2026年河南中考数学专题练(十) 几何类比、拓展探究题-【领扬中考】2026年河南省中考必刷卷数学

2026年河南中考数学专题练（十） 几何类比、拓展探究题 (参考答案详见答案册P54) 类型一 实践操作题 2.综合与实践一平行四边形旋转中的数学问题 1.【综合与实践】 【问题情境】 有这样一个探究项目：通过一副三角尺可以拼出一些特 已知□ABCD与□A'B'C'D'中，AB=A'B'=6,BC=B'C'= 殊度数的角，如15°，75的角等.七年级(1)班数学学习小 8,∠ABC=∠A'B'C'=60°，同学们利用这样的两张平行 组又进行了如下实践操作： 四边形纸片开展操作实验，从中发现了许多有趣的数学 问题，请你和他们一起进行探究 【拼图思考】 公以 (1)希望小组的同学将口ABCD与口A'B'CD'按图1的方 图1 图2 图3 图4 式摆放，其中，点B与点B'重合，点A'落在BC边上， 【操作发现】(1)“探索组”用一副三角尺进行拼角.所拼的 点C落在BA边的延长线上，他们提出了如下问题， 两个角均在公共边的异侧，并在各自所拼的图形中分别作 请你解答： 出∠AOB的平分线OE和∠COD的平分线OF.如图1，把 ①连接BE,求证：BE平分∠ABA'; 30°和90的角拼在一起：如图2，把60°和90°的角拼在 ②点D,D'之间的距离为 起.则图1中的∠EOF的度数为 ,图2中的∠E0F 【操作探究】 的度数为 (2)创新小组的同学在图1的基础上进行了如下操作：保 【操作发现】(2)“智慧组”把图1中的三角尺AOB绕点O 持口ABCD不动，将口A'B'C'D'绕点B沿顺时针方向 顺时针90°旋转到图3的位置，使0，D,B三点在同一条 旋转，连接DD' 直线上，则∠EOF的度数为 ①当线段C'D'与DC交于点P时，连接CC',如图2， 【操作发现】(3)“挑战组”把图2中的三角尺绕点0顺时 求证：点P在DD'的垂直平分线上； 针旋转90°到图4的位置，使0，B,D三点在同一条直线 ②在口A'B'C'D'旋转的过程中，当点C'恰好落在线段 上.请你仿照“智慧组”的做法，求出图4中∠E0F的 DC的延长线上时，请在图3中补全图形，并直接写 度数； 出此时点D,D'之间的距离。 【归纳概括】(4)①当有公共顶点的两个角α和B有一条 边重合，且这两个角在公共边的异侧时，这两个角的平分 B(B 线的夹角的度数是 (用含，B的代数式表示)； B(B) ②当有公共顶点的两个角α和B(其中a>B)有一条边重 图 图2 图3 合，且这两个角在公共边的同侧时，这两个角的平分线的 夹角的度数是 (用含，B的代数式表示). 数学29一1 类型二回归教材题 4.【教材呈现】如图为华东师大版八年级上册数学教材第 3.【教材呈现】如下，是华师版八年级上册69页的部分内 65页的部分内容： 容，请你阅读并填空 如图，已知两条线段和一个角，以长的线段为已知角的邻边，短 例4如图，在△ABC中，D是边BC的中点，过点C画直线 的线段为已知角的对边，画一个三角形. CE,使CE∥AB,交AD的延长线于点E.求证：AD=ED. 2.5cm」 证明：：CE∥AB(已知)， 5450 ∴，∠ABD=∠ECD,∠BAD=∠CED(两直线平行，内错角 把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所画的三角 相等)， 形都全等吗？此时，符合条件的三角形有多少种？ 在△ABD与△ECD中， (1)【操作发现】如图1，通过作图我们可以发现，此时（即 .∠ABD=∠ECD,∠BAD=∠CED(已证)， “边边角”对应相等)两个三角形 全等（填 BD=CD(已知)， “一定”或“不一定”)； ..△ABD≌△ECD. .AD=ED(全等三角形的对应边相等)， cm (1)在上述证明过程中能得到△ABD≌△ECD,依据 5 cm 是 【尝试变编】在变编环节，聪聪编题如下： 图1 图2 如图1，在△ABC中，若AB=12,AC=8,求BC边上的中 (2)【探究证明】如图2，在△ABC和△DEF中，∠B= 线AD的取值范围. ∠E,AC=DF,∠C+∠F=180°（∠C<∠F). 如下是明明的解决方法：延长AD到点E,使DE=AD,连 求证：AB=DE. 接BE.请根据明明的方法填空： 小明的作法是，在BC上取一点G,使AG=AC.通过证 (2)AD的取值范围是 明△ABG≌△DEF,最终得到AB=DE.其中，小明证 解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑 明△ABG≌△DEF的依据是 ； 延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求 A.SAS B.AAS C.SSS D.SSA 证的结论集合到同一个三角形中. (3)【拓展应用】已知在△ABC中，AB=AC,点D在AB的 【尝试运用】 延长线上，点E在射线CA上，BD=CE,连接DE交直 (3)如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E,交AD于 线BC于点F. 点F,且AE=EF.若EF=3,EC=2AE,求线段BF的长 ①当点E在线段CA上时，如图3所示，求证：DF=EF; (4)如图3，在△ABC中，∠A=90°，D为BC中点，DE⊥ ②过点E作EH⊥BC交直线BC于点H,若BC=8, DF,DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接EF,请直 BF=1,直接写出线段CH的长 接写出线段BE,CF,EF三者之间的等量关系 数学29一2 类型三类比探究题 6.(1)【观察发现】 5.在△ABC中，点D是线段AB上一动点，连接CD.将线段 如图1，在5×6的正方形网格中，点A,B,C,D为格点，AB CD绕点C逆时针旋转至CE,记旋转角为α，连接AE.取 交CD于点M.为了求∠AMC的度数，我们可以向右平移 AE的中点为点G,连接CG. 线段AB,使得点B与点D重合，点A的对应点为点E,连 【特例感知】 接CE,则∠AMC的度数为 (1)如图1，已知△ABC是等腰直角三角形，AC=BC, (2)【探究迁移】 ∠ACB=90°，a=90°.延长AC至点F,使CF=AC,连 如图2，正方形ABCD的CD边上有一动点E,以DE为边 接EF 向外作正方形DEFG,连接BF,CG交于点M,BF与CD交 ①求证：△BCD≌△FCE; 于点P.请仅就图2的情形解决以下问题： ②CG与BD有什么关系？请说明理由. ①将线段CG向左平移，使得点C与点B重合，此时，点G 【类比迁移】 的对应点H落在AD边上，连接HF,求证：AH=DG; (2)如图2，已知△ABC是等腰三角形，AC=BC,∠ACB= ②求∠BMC的度数. 120°，a=60°.探究线段CG与BD的数量关系，并证 (3)【拓展应用】 明你的结论， 在(2)的条件下，若AD=6,E为CD边的三等分点，请直 【拓展应用】 接写出△PCM的面积. (3)如图3，已知在△ABC中，BC=15,AC=8,∠ABC= 30°，∠ACB=180°-.在点D的运动过程中，直接写 出线段CG的最小值 H D G D 图 图2 备用图 图2 图3 数学29一3 类型四项目式学习 类型五阅读理解题 7.项目化学习 8.请阅读下列材料，完成相应的任务 【项目主题】 中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几 探究斜三角形的三边数量关系。 何问题时，常采用倍长中线法添加辅助线.所谓倍长中 【项目内容】 线法，即延长边上（不一定是底边）的中线，使所延长部 学习了勾股定理后，同学们知道了直角三角形的两条直 分与中线相等，以便构造全等三角形，从而运用全等三 角边的平方和等于斜边的平方，即直角三角形两条较小 角形的有关知识来解决问题的一种方法， 边的平方和等于最大边的平方.数学兴趣小组在此基础 如图1，在△ABC中，AD是BC边上的中线，若AB=3, 上对钝角三角形和锐角三角形的三边数量关系产生浓厚 AC=5,求AD的长的取值范围. 兴趣，准备展开探究。 解题思路：如图1，延长AD到点E,使DE=DA,连接 【项目任务】 CE,则可证得△ECD≌△ABD(依据)，得出EC=AB= 任务一：(1)如图1，△ABC是钝角三角形，且∠C是钝角， 3,在△ACE中，AE=2AD,AC=5,CE=3,即可得到AE LA,∠B,∠C的对边分别是a,b,c,试比较a2+b2与c2 的取值范围，进一步得到AD的取值范围. 的大小； 兴趣小组的思路是：如图2，过点C作CB的垂线并截取 CD=CA,连接BD,AD,通过构造Rt△BCD得到a2+b2= BD2,从而将问题转化为比较图中线段AB和BD的大小，体 现转化的数学思想，再从角的大小关系不难得出∠ADB> ∠DAB,最后可得到结论a2+b2 c2(填“=”“<” 任务： 或“>”)； (1)上述解题思路中的“依据”是 (填序号)； 任务二：(2)如图3，△ABC是锐角三角形，且∠A是最大 ①SAS;②ASA;③AAS;④SSS;⑤HL 角，∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c,猜想b2+ (2)如图2，在△ABC中，D为边BC的中点，已知AB=5, c2 a(填“=”“<”或“>”)，并说明理由； AC=3,AD=2,求BC的长； 任务三：(3)①三边长分别为4,5,7的三角形是 (3)如图3，在矩形ABCD中，AB=46,点E是CD边的 (填“直角三角形”“锐角三角形”或“钝角三角形”) ②已知锐角三角形的两边长分别为3和5，则第三条边长 中点，连接A,点F在直线BC上，且5-，若 m的取值范围是 ·(请直接写出结果) ∠FAE=∠DAE,请直接写出CF的长， D 图3 图2 图3 数学29一4(2),矩形OABD中，B(2,5), .OA=BD=2,AB=0D=5,∠B=∠0DC=90° 由题意知AC=A0=2. 由勾股定理得BC=√/22-(3)2=1， .CD=2-1=1. 由勾股定理得0C=√12+(3)2=2， 0 .A0=AC=0C. 设OA=AB=a,则AE=8-a,BE=4. .△OAC是等边三角形，.∠OAC=60° 在Rt△ABE中，BE2+AE2=AB2,即42+(8-a)2=a2, （3)s=aw-Saac=7x(1+2)x万.60g2 解得a=5,∴.菱形OABC的边长为5. 360 (3)点B的坐标为(4,8)，BC=5,点C的坐标为(4,3). 代人归=得3=46解得与=子n=} 4.解：(1)，菱形OABC的对角线交于点D,.OD=DB. ·点B的坐标为(4,8)，点D的坐标为(2,4). 令万=，则=及，解得=主45 31 又：反比例函数-4经过点D,k1=2×4=8,六1= 8 结合图象，不等式x-上<0的解集为x<45或0<<46 (2)如图，过点B作BE⊥y轴于点E, 282026年河南中考数学专题练（九）：二次函数综合题 类型一二次函数的图象与性质 1.解：(1)将点(1,0)，(3,0)代入y=x2+bx+c, ∴当：=-多时，SAA有最大值，最大值为 第 海09026g0化4 (3)存在，点P的坐标为(-2,3)或（-1,4). 类型二二次函数的实际应用 28 ∴.抛物线的解析式为y=x2-4x+3. 3.解：(1)由题意，设抛物线顶点式为y=a(x-2)2+3.5, (2)y=x2-4x+3=(x-2)2-1, 将点(4,2)代人得2=a(4-2)2+3.5, ·抛物线最小的函数值为-1，对称轴为直线x=2. 29 解得a=-令抛物线的表达式为y=-名：-22+3.5。 :当t≤2时，-2≤x≤t在对称轴的左侧，y随x值的增大而诚小， 套 (2)新顶点坐标(3,3.5)， ∴，当x=t时，y=2-4t+3=-2t+5,当x=-2时，y=15, ·设新抛物线顶点式为2=a2(x-3)2+3.5, 解得t=1-3或t=1+√3>2（舍去）. 当t>2时，最小值为-2t+5=-1,1=3,满足条件 :将点(4,2)代人得2=6，(4-3)2+3.5解得a=-是， t=1-5或t=3. ()m=或m= 新抛物线的表达式为y=-子(x-3)+3.5 (3)对于(2)求得的函数表达式， 2.解：(1)把A(-3,0),C(0,3)代入y=-x2+bx+c, 当y=26时，-3(x-3)2+3.5=296, 阳6 解得/62， (c=3. 解得x1=3.6,2=2.4(不合题意，应舍去)，4-3.6=0.4米， ∴该二次函数的解析式为y=-x2-2x+3. 乙距离甲0.4米时可以拦截成功 (2)设直线AC的解析式为y=x+m,把A(-3,0),C(0,3)代入， 4.解：(1)由题意得点A(-30,0),C(0,-300), 得-3张+m=0, 得k=1, 设抛物线的表达式为y=a(x+30)2, (m=3, （m=3. 将点C的坐标代人上式得-300=a(0+30)2,则a=-号 ∴.直线AC的解析式为y=x+3. 如图，过点P作PW⊥x轴交直线AC于点N, 放抛物线的表达式为y=-}(x+30)2。 1 (2)由题意得，点E的横坐标为-15，代入抛物线表达式得y= -号(-15+30)2=-75， 则-75+300=225cm,即无人机应该下降的高度为225cm. (3)由题意得点M(-90,0), 1 设P(t,-2-2t+3),则N(t,t+3), 则点M所在抛物线的表达式为y=-了(x+90)2, PW=-2-2t+3-(t+3)=-2-3t, 当y=-480时，即-40=-号(x+90月 .SAG=Sam+5Cm3xP 则x=-90-12√10，则PQ=2(90+12√10)=(180+24√10)cm. 292026年河南中考数学专题练（十）：几何类比、拓展探究题 类型一实践操作题 1.解：(1)如题图1，：OE,0F分别平分∠A0B,∠C0D LE0C=7∠A0B=15°，LC0F=7∠C0D=45, 答案一54 .∠E0F=∠E0C+∠C0F=15°+45°=60°. 如题图2，同理得∠E0F=75, 故答案为60°；75°. (2)∠B0F=∠D0P-∠B0E=寸∠G0D-÷∠A0B=45-15- 30°.故答案为30° 图1 (3):0E平分LA0B∠B0B=LA0B=×60=30 .AE=EF,EF=3,EC=2AE=6...AC=AE+EC=3+6=9. AD是△ABC中线，.CD=BD. :0F平分LD0C,LD0F=2LD0C=7×90°=45°， CD=BD, ,在△ADC和△MDB中， ∠ADC=∠MDB, ∴.∠E0F=∠D0F-∠B0E=45°-30=15° LAD DM, (4)①当有公共顶点的两个角α和B有一条边重合，且这两个角在 ∴.△ADC≌△MDB(SAS),∴.BM=AC,∠CAD=∠M. 公共边的异侧时，这两个角的平分线的夹角的度数是)(@+B).故 .:AE=EF,.∠CAD=∠AFE ,'∠AFE=∠BFD,∴，∠BFD=∠CAD=∠M, 答案为2(a+B). ∴.BF=BM=AC,即BF=9. ②当有公共顶点的两个角α和B(其中a>B)有一条边重合，且这两 (4)线段BE,CF,EF之间的等量关系为BE2+CF2=E2 个角在公共边的同侧时，这两个角的平分线的夹角的度数是了(。 4.(1)解：通过作图我们可以发现，此时（即“边边角”对应相等）两个 三角形不一定全等故答案为不一定 B).故答案为7(e-p). (2)证明：在BC上取一点G,使AG=AC, ∴.∠AGC=∠C,AG=DE 2.(1)①证明：四边形ABCD,A'B'CD'是平行四边形， :∠C+∠F=180°，∠AGB+∠AGC=180°，∴.∠AGB=∠F .AD∥BC,A'D'∥B'C, r∠B=∠E, 四边形A'EAB是平行四边形，∠AEB=∠EBC,.AE=BA. 在△ABG和△DEF中， ∠AGB=∠F, BA=B'A',∴.BA=AE,∴.四边形A'EAB是菱形， LAG=DF, .BE平分∠ABA' ∴.△ABG≌△DEF(AAS), ②解：如图，连接DD', 第 故答案为B. 29 (3)①证明：如图1，过点E作EM∥AB交BC于点M, 套 B(B) 由①知四边形ABA'E是菱形， .AE =A'E CD =6,..AD-AE=A'D'-A'E, ,ED=ED'=8-6=2. 图 .∠DED'=60°，.△EDD'为等边三角形，.DD'=ED=2.故答案为2. AB=AC,∴.∠ABC=∠C. (2)①证明：：BC=BC,∴.∠BCC'=∠BCC 又：EM∥AB,∴.∠ABC=∠EMC, 在口ABCD和口A'B'C'D'中， ∴.∠EMC=∠C,∴.EM=EC ∠ABC=∠A'BC=60°，AB=A'B 又，BD=EC,∴.EM=BD. ∴.∠BCD=∠B'CD'=120°，CD=CD', .·EM∥AB,..∠ADF=∠FEM .∠PCC'=∠PCC,∴.PC=PC',.PD=PD ,∠BDF=∠FEM ,点P在DD的垂直平分线上 在△DBF和△EMF中， ∠BFD=∠MFE, ②解：如图，DD'=20. BD=EM, ∴.△DBF≌△EMF(AAS),∴.DF=EF ②线段CH的长为3或5. B(B) 类型三类比探究题 5.(1)①证明：a=90°，∠DCE=90°，∠BCD+∠BCE=90° ∠ACB=90°，∠FCE+∠BCE=90°，.∠BCD=∠FCE. AC=BC,AC=CF,..BC=FC. 又由旋转可知，CD=CE,∴.△BCD≌△FCE(SAS) 类型二回归教材题 ②解：CG=2BD,理由如下： 3.解：(1)由题意可得，上述证明全等的依据是AAS. ,'△BCD≌△FCE,∴.BD=EF (2):DE=AD,BD=DC,∠ADC=∠EDB :G是AE的中点，AC=CF, .△ADC≌△EDB(SAS),AC=BE. .CG为△AEF的中位线， :AB-BE<AE<AB+BE,即12-8<AE<12+8,.4<AE<20 :AD=2AE,2<AD<10, 6Cc=2BF,CG=780, 故答案为2<AD<10 (2)解：CG=之BD. (3)如图1，延长AD到M,使AD=DM,连接BM, 证明：如图1，延长AC至点F,使得CF=AC,连接EF 答案一55 7.解：(1)过点C作CB的垂线并截取CD=CA,连接BD,AD, 在Rt△BCD中，a2+b2=BD2. AC=CD,.∠ADC=∠CAD,.∠ADC>∠DAB. ∠ADB>∠ADC,.∠ADB>∠DAB,.AB>BD, ∴c2>BD2,a2+b2<c2.故答案为<. (2)猜想：b2+c2>a2. 理由如下： 如图，过点A作AC的垂线并截取AM=AB=c,连接BM,CM, 图1 ∠ACB=120°，.∠BCF=60°. .AC=BC,CF=AC,..BC=CF. 由旋转得CD=CE,∠DCE=60°，.∠BCF=∠DCE .∠BCF-∠BCE=∠DCE-∠BCE. B .∠DCB=∠ECF,∴.△DCB≌△ECF(SAS),∴.BD=EF, 在Rt△MAC中，∠MAC=90°，.AM2+AC2=MC2,即MC2=b2+c2 AG-GE.AC-CF.cCF .AM=AB,·.∠ABM=∠AMB>∠BMC, （3)线段CG长度的最小值为子 又：·∠MBC>∠ABM,∴.∠MBC>∠BMC, .在△MBC中，MC>BC,MC2>BC2,即b2+c2>a2 6.解：(I)DE是由BA平移得到的，.DE∥BA,即LAMC=LEDC. 故答案为> 根据图中给出的方格可知CE=√42+22=25，DE=√42+22= (3)①.：三边长分别为4,5,7 25,CD=√62+22=210， .42+52=41<72,.三边长分别为4,5,7的三角形是钝角三角形 故答案为钝角三角形 .CE2+DE2=CD2,CE=DE,.△CED为等腰直角三角形， .∠AMC=∠EDC=45°.故答案为45° ②4<m<34. (2)①证明：四边形ABCD为正方形 类型五阅读理解题 ∴.BA=CD,∠A=90°，∠CDG=180°-∠CDA=180°-90°=90° 8.解：(1)上述解题思路中的“依据”是①.故答案为①. (2)如图1，延长AD到E,使DE=AD,连接CE: 第 :BH由CG平移得到，·.BH=CG. 30 在R△BAH和Rt△CDG中，BA=CD, 套 ·.Rt△BAH≌Rt△CDC(HL),∴.AH=DG. ②.：四边形DEFG为正方形，GF=DG,∠HGF=90°. .AH DG,.'.AH CF. HG=HD DG=HD +AH =AD,BA =AD,..HG=BA. 图1 (BA =HG, D为BC的中点，BD=CD 在△BAH和△HGF中，{∠A=∠HGF,.△BAH≌△HGF(SAS), (BD=CD, AH=GF. 在△ABD和△ECD中， ∠ADB=∠EDC, ∴.BH=HF,∠GHF=∠ABH,.∠GHF+∠AHB=90°， AD=ED. .∠BHF=90°，.△BHF为等腰直角三角形， ∴.△ABD≌△ECD(SAS),.AB=CE=5. .∠HBF=45°，∠ABH+∠CBF=∠DCG+∠CBF=∠ABC-∠HBF .AE =2AD=4,AC=3,CE=5,..AE2 +AC2 CE2 ,∠BCD=90°， .△EAC为以CE为斜边的直角三角形，.∠EAC=90°， ∴.在△BCM中，∠BMC=180°-∠DCG-∠CBF-∠BCD=45°. .DC=√AC2+AD=√32+22=V13,.BC=2CD=213. (3)△PCW的面积为？或答 (3)CF的长为4或45. 类型四项目式学习 302026年河南中考数学专题练（十一）：新课标理念下的创新题 类型一开放性试题 则∠EBG=a=10°，∠HBM=180°-(145°-a)=45°=∠BFT 1.香蕉每千克3元，某人买了x千克，共付款3x元（答案不唯一） 则△BFT为等腰直角三角形，则BT=TF=DG, 2.4(答案不唯一)3.m(答案不唯一)4.6b(答案不唯一) .AB=24, 5.x-2(答案不唯一)6.0（答案不唯一）7.-1（答案不唯一） 8.y=-x+1(答案不唯一)9.-1（答案不唯一） BE=号AB=8, 10.y=x2+2(答案不唯一) 类型二跨学科试题 在△BEG中，GE=BE·sin=8×0.17=1.36, 11.A12.C13.B14.C BG=BE·cosa≈8×0.98=7.84=DT 15.解：如图，过点B作CF的平行线交ED于点G,交NM的延长线于 则GCD=DE-EG=27.36-1.36=26=BT=TF. 点H,作BT⊥CD于点T, 则DF=DT+TF=7.84+26=33.84≈33.8cm 类型三数学文化试题 16.A17.D18.B19.D 答案一56