专题01 二次函数综合题（3大题型，压轴题专项训练）2026年中考数学(天津专用)

**基本信息** 以“模型识别-转化求解-验证反思”为主线，系统构建二次函数最值与存在性问题的解题方法体系，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题方法总述|/|最值分几何（将军饮马等）与代数模型，存在性问题“假设-建方程-验证”三步法|从模型分类到通用步骤，构建问题解决框架| |压轴题型专练|15题（3题型各5题）|最值用“化折为直”“垂线段最短”，存在性含等腰/直角三角形等模型技巧|题型与方法一一对应，覆盖中考高频考法| |综合实战演练|10题|融合翻折、旋转等动态情境，强化多模型综合应用|从单一模型到综合情境，提升问题迁移能力|

专题01 二次函数综合题 目 录 模块一、解题方法总述 模块二、压轴题型专练 题型01 取得最值时求坐标或参数 题型02 求最值 题型03 存在性问题 模块三、综合实战演练 1、 取得最值时求坐标或参数的解题方法： 1. 识别模型：题干中出现“求PA+PB的最小值”或“求|PA-PB|的最大值”等条件。 2. 找对称点：作其中一个定点关于动点所在直线（对称轴）的对称点。 3. 化折为直：连接对称点与另一个定点，连线与直线的交点即为所求动点位置。 4. 列方程求解：利用勾股定理、待定系数法求出交点坐标，或利用相似三角形比例关系求参数。 二、求最值的解题方法： 识别动点轨迹，选择对应模型。下面分四大常见类型梳理其解题核心。 1、 线段和、差最值（“将军饮马”及其变式） 这是在直线上找一点，使到两定点距离之和最小（或差最大）。 所有折线路径，最终都通过轴对称或平移（如造桥选址问题）转化为两点间的直线段。 2、 点到圆上点的距离最值一个动点在圆上，求它到圆外（或内）一定点的距离最值。连接定点与圆心，连线与圆的交点，即为取得最值的点。 3、 二次函数区间最值（“动轴定区间”或“定轴动区间”） 已知含参二次函数在给定自变量范围（区间）内取得最值，反求参数。 核心解法：看对称轴，分情况讨论。 最值点要么在顶点，要么在区间端点。 4、 用垂线段求最值（“胡不归”与“阿氏圆”），核心是构造相似三角形，转化为一条定点到定直线的垂线段。 三、存在性问题的解题方法： 1. 假设存在：先设出动点坐标或参数值。 2. 建立方程：利用题目隐含的几何条件（如平行四边形对边平行且相等、等腰三角形两腰相等、直角三角形勾股定理、相似三角形对应边成比例等）列出方程。 3. 验证取舍：解出方程后，务必检查 ①是否能满足几何条件（如三点不共线）、②是否在题目定义的范围内（如抛物线上的点在坐标轴上）。不满足的直接舍去。 题型01 取得最值时求坐标或参数 1．已知抛物线（是常数）与轴相交于两点（点在点的左侧），对称轴为直线，与轴交于点． (1)求点和点的坐标； (2)点是线段上的一动点，连接，将沿直线翻折，得到，当点恰好落在抛物线的对称轴上时，求点的坐标； (3)动点在直线上方的抛物线上，过点作直线的垂线，分别交直线，线段于点，过点作轴，垂足为，当的值最大时，求点坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数综合问题，利用数形结合的思想是解题的关键． （1）根据抛物线与轴得交点以及对称轴为，求出抛物线解析式，即可求解； （2）如图，设对称轴与相交于点，先求出线段的长度，因为翻折，可以求出线段的长，由三角函数可求出，可得到，由三角函数求的长，所以可以求出点的坐标． （3）设交轴于，设，先求直线的解析式，由，可得，可求出，用含的代数式表示直线，求直线和交点的坐标，用含的代数式表示，通过求顶点坐标求二次函数最大值． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点， ． 对称轴为， ，即， 抛物线的解析式为． 当时，， 解得：． ． （2）解：如图，设对称轴与相交于点， ， ． 由翻折可得． 对称轴为， ． 在中，． ． ． 在Rt中，． ． （3）解：设交轴于， 设所在直线的解析式为， 把坐标代入得：， 解得：， ， ， ， ， 直线与轴所成夹角为，即， 设， 设所在直线的解析式为：， 把点代入得， ， 令，则， 解得：， ， ， 点在直线上方， ， 当时，的最大值为． 将带入解析式，得 点的坐标为． 2．已知二次函数的顶点在轴下方，并且与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴的负半轴交于点，． (1)当，时，求该抛物线顶点的坐标； (2)若，点为线段上一点，当时，求点的坐标； (3)若，过点的直线与以为直径的圆相交于点和点，点在线段上，记的中点为，当的最小值取时，求顶点的坐标． 【答案】(1)顶点的坐标为 (2)点的坐标为 (3)顶点的坐标为 【分析】本题考查了二次函数与圆综合. （1）先求出，，对称轴为，求出抛物线的解析式，即可求出顶点的坐标； （2）得到点的坐标为，的解析式为，可得，得到点的坐标为，根据勾股定理得到，即可求出点的坐标； （3）设点，则点，求出中点的坐标为，连接，利用垂径定理证明，可得点在以为直径的圆上，求出该圆的圆心的坐标为，根据勾股定理得到，连接交于点，可得的最小值，即的最小值，即，求出，设抛物线解析式为，求出，即可得到顶点的坐标. 【详解】（1），， ． 该抛物线的对称轴为． ， 该抛物线的解析式为， 顶点的坐标为． （2），，且抛物线与轴的负半轴交于点，故． 点的坐标为，得的解析式为． ∴点关于对称轴的对称点． 点在上，且点的横坐标为， 点的坐标为． ，解得，． ，舍去． 点的坐标为． （3）， 该抛物线的对称轴为． ， 设点，则点， 点、关于对称轴对称， 中点的坐标为． 连接， 是弦的中点，于． 点在以为直径的圆上，则该圆的圆心的坐标为， ，且半径， 连接交于点，即可得的最小值． ． ，解得． ，，． 设抛物线解析式为，将点代入， 得，． ． 顶点的坐标为． 3．已知抛物线（，，为常数，，）与轴相交于点和点，与轴相交于点，轴上的点的横坐标为，且，为坐标原点． (1)若，，且． ①求抛物线的解析式； ②过点作轴与抛物线相交于点，连接，，，的面积记为，的面积记为，当时，求点的坐标； (2)若点，射线上一点，，当取得最小值为时，求的值． 【答案】(1)①；②点的坐标为 (2) 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、解直角三角形、勾股定理等知识，熟练掌握二次函数的性质是关键． （1）①利用待定系数法求解即可；②求出点，，．可得方程．解得，（舍）．即可得到答案； （2）在右侧作等边，与轴相交于点，连接，．当点，，在同一条直线上时，取得最小值，即．得到．则，，．设抛物线解析式为，把代入，解得． 【详解】（1）解：①， 点的坐标为，抛物线解析式为． ， ． ． 抛物线与轴相交于点， ，解得． 抛物线解析式为． ②抛物线与轴相交于点， 当时，． 点的坐标为． 如图，过点作，与相交于点． ， ．．． ． 点为的中点．设直线的解析式为， ，解得． 直线的解析式为． 点的横坐标为，轴与抛物线相交于点， 点，，．可得方程． 解得，（舍）． 点的坐标为． （2）如图，在右侧作等边，与轴相交于点，连接，． ，． 点，点，点， ，，． 在中，， ． ， ． 又， ． ，．． 是等边三角形． ． ． 当点，，在同一条直线上时，取得最小值，即．． 在中，． ，解得． ，，． 设抛物线解析式为， 把代入，解得． 的值为． 4．已知抛物线（）与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为D． (1)若顶点，求点与点的坐标； (2)当点的横坐标为时，若点为线段的中点，过点的直线与线段交于点，且满足，，求的值； (3)点的横坐标为，点是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点作轴交抛物线于点，作，垂足为点，当的最大值为时，求的值． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为； (2)； (3)， 【分析】（1）已知抛物线顶点坐标，根据抛物线顶点坐标公式列出关于、的方程组，求解得到抛物线解析式．再令，通过解一元二次方程求出与轴交点、的坐标． （2）先根据点横坐标和抛物线与轴交点的坐标，结合抛物线对称轴公式得到点坐标，进而求出中点的坐标．由直线解析式和平行关系得到直线解析式，求出点坐标．利用得到与面积相等，根据面积公式列出关于的方程求解． （3）根据点横坐标得到抛物线解析式和对称轴，由得出．作辅助线轴，用含和点横坐标的式子表示出和，进而得到关于的表达式，根据二次函数性质，由最大值列出关于的方程求解． 【详解】（1）解：∵顶点， ∴， 解得，， ∴抛物线解析式为，令， 解得，， ∴点的坐标为，点的坐标为； （2）解：∵抛物线 ∴点的坐标为， ∵点的横坐标为， ∴， ∴点的坐标为， ∵点为线段的中点， ∴点的坐标为， 由直线的解析式为，可得直线的解析式为， 进而得点的坐标为， ∵， ∴， 解得； （3）解：∵点的横坐标为， ∴， ∴抛物线解析式为， ∴对称轴， ∵点的坐标为， ∴， ∴， 过点作轴交直线于点，设点的坐标为， 则点的坐标为， 则，， ， ∴当时，由的最大值为，解得，． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，包括顶点坐标公式、对称轴公式，以及二次函数与一元二次方程的关系（求与轴交点）．还涉及到一次函数解析式的求解（根据平行关系等）、三角形面积公式的应用，以及利用二次函数性质求最值．解题的关键在于熟练运用这些公式和性质，通过建立方程求解未知参数的值；在几何问题中，要善于利用图形的性质（如等腰直角三角形的角度关系）进行线段和面积的转化与计算． 5．已知抛物线（，，为常数，）的顶点为，与轴交于，两点，与轴交于点，且，对称轴与轴交于点，点，为坐标原点． (1)当时， ①求点和点的坐标； ②若直线（为常数，）与抛物线交于点，过点作直线的垂线，垂足为，当取最大值时，求的值； (2)若点在线段上，点在线段上，且，当取最小值时，求的值． 【答案】(1)①， ② (2) 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、点到直线的距离，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）①利用点的坐标确定抛物线解析式，即可求解； ②将的长度转化为点到直线的距离，通过求二次函数的最大值确定的值； （2）通过几何变换将折线最短路径问题转化为直线距离，结合勾股定理求解． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， 解得：， 将代入抛物线方程：， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 顶点横坐标为，此时， ∴， 当时，， 解得：或， ∴， ∴，； ②如图： 过点作直线，由题意知，当直线与抛物线相切时，的值最大， 设直线的解析式为：， 则有，解得， ∴直线：， ∴可设直线的解析式为：， 联立，整理得， ∴， 解得：， 代入方程得， 解得：， ∴的横坐标为， 即； （2）如图： 由题意知，抛物线解析式为：， ∵， ∴有，解得：， ∴抛物线解析式为：， ∴，，，， 过点作，且， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴， ∵， ∴， 当、、三点共线时，最小，最小值为的长， ∵，， ∴ ， 当时， 解得：或， ∵， ∴． 1模型是根本：看到“最值”先定位是几何模型还是代数模型，方法是不一样的。 2计算要扎实：涉及含参运算和方程求解，计算能力是保证。 3一定要画图：无论哪种类型，作图都能帮助你直观理解动点轨迹和位置关系，避免代数推导上的遗漏。 4检查要严谨：解出的参数值，务必放回原题检查最值条件和取值范围。 题型02求最值 6．已知抛物线与轴交于点和点，且过点． (1)求该抛物线的解析式及其对称轴； (2)连接，若抛物线上有一点满足，求点的坐标； (3)若点是轴上一点，过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为，连接，，当取最小值时，求点的坐标及这个最小值． 【答案】(1)， (2)(-5,12) (3)， 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）设P点坐标为：(n,)，在直角△ACP中，根据勾股定理有：，根据A、C、P三点的坐标求出、、，即可得到关于n的方程，充分利用完全平方公式化简，即可求出n的值，则P点坐标可求； （3）在线段AD上取一点E，使得ED=OB，连接EM，证得Rt△MDE≌Rt△QOB，即有BQ=ME，则MC+MQ+BQ=MC+1+ME，可知当M、C、E三点共线时，MC+MQ+BQ的值最小，则根据勾股定理即可求出MC的长度求出该最小值，利用待定系数法求出直线EC的解析式，求出其与抛物线对称轴的交点坐标即可得M坐标． 【详解】（1）∵将A(-3,0)、C(2,5)代入到， 得，解得：， ∴抛物线的解析式为：， ∴对称轴， 即对称轴为； （2）设P点坐标为：(n,)， ∵∠ACP=90°， ∴△ACP是直角三角形， ∴根据勾股定理有：， 根据A(-3,0)、C(2,5)、(n,)， 则有， ，， 根据， 可得：， 充分利用平方差公式，化简得：， 则有n=-5或者2， 当n=2时，p点与C点重合，不符合题意舍去， ∴n=-5，此时， 即P点坐标为(-5,12)； （3）∵令y=0，可得，， 解此方程即可得到抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为：(1,0)， 则有OB=1， 设对称轴与x轴交于D点，则有MD⊥AB，则D点坐标为(-1,0)，即DO=1， 如图，在线段AD上取一点E，使得ED=OB，连接EM， 则有ED=OB=1，EO=ED+OD=2，即E点坐标为(-2,0)， ∵MQ⊥MD， ∴可知四边形MQDO是矩形， ∴MD=QO，MQ=DO=1， ∵∠MDE=∠QOB=90°，DE=OB， ∴Rt△MDE≌Rt△QOB， ∴BQ=ME， ∴MC+MQ+BQ=MC+1+ME， ∴当M、C、E三点共线时，MC+MQ+BQ的值最小， 如下图，M、C、E三点共线， 则有ME+1+MC=1+EC， ∵E(-2,0)、C(2,5)， ∴， 则MC+MQ+BQ的最小值为：+1， 根据E(-2,0)、C(2,5)，设直线EC的解析式为， 则有：，解得， 即EC的解析式为， 当x=-1时，y=，即M点坐标为：(-1,) 即M点的坐标为：(-1,)，最小值为：+1． 【点睛】本题考查了用待定系数法求解抛物线和一次函数解析式、求抛物线对称轴、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，构造Rt△MDE≌Rt△QOB，得到MC+MQ+BQ=MC+1+ME是解答本题的关键． 7．已知抛物线（b为常数）的顶点为D，与x轴相交于点和点B，与y轴相交于点C． (1)求该抛物线的解析式和顶点D的坐标； (2)点P为对称轴上一点，连接，将线段绕点P逆时针旋转，使点B的对应点Q恰好落在抛物线上，求此时点P的坐标； (3)在线段上，是否存在一点H，使的值最小？若存在，求出点H的坐标，并求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) 抛物线解析式为，顶点坐标为 (2) 点的坐标为或 (3) 存在，点的坐标为，的最小值为 【分析】（1）将点坐标代入抛物线解析式，解出即可得到抛物线解析式，然后将抛物线解析式化成顶点式，即可求出顶点坐标； （2）设对称轴与轴交于点，设，，分点在轴上方和点在轴下方两种情况进行讨论求解即可； （3）过点作射线，使，过点作垂足为，先证得为直角等腰三角形，进而可知当三点共线时，取到最小值，先证明，然后求出解析式，设，然后利用解出，进而可求出点，进而可求出的最小值． 【详解】（1）解：∵（b为常数）的顶点为D，与x轴相交于点， ∴， 解得：， 故抛物线解析式为：， ∵， ∴顶点坐标为． （2）解：令，即， 解得或， ∴点坐标为， ∵线段绕点P逆时针旋转，使点B的对应点Q恰好落在抛物线上， ∴为直角等腰三角形， 如图，设对称轴与轴交于点，设，， ∴， 当点在轴下方时， ∵为直角等腰三角形， ∴， ∴, ∴， ∵点在轴下方时， ∴， ∴； 当点在轴上方时，过点作对称轴，垂足为点， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴ ∴， ∵点B的对应点Q恰好落在抛物线上， ∴， 解得：或（舍）， 故， ∴综上，点的坐标为或 ． （3）解：如图，过点作射线，使，过点作垂足为， ∵，， ∴为直角等腰三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴当三点共线时，取到最小值， ∵抛物线解析式为， ∴时，， 故点坐标为， ∵点，点， ∴， ∴， ∴， 设解析式为， 代入得， 解得， ∴解析式为， 又∵H在线段上， ∴设， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵， ∴， 此时，，， ∴此时的值最小为：． 8．在平面直角坐标系中，抛物线（b，c为常数）与x轴交于A，两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是第一象限的抛物线上一点，过点P作轴，垂足为Q，连接，与相交于点D，设点P的横坐标为m，当点D是线段的一个三等分点时，求m的值； (3)点E在y轴负半轴上，且，点F是抛物线上一点，满足，点M，N分别为的边上的动点，总有，求的最小值． 【答案】(1) (2)2或 (3) 【分析】本题考查了二次函数与几何综合，待定系数法求二次函数，全等三角形的判定和性质，最短路径，正确作出图形，作出辅助线是解题的关键． （1）根据待定系数法即可解答； （2）画出图形，求得直线的解析式，表示出，分类讨论列方程，即可解答； （3）画出图形，过点E作，并截取，点H在第四象限，连接NH，证明，则可得当点F，N，H共线时，的值最小，利用勾股定理列方程即可解答． 【详解】（1）解：把点，点坐标代入， 可得， 解得 ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图， ， 设直线的解析式为， 把，点分别代入， 得， 解得； ∴直线的解析式为． 设点，则点． 则． 当时，有， 解得（此时点P与点B重合，不满足点P在第一象限）． 当时，即，有， 解得（此时点P与点B重合，不满足点P在第一象限）． ∴当点D是线段的一个三等分点时，m的值为2或； （3）解：如图，过点E作，并截取，点H在第四象限，连接NH，则， 由，有， ． ， ， ， ∴，即当点F，N，H共线时，的值最小， 如图，连接FH， ， ， 设点，过点F作轴，垂足为G，则， ， ， ，即． 解得（不合题意，舍去）， ， ∴． 在中，． 在中，． 即的最小值是． 9．已知抛物线（）与轴交于，两点（点在点左边），与轴交于点． (1)若点在抛物线上． ①求抛物线的解析式及点的坐标； ②连接，若点是直线上方的抛物线上一点，连接，，当面积最大时，求点的坐标及面积的最大值； (2)已知点的坐标为，连接，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落在抛物线上，求抛物线的解析式． 【答案】(1)①，；②，最大值是 (2) 【分析】本题考查二次函数和一次函数的解析式，二次函数性质，三角形全等等知识， （1）①把点坐标代入，解得，即可求得抛物线的解析式，当时，解得，，根据题意可求点的坐标； ②设点坐标为（），设直线的解析式为，把，分别代入，即可求得直线的解析式为，过点作轴的垂线，交于点，则得点坐标为，根据可得，即可求解； （2）根据抛物线，可知对称轴是，点坐标为，可知点在抛物线对称轴上，由线段绕点顺时针旋转后对应点是点，得，，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为点，点，则，先证明，得点坐标可表示为，把点坐标代入可求得，即可求解． 【详解】（1）解：①把点坐标代入， 有，解得． 抛物线的解析式为． 当时，有，解得，． 根据题意知点的坐标是 ②设点坐标为（） 设直线的解析式为，把，分别代入， 得，解得 直线的解析式为． 如图，过点作轴的垂线，交于点， 则点坐标为． ． 即． 当时，面积最大，最大值是． 此时点坐标为． （2）解：由抛物线解析式为， 可知其对称轴是直线，点坐标为， 故点在抛物线对称轴上． 线段绕点顺时针旋转后对应点是点， ，． 如图，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为点，点， 则 ． ． ． ， 点坐标可表示为． 把点坐标代入，得， 解得（舍），． 抛物线的解析式为． 10．二次函数（是常数，）的图象与轴交于点和点（点在点的右侧），与轴交于点，连接． （1）用含的代数式表示点和点的坐标； （2）垂直于轴的直线在点与点之间平行移动，且与抛物线和直线分别交于点，设点的横坐标为，线段的长为． ①当时，求的值； ②若，则当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值． 【答案】（1），；（2）①3；②当时，取得最大值，最大值为． 【分析】（1）纵坐标为0，横坐标为0，将其直接代入二次函数y=（x-5）（x+m）即可求得坐标． （2）①求p的值，通常利用表达式表示p，此时p恰为不含字母的式子．因为t=2，此时p=yN-yM，这里yM为点M的纵坐标，yN为点N的纵坐标； ②求最值也要首先表示p，不过发现因为C为抛物线与直线的交点，在-m≤t≤0，p=yM-yN，当0≤t≤5时，p=yN-yM．如此要分开讨论最值，然后再综合在一起，讨论时不要遗漏题目中关于m的限制：0＜m≤1． 【详解】解：（1）令，得， 解得：，． ∵， ∴． ∵点在点的右侧， ∴，． 令，得． ∴． ∴，． （2）①设的函数关系式为：． 把代入，解得， ∴．∵， ∴点的纵坐标， 点的纵坐标． ∴． ②∵点的横坐标为，线段的长为， ∴点的纵坐标， 点的纵坐标． 当时，． 当时，取得最大值为． 当时． 此二次函数图象开口向上，对称轴为直线， ∴在时，随的增大而减小， ∴当时，取得最大值为． 设，为对称轴， ∴当时，的值随值的增大而增大． ∴时有最大值3． ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，并且设置了多次最值问题的讨论，是一道很需要基本功的题目．但是本题思路及方法都属于常规套路，综上是一道质量很高的题目． 1. 识别模型：分析动点轨迹（直线、圆、抛物线），判断问题类型（和差、点到圆、含参函数、系数不为1）。 2. 化折为直：利用对称、平移或相似，将目标线段之和转化为单一易求的线段（垂线段、直线段）。 3. 计算求解：利用几何性质（两点间线段最短、垂线段最短、三角形三边关系）或代数方程（函数顶点、交点、勾股）计算最值及对应点。 题型03 存在性问题 11．已知拋物线（为常数，）经过点，与轴相交于点，其对称轴与轴相交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)连接，在该拋物线上是否存在点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)为轴上方拋物线上的动点，过点作直线，分别交抛物线的对称轴于点．点在运动过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 (3)是， 【分析】（1）用待定系数法，将点代入即可进行解答； （2）根据题意进行分类讨论：①当点在上方时，易证，则点P和点C纵坐标相等，即可求解；②当点在下方时，设与轴相交于点，有．根据列出方程求出m的值，即可求出直线的解析式，即可进行解答； （3）根据题意可得．设， 用待定系数法求解直线的解析式为．即可得出点．同理可得直线的解析式为．则点．得出．即可进行解答． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴解得． ∴该拋物线的解析式为． （2）解：存在，理由如下． 根据题意，可得点．设． ①如图，当点在上方时，    ∵， ∴． ∴， 解得（舍去）或． ∴点的坐标为． ②如图，当点在下方时，    设与轴相交于点，有． ∵， ∴． 在中，． 有， 解得． ∴． 设直线的解析式为， 由解得 ∴直线的解析式为． 由， 解得（舍去）或． 又， ∴点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或． （3）解：由，得对称轴为直线． ∴．    设，其中． 设直线的解析式为， 则解得 ∴直线的解析式为． 当时，． ∴点． 同理可得直线的解析式为． 当时，． ∴点． ∴． ∴． ∴的值为定值． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数表达式的方法和步骤，二次函数图象上点的坐标特征，正确画出图形，根据图形进行分类讨论． 12．已知抛物线（b，c为常数）与x轴交于A（3，0），C两点，与y轴相交于点B，点M为线段AB上一点． (1)当时，求该抛物线的顶点坐标； (2)若点N（－b－2，）是抛物线在第三象限内的点，有一点P（－5，0），当时，求b的值； (3)在（1）的条件下，，点E是y轴上一点，在抛物线上是否存在点F，使得以A，M，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)（1，-4） (2) (3)（2，-3）或（-2，5）或（4，5） 【分析】（1）根据点A（3，0），可得9+3b+c=0，再由，即可求解； （2）过点N作NQ⊥x轴于点Q，先求出点N（－b－2，-b-5），可得AQ=b+5，NQ=b+5，再由，结合勾股定理，即可求解； （3）过点M作MD∥x轴于点D，可得到点M（1，-2），然后分三种情况讨论：若以AM为边，点E在点D上方时，得到平行四边形AMFE；若以AM为边，点E在点D下方时，得到平行四边形AMEF；若以AM为对角线时，AM的中点与EF的中点重合，即可求解． 【详解】（1）解∶∵抛物线（b，c为常数）与x轴交于A（3，0）， ∴9+3b+c=0， ∵， ∴c=-3， ∴抛物线的解析式为， ∴顶点坐标为（1，-4）； （2）解：如图，过点N作NQ⊥x轴于点Q， ∵抛物线（b，c为常数）与x轴交于A（3，0）， ∴9+3b+c=0， ∴c=-3b-9， ∴抛物线解析式为， ∵点N（－b－2，）是抛物线在第三象限内的点， ∴， ∴点N（－b－2，-b-5）， ∴AQ=b+5，NQ=b+5， ∵点P（－5，0），， ∴AN=8， ∴，解得：或， ∵点N（－b－2，）在第三象限， ∴，即， ∴； （3）解：如图，过点M作MD∥x轴于点D， 由（1）得抛物线的解析式为， 当x=0时，y=0， ∴点B（0，3）， ∴OB=3， ∵A（3，0）， ∴OA=3， ∴， ∵， ∴， ∵MD∥x轴， ∴△BDM∽△BOA， ∴， ∴BD=1，DM=1， ∴OD=2， ∴点M（1，-2）， 设点E（0，m）， 若以AM为边，点E在点D上方时，得到平行四边形AMFE，则EF∥AM， ∴点F（-2，-2+m）， ∴，解得：m=7， ∴此时点F的坐标为（-2，5）； 若以AM为边，点E在点D下方时，得到平行四边形AMEF，则EF∥AM， ∵点A（3，0），点E（0，m），点M（1，-2）， ∴点F（2，-2-m）， ∴，解得：m=1， ∴此时点F的坐标为（2，-3）； 若以AM为对角线时，AM的中点与EF的中点重合， 设点， ∴，解得：， ∴，解得：m=-7， ∴此时点P的坐标为（4，5）， 综上所述，点P的坐标为（2，-3）或（-2，5）或（4，5）． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，并利用分类讨论思想解答是解题的关键． 13．已知抛物线（a，b为常数，）交x轴于，两点，交y轴于点C． (1)求该抛物线的解析式； (2)点P为第四象限内该抛物线上一点，连接，过点C作CQ//BP交x轴于点Q，连接，求面积的最大值及此时点P的坐标； (3)在（2）的条件下，将抛物线向右平移经过点时，得到抛物线．设E是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点F，使得以A，P，E，F为顶点的四边形为矩形，若存在，请求出点F的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)面积的最大值为8，此时P的坐标为； (3)点F的坐标为，，， 【分析】（1）根据题意，直接运用待定系数法求解即可； （2）连接PC，PB，BC，过P点作平行于y轴的直线交BC于H点，根据CQ//BP可得，从而求面积的最大值即可，通过设P的坐标，得到H的坐标，从而建立关于面积的二次函数表达式，最终结合二次函数的性质求解即可； （3）通过（2）的结论首先确定出平移后抛物线的解析式，设出E，F的坐标，运用勾股定理进行分类讨论即可． 【详解】（1）解：将，代入， 得：，解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）如图所示，连接PC，PB，BC，过P点作平行于y轴的直线交BC于H点， ∵CQ//BP， ∴，即求面积的最大值即可， 由（1）可知抛物线与y轴交点C坐标为， 设直线BC的解析式为：， 将，代入得：，解得：， ∴直线BC的解析式为：， 设，则， ∴， ∴， 根据二次函数的性质可得： 当时，取得最大值为8， 将代入，得到此时P的坐标为， ∴面积的最大值为8，此时P的坐标为； （3）存在，理由如下： 由（2）可知，当面积的最大值为8时，P的坐标为， ∵， ∴，则， ∵原抛物线解析式为：， ∴设向右平移后的解析式为：， 将代入求得：或（舍负值）， ∴平移后抛物线的解析式为：，其对称轴为直线， ∴设，，则结合A、P的坐标可得： ，，， 进行如下分类讨论： ①当AP⊥PE时，如图所示， 此时根据勾股定理得：， 即：，解得：，即：， 此时根据A、P、E、F四点的相对位置关系可得： ，解得：， ∴； ②当AP⊥AE时，如图所示， 此时根据勾股定理得：， 即：，解得：，即：， 此时根据A、P、E、F四点的相对位置关系可得： ，解得：， ∴； ③当AE⊥PE时，如图， 根据勾股定理得：， 即：， 整理得：， ∵， 即： ， 此时根据A、P、E、F四点的相对位置关系可得： ，解得：， 或，解得：， ∴，； 综上所述，所有可能的点F的坐标为，，，． 【点睛】本题考查二次函数综合运用，以及矩形的性质，准确求得抛物线的解析式，并灵活根据矩形的性质进行分类讨论是解题关键． 14．顶点为B的抛物线经过点和点，连接． （Ⅰ）求该抛物线的解析式； （Ⅱ）D是x轴下方抛物线上一点，抛物线的对称轴与x轴交于点C，与交于点E． ①若，求点D的坐标； ②在①的条件下，点F是线段上的动点（点F不与点O和点B重合），连接，将沿折叠，点B的对应点为点，与的重叠部分为．是否存在一点H，使四边形为矩形？若存在，请求出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）①；②存在，点H的坐标为． 【分析】（Ⅰ）把点和点代入抛物线解析式，用待定系数法求解即可； （Ⅱ）①过点D作轴，垂足为M，设，代入解析式即可； ②过点F作，垂足为I．根据①求出、和，再用平移得到点H的坐标． 【详解】解：（Ⅰ）∵点，点在抛物线上， ∴解得 ∴该抛物线的解析式为． （Ⅱ）①由， 得，抛物线的对称轴为直线． ∴．∴，． 在中，． ∴． ∵， ∴． 如图，过点D作轴，垂足为M， 则． 设， ∴． 解得（舍去），或． ∴． ②如图，过点F作，垂足为I． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴， ∴． 根据题意，得， ∴． ∴． ∵是由折叠得到的， ∴． ∴． ∴． ∴．得． 由平移的性质，可得． ∴满足条件的点H的坐标为． 【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式、求抛物线上点的坐标、矩形的性质、解直角三角形等知识，解题关键是熟练综合运用相关知识，设出点的坐标或求出点的坐标，通过方程或平移解决问题． 15．已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴交于点K，顶点为D． （Ⅰ）求点A，B，K，D的坐标； （Ⅱ）若向下平移抛物线C，使顶点D落在x轴上，抛物线C上的点P平移后的对应点为，若，求点P的坐标； （Ⅲ）点在抛物线C上，则在抛物线C上是否存在一点Q，使的面积是面积的一半，若存在，求满足条件的点Q的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（I）点，点，点，点；（II）点P的坐标为或；（III）存在，点Q的坐标为或或或 【分析】（I）根据x轴坐标的特征y=0，解方程可求，根据y轴点坐标特征，x=0时可求，把抛物线配方为顶点式即可 （II）设，由顶点，可得抛物线向下平移了个单位，则，由，轴，可得点P与点关于x轴对称，列方程，解方程即可； （Ⅲ）存在，求E坐标待定系数法直线的解析式为．设与y轴交点为F，求出则点．又点，过点O作于H，可证是等腰直角三角形，OH为△KBF的中位线，使的面积是面积的一半，则点Q在过原点O平行的直线，交抛物线C于点．由，解方程组，作点O关于点F的对称点，过点作直线，交抛物线C于点．利用平移可求直线的解析式为，由，解方程组求解即可 【详解】（I）取，即，因式分解得 解得，，， 则点，点； 取，， 则点； 又 则点 （II）设， ∵向下平移顶点落在x轴上，又点， ∴抛物线向下平移了个单位，则， ∵，轴， ∴点P与点关于x轴对称， ∴， 整理得， 解得，， ∴点P的坐标为或． （Ⅲ）存在 在抛物线C上， 则． ∴， 又点， 直线的解析式为代入B、E坐标得： ， 解得， 直线的解析式为． 设与y轴交点为F， 则点．又点， ∴． 过点O作于H， 连接． ∵， ∴，是等腰直角三角形， 又， ∴， ∴， ∴， 使的面积是面积的一半，则点Q在过原点O平行的直线， 由， 消去y得， ∴，y=， 解得或， ∴，， 作点O关于点F的对称点，过点作直线，交抛物线C于点． ∵， 把直线的解析式为向下平移4个单位的直线， ∴直线的解析式为， 由， 消去y得， ∴，y， 解得或， ∴，． 综上所述，满足条件的点Q的坐标为或或或． 【点睛】本题考查抛物线与坐标轴交点和抛物线顶点坐标，抛物线平移，轴对称，三角形面积，掌握抛物线与坐标轴交点和抛物线顶点坐标，抛物线平移，轴对称，三角形面积是解题关键． 1. 等腰三角形存在性：已知两个定点A、B，找动点P构成等腰△ABP。 两圆一线 ·以A、B为圆心，AB为半径画圆（两圆），作AB的中垂线（一线）。圆与中垂线与动点轨迹（抛物线、直线）的交点就是P点位置。 2. 直角三角形存在性： 已知两个定点A、B，找动点P使△ABP为直角三角形。 技巧一：两线一圆 · 分别过A、B作AB的垂线（两线），以AB为直径作圆（一圆，直径所对圆周角90°）。这些线与动点轨迹的交点即为P点。 技巧二：代数法（向量或斜率）列方程求解。 3. 平行四边形存在性：已知三个或两个定点，找第四个点构成平行四边形。技巧：中点坐标公式法以AB为边或对角线，把可能成为对角顶点的情况逐一试，用中点公式列方程求解。 4. 相似三角形存在性（分类要细） · 技巧：找准对应角：先判断已知图形中哪两个角必然相等（如公共角、直角）。分类讨论：假设相等角的两边对应成比例，按不同对应顺序列比例式，通常得到2-4个方程。 无图或对应不明时：把所有点对点的对应情况都列出来解。 1．已知抛物线与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，与y轴交于点C． (1)已知，，求抛物线的解析式； (2)在（1）的条件下， ①点D是线段上的一动点，连接，，将沿直线翻折，得到，当点恰好落在抛物线的对称轴上时，求点D的坐标； ②将抛物线位于y轴及y轴左侧的部分记为函数，过点C作直线轴，将原抛物线位于y轴右侧的部分沿直线翻折，翻折后的部分记为函数，函数和函数形成新的函数w，在上任取点Q，过点Q作直线，当与函数w只有两个公共点时，直接写出的解析式_______． (3)已知，，动点P在直线上方的抛物线上，过点P作直线的垂线，交抛物线于点F，点F在第一象限，过点F作轴，垂足为G，当的最大值为时，求b的值． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①过作x轴的垂线，垂足为H求出A和B的坐标，得到，，由，推出，解直角三角形得到的长，即可解答； ②先求得直线的函数表达式为，进而可设直线的函数表达式为，由折叠性质，可画图分析，当时，只有当直线与函数的图象相切时，与函数的图象有一个交点，此时函数与函数w的图象只有两个公共点，联立方程组，令求得m值即可解答； （3）如图，设与交于点E，过P作交延长线于Q，则，利用等腰直角三角形的判定与性质，结合平行线的性质得到，则可得，当取最大值时，取得最大值，此时的最大值为；求得，则有，，再求得直线的函数解析式为，设，求得直线的函数解析式为，设直线的函数解析式为，联立方程组推导出，进而利用二次函数的性质求得的最大值，列方程求解即可． 【详解】（1）解：将，代入中，得 解得 ∴抛物线的解析式为； （2）解：①如图，设抛物线的对称轴与x轴交点为H，    令，解得：， ∴，， ∴， 由翻折可得，， ∵对称轴为直线， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴； ②对于函数，图象开口向下，对称轴为直线， 当时，，则， 设直线的函数表达式为， 则，解得， ∴直线的函数表达式为， ∵直线， ∴设直线的函数表达式为， 由折叠性质，画图如下， 由图知，当时，直线与函数的图象在部分有一个交点，与函数的图象在C处相交，此时函数与函数w的图象只有两个公共点，但直线 与直线重合，不满足直线； 当时，直线与函数的图象在部分有一个交点，与函数的图象无交点； 当时，只有直线与函数的图象相切时，与函数的图象有一个交点，此时函数与函数w的图象只有两个公共点， 联立方程组，得， 由得， ∴直线的函数表达式为， 故当与函数w图象只有两个公共点时，直线的函数表达式为； （3）解：如图，设与交于点E，过P作交延长线于Q，则， ∵，，轴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 当取最大值时，取得最大值，此时的最大值为； 由得， ∴， ∵，， ∴，则， ∴，则， ∴，， ∵，， ∴直线的函数解析式为， 设直线的函数解析式为， 设，代入中，得， ∴直线的函数解析式为， ∵， ∴设直线的函数解析式为， 联立方程组，整理得， ∴，则， ∵轴， ∴， ∵， ∴时，取最大值， ∴， 解得或（不符题意，舍去）． 【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、等腰直角三角形的判定与性质、锐角三角函数、坐标与性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加辅助线，利用数形结合和转化的思想方法求解是解答的关键． 2．已知抛物线（）与轴交于，两点（点在点左边），与轴交于点． (1)若点在抛物线上． ①求抛物线的解析式及点的坐标； ②连接，若点是直线上方的抛物线上一点，连接，，当面积最大时，求点的坐标及面积的最大值； (2)已知点的坐标为，连接，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落在抛物线上，求抛物线的解析式． 【答案】(1)①，；②，最大值是 (2)． 【分析】本题考查二次函数和一次函数的解析式，二次函数性质，三角形全等等知识， （1）①把点坐标代入，解得，即可求得抛物线的解析式，当时，解得，，根据题意可求点的坐标； ②设点坐标为（），设直线的解析式为，把，分别代入，即可求得直线的解析式为，过点作轴的垂线，交于点，则得点坐标为，根据可得，即可求解； （2）根据抛物线，可知对称轴是，点坐标为，可知点在抛物线对称轴上，由线段绕点顺时针旋转后对应点是点，得，，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为点，点，则，先证明，得点坐标可表示为，把点坐标代入可求得，即可求解． 【详解】（1）解：①把点坐标代入， 有，解得． 抛物线的解析式为． 当时，有，解得，． 根据题意知点的坐标是 ②设点坐标为（） 设直线的解析式为，把，分别代入， 得，解得 直线的解析式为． 如图，过点作轴的垂线，交于点， 则点坐标为． ． 即． 当时，面积最大，最大值是． 此时点坐标为． （2）解：由抛物线解析式为， 可知其对称轴是直线，点坐标为， 故点在抛物线对称轴上． 线段绕点顺时针旋转后对应点是点， ，． 如图，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为点，点， 则 ． ． ． ， 点坐标可表示为． 把点坐标代入，得， 解得（舍），． 抛物线的解析式为． 3．已知抛物线（a，b，c为常数，），，与x轴正半轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴负半轴相交于点C，点D为抛物线顶点，点M在y轴负半轴上，． (1)若点A的坐标为，点C的坐标为． ①求抛物线顶点D的坐标； ②求点M的坐标； (2)若，且，求a的值． 【答案】(1)①该抛物线顶点D的坐标为；②； (2)． 【分析】本题考查二次函数的综合应用，解直角三角形，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）①待定系数法求出函数解析式，进而求出顶点的坐标；②求出点坐标，根据，得到，解直角三角形，求出的值，进而得到点的坐标即可； （2）根据，得到抛物线的解析式为，分别求出的坐标，同法（1）②求出的坐标，过D点向x轴引垂线，垂足记为点H，解直角三角形，求出，进行求解即可． 【详解】（1）解：①抛物线经过点， ，即， ∵抛物线过点，且， 得解得， ∴， ， 该抛物线顶点D的坐标为； ②把代入抛物线，解得，即， ∵， ∴， ∵点M在y轴负半轴上，． ∴在中，， ∵在中，， ∴ ∴， ∴； （2）由，得：，代入，得：， ∴， ， ． 由点M在y轴负半轴上，． 在中，， 在中，， ∴， ∵抛物线与y轴负半轴相交于点C， ，即， ∴， 过D点向x轴引垂线，垂足记为点H， 在中，， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ， 即． 4．已知抛物线（，为常数，）的顶点为，点在抛物线上，抛物线与轴相交于点，点为点关于抛物线对称轴的对称点，为坐标原点． (1)当时，求点和点的坐标； (2)当时，求的值和线段的长； (3)抛物线上点的横坐标，当时，满足，且，垂足为点．直接写出此时的值和点的坐标． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】（1）结合点在抛物线上，且，得，再根据抛物线的顶点为，把把代入，得，然后得点的坐标为，结合轴对称的性质得，即可作答． （2）因为点在抛物线上，故，与（1）同理得，点的坐标为，点；根据得，即，化简计算，得，故，，最后运用勾股定理列式计算，即可作答． （3）与（2）同理得，点的坐标为，，，结合抛物线上点的横坐标，得，因为，故，化简得，再表示，然后得的表达式，代入进行计算得，即可得出点的坐标． 【详解】（1）解：∵点在抛物线上，且， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∵抛物线的顶点为，且抛物线的对称轴为直线， ∴把代入， 得， 即； ∵抛物线与轴相交于点，且抛物线的解析式为， ∴令，，即点的坐标为， ∵点为点关于抛物线对称轴的对称点，且抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴点； （2）解：∵点在抛物线上， ∴， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， 此时抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线的顶点为， ∴把代入，得， 即， ∵抛物线与轴相交于点，且抛物线的解析式为， ∴令，，即点的坐标为， ∵点为点关于抛物线对称轴的对称点，且抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴点； ∵， ∴， ∵，，为坐标原点，， 则，， ∵， ∴， 解得， ∴， 即， ∴， 则． （3）解：∵点在抛物线上， ∴， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， 此时抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线的顶点为， ∴把代入，得， 即， ∵抛物线与轴相交于点，且抛物线的解析式为， ∴令，，即点的坐标为， ∵点为点关于抛物线对称轴的对称点，且抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴点； ∴， ∵抛物线上点的横坐标，且抛物线的解析式为， ∴， ∵， ∴， 则， ∴， 整理得， ∵， ∴， ∴， ∵， ， 即， ∵，， ∴， ， ， 连接， ∵， ∴在中，， 即， 整理得， 则， ∴， ∴， 整理得， 解得． ∵， ∴， 则， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的几何综合，二次函数的图象性质，平行的性质，勾股定理，轴对称．性质，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 5．已知抛物线（b、c为常数）的顶点为P，与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C． (1)若，，求点P和点A的坐标； (2)当，且时，求点P的坐标； (3)当，时，过直线上一点G作y轴的平行线，交抛物线于点H，当的最大值为4时，求b的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）抛物线的表达式为：，令，则，，即可求解； （2）抛物线解析式为：，顶点，当时，，则点A、B的坐标分别为：，，判断为等边三角形，进而即可求解； （3）设，则，设，故，其对称轴为，且，分两种情况：①当时，即；②当时，得；根据的最大值为4，分别列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意：， ， 当时，， 解得，， 又∵点A在B左侧， ； （2）解：抛物线解析式为：，顶点， 当时，， 解得，， ，， ； 由抛物线对称性可知：， ， 为等边三角形， ， 过点P作于T，则，， 在中，， ， 解得（舍），， ； （3）解：设，则，， 当时，， 令， 解得，， ， ， ∴点G在H的上方（如图1）， 设，故， 其对称轴为，且， 分以下两种情况： ①当时，即， 由图2可知： 当时，t取得最大值， 解得或（舍去）； ②当时，得，由图3可知： 当时，t取得最大值， 解得（舍去）． 综上所述，b的值为． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 6．已知抛物线（是常数，）的顶点为，与轴相交于点和点（点在点的左侧），抛物线的对称轴与轴相交于点． (1)若，点的坐标为． ①求点的坐标； ②为直线上方的抛物线上的动点，过点作轴与相交于点，当取得最大值时，求点的坐标； (2)若点，（是常数，），，是直线上的动点，过点作与相交于点，当的最小值为12时，求的值． 【答案】(1)①；②点的坐标为，点的坐标为 (2) 【分析】（1）①利用待定系数法求出函数解析式即可；②求出直线的解析式为．由为直线上方的抛物线上的动点，过点作轴与相交于点，设点，则，得到的二次函数解析式，根据二次函数的性质进行解答即可； （2）求出．把线段向上平移个单位长度，向左平移个单位长度，得到线段，点与点重合．得到当点在同一条直线上时，取得最小值，进一步进行解答即可． 【详解】（1）解：①若，则抛物线， 抛物线与轴相交于点， ，解得． 抛物线为． 顶点的坐标为 ②当时，， 解得， ． 设直线的解析式为， 解得 直线的解析式为． ∵为直线上方的抛物线上的动点，过点作轴与相交于点， 设点，则． ． 当时，取得最大值1． 点的坐标为，点的坐标为 （2）， ． 点的坐标为． ． ， ． ， ． 过点作． ， 在， ． 把线段向上平移个单位长度，向左平移个单位长度，得到线段，点与点重合． ，点的坐标为． 在， ． 点的坐标为． 当点在同一条直线上时，取得最小值， ． 可得，解得． 点的坐标为，点的坐标为． 设抛物线解析式为． 把代入， 解得． 的值为． 【点睛】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式、解直角三角形、勾股定理、一次函数的图象和性质、二次函数的平移等知识，适当添加辅助线是解题的关键． 7．在平面直角坐标系中，点，，抛物线（是常数）的顶点为． (1)当抛物线经过点时，求点的坐标； (2)若点在轴下方，当时，求此时的值； (3)无论取何值，该抛物线都经过定点．当时，求此时的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）把点代入求出m的值，从而确定二次函数解析式，进而求出顶点P的坐标； （2）先由函数解析式得出顶点坐标为．再结合已知条件可知，可得：再建立方程求解即可； （3）由可知，定点H的坐标为，过点作，交射线于点，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为，，则可证．得点的坐标为或．然后进行分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， 解得． ∴抛物线的解析式为． ∵， ∴顶点的坐标为． （2）解：抛物线的顶点的坐标为． 由点在轴正半轴上，点在轴下方，，知点在第四象限． 记抛物线的对称轴与轴的交点为， 则， ∵顶点的坐标为， ∴， 解得：，（舍去） ； （3）解：由可知， 当时，无论取何值，， 得点的坐标为． 过点作，交射线于点，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为，，则． ∵， ， ∴， ∴， ∵ ， ∴． ∴． ∴，． ∴点的坐标为， 设直线为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为． ∵点在直线上， ∴， 整理得：， 解得：，， 当时，点与点不共线，舍去， ∴． 如图，同理可得：， 同理可得直线的解析式为． ∵点在直线上， ∴， 整理得：， 解得（舍），． ∴． 综上，或． 【点睛】本题属于二次函数的综合题．涉及全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数的应用，一元二次方程的解法，计算量特别大，难度大，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 8．已知抛物线（a，b，c为常数，）的顶点为P，且，与x轴相交于和B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C． (1)若． ①求点P和点B的坐标； ②点D为抛物线第四象限上一动点，过点D作轴于点F，交于点E，记，的面积分别为，，求最大值时点D的横坐标； (2)点Q为直线上一动点，点M在x轴下方一点，满足，，连接，，当的最小值为时，求点M和Q的坐标． 【答案】(1)①；② (2)， 【分析】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）①根据的值，求出的值，待定系数法求出函数解析式，进而求出点P和点B的坐标即可；②求出直线的解析式，设点D的坐标为，则点E为，F为，分别求出，将转化为二次函数求最值即可； （2）作轴于点H，轴于点N，取点，连接，证明，得到点M在直线上运动，证明，得到，进而得到则的最小值即是的最小值，作点G关于直线的对称点，得到当P，M、三点共线时，的值最小，进行求解即可． 【详解】（1）解：①∵，， ， 则抛物线的解析式为， 把代入上式得， ， 则点P的坐标为． 令，解得，， 点B的坐标为． ②， ∴设直线的解析式为，把代入，得：， 直线的解析式为 设点D的坐标为，则点E为，F为， 则，， ， ， ，则， ∴当时，取最大值， 故当取最大值时，点D的横坐标为． （2）作轴于点H，轴于点N，取点，连接． ，， ， ，， ； ，， ． 点M在直线上运动， ，，， ， ， 则的最小值即是的最小值． 作点G关于直线的对称点． 当P，M、三点共线时，的值最小． 即 ， 顶点P为， 则，解得，（舍）， 则． 设直线的解析式为：， ∴，解得：， ∴直线解析式为，令，则， ， ． 综上：， 9．在平面直角坐标系中，点，点，抛物线（，为常数，）的顶点为． (1)若抛物线经过点，，连接． ①求此抛物线的解析式； ②过点作直线，与抛物线相交于点，求线段的长． (2)若，连接点和点，分别过点画直线轴，，在直线上截取（点在直线下方），当的最小值为时，求抛物线解析式． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）①待定系数法求出函数解析式即可；②求出点坐标，根据两直线平行，值相同，待定系数法求出函数解析式，联立直线和抛物线的解析式求出点坐标，进而求出的长即可； （2）求出点，进而得到直线为，把点向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到点，连接，，，易得四边形为平行四边形，得到，作点关于直线的对称点，连接，则，得到，进而得到当点，，共线时，的值最小，最小值为线段的长，过点作轴，垂足为，利用勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：①把点，点坐标代入， 则：解得． 抛物线的解析式为． ②解：由得点坐标为． 设直线的解析式为，把， 分别代入，得解得 直线的解析式为． 由可设的解析式为． 把点代入解得． 的解析式为． 由解得，． 故点的坐标为． ∴． （2）解：由得， 故点，直线为． 把点向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到点． 连接，则，且． ，， ，． 连接，，则四边形为平行四边形， ∴． 作点关于直线的对称点，则． 连接，则． ． 即当点，，共线时，的值最小，最小值为线段的长． 过点作轴，垂足为，则，． 由勾股定理知，即 解得，． ， 应舍去． 抛物线的解析式为． 10．已知抛物线（为常数，）的顶点为，且与轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点，为抛物线上一点，点横坐标为，且． (1)若． ①求点和点的坐标； ②过点作，交于点，若时，求点的坐标； (2)若点的坐标为，点在轴负半轴上，且点的坐标为，，点分别在上，且，当取得最小值为时，求点的坐标． 【答案】(1)①，；②或 (2) 【分析】（）①把，代入函数解析式得，即得点坐标，再把代入函数解析式求出可得点的坐标；②过点作轴，垂足为，交于点，可得，即得，得到，即得，进而得，又由是等腰直角三角形得，即可得，解方程即可求解； （）由点的坐标为得，即得，又由得，即得，过点作，垂足为， 则，由可得，过点作，使，连接，可证，可得，即得，可知当点共线时，有最小值，最小值为，即，即得到，进而由得，即，解方程求出即可求解． 【详解】（1）解：①∵，， ∴抛物线解析式为， ∴, 当时，， 解得，， ∵点在点的左侧， ∴； ②过点作轴，垂足为，交于点， 由①知， 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， ∵点横坐标为， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴, ∴， 解得或， ∴或； （2）解：∵点的坐标为， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， ∵，，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， 过点作，垂足为， 则， ∴， 解得，， ∴， 过点作，使，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当点共线时，有最小值，最小值为，即， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的几何应用，等腰直角三角形的性质，勾股定理，两点之间线段最短，全等三角形的判定和性质等，正确作出辅助线是解题的关键． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二次函数综合题 目 录 模块一、解题方法总述 模块二、压轴题型专练 题型01 取得最值时求坐标或参数 题型02 求最值 题型03 存在性问题 模块三、综合实战演练 1、 取得最值时求坐标或参数的解题方法： 1. 识别模型：题干中出现“求PA+PB的最小值”或“求|PA-PB|的最大值”等条件。 2. 找对称点：作其中一个定点关于动点所在直线（对称轴）的对称点。 3. 化折为直：连接对称点与另一个定点，连线与直线的交点即为所求动点位置。 4. 列方程求解：利用勾股定理、待定系数法求出交点坐标，或利用相似三角形比例关系求参数。 二、求最值的解题方法： 识别动点轨迹，选择对应模型。下面分四大常见类型梳理其解题核心。 1、 线段和、差最值（“将军饮马”及其变式） 这是在直线上找一点，使到两定点距离之和最小（或差最大）。 所有折线路径，最终都通过轴对称或平移（如造桥选址问题）转化为两点间的直线段。 2、 点到圆上点的距离最值一个动点在圆上，求它到圆外（或内）一定点的距离最值。连接定点与圆心，连线与圆的交点，即为取得最值的点。 3、 二次函数区间最值（“动轴定区间”或“定轴动区间”） 已知含参二次函数在给定自变量范围（区间）内取得最值，反求参数。 核心解法：看对称轴，分情况讨论。 最值点要么在顶点，要么在区间端点。 4、 用垂线段求最值（“胡不归”与“阿氏圆”），核心是构造相似三角形，转化为一条定点到定直线的垂线段。 三、存在性问题的解题方法： 1. 假设存在：先设出动点坐标或参数值。 2. 建立方程：利用题目隐含的几何条件（如平行四边形对边平行且相等、等腰三角形两腰相等、直角三角形勾股定理、相似三角形对应边成比例等）列出方程。 3. 验证取舍：解出方程后，务必检查 ①是否能满足几何条件（如三点不共线）、②是否在题目定义的范围内（如抛物线上的点在坐标轴上）。不满足的直接舍去。 题型01 取得最值时求坐标或参数 1．已知抛物线（是常数）与轴相交于两点（点在点的左侧），对称轴为直线，与轴交于点． (1)求点和点的坐标； (2)点是线段上的一动点，连接，将沿直线翻折，得到，当点恰好落在抛物线的对称轴上时，求点的坐标； (3)动点在直线上方的抛物线上，过点作直线的垂线，分别交直线，线段于点，过点作轴，垂足为，当的值最大时，求点坐标． 2．已知二次函数的顶点在轴下方，并且与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴的负半轴交于点，． (1)当，时，求该抛物线顶点的坐标； (2)若，点为线段上一点，当时，求点的坐标； (3)若，过点的直线与以为直径的圆相交于点和点，点在线段上，记的中点为，当的最小值取时，求顶点的坐标． 3．已知抛物线（，，为常数，，）与轴相交于点和点，与轴相交于点，轴上的点的横坐标为，且，为坐标原点． (1)若，，且． ①求抛物线的解析式； ②过点作轴与抛物线相交于点，连接，，，的面积记为，的面积记为，当时，求点的坐标； (2)若点，射线上一点，，当取得最小值为时，求的值． 4．已知抛物线（）与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为D． (1)若顶点，求点与点的坐标； (2)当点的横坐标为时，若点为线段的中点，过点的直线与线段交于点，且满足，，求的值； (3)点的横坐标为，点是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点作轴交抛物线于点，作，垂足为点，当的最大值为时，求的值． 5．已知抛物线（，，为常数，）的顶点为，与轴交于，两点，与轴交于点，且，对称轴与轴交于点，点，为坐标原点． (1)当时， ①求点和点的坐标； ②若直线（为常数，）与抛物线交于点，过点作直线的垂线，垂足为，当取最大值时，求的值； (2)若点在线段上，点在线段上，且，当取最小值时，求的值． 1模型是根本：看到“最值”先定位是几何模型还是代数模型，方法是不一样的。 2计算要扎实：涉及含参运算和方程求解，计算能力是保证。 3一定要画图：无论哪种类型，作图都能帮助你直观理解动点轨迹和位置关系，避免代数推导上的遗漏。 4检查要严谨：解出的参数值，务必放回原题检查最值条件和取值范围。 题型02求最值 6．已知抛物线与轴交于点和点，且过点． (1)求该抛物线的解析式及其对称轴； (2)连接，若抛物线上有一点满足，求点的坐标； (3)若点是轴上一点，过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为，连接，，当取最小值时，求点的坐标及这个最小值． 7．已知抛物线（b为常数）的顶点为D，与x轴相交于点和点B，与y轴相交于点C． (1)求该抛物线的解析式和顶点D的坐标； (2)点P为对称轴上一点，连接，将线段绕点P逆时针旋转，使点B的对应点Q恰好落在抛物线上，求此时点P的坐标； (3)在线段上，是否存在一点H，使的值最小？若存在，求出点H的坐标，并求出最小值；若不存在，请说明理由． 8．在平面直角坐标系中，抛物线（b，c为常数）与x轴交于A，两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是第一象限的抛物线上一点，过点P作轴，垂足为Q，连接，与相交于点D，设点P的横坐标为m，当点D是线段的一个三等分点时，求m的值； (3)点E在y轴负半轴上，且，点F是抛物线上一点，满足，点M，N分别为的边上的动点，总有，求的最小值． 9．已知抛物线（）与轴交于，两点（点在点左边），与轴交于点． (1)若点在抛物线上． ①求抛物线的解析式及点的坐标； ②连接，若点是直线上方的抛物线上一点，连接，，当面积最大时，求点的坐标及面积的最大值； (2)已知点的坐标为，连接，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落在抛物线上，求抛物线的解析式． 10．二次函数（是常数，）的图象与轴交于点和点（点在点的右侧），与轴交于点，连接． （1）用含的代数式表示点和点的坐标； （2）垂直于轴的直线在点与点之间平行移动，且与抛物线和直线分别交于点，设点的横坐标为，线段的长为． ①当时，求的值； ②若，则当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值． 1. 识别模型：分析动点轨迹（直线、圆、抛物线），判断问题类型（和差、点到圆、含参函数、系数不为1）。 2. 化折为直：利用对称、平移或相似，将目标线段之和转化为单一易求的线段（垂线段、直线段）。 3. 计算求解：利用几何性质（两点间线段最短、垂线段最短、三角形三边关系）或代数方程（函数顶点、交点、勾股）计算最值及对应点。 题型03 存在性问题 11．已知拋物线（为常数，）经过点，与轴相交于点，其对称轴与轴相交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)连接，在该拋物线上是否存在点，使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)为轴上方拋物线上的动点，过点作直线，分别交抛物线的对称轴于点．点在运动过程中，的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 12．已知抛物线（b，c为常数）与x轴交于A（3，0），C两点，与y轴相交于点B，点M为线段AB上一点． (1)当时，求该抛物线的顶点坐标； (2)若点N（－b－2，）是抛物线在第三象限内的点，有一点P（－5，0），当时，求b的值； (3)在（1）的条件下，，点E是y轴上一点，在抛物线上是否存在点F，使得以A，M，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 13．已知抛物线（a，b为常数，）交x轴于，两点，交y轴于点C． (1)求该抛物线的解析式； (2)点P为第四象限内该抛物线上一点，连接，过点C作CQ//BP交x轴于点Q，连接，求面积的最大值及此时点P的坐标； (3)在（2）的条件下，将抛物线向右平移经过点时，得到抛物线．设E是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点F，使得以A，P，E，F为顶点的四边形为矩形，若存在，请求出点F的坐标，若不存在，请说明理由． 14．顶点为B的抛物线经过点和点，连接． （Ⅰ）求该抛物线的解析式； （Ⅱ）D是x轴下方抛物线上一点，抛物线的对称轴与x轴交于点C，与交于点E． ①若，求点D的坐标； ②在①的条件下，点F是线段上的动点（点F不与点O和点B重合），连接，将沿折叠，点B的对应点为点，与的重叠部分为．是否存在一点H，使四边形为矩形？若存在，请求出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 15．已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴交于点K，顶点为D． （Ⅰ）求点A，B，K，D的坐标； （Ⅱ）若向下平移抛物线C，使顶点D落在x轴上，抛物线C上的点P平移后的对应点为，若，求点P的坐标； （Ⅲ）点在抛物线C上，则在抛物线C上是否存在一点Q，使的面积是面积的一半，若存在，求满足条件的点Q的坐标；若不存在，说明理由． 1. 等腰三角形存在性：已知两个定点A、B，找动点P构成等腰△ABP。 两圆一线 ·以A、B为圆心，AB为半径画圆（两圆），作AB的中垂线（一线）。圆与中垂线与动点轨迹（抛物线、直线）的交点就是P点位置。 2. 直角三角形存在性： 已知两个定点A、B，找动点P使△ABP为直角三角形。 技巧一：两线一圆 · 分别过A、B作AB的垂线（两线），以AB为直径作圆（一圆，直径所对圆周角90°）。这些线与动点轨迹的交点即为P点。 技巧二：代数法（向量或斜率）列方程求解。 3. 平行四边形存在性：已知三个或两个定点，找第四个点构成平行四边形。技巧：中点坐标公式法以AB为边或对角线，把可能成为对角顶点的情况逐一试，用中点公式列方程求解。 4. 相似三角形存在性（分类要细） · 技巧：找准对应角：先判断已知图形中哪两个角必然相等（如公共角、直角）。分类讨论：假设相等角的两边对应成比例，按不同对应顺序列比例式，通常得到2-4个方程。 无图或对应不明时：把所有点对点的对应情况都列出来解。 1．已知抛物线与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，与y轴交于点C． (1)已知，，求抛物线的解析式； (2)在（1）的条件下， ①点D是线段上的一动点，连接，，将沿直线翻折，得到，当点恰好落在抛物线的对称轴上时，求点D的坐标； ②将抛物线位于y轴及y轴左侧的部分记为函数，过点C作直线轴，将原抛物线位于y轴右侧的部分沿直线翻折，翻折后的部分记为函数，函数和函数形成新的函数w，在上任取点Q，过点Q作直线，当与函数w只有两个公共点时，直接写出的解析式_______． (3)已知，，动点P在直线上方的抛物线上，过点P作直线的垂线，交抛物线于点F，点F在第一象限，过点F作轴，垂足为G，当的最大值为时，求b的值． 2．已知抛物线（）与轴交于，两点（点在点左边），与轴交于点． (1)若点在抛物线上． ①求抛物线的解析式及点的坐标； ②连接，若点是直线上方的抛物线上一点，连接，，当面积最大时，求点的坐标及面积的最大值； (2)已知点的坐标为，连接，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落在抛物线上，求抛物线的解析式． 3．已知抛物线（a，b，c为常数，），，与x轴正半轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴负半轴相交于点C，点D为抛物线顶点，点M在y轴负半轴上，． (1)若点A的坐标为，点C的坐标为． ①求抛物线顶点D的坐标； ②求点M的坐标； (2)若，且，求a的值． 4．已知抛物线（，为常数，）的顶点为，点在抛物线上，抛物线与轴相交于点，点为点关于抛物线对称轴的对称点，为坐标原点． (1)当时，求点和点的坐标； (2)当时，求的值和线段的长； (3)抛物线上点的横坐标，当时，满足，且，垂足为点．直接写出此时的值和点的坐标． 5．已知抛物线（b、c为常数）的顶点为P，与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C． (1)若，，求点P和点A的坐标； (2)当，且时，求点P的坐标； (3)当，时，过直线上一点G作y轴的平行线，交抛物线于点H，当的最大值为4时，求b的值． 6．已知抛物线（是常数，）的顶点为，与轴相交于点和点（点在点的左侧），抛物线的对称轴与轴相交于点． (1)若，点的坐标为． ①求点的坐标； ②为直线上方的抛物线上的动点，过点作轴与相交于点，当取得最大值时，求点的坐标； (2)若点，（是常数，），，是直线上的动点，过点作与相交于点，当的最小值为12时，求的值． 7．在平面直角坐标系中，点，，抛物线（是常数）的顶点为． (1)当抛物线经过点时，求点的坐标； (2)若点在轴下方，当时，求此时的值； (3)无论取何值，该抛物线都经过定点．当时，求此时的值． 8．已知抛物线（a，b，c为常数，）的顶点为P，且，与x轴相交于和B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C． (1)若． ①求点P和点B的坐标； ②点D为抛物线第四象限上一动点，过点D作轴于点F，交于点E，记，的面积分别为，，求最大值时点D的横坐标； (2)点Q为直线上一动点，点M在x轴下方一点，满足，，连接，，当的最小值为时，求点M和Q的坐标． 9．在平面直角坐标系中，点，点，抛物线（，为常数，）的顶点为． (1)若抛物线经过点，，连接． ①求此抛物线的解析式； ②过点作直线，与抛物线相交于点，求线段的长． (2)若，连接点和点，分别过点画直线轴，，在直线上截取（点在直线下方），当的最小值为时，求抛物线解析式． 10．已知抛物线（为常数，）的顶点为，且与轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点，为抛物线上一点，点横坐标为，且． (1)若． ①求点和点的坐标； ②过点作，交于点，若时，求点的坐标； (2)若点的坐标为，点在轴负半轴上，且点的坐标为，，点分别在上，且，当取得最小值为时，求点的坐标． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $