的面积，由此得到的等式为_____；（用、表示） 根据上面结论，当，时，_____． 【知识应用】 （2）类比的探究过程，请用不同的代数式表示图中大正方形的面积． 由此得到的等式为_____；（用、、表示）； 根据上面的结论，已知，，则_____． 【知识迁移】 （3）类比上述两个题目探究过程，请直接写出_____．（用、、、表示） 【答案】（1），13； （2），14； （3）． 【解析】 【分析】用两种不同的方式表示正方形的面积，根据这两个面积相等列出等式即可； 把中得到的等式变形可得：，再把，代入计算即可； 类比用两种不同的方式表示正方形的面积，根据这两个面积相等列出等式即可； 把中得到的等式变形可得：，把、代入计算即可； 根据、中等式的规律直接写出结果即可． 【详解】正方形的边长为， 正方形的面积为， 大正方形可以分成个边长为的正方长、个边长为的正方长、个长为宽为的长方形， 大正方形的面积为， ， 故答案为：； 由可知， ， 又，， ， 故答案为：； 类比可得：， 故答案为：； 由可得：， ，， ， 故答案为：； 由可得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式、完全平方式的几何背景、数形思想的结合、求代数式的值，解决本题的关键是用不同的方法表示同一个图形的面积，得到相等关系． 26. 如图1，将一张长方形纸片沿折叠，使角的顶点落在处． （1）如图1，若，求的度数． （2）如图2，将另一角沿折叠，点落在射线上的处．求的度数． （3）如图3，将对折，点落在射线上的处，得到折痕．再沿折叠，使点落在处，点在的内部．若，试探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3） 解：，理由如下： 设， ∵， ∴， ∵将对折，点落在射线上的处，得到折痕．再沿折叠，使点落在处，点在的内部， ∴， ∵， ∴， 即． 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，平角的定义． （1）根据折叠的性质得到，根据平角的定义计算即可； （2）根据折叠的性质得到，，根据平角的定义得到，即可求出的度数； （3）设，则，根据折叠的性质得到，根据平角的定义得到，即． 【小问1详解】 解：∵将一张长方形纸片沿折叠，使角的顶点落在处，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵将一张长方形纸片沿折叠，使角的顶点落在处，将另一角沿折叠，点落在射线上的处， ∴，， ∵， ∴ ； 【小问3详解】 略 27. 我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律． （1）根据上面的规律，则的展开式 ． （2）的展开式共有 项，系数和为 ． （3）运用：今天是星期一，经过天后是星期 ． （4）直接写出的展开式中第三项的系数 ． （5）若，求的值． 【答案】（1） （2）， （3）二 （4）420 （5）2 【解析】 【分析】本题考查多项式乘以多项式的规律问题，从给出的等式中，找到相应的规律是解题的关键： （1）观察规律可知，的展开式共有6项，三角形是一个由数字排列成的三角形数表，它的两条斜边都是数字1组成，而其余数则是等于它其上方左右两数之和，即可解答； （2）根据给出的等式，得出规律进行作答即可； （3）利用7天为一个周期，的最后一项是1， 则的余数是1，即可得出答案； （4）求出的第三项为，令，进行求解即可； （5）分别令和，进行求解即可． 【小问1详解】 解：观察可知的展开式的系数分别为1，5，10，10，5，1 ； 【小问2详解】 观察可知：的展开式有2项，的展开式有3项，的展开式有4项，的展开式有5项，依次类推，共有项， 的展开式的系数和为； 的展开式的系数和为； 的展开式的系数和为； 依次类推，的展开式的系数和为； 【小问3详解】 ∵，其展开式的最后一项为1， ∴的余数为1， ∵今天是星期一， ∴经过天后是星期二； 【小问4详解】 的展开式的第三项为， 的展开式的第三项为； 的展开式的第三项为； ∴的展开式的第三项为， ∴的展开式的第三项为 ∴的展开式的第三项的系数为； 【小问5详解】 ∵， ∴当时，， 即：； 当时，，即：， ∴， ∴ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $