专题03 选择压轴题（二次函数相关实际问题综合4大题型，压轴题专项训练）2026年中考数学(天津专用)

专题03 选择压轴题 （二次函数相关实际问题综合） 目 录 模块一、解题方法总述 模块二、压轴题型专练 题型01 动点几何问题 题型02 销售问题 题型03 几何图形面积相关 题型04 投球问题 模块三、综合实战演练 1、 动点几何问题的解题方法： 1. 读图找量：先看清图中哪些线段长度、角度是已知的固定的，哪些是变量。 2. 分段画图：根据动点运动路径，把时间或路程分成几段，每一段单独画一张图。 3. 建立方程：利用勾股定理、相似比或面积公式，把要求的量表示出来。 4. 验证取舍：解出值后，一定要代回原题检查是否符合该段的取值范围（例如求得的时间是否在这一段时间内）。 二、销售问题的解题方法： 第1步：找基准，设变量 先找出“初始状态”的单价和销量。然后设涨价或降价的金额为自变量 x。 第2步：表达“现价”与“现量” 用 x 表示出变化后的价格和销售量。 三、几何图形面积相关的解题方法： 1.代入验证法。 2 列一元二次方程求解。 3利用二次函数顶点公式求最值。 四、投球问题的解题方法： 1. 建立坐标系：通常以出手点正下方或落地点为原点，水平方向为 x 轴，竖直方向为 y 轴。 2. 明确关键点坐标：找出出手点、最高点、篮筐/落地点的坐标。 3. 求解析式：根据已知点，用顶点式或一般式求出抛物线表达式。 4. 代入验证：将目标点的 x 坐标代入，判断 y 值是否符合要求（如能否得分、能否过网等）。 题型01 动点几何问题 1．四边形中，，，，，．动点M从点B出发，以的速度沿边，边向终点D运动；动点N从点C同时出发，以的速度沿边向终点B运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点M，N的位置如图所示．有下列结论：①当时，；②当时，的最大面积为；③当t为和时，满足的面积为．其中，正确结论的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【分析】当时，点M在上，求出，，可判断①；当时，点M在上，利用三角形面积公式求出的面积，利用二次函数的性质，可判断②；先将代入的面积表达式求出结果，再由可推断点M在上，利用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：当时，， ∵点M的运动轨迹是，以的速度运动，， ∴点M在上的运动时间为， 当时，点M在上， ∴， ∴，故①错误； 当时，，，， ∴， 当时，的面积取得最大值，故②错误； 当时，， 当时，， 而点M此时在上， ∴，故③正确， 综上所述，正确的结论有③，共1个． 2．如图，在中，，，．动点从点出发，以的速度沿边向终点匀速运动，运动到终点停止运动，当点出发后，以为边做正方形，使点，始终在边同侧，设点运动时间为，正方形与重叠部分图形的面积为．有下列结论： ①长为； ②当时，关于的函数关系式为； ③当正方形的对称中心与点重合时，． 其中，正确结论的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，过点作于点，根据等角对等边得，根据勾股定理求出，，可判断①；分两种情况：当点在线段上运动时；当点在线段的延长线上运动时，分别求解，可判断②；根据条件及正方形的性质得，根据等角对等边，根据勾股定理得，，可判断③． 【详解】解：如图，过点作于点， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故结论①正确； 当点在线段上运动时， ∵动点从点出发，以的速度沿边向终点匀速运动，运动到终点停止运动，点运动时间为，四边形是正方形， ∴，，， 当点与点重合时，点与点重合， 此时， ∴； 当点在线段的延长线上运动时，如图，设交于点 此时点在线段上运动，则， ∵，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ， ∴当时，关于的函数关系式为，，故结论②正确； 当正方形的对称中心与点重合时，如图， 此时点为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故结论③不正确； 综上所述，正确结论的个数是． 3．如图，在四边形中，，，，，．点P从点D出发，以的速度向点A运动；同时点Q从点A出发，以的速度沿边、边向终点C运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为．当时，点P、Q的位置如图所示．有下列结论：①当时，；②当时，的最大面积为；③t有两个不同的值满足的面积为，其中正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】判断点Q在上，求得，得到四边形是平行四边形，即可判断①正确；利用三角形面积公式得到关于的二次函数，利用二次函数的性质可判断②错误；分两种情况讨论，可判断③正确． 【详解】解：①当时，点Q运动的距离为，则点Q在上， 此时，，如图， ， ∴， ∵，即， ∴四边形是平行四边形， ∴，①正确； ②当时，点Q在上， ∴，， ∴， ∵， ∴当时，的最大面积为，不符合题意，②错误； ③当点Q在上时，的面积为时， 则， 解得（不符合题意，舍去）或； 当点Q在上时， ∵，， ∴， 解得（不符合题意，舍去）， ∴③正确； 综上，正确的只有①③，共2个． 4．在中，，．动点M从点B出发，以的速度沿边、边向终点C运动；动点N同时从点B出发，以的速度沿边向终点C运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点M，N的位置如图所示．有下列结论： （1）当时，； （2）的最大面积为； （3）t只有一个值满足的面积为． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】由题意易得，当时，点M在边上，则，当时，点M在边上，则，然后分类进行求解即可． 【详解】解：由题意可知：，当时，点M在边上，则，当时，点M在边上，则， 当时，此时点M在边上， ∴， ∴，故（1）正确； 当时，过点M作于点E，如图所示： ∵，， ∴， ∴， 当时，的面积为最大，最大值为； 当时，过点M作于点F，如图所示： ∵， ∴， ∴， 当时，的面积为最大，最大值为；故（2）错误； 当时，解得：（负根舍去），符合， 当时，解得：（负根舍去）， ∵， ∴，符合题意； ∴t有两个值满足的面积为，故（3）错误； 综上所述：正确的结论只有一个． 5．平行四边形中，，，．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为秒．当时，点，的位置如图所示． 有下列结论： ①当时，； ②当时，的最大面积为； ③存在两个的值，使得的面积为． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】由题中的点，运动过程，分情况作图，运用平行四边形判定与性质、解直角三角形及二次函数图象与性质讨论求解． 【详解】解：当时，， ， ， 则，且， 四边形是平行四边形， 在平行四边形中，， 则，故①正确； ，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度运动， 走完用时（秒）， 过点作，如图所示： 在中，，则， ，则由勾股定理可得， 当时，，则， 当时，的最大面积为； 当时，过点作，过点作，如图所示： ，， 在中，，则， ， ，则由勾股定理可得， ， 在平行四边形中，，则， 在中，，，则， 由勾股定理可得， 则， ， 由抛物线开口向上、对称轴为，则当时，随着的增大而减小， 当时，有最大值，为； 综上所述，当时，的最大面积为，故②正确； 由题意，当停止运动时，共用时为（秒），而此时还为到达， 点，总共运动时间为秒， 由②的判定过程可知，当时，的最大面积为， ， 解得； 当时，， 解得或； 综上所述，存在、或三个值，使得的面积为，故③错误； 则题中正确结论是①②，共2个． 1. 快速建立函数模型 · 面积最值：通常会转化成二次函数求顶点。利用“铅垂高×水平宽”的一半等面积公式，把面积表达成自变量的二次式。 · 线段和最值：动点在线段上运动时，若求“两条折线段”之和最小，通常用“将军饮马”模型，作一个定点关于直线的对称点，再连接另一个定点。 2. 双动点问题技巧 · 化双为单：当两个点同时运动时，用含时间t的式子表示每个点的位置，将两个动点的运动转化为单变量函数。 · 相对运动：若两个点速度不同，可想象一个点静止，仅分析另一个点的相对速度。 题型02销售问题 6．某商店销售一种进价为40元/千克的海鲜产品，据调查发现，月销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间满足一次函数关系，部分信息如下表： 售价x（元/千克） 50 60 70 80 … 销售量y（千克） 250 240 230 220 … ①y与x之间的函数关系式为； ②当售价为72元时，月销售利润为7296元； ③当每月购进这种海鲜的总进价不超过5000元时，最大利润可达到16900元； ④销售这种海鲜产品，每月最高可获得利润16900元； 其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，二次函数的应用，一元一次不等式的应用，根据题意，可设与之间的函数关系式为，再把将、代入，联立方程组，并解出，得出与之间的函数关系式，即可判断选项①；再根据一次函数的性质，得出当时，月销售量为千克，然后算出月销售利润，即可判断选项②；设月销售利润为，根据月销售利润等于每千克的利润乘以数量，得出，再根据题意，得出月销售量不超过千克，再根据一次函数，得出售价，然后代入，计算即可判断选项③；再根据二次函数的性质，即可判断选项④，综合即可得出答案． 【详解】解：设y与x之间的函数关系式为, 把代入到中得：， ∴， ∴y与x之间的函数关系式为,故①正确； 当时，，则此时利润为元，故②正确； 设月销售利润为元， ∴， ∵每月购进这种海鲜的总进价不超过元， ∴（千克），即月销售量不超过千克， ∴当时，即， 解得：， ∴（元），故③错误； ∵， ∴当时，有最大值，最大值为，即最高利润为元，故④正确． ∴正确的有3个， 故选：C。 7．某商家销售一种成本为40元的商品，当售价定为50元/件时，每天可销售500件，根据经验，售价每涨价1元，每天销量将减少10件，且单件该商品的利润率不能超过．有下列结论： ①每天的销量（件）与当天的销售单价（元/件）满足的函数关系式（不用写出自变量的取值范围）是； ②当定价为70元时，该商品的利润达到最大，最大利润为9000元； ③当该商品的利润为6750元时，定价可以为55元或85元． 其中，正确的结论的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，二次函数的应用． ①根据题意列出函数关系式即可； ②设利润为W元，，再根据单件该商品的利润率不能超过列出不等式，求出，再根据二次函数的性质求最值即可； ③根据题意，得，解方程，再根据，即可得出结论． 【详解】解：①每天的销量（件）与当天的销售单价（元/件）满足的函数关系式是， 故①正确，符合题意； ②设利润为W元， ， 由题意可得：， ∴， ∵，开口向下，当时，W随x的增大而增大， ∴时，W 最大为8840元， 故②不正确，不符合题意； ③令， 解得，， ∵， ∴， 即当该商品的利润为6750元时，定价可以为55元， 故③不正确，不符合题意； 综上所述，正解的有①，一共1个． 故选：B． 8．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，有下列结论： ①若该商品每件降价x元，则预测每星期可卖出件； ②若该商品每件售价为61元，则预测售卖该商品每星期可得利润6090元； ③综合涨价与降价两种情况及现在的销售状况可知，当每件售价65元时，售卖该商品每星期获利最大． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的应用．根据题意，得到利润的相等关系是解决本题的关键，求得涨价后的最大利润以及降价后的最大利润后，经过比较才能得到最大利润，找准各个量之间的关系是正确解答此题的关键． 根据某商品现在的售价为60元，每星期可卖出300件；每降价1元，每星期可多卖出20件，可判断①；根据总利润单件利润销量可判断②；分别列出涨价与降价时对应的式子求出最大值作比较即可判断③． 【详解】解：①售价为每件60元，每星期可卖出300件，每降价1元，每星期可多卖出20件，若该商品每件降价x元，则预测每星期可卖出件；故①正确； ②若该商品每件售价为61元，则预测售卖该商品每星期可得利润元；故②正确； ③设每件降价元，每星期售出商品的利润为， 则． ， 时，售价为57.5元时利润最大，最大利润元， 设每件涨价元，涨价后的利润为元． ， 在涨价的情况下，每星期售出商品的最大利润是6250元， ， 综合涨价与降价两种情况及现在的销售状况可知，定价65元时利润最大，故③正确． 正确结论的个数是3个， 故选∶D． 9．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件．已知商品的进价为每件40元．有下列结论： ①当定价为70元时，每星期的利润为6000元； ②当定价为65元时，每星期的利润达到最大，最大利润为6250元； ③当每星期的利润为6160元时，定价可以为62元或68元． 其中，正确的结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数表达式是解决问题的关键． 设每涨价元，获得的总利润为元，根据题意列出函数关系式，然后由二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设每涨价元，获得的总利润为元， 有题意得：， ， 当定价为70元时，， 每星期的利润为：元，故①正确； 当定价为65元时，， ∵时，的值最大， ∴当定价为65元时，每星期的利润达到最大，最大利润为元，故②正确； 当每星期的利润为6160元时，有， 解得：， ∴定价为元或元，故③正确； 综上所述，正确的个数为3个， 故选：D． 10．某服装店试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间每件服装的销售单价不低于成本，且获得的利润不得高于成本的．经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数关系．有下列结论： ①销售单价可以是90元； ②该服装店销售这种服装可获得的最大利润为891元； ③销售单价有两个不同的值满足该服装店销售这种服装获得的利润为500元， 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的实际应用，根据已知条件列出总利润与销售价的函数关系式，利用二次函数的性质及其x的取值范围求出利润的最大值．利用函数的性质是解答此题的关键． 【详解】解：由题意可知，解得：， ∴销售单价不可能是90元，故①不正确； 利润与销售价的函数关系式： ， ， 抛物线的开口向下， 当时，随的增大而增大， 而， 当时，（元）． 当销售单价定为87元时，可获得最大利润，最大利润是891元，故②正确； 当时，， 解得：，（不符合题意，舍去）， 则只有1个销售单价为70元时，满足该服装店销售这种服装获得的利润为500元，故③不正确； 综上，正确的结论只有1个， 故选：B． 1. 统一单位，理清系数 · 如果条件是“每涨价2元，少卖10件”，那么 每涨价1元，少卖5件。这是最容易错的地方，一定要先求出单价变动对应的销量变化。 2. 注意“取值范围” · 售价不能低于进价，否则会亏本。 · 销量不能为负。例如，少卖后件数 \ge 0，这决定了 x 的最大值。 · 题目隐含条件，如“月销量不超过xxx件”或“尽量减小库存”等，会用来筛选答案。 3. “每件降价” vs “每件涨价” · 如果题目说“尽快减少库存”，通常要选择降价，并且要取降价最多的那个解。 · 如果题目说“保持品牌形象”，通常要选择涨价，并且取涨价较少或售价较高的解。 题型03 几何图形面积相关 11．如图，要用篱笆围成一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不超过，E，F分别为边，上的一点，与平行，在，上各留出一个宽的小门．若图中虚线部分使用篱笆，且使用篱笆的长度是．有下列结论： ①的长可以是； ②当矩形菜园的面积为时，的长为或； ③若规定，则矩形菜园的最大面积是． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】由题意可得，，即得，可得，得到，即可判断①；设，则，可得，利用一元二次方程及二次函数的性质可判断②和③，进而即可求解． 【详解】解：①根据题意得：和为矩形， ∴， ∵篱笆的长度是， ∴， ∴， ∵的长不超过， ∴， ∴， ∴的长可以是，故①正确； ②设，则， ∴， 当时， 解得，， ∵， ∴， ∴的长为，故②错误； ③， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∵， ∴当，即的长为时，矩形菜园的面积最大，且最大面积为： ，故③正确； 综上，正确结论有2个， 12．如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边，，用篱笆，且这三边的和为，有下列结论：①的长可以为；②的长有两个不同的值满足菜园面积为；③菜园面积不能为．其中正确的是（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程和二次函数的应用，读懂题意，找到等量关系，准确的列出函数解析式和一元二次方程是解题的关键． 设的边长为，则的边长为，根据列出方程，解方程求出的值，根据取值范围判断①；根据菜园的面积为，解方程求出的值，可以判断②；设矩形菜园的面积为，根据矩形的面积公式列出函数解析式，根据函数的性质求函数的最值可以判断③． 【详解】解：边长为，则边长为， 当时，， 解得， ∵的长不能超过，， 故①正确； ∵菜园面积为， ∴， 整理得， 解得或， ∵ ∴的长有一个值满足菜园面积为， 故②错误； 设菜园面积为， 根据题意得， ∵，， ∴当时，有最大值，最大值为， 菜园面积不能为， 故③正确； ∴正确的结论有个， 故选：B． 13．如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设矩形菜园的边的长为，面积为，其中． 有下列结论： ①x的取值范围为； ②的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为； ③矩形菜园的面积的最大值为． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的面积，构造二次函数求最值．根据题意，列出方程，构造二次函数计算即可． 【详解】解：∵，则，依题意，得： ， ∵ ∴， 解得，故①错误； 当时， 即， 解得：，， 当时，不在范围中，舍去， 当时，成立．故②错误； ， ∴当时，S有最大值为．故③正确， 故选：B． 14．如图，某劳动小组借助一个直角墙角围成一个矩形劳动基地，墙角两边和足够长，用总长的篱笆围成另外两边和．有下列结论： ①当的长是时，劳动基地的面积是； ②的长有两个不同的值满足劳动基地的面积为； ③点处有一棵树（树的粗细忽略不计），它到墙的距离是，到墙的距离是，如果这棵树需在劳动基地内部（包括边界），那么劳动基地面积的最大值是，最小值是． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程和二次函数的实际应用，①求出的长，可直接计算面积；②设的长是时，则，根据题意列方程求解即可；③设的长是，的面积为，根据题意得到x的取值范围，再得到关于x的函数，根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：①当的长是时，， 劳动基地的面积是，说法正确； ②设的长是时，则， 若的面积为， 则 或，说法正确； ③设的长是，的面积为 由题意可得， 解得：， ∵， 当时，y随x的增大而增大， ∴当时，面积有最大值， ∵时，面积为，时，面积为， ∴面积的最小值为，说法正确， 综上，3个说法都正确， 故选：D． 15．如图，有一块矩形空地，学校规划在其中间的一块四边形空地上种花，其余的四块三角形空地上铺设草坪，其中点，，，分别在边，，，上，且．已知．有下列结论： ①铺设草坪的面积可以是； ②种花的面积的最大值为； ③AF的长有两个不同的值满足种花的面积为． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数，一元二次方程的应用，设，铺设草坪的面积为，种花的面积为，结合图象表示出函数关系式，进而根据各选项逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：设，铺设草坪的面积为，种花的面积为 ∴ 则种花的面积的最大值为；故②正确 当时，即 即 ∴， ∴铺设草坪的面积可以是；故①正确 当时，即 ∴ 解得：，故③正确， 故选：D． 1. 定义域优先：解决二次函数实际问题时，必须先根据题目条件（如墙长、边长正负）确定自变量取值范围。定义域是否正确，直接影响“最值”能否取在顶点处。 2. 面积最值套路：这类题通常用 “配方法” 或 “顶点坐标公式” 求最值。注意检查顶点横坐标是否在定义域内。 · 若在，最值即在顶点取到； · 若不在，最值在定义域的端点取到（此时函数单调）。 3. 判别式判断存在性：判断满足某个面积是否存在时，利用 Δ ≥ 0 来判断方程是否有实数根，然后结合定义域检验解的合理性。 题型04 投球问题 16．如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：）与水平距离x（单位：）之间的关系式为：．有下列结论； ①该男生推铅球出手时，铅球的高度为； ②铅球飞行至水平距离4米时，到达最大高度，最大高度为； ③铅球落地时的水平距离为． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的应用，根据题意和题目中的函数解析式，可以分别计算出各个小题中的结论是否正确即可． 【详解】解：将代入， 得， 解得，， ∴这名男生铅球推出的水平距离为， 故③正确，符合题意； ∵， ∴铅球飞行至水平距离4米时，到达最大高度，最大高度为， 故②正确，符合题意； 当时，， 故①错误，不符合题意； 故选：C． 17．如图，在一次足球训练中，某球员从球门（O为原点，高）正前方8m的A处射门，球射向球门的路线可以看作抛物线的一部分，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面的高度为．有下列结论： ①该球经过区域； ②该球飞行的水平距离为时的高度大于飞行的水平距离为时的高度； ③C为球门的高上一点，．若该球员先从A处带球向他的正后方（图中x轴的正方向）移动后再射门，且球射向球门的路线形状、球的最大高度均保持不变，则球经过区域． 其中，正确结论的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】因为已知抛物线的顶点坐标和抛物线上一点坐标，所以可先设抛物线的顶点式，代入点的坐标求出抛物线的解析式，这是解题的突破口．对于结论①，因为要判断球是否经过区域，所以将代入抛物线解析式，求出对应的y值，再与的长度比较．对于结论②，因为要比较水平距离和时的高度，求出对应的y值并比较大小．对于结论③，因为球员向正后方移动2m，抛物线形状和最大高度不变，所以先确定新抛物线的顶点坐标，设出新的顶点式，代入新的射门点坐标求出解析式，再将代入求出y值，与、的长度比较． 【详解】根据题意，抛物线顶点坐标为，设抛物线顶点式：，代入得： ，解得， ∴原抛物线解析式为：； 判断①： 是处的线段，代入得： ，∴球与轴交点在点上方，不经过区域，①错误． 判断②： 飞行水平距离对应横坐标，抛物线开口向下，对称轴为，水平距离对应时，水平距离对应时，，因此高度在时小于时，结论②错误． 判断③： 球员向正方向移动后，新点坐标为，抛物线形状不变（不变）、最大高度不变，新顶点坐标为，新抛物线解析式为：． 代入得：． 是处的区域，，因此球经过区域，③正确． 综上，正确结论为③，共1个． 18．在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球出手时离地面的高度为，实心球飞行高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系式为，得出以下结论： ①此次训练实心球从出手到落地时的水平距离为8m； ②此次训练存在两个不同的时间点，实心球离地面的高度均为2.1m； ③此次训练实心球离地面最大高为2.25m． 其中正确结论的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的实际应用，分别求出时的的值，时的的值以及二次函数的最值，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴当时，，解得：或（舍去）； ∴此次训练实心球从出手到落地时的水平距离为8m；故①正确； 当时，，解得：或； ∴此次训练存在两个不同的时间点，实心球离地面的高度均为2.1m；故②正确； ∵， ∴当时，有最大值为：；故③错误； 故选B． 19．一个小球从地面上一点处以一定的方向弹出，落在斜坡上的点处，小球的飞行路线可以用二次函数表示，斜坡所在直线可以用表示，它们的图象如图所示，当小球飞行的水平距离为时，其飞行高度达到最大值（不考虑空气阻力等因素）． 有下列结论： ①，； ②小球在斜坡上的降落点距地面的高度为； ③若小球飞行高度与飞行时间满足关系式，则． 其中，正确结论的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键； ①根据对称轴可得，当时，则，联立求解即可； ②联立，即可求解； ③将式子整理成，可得，即可求解； 【详解】解：①当小球飞行的水平距离为时，其飞行高度达到最大值， ； 因为对称轴为； 则； ， 解得：， 则； ②联立， 解得：； 小球在斜坡上的降落点距地面的高度为，不满足题意； ③若小球飞行高度与飞行时间满足关系式， ， 则， 则或（舍去）； 综上所述，正确的有①③，有两个； 故选：C 20．如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系：．有下列结论： ①小球飞行中的高度可以是； ②小球飞行1s时的高度小于飞行2.5s时的高度； ③当时，小球的飞行高度不低于． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用．化为顶点式，利用二次函数的性质可判断①错误，分别求出和时，h的值即可判断②正确，分别求出和时，h的值即可判断③正确，由此即可得． 【详解】解：， 则小球飞行的最大高度为，结论①错误； 当时，， 当时，， ， 小球飞行1s时的高度小于飞行2.5s时的高度，结论②正确； 当时，， 当时，， 当时，小球的飞行高度不低于，结论③正确． 综上，正确结论的个数是2个， 故选：C． 求最大高度/最远距离：最大高度是抛物线顶点的纵坐标； 判断能否投进篮筐：将篮筐的 x 坐标代入解析式，算出球的飞行高度 y。求出手角度/力度，这类题需要设含参数 a 的顶点式 y=a(x-h)²+k，再代入另一个已知点求 a。求球能否过人的防守：把人看作一个点（或一段区间），将人的水平位置 x 代入，算出该处球的飞行高度 y。若 y 高于人举起手的高度，则能越过。 1．如图，正方形的边长为，点在边上，，点在边上，．将正方形截去一个角后得到一个五边形，点在线段上运动（点可与点，点重合），作矩形，其中，分别在边，上．有下列结论： ①当时，； ②矩形面积的最大值为； ③有两个不同的值满足矩形的面积为． 其中，正确结论的个数有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作，根据锐角三角函数的定义可以求出，，从而可知；设，把矩形的面积用含的代数式表示出来，根据二次函数的性质求出矩形面积最大值；当矩形面积为时，可以得到关于的一元二次方程，解方程求出的值即可． 【详解】解：如下图所示，过点作， ，， ， ， 正方形的边长为， ， ， ， 四边形是正方形， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， 故结论①正确； 设，由①可知， 则，， 矩形的面积为， 整理得：， ，且， 当时，矩形面积有最大值，最大值为， 故结论②正确； 当矩形面积为时， 可得：， 解得：，(舍去)， 只有一个值满足矩形的面积为， 故结论③错误． 综上所述，结论正确的个数有2个． 2．如图，在中，，，，点从点出发沿以的速度向移动，点从点出发沿以的速度向移动，如果，分别从，同时出发，其中一点到达终点，另一点也随之停止运动，运动后，的面积等于，有下列结论： ①与之间的函数解析式为； ②当为时，的面积等于； ③的面积可以等于．其中，正确的结论有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】①先用含的式子表示出、，再根据直角三角形面积公式列出面积函数，最后根据动点运动时间确定自变量的取值范围；②令，列出一元二次方程并求解，再把两个解与时间范围对比，舍去超出范围的根；③令，列出一元二次方程并求解，检验解是否在运动时间范围内，存在有效解即说明面积能等于． 【详解】解：根据题意可知，，，点到达需要，点到达需要， 则，①错误； 令，则， 解得，， ，不合题意，舍去， 故当为时，的面积等于，②错误； 令，则， 解得，（不合题意，舍去）， 故当，的面积等于，③正确． 综上，正确的说法有1个． 3．四边形中，，，，，．动点M从点C出发，以的速度沿边运动，过点M作边的垂线交四边形的边于点N；同时动点P从点B出发，以的速度沿边，边运动．规定点N与P相遇时，停止运动．连接，．设运动的时间为．当时，点M，N，P的位置如图所示．有下列结论： ①时，； ②当时，的面积为； ③当时，的最大面积为． 其中正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】对于结论①根据已知条件分别计算时和的长度，然后比较两者是否相等；对于结论②当时，分别确定点M、N、P的位置，进而求出的底和高，最后根据三角形面积公式计算其面积；对于结论③分情况讨论，得到面积关于的二次函数，利用二次函数的性质求解即可。 【详解】解：已知动点M从点C出发，速度为， 当时，； 动点P从点B出发，速度为， 当时，， ∵， ∴， ∴，结论①正确； 作于点，则四边形是矩形， ∵，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 当时，，，； ，此时点P在上，且； 过点P作于点H， 则， ∴， ∴，结论②正确； 当， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； 当， 同理，， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； 综上，当时，的最大面积为，结论③错误． 综上，正确结论的个数是2个． 4．要修建一个圆形喷水池，需要先在池中心竖直安装一根水管，并在水管顶端处安一个喷水头，喷出抛物线形水柱．若喷出水柱的高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的关系是，有下列结论： 水柱落地处距池中心的距离为； 水管的长度为； 水柱到达最高点时的高度为． 其中，正确的结论是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二次函数顶点式的性质，分别计算三个结论判断正误，落地对应，长度对应时的值，最高点高度是抛物线顶点的纵坐标． 【详解】解：∵水柱落地时高度，代入得， 解得 ，（距离为正，舍去负根） ∴水柱落地处距点距离为， ∴正确； ∵是池中心，长度对应 ， 代入得， ∴长度为， ∴正确； ∵，抛物线开口向下，顶点为， ∴水柱最高点高度为， ∴③正确． 5．如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线（a为常数，）运动，其中x（单位：m）是铅球离初始位置的水平距离，y（单位：m）是铅球离地面的高度．若铅球在抛出时离地面的高度为，有下列结论： ①铅球运动的高度可以是； ②铅球掷出的水平距离为； ③当铅球离地面的高度为时，它离初始位置的水平距离为． 其中，正确结论的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】先将点代入，并求出关系式，再根据最高点判断①；然后将代入关系式，求出解判断②；接下来将代入关系式，求出解判断③即可． 【详解】解：∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴抛物线的关系式为， 当时，， ∴铅球运动的高度可以是； 当时，， 解得， ∴铅球掷出的水平距离为； 当时，， 解得， ∴它离初始位置的水平距离是或． 所以正确的有①②共2个． 6．如图，在矩形中，，．点P从点A出发，沿运动，速度为每秒2个单位长度；点Q从点A出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度，P，Q两点同时出发，当点Q运动到点B时，两点同时停止运动，设点Q的运动时间为t（秒）．连接，，． （1）当时，t的值为8 （2）当时，面积最大且最大面积为16 （3）t有三个不同的值，满足面积为9 其中，正确结论的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，二次函数的性质，一元二次方程的几何动点问题，三角形的面积等知识，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）分当点P在上时和当点P在上时两种情况求解即可；（2）分三种情况讨论：点P在上时，时，时，再逐个情况作图，结合动点的速度和方向求得面积，利用二次函数和一次函数的性质即可作答；（3）当的面积为9时，由（2）三种情况列方程求解可得出结果，进而可得答案． 【详解】解：（1）当时，有两种情况： 当点P在上时，点P所走路程为，则（秒）； 当点P在上时，点P所走路程为，则（秒）， 则当时，t的值为4或8，故原结论错误； （2）①当点P在上时，，如图所示： 则，，， ， ∵， ∴当时，面积最大且最大面积为16； ②点P在时，，如图所示： 同理得， 则， ∴； ③点P在时，，如图所示： 同理得， ， ∴， 综上所述，当时，面积最大且最大面积为16，故原结论正确； （3）当时，由得：，（舍去）； 当时，由得：； 当时，由得（舍去） 综上所述，当的面积为9时，则或，故原结论错误． 综上，正确的结论有1个， 故选：B． 7．有一台乒乓球桌和自动发球机如图1所示，其侧面示意图如图2，发球机出口P到球桌的距离现以点M为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，表示球与点M之间的水平距离，表示球到桌面的高度，在“直发式”和“间发式”两种模式下，球的运动轨迹均近似为抛物线，“直发式”模式下，球从P处发出，落到桌面A处，其解析式为，“间发式”模式下，球从P处发出，先落在桌面B处，再从B处弹起落到桌面C处．两种模式皆在同一高度发球，段抛物线可以看作是由段抛物线向左平移得到，则点A，B之间的距离是（      ） A．20 B．10 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，掌握二次函数的对称性质，二次函数的平移，是解题的关键． 由题意可得，抛物线的对称轴为直线，得到点关于直线对称的点为，从而即可解答； 【详解】解：， ， 抛物线的对称轴为直线， 点关于直线对称的点为 ， 点A，B之间的距离为， 故选：A 8．某服装店试销一种成本为每件50元的服装，规定试销期间每件服装的销售单价不低于成本，且获得的利润不得高于成本的．经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数关系．有下列结论： ①销售单价可以是60元； ②该服装店销售这种服装可获得的最大利润为1250元； ③销售单价有两个不同的值满足该服装店销售这种服装获得的利润为900元． 其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，根据试销期间每件服装的销售单价不低于成本，且获得的利润不得高于成本的列出不等式组求出x的取值范围即可判断①；设该服装店销售这种服装可获得的利润为W元，根据总利润等于每件服装的利润乘以销售量列出W关于x的函数关系式，利用二次函数的性质可判断②和③． 【详解】解：∵试销期间每件服装的销售单价不低于成本，且获得的利润不得高于成本的， ∴， ∴， ∴销售单价可以是60元，故①结论正确； 设该服装店销售这种服装可获得的利润为W元， 则 ， ∵，且对称轴为直线 ∴当时，W随x的增大而增大， 又∵， ∴当时，W有最大值，最大值为， ∴该服装店销售这种服装可获得的最大利润为1050元，故②结论错误； 由②可知，当时，W随x的增大而增大， 当时，， ∴当时，， ∴当成立时，有且只有一个x的值满足题意，故③结论错误； ∴正确的只有①， 故选：B． 9．小明很喜欢玩纸飞机，他发现纸飞机的飞行一般会经历上抛、下降、滑行三个阶段．如图所示，以地平线为轴，起抛点所在的铅垂线为轴，建立平面直角坐标系，上抛和下降的飞行路径可看作是抛物线的一部分，滑行的飞行路径可看作是直线的一部分，且当纸飞机飞行的水平距离为时进入滑行阶段．有下列结论： ①当时，纸飞机进入滑行阶段时的高度为； ②当纸飞机的落地点与起抛点的水平距离为时，的值为； ③当时，小明的前方有一堵高的围栏，若纸飞机可以顺利飞过围栏，则小明距离围栏的水平距离最少为，最多为． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据进入滑行阶段的函数解析式与，，可求得此时的函数值，以此可判断①； 当纸飞机的落地点与起抛点的水平距离为时，此时纸飞机已在滑行阶段，由此可求得的值，从而可判断②； 先求出直线的解析式，再根据小明的前方有一堵高的围栏，求出抛物线的解析式中的范围，再当时，求出一次函数的值，再求出当时，的范围，两个范围合并即可得出小明距离围栏的水平距离最少与最多的值，由此可判断③． 【详解】解：因为当纸飞机飞行的水平距离为时进入滑行阶段，滑行的飞行路径可看作是直线的一部分， 所以当，时，， 故①正确； 落地点在，此时纸飞机已在滑行阶段， 所以落地点在直线上，且此时， 所以， 所以， 又因为在处，抛物线与直线高度相等， 所以， 所以， 故②正确； 当时，，， 当时，， 解得：， 所以直线的解析式为，， 当时，， 解得：，， 所以当时，， 又，， 所以， 当时，， 解得：， 所以当时，， 又，， 所以， 所以当时，飞机高度，可以飞过， 所以小明距离围栏的水平距离最少距离为，最多为， 故③正确， 综上所述，三个结论都正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了由直线与坐标轴的交点求不等式的解集，其他问题(一次函数的实际应用)，待定系数法求二次函数解析式，根据交点确定不等式的解集，投球问题(实际问题与二次函数)等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 10．四边形中，，，，，．动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点，的位置如图所示，有下列结论：当时，；当时，的最大面积为；有两个不同的值满足的面积为．其中，正确结论是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，一元二次方程的应用．当时，点M在上，求出，可判断①；当时，点M在上，利用三角形面积公式求出的面积，利用二次函数的性质，可判断②；分两种情况：当点M在上时，点M在上时，结合的面积为，列出方程，可判断③． 【详解】解：根据题意得：点M在上的运动时间为，点M在上的运动时间为，点N在上的运动时间为， ①当时，点M在上， 此时，， ∴， ∴，故①正确； ②当时，点M在上， 此时，， ∴， ∴， ∵， ∴当时，随t的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值为， 即当时，的最大面积为，故②正确； ③当点M在上时，，此时，， ∵的面积为， ∴， 解得：（舍去）， ∴当时，的面积为； 当点M在上时， ， ∵，， ∴，即， 此时， 解得：， ∴当时，的面积为； ∴有两个不同的值满足的面积为，故③正确． 故选：D． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题03选择压轴题 (二次函数相关实际问题综合) 目录 模块一、解题方法总述 模块二、压轴龈题型专练 题型01动点几何问题 题型02销售问题 题型03几何图形面积相关 题型04投球问题 模块三、综合实战演练 解题方法总述 模块一 一、动点几何问题的解题方法： 1.读图找量：先看清图中哪些线段长度、角度是已知的固定的，哪些是变量。 2.分段画图：根据动点运动路径，把时间或路程分成几段，每一段单独画一张图。 3.建立方程：利用勾股定理、相比或面积公式，把要求的量表示出来。 4,验证取舍：解出值后，一定要代回原题检查是否符合该段的取值范围（例如求得的时间是否在这一段时 间内)。 二、销售问题的解题方法： 第1步：找基准，设变量先找出“初始状态”的单价和销量。然后设涨价或降价的金额为自变量×。 第2步：表达“现价”与“现量”用×表示出变化后的价格和销售量。 三、几何图形面积相关的解题方法： 1.代入验证法。 2列一元二次方程求解。 3利用二次函数顶点公式求最值。 四、投球问题的解题方法： 1.建立坐标系：通常以出手点正下方或落地点为原点，水平方向为×轴，竖直方向为y轴。 2.明确关键点坐标：找出出手点、最高点、篮筐/落地点的坐标。 3.求解析式：根据已知点，用顶点式或一般式求出抛物线表达式。 1/13 命学科网 www zxxk .com 让教与学更高效 4.代入验证：将目标点的×坐标代入，判断y值是否符合要求（如能否得分、能否过网等）。 压轴题型专练 模块二 题型01动点几何问题 1.四边形ABCD中，AD∥BC,∠B=90°，AB=5cm,AD=7cm,BC=10cm.动点M从点B出发， 以2cm/s的速度沿边BA,边AD向终点D运动；动点N从点C同时出发，以1cm/s的速度沿边CB向终点B 运动.规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动.设运动的时间为s,当1=2s时，点M ,N的位置如图所示.有下列结论：①当1=4s时，BN=DM;②当1≤t≤2.5时，△BMN的最大面积为 25cm;③当t为2s和3.6s时，满足aBMW的面积为16cm2.其中，正确结论的个数是() D A M A.3 B.2 C.1 D.0 2.如图，在ABC中，∠ABC=45°，AB=32cm,AC=5cm,动点P从点B出发，以1cm/s的速度沿BC 边向终点C匀速运动，运动到终点停止运动，当点P出发后，以BP为边做正方形BPDE,使点D,A始终 在BC边同侧，设点P运动时间为s1>O),正方形BPDE与ABC重叠部分图形的面积为ycm.有下列结 论： B ①BC长为7cm; @当3<17时，y关于1的函数关系式为=意！-7+引。 ③当正方形PDEB的对称中心与点A重合时，y=10 其中，正确结论的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 3.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠A=90°，AB=4cm,AD=8cm,BC=10cm·点P从点D出 发，以1cm/s的速度向点A运动；同时点Q从点A出发，以2cmIs的速度沿边AB、边BC向终点C运动.规 定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.设运动时间为s.当1=1s时，点P、Q的位置 2/13 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 如图所示. 有下列结论：①当1=14时，CD=P0:②当0≤1≤2时，△APQ的最大面积为16cm:③r有两 3 个不同的值满足△APQ的面积为10cm,其中正确结论的个数是() C A.0 B.1 C.2 D.3 4.在ABC中，AB=AC=6cm,∠B=30°.动点M从点B出发，以2cm/s的速度沿边BA、边AC向终 点C运动；动点N同时从点B出发，以1cm/s的速度沿边BC向终点C运动.规定其中一个动点到达终点 时，另一个动点也随之停止运动.设运动的时间为s.当t=2s时，点M,N的位置如图所示.有下列结论： (1)当t=4s时，BN=CM; (2)△BMN的最大面积为4cm2; (3)1只有-个值满足：8N的面积为。m2。 其中，正确结论的个数是() y M B N A.0 B.1 C.2 D.3 5.平行四边形ABCD中，∠A=60°，AB=6,AD=4.动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿 边AB、边BC向终点C运动；动点Q从点C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿边CD向终点D运动.规 定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动.设运动的时间为t秒.当t=1时，点P,Q的位 置如图所示 有下列结论： ①当t=2时，P0=4: ②当0≤t≤4时，△APQ的最大面积为6√5： ③存在两个t的值，使得△APQ的面积为55. 其中，正确结论的个数是() D A A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 3/13 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 ●)类题点拨 1.快速建立函数模型·面积最值：通常会转化成二次函数求顶点。利用“铅垂高×水平宽”的一半等面积 公式，把面积表达成自变量的二次式。·线段和最值：动点在线段上运动时，若求“两条折线段”之和最 小，通常用“将军饮马”模型，作一个定点关于直线的对称点，再连接另一个定点。2.双动点问题技巧· 化双为单：当两个点同时运动时，用含时间t的式子表示每个点的位置，将两个动点的运动转化为单变量函 数。 · 相对运动：若两个点速度不同，可想象一个点静止，仅分析另一个点的相对速度。 题型02销售问题 6.某商店销售一种进价为40元/千克的海鲜产品，据调查发现，月销售量y(千克)与售价x(元/千克) 之间满足一次函数关系，部分信息如下表： 售价x(元/千克) 50 60 70 80 销售量y(千克) 250 240 230 220 ①y与x之间的函数关系式为y=-x+300; ②当售价为72元时，月销售利润为7296元： ③当每月购进这种海鲜的总进价不超过5000元时，最大利润可达到16900元； ④销售这种海鲜产品，每月最高可获得利润16900元： 其中正确结论的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 7.某商家销售一种成本为40元的商品，当售价定为50元/件时，每天可销售500件，根据经验，售价每涨 价1元，每天销量将减少10件，且单件该商品的利润率不能超过65%·有下列结论： ①每天的销量y(件)与当天的销售单价x(元/件)满足的函数关系式（不用写出自变量的取值范围）是 y=-10x+1000; ②当定价为70元时，该商品的利润达到最大，最大利润为9000元； ③当该商品的利润为6750元时，定价可以为55元或85元 其中，正确的结论的个数是(） A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 8.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每 星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，有下列结论： 4/13 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 ①若该商品每件降价x元，则预测每星期可卖出(300+20x)件； ②若该商品每件售价为61元，则预测售卖该商品每星期可得利润6090元： ③综合涨价与降价两种情况及现在的销售状况可知，当每件售价65元时，售卖该商品每星期获利最大 其中，正确结论的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 9.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每 星期要少卖出10件，己知商品的进价为每件40元.有下列结论： ①当定价为70元时，每星期的利润为6000元； ②当定价为65元时，每星期的利润达到最大，最大利润为6250元： ③当每星期的利润为6160元时，定价可以为62元或68元. 其中，正确的结论的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 10.某服装店试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间每件服装的销售单价不低于成本，且获得的 利润不得高于成本的45%·经试销发现，销售量y(件)与销售单价x(元)符合一次函数关系y=-x+120 有下列结论： ①销售单价可以是90元； ②该服装店销售这种服装可获得的最大利润为891元； ③销售单价有两个不同的值满足该服装店销售这种服装获得的利润为500元， 其中，正确结论的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 ●)类题点拨 1.统一单位，理清系数·如果条件是"每涨价2元，少卖10件”，那么每涨价1元，少卖5件。这是最 容易错的地方，一定要先求出单价变动对应的销量变化。 2.注意“取值范围”·售价不能低于进价，否侧会亏本。·销量不能为负。例如，少卖后件数ge0,这 决定了×的最大值。·题目隐含条件，如“月销量不超过x件”或“尽量减小库存”等，会用来筛选答 案。 3."每件降价”s“每件涨价”·如果题目说“尽快减少库存”，通常要选择降价，并且要取降价最多的 那个解。·如果题目说”保持品牌形象”，通常要选择涨价，并且取涨价较少或售价较高的解。 5/13 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 题型03几何图形面积相关 11.如图，要用篱笆围成一个矩形菜园ABCD,其中一边AD是墙，且AD的长不超过36m,E,F分别为 边AD,CD上的一点，EF与AB平行，在EF,FC上各留出一个1m宽的小门.若图中虚线部分使用篱笆， 且使用篱笆的长度是58m,有下列结论： ①AB的长可以是8m; ②当矩形菜园ABCD的面积为252m时，AB的长为6m或14m; ③若规定AB≥12m,则矩形菜园ABCD的最大面积是288m2. A E D ●1m B --00---C 其中，正确结论的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 12.如图，要围一个矩形菜园ABCD,其中一边AD是墙，且AD的长不能超过26m,其余的三边AB, BC,CD用篱笆，且这三边的和为40m,有下列结论：①AB的长可以为9m;②AB的长有两个不同的值 满足菜园ABCD面积为168m;③菜园ABCD面积不能为220m2.其中正确的是()个 LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL A D 菜园 B A.1 B.2 C.3 D.4 13.如图，用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m.设矩形菜园的边AB的长为 xm,面积为Sm2,其中AD≥AB. 18米 墙 菜园 有下列结论： ①x的取值范围为5≤x≤10； ②AB的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为100m; ③矩形案日418CD的面积的及大值为2空。 其中，正确结论的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 14.如图，某劳动小组借助一个直角墙角围成一个矩形劳动基地ABCD,墙角两边DC和DA足够长，用总 6/13 扇学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 长28m的篱笆围成另外两边AB和BC.有下列结论： B P. D ①当AB的长是10m时，劳动基地ABCD的面积是180m; ②AB的长有两个不同的值满足劳动基地ABCD的面积为192m; ③点P处有一棵树（树的粗细忽略不计），它到墙DC的距离是12m,到墙DA的距离是8m,如果这棵树需 在劳动基地内部（包括边界），那么劳动基地面积的最大值是196m2,最小值是160m2. 其中，正确结论的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 15.如图，有一块矩形空地ABCD，,学校规划在其中间的一块四边形空地EFGH上种花，其余的四块三角 形空地上铺设草坪，其中点E,F,G,H分别在边AD,AB,BC,CD上，且AE=AF=CG=CH.已 知AD=20m,AB=40m.有下列结论： B ①铺设草坪的面积可以是360m; ②种花的面积的最大值为450； ③4F的长有两个不同的值满足种花的面积为432m. 其中，正确结论的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 ●)类题点拨 1.定义域优先：解决二次函数实际问题时，必须先根据题目条件（如墙长、边长正负）确定自变量取值范 围。定义域是否正确，直接影响"最值”能否取在顶点处。2.面积最值套路：这类题通常用“配方法”或 “顶点坐标公式”求最值。注意检查顶点横坐标是否在定义域内。·若在，最值即在顶点取到；·若不 在，最值在定义域的端点取到（此时函数单调）。3.判别式判断存在性：判断满足某个面积是否存在时， 利用△≥0来判断方程是否有实数根，然后结合定义域检验解的合理性。 7/13 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 题型04投球问题 16.如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的关系式为： ,。x+三x+二.有下列结论： 3 ①该男生推铅球出手时，铅球的高度为1.6m; ②铅球飞行至水平距离4米时，到达最大高度，最大高度为3m; ③铅球落地时的水平距离为10m. 其中，正确结论的个数是() Ay/m x/m A.0 B.1 C.2 D.3 17.如图，在一次足球训练中，某球员从球门(O为原点，高0B=2.44m)正前方8m的A处射门，球射 向球门的路线可以看作抛物线的一部分，当球飞行的水平距离为6时，球达到最高点，此时球离地面的高 度为3m.有下列结论： y(m) B ● A x(m) 8 ①该球经过区域OB; ②该球飞行的水平距离为4m时的高度大于飞行的水平距离为7m时的高度； ③C为球门的高OB上一点，OC=1.5m,若该球员先从A处带球向他的正后方（图中x轴的正方向）移动 2m后再射门，且球射向球门的路线形状、球的最大高度均保持不变，则球经过区域BC. 其中，正确结论的个数为() A.0 B.1 C.2 D.3 18.在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球出手时离地面的高度 为m,实心球飞行高度y(单位：m)》与水平距离x(单位：m)之间的关系式为 x+x+0≤x≤8，得出以下结论： 10 5 ①此次训练实心球从出手到落地时的水平距离为8； ②此次训练存在两个不同的时间点，实心球离地面的高度均为2.1m; 8/13 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 ③此次训练实心球离地面最大高为2.25m. 其中正确结论的个数是() A.3 B.2 C.1 D.0 19.一个小球从地面上一点O处以一定的方向弹出，落在斜坡0M上的点A处，小球的飞行路线可以用二次 函数y=ax2+bx(a<0)表示，斜坡所在直线可以用y=一x(x≥0)表示，它们的图象如图所示，当小球飞行的 水平距离x为2m时，其飞行高度y达到最大值5m(不考虑空气阻力等因素)· 有下列结论： ①a=- 46=5: ②小球在斜坡上的降落点A距地面的高度为3.6m; ③若小球飞行高度y(m)与飞行时间t(S)满足关系式y=-52+vt,则v=10. 其中，正确结论的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 20.如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线.若不 考虑空气阻力，小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系： h=-512+201(0≤1≤4).有下列结论： ①小球飞行中的高度可以是21m; ②小球飞行1s时的高度小于飞行2.5s时的高度； ③当1.5≤t≤3时，小球的飞行高度不低于15m. 其中，正确结论的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 ●)类题点拨 9/13 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 求最大高度/最远距离：最大高度是抛物线顶点的纵坐标；判断能否投进篮筐：将篮筐的×坐标代入解 析式，算出球的飞行高度y。求出手角度/力度，这类题需要设含参数a的顶点式y=a(x-h)2+k,再代入 另一个已知点求。求球能否过人的防守：把人看作一个点（或一段区间），将人的水平位置×代入，算 出该处球的飞行高度y。若y高于人举起手的高度，则能越过。 综合实战演练 模块三 1.如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AB上，BE=1,点F在边BC上，an∠BFE=.将正方形 截去一个角后得到一个五边形AEFCD,点P在线段EF上运动（点P可与点E,点F重合），作矩形 PMDN,其中M,N分别在边CD,AD上.有下列结论： B @当CM-,Mn=, ②矩形PMDN面积的最大值为12； ③CM有两个不同的值满足矩形PMDN的面积为10. 其中，正确结论的个数有() A.0 B.1 C.2 D.3 2.如图，在ABC中，∠B=90°，AB=5cm,BC=7cm,点P从A点出发沿AB以1cm/s的速度向B移动， 点Q从B点出发沿BC以3cm/s的速度向C移动，如果P,Q分别从A,B同时出发，其中一点到达终点， 另一点也随之停止运动，运动s后，△PBQ的面积等于S,有下列结论： ①s与之间数折式为9=子+片0s1引】 ②当t为5+万，时，△PBQ的面积等于30m: 2 ③△PBQ的面积可以等于6cm.其中，正确的结论有() 10/13 扇学科网 www zxxk com 让教与学更高效 个 B A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 3.四边形ABCD中，AD∥BC,∠B=90°，AB=4cm,AD=5cm,BC=8cm·动点M从点C出发，以 lcm/s的速度沿边CB运动，过点M作边BC的垂线交四边形的边于点N;同时动点P从点B出发，以 3cms的速度沿边BA,边AD运动.规定点N与P相遇时，停止运动.连接PM,PN,设运动的时间为 s.当t=1s时，点M,N,P的位置如图所示.有下列结论： ①t=ls时，MC=AP; 16 ②当t=2s时，aPMN的面积为3cm, ③当1<t<2时，aPMN的最大面积为5cm2. 其中正确结论的个数是() D A.0 B.1 C.2 D.3 4.要修建一个圆形喷水池，需要先在池中心竖直安装一根水管OA,并在水管顶端A处安一个喷水头，喷 出抛物线形水柱.若喷出水柱的高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的关系是 =x+3,有下列结论： ①水柱落地处距池中心0的距离为3m: ②水管0A的长度为2.25m: ③水柱到达最高点时的高度为3m· 其中，正确的结论是() A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 5.如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线y=a(x-3)+5a+3(a为常数，a≠0)运动，其中x(单位： m)是铅球离初始位置的水平距离，y(单位：m)是铅球离地面的高度.若铅球在抛出时离地面的高度OA 为1.6m,有下列结论： 11/13 厨学科网 www zxxk com 让教与学更高效 B主 ①铅球运动的高度可以是2.4m; ②铅球掷出的水平距离OB为8m; ③当铅球离地面的高度为2.1m时，它离初始位置的水平距离为5m. 其中，正确结论的个数为() A.0 B.1 C.2 D.3 6.如图，在矩形ABCD中，AB=8,AD=4.点P从点A出发，沿A→D→C→D运动，速度为每秒2 个单位长度；点Q从点A出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度，P,Q两点同时出发，当点Q运动 到点B时，两点同时停止运动，设点Q的运动时间为t(秒)·连接PO,CP,CO (1)当PC=4时，t的值为8 (2)当t=2时，△CPQ面积最大且最大面积为16 (3)t有三个不同的值，满足△CPQ面积为9 其中，正确结论的个数为() A.0 B.1 C.2 D.3 7.有一台乒乓球桌和自动发球机如图1所示，其侧面示意图如图2，发球机出口P到球桌MN的距离 MP=adm现以点M为原点，MN所在直线为x轴建立平面直角坐标系，x(dm)表示球与点M之间的水平 距离，y(dm)表示球到桌面的高度，在“直发式”和“间发式”两种模式下，球的运动轨迹均近似为抛物线，“直 发式”装式下，球从P处发出，落到桌面A处，其解新式为y=0:-10+6,间发式模式下，球从P 处发出，先落在桌面B处，再从B处弹起落到桌面C处.两种模式皆在同一高度发球，PB段抛物线可以看 作是由PA段抛物线向左平移得到，则点A,B之间的距离是(） Ay/dm M B CA N/dm 图1 图2 A.20 B.10 C.10+10N3 D.20W5 12/13 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 8.某服装店试销一种成本为每件50元的服装，规定试销期间每件服装的销售单价不低于成本，且获得的 利润不得高于成本的30%.经试销发现，销售量y(件)与销售单价x(元)符合一次函数关系 y=-2x+200.有下列结论： ①销售单价可以是60元： ②该服装店销售这种服装可获得的最大利润为1250元； ③销售单价有两个不同的值满足该服装店销售这种服装获得的利润为900元. 其中，正确结论的个数是（) A.0 B.1 C.2 D.3 9.小明很喜欢玩纸飞机，他发现纸飞机的飞行一般会经历上抛、下降、滑行三个阶段.如图所示，以地平 线为x轴，起抛点所在的铅垂线为y轴，建立平面直角坐标系，上抛和下降的飞行路径可看作是抛物线 x2+x+c的一部分，滑行的飞行路径可看作是直线y=-。x+n的一部分，且当纸飞机飞行的水平距 10 离为8m时进入滑行阶段.有下列结论： Ay/m 起抛点 O 落地点x/m ①当n=7.2时，纸飞机进入滑行阶段时的高度为3.2m; ②当纸飞机的落地点与起抛点的水平距离为15m时，c的值为1.9； ③当c=1.8时，小明的前方有一堵高2.7m的围栏，若纸飞机可以顺利飞过围栏，则小明距离围栏的水平距 离最少为1m,最多为9.4m. 其中，正确结论的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 10.四边形ABCD中，AD∥BC,∠B=90°，AB=8cm,AD=10cm,BC=16cm.动点M从点B出发， 以2cm/s的速度沿边BA、边AD向终点D运动；动点N从点C同时出发，以1cm/s的速度沿边CB向终点 B运动.规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动.设运动的时间为s,当1=2s时，点 M,N的位置如图所示，有下列结论：①当t=6s时，CN=DM;②当1≤1≤2时，△BMN的最大面积为 28cm2;③有两个不同的值满足aBMN的面积为39cm2.其中，正确结论是() A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 13/13