第五单元 三角形（易错专项讲义）数学人教版四年级下册

第五单元 三角形易错专项讲义 简介： 1．易错知识点梳理：本单元易错点梳理，让学生明确哪些知识点容易记混、记错。 2．易错点剖析训练：结合相关例题分类剖析常考易错点，并对易错点进行针对性训练，让学生在训练中记住易错点，攻克难关。 目录 模块一 易错知识点梳理 2 模块二 易错点剖析训练 2 易错点1：对三角形的高理解错误。 2 易错点2：未能正确理解三角形的三边关系。 5 易错点3：对三角形中角的认识或三角形分类理解错误。 9 易错点4：等腰三角形和等边三角形理解错误。 11 易错点5：三角形内角和或多边形内角和运用错误。 14 易错点6：三角形稳定性理解错误。 17 模块一 易错知识点梳理 1、误认为三角形只有一条高。 任何三角形都有三条边、三个顶点、三个角和三条高。当对边不够长时，可将该对边画虛线延长，再经过顶点画延长线的垂线。 2、对三角形三边关系掌握不透彻。 必须是任意两边之和都大于第三边才能围成一个三角形。 3、对三角形中角的认识理解错误。 一个三角形中至少有两个锐角，因此，根据最大角就能直接判断出三角形的类型。 4、对等腰三角形的概念理解不透彻。 等腰三角形可以是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形。 5、对三角形的内角和认识不清。 一个三角形中最多有一个直角。 6、没有正确理解三角形三个内角的和是180°。 三角形的内角和不会随着三角形的大小而改变,永远都是180°。 模块二 易错点剖析与训练 易错点1：对三角形的高理解错误。 【典例1】判断:下图三角形只有一条高。（ ） 【错误答案】正确 【错解分析】此题错在认为该三角形只有一条高在内部,就误以为这个三角形只有一条高,没有认识到三角形的三个顶点都可以向其对边作高,当对边不够长时,可以画延长线作高,故题中的三角形也应该有三条高。 【正确答案】错误 【易错专练1】如下图所示的三角形ABC中，AB边上的高是（    ）。 A．线段BD B．线段AC C．线段BC 【答案】C 【分析】根据三角形高的定义，从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，来判断AB边上的高。 在三角形 ABC中，AB边为底边时，从C点向AB边所在直线作垂线，垂足为B点，所以AB边上的高是从C点到AB边的垂线段。 【解答】A.线段BD是从B点向AC边作的垂线段，是AC边上的高，故不正确。 B.线段AC是三角形的一条边，不是AB边上的高，故不正确。 C.线段BC是从C点向AB边作的垂线段，是AB边上的高，故正确。 故答案为：C 【易错专练2】写出下列三角形的底和高。 （1）图①中三角形的底是（ ），高是（ ）。 （2）图②中三角形的底是（ ），高是（ ）。 （3）图③中三角形的底是（ ），高是（ ）。 【答案】（1）AB CD （2）AB（AC） AC（AB） （3）AB CD 【分析】三角形的“底”是选取的一条边，“高”是从对应顶点向这条边作的垂线段（与底边垂直）。需根据每个图中垂线的对应关系确定底和高。 【解答】（1）图①：垂线是从C向AB作的，因此AB是底，对应的垂线段是高； 图①底是AB，高是CD； （2）图②：垂线是从C向AB作的（AB为水平边且与高垂直），因此AB是底，对应的垂线段是高； 图②底是AB，高是AC； （3）图③：垂线是从C向AD作的（AD是AB的延长线，作为底边），因此AB是底，对应的垂线段CD是高。 图③底是AB，高是CD。 【易错专练3】填一填。 （1）在图中括号里写出三角形各部分的名称。 （2）每个三角形中都有（    ）条边，（    ）个角，（    ）个顶点，（    ）条高。 （3）图中的三角形可以表示为（    ）。 【答案】（1）； （2）3；3 ；3；3；   （3）三角形ABC 【分析】由图可知，图中点A，点B，点C是顶点，即有3个顶点；线段AB，线段BC，线段AC是边，即有3条边；∠A，∠B，∠C是角，即有3个角。从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。所以图中三角形有3条高，线段AD是高，点D是垂足。用三角形的三个顶点的字母来表示三角形，据此解答。 【解答】由分析可知，（1）如图所示： （2）每个三角形中都有3条边，3个角，3个顶点，3条高。 （3）图中的三角形可以表示为三角形ABC。 【易错专练4】如下图，在一组平行线之间有3个三角形，从数学角度观察，3个三角形有什么共同点？ 【答案】同底等高 【分析】平行线间的距离处处相等。由题意得，在一组平行线之间有3个三角形，那么这3个三角形的高相等。由图可知，这三个三角形的底相同，所以这3个三角形等底等高。 【解答】根据题意作图如下： 答：这3个三角形同底等高。 【易错专练5】画出下面三角形指定底边上的高。 【答案】见详解 【分析】要作三角形指定底边上的高，则从这条底边相对的三角形顶点向它或者它的延长线作垂线，从顶点到垂足间的线段就是这条边上的高，据此作图。 【解答】作图如下： 易错点2：未能正确理解三角形的三边关系。 【典例2】现有长6cm、10cm的小棒各一根。要搭成一个三角形，第三根小棒（长度为整厘米数）最长可以是( )cm，最短可以是( )cm。 【错误答案】17 4 【错解分析】本题未能正确掌握三角形的三边关系。根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”进行分析即可。 【正确答案】6＋10=16（厘米）； 第三条边要比16厘米小，比16小的最大整厘米数是15厘米； 10－6＝4（厘米）； 第三边要比4厘米大，比4大的最小整厘米数是5厘米。 【易错专练1】一个三边长均为整厘米数的三角形的两边的长分别是8厘米和3厘米，第三边的长度最大为（ ）厘米，最小为（ ）厘米。 【答案】10 6 【分析】根据三角形的特性：三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边的差小于第三边，结合题意列出合理的不等式；进行解答即可。 【解答】求最长边：8＋3＝11，两边之和大于第三边，11＞第三边长，10厘米是最长边； 求最短边：8－3＝5，两边的差小于第三边，5＜第三边长，6厘米就是最短边。 一个三边长均为整厘米数的三角形的两边的长分别是8厘米和3厘米，第三边的长度最大为（10）厘米，最小为（6）厘米。 【易错专练2】把一根12cm长的吸管剪成3段（每段都是整厘米数），围成一个三角形，这个三角形三条边的长度可能分别是（ ）cm、（ ）cm和（ ）cm，还可能分别是（ ）cm、（ ）cm和（ ）cm。 【答案】3 4 5 4 4 4 【分析】根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，且三边总长为12cm。最长边必须小于12÷2＝6cm，即不超过5cm。列举满足条件的整厘米数组合，验证每组是否满足三角形的三边关系。 【解答】总长12cm，最长边必须小于12÷2＝6cm，因此最长边小于6cm。 组合一（3cm、4cm、5cm），3＋4＋5＝12（cm），且3＋4＞5，满足三角形三边关系； 组合二（4cm、4cm、4cm），4＋4＋4＝12（cm），且4＋4＞4，满足三角形三边关系； 组合三（2cm、5cm、5cm），2＋5＋5＝12（cm），且2＋5＞5，满足三角形三边关系。 有三种可能，题目要求两组可能的组合，因此可任选两组。 即： 这个三角形三条边的长度可能分别是3cm、4cm和5cm，还可能分别是4cm、4cm和4cm。（答案不唯一） 【易错专练3】海海测量了两块三角形土地，并把测量结果画成了两张平面图（如下图）。乐乐看了这两张图说：“你测量有误。”想一想，为什么乐乐没有测量就知道海海的测量有误呢？ 【答案】第一张图：10＋13＝23＜25，而三角形两边之和应大于第三边，所以测量有误。 第二张图：30＋42＝72，而三角形两边之和应大于第三边，所以测量有误。 【分析】三角形的基本性质是任意两边之和大于第三边，以此可判断测量是否有误。 【解答】第一张图：，，不满足三角形两边之和大于第三边的性质。 第二张图：，同样不满足三角形两边之和大于第三边的性质。 所以乐乐知道海海测量有误。 答：因为海海测量的三角形两边之和等于第三边，不符合三角形两边之和大于第三边的性质，所以测量有误。 【易错专练4】三角形的一条边长是12厘米，另外两条边长（整米厘米）的和是20厘米，这两条边长可以分别是多少厘米？你能把你想到的符合条件的一组一组地都写出来吗？试试看。 【答案】5厘米和15厘米、6厘米和14厘米、7厘米和13厘米、8厘米和12厘米、9厘米和11厘米、10厘米和10厘米。 【分析】根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，已知其中一条边是12厘米，另外两条边的和是20厘米，据此列出所有符合条件的情况即可。 【解答】三条边分别是12厘米、1厘米、19厘米时：12＋1＝13（厘米），13＜19，两边之和小于第三边，不能围成三角形； 12厘米、2厘米、18厘米：12＋2＝14（厘米），14＜19，两边之和小于第三边，不能围成三角形； 12厘米、3厘米、17厘米，12＋3＝15（厘米），15＜17，两边之和小于第三边，不能围成三角形； 12厘米、4厘米、16厘米：12＋4＝16（厘米），16＝16，两边之和小于第三边，不能围成三角形； 12厘米、5厘米、15厘米：12＋5＝17（厘米），17＞15，12－5＝7（厘米），7＜15，能围成三角形； 12厘米、6厘米、14厘米：12＋6＝18（厘米），18＞14，12－6＝6（厘米），6＜14，能围成三角形； 12厘米、7厘米、13厘米：12＋7＝19（厘米），19＞13，12－7＝5（厘米），5＜13，能围成三角形； 12厘米、8厘米、12厘米：12＋8＝20（厘米），20＞12，12－8＝4（厘米），4＜12，能围成三角形； 12厘米、9厘米、11厘米：11＋9＝20（厘米），20＞12，11－9＝2（厘米），2＜12，能围成三角形； 12厘米、10厘米、10厘米：10＋10＝20（厘米），20＞12，10－10＝0，0＜12，能围成三角形。 答：这两条边长可以分别是5厘米和15厘米、6厘米和14厘米、7厘米和13厘米、8厘米和12厘米、9厘米和11厘米、10厘米和10厘米。 【易错专练5】把一根长10厘米的铁丝剪成3段，再首尾相连围成三角形。（在整厘米处剪） （1）若从4厘米处剪了一刀，再在（    ）厘米处剪一刀得到的铁丝就能围成三角形。 （2）小雨第一刀剪在5厘米处，飞飞判断她不能围成一个三角形。飞飞的说法正确吗？请举例说明理由。 【答案】（1）6、7或8 （2）飞飞的说法正确；因为小雨第一刀剪在5厘米处，剩下的两边之和等于5厘米，不符合三角形的三边关系，不能围城三角形。 【分析】（1）根据题意，明确三角形的三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，已知铁丝长10厘米，从4厘米处剪了一刀，剩下10－4＝6（厘米），另外两边之和是6厘米，可以分成5厘米、1厘米，4厘米、2厘米，3厘米、3厘米，分别进行验证，4＋1＝5，所以不能分成5厘米、1厘米；4＋2＝6＞4，3＋3＝6＞4，另外两边4厘米、2厘米，3厘米、3厘米成立；可以在4＋2＝6（厘米），4＋3＝7（厘米）、4＋4＝8（厘米）处处剪一刀得到的铁丝就能围成三角形。以此答题即可。 （2）小雨第一刀剪在5厘米处，飞飞判断她不能围成一个三角形。飞飞的说法正确，因为小雨第一刀剪在5厘米处，剩下的两边之和等于5厘米，不符合三角形的三边关系，不能围城三角形。以此答题即可。 【解答】根据分析可知： （1）10－4＝6（厘米） 4＋1＝5 4＋2＝6＞4 3＋3＝6＞4 4＋2＝6（厘米） 4＋3＝7（厘米） 4＋4＝8（厘米） 若从4厘米处剪了一刀，再在6、7或8厘米处剪一刀得到的铁丝就能围成三角形。 （2）4＋1＝5 飞飞的说法正确；因为小雨第一刀剪在5厘米处，剩下的两边之和等于5厘米，不符合三角形的三边关系，不能围城三角形。 易错点3：对三角形中角的认识或三角形分类理解错误。 【典例3】填空:任意一个三角形中至少有( )个锐角。 【错误答案】1 【错解分析】此题错在对三角形中角的认识不够。在锐角三角形中,三个角都是锐角;在直角三角形中,有两个角是锐角;在钝角三角形中,也有两个角是锐角。因此,任意一个三角形中至少有两个锐角 【正确答案】2 【易错专练1】一个三角形里虽然有两个锐角，但这个三角形不一定是锐角三角形。（ ） 【答案】√ 【分析】若一个三角形中有两个锐角，第三个角可能是锐角、直角或钝角。只有当三个角均为锐角时才是锐角三角形，因此结论成立。 【解答】假设三角形中有两个锐角，若第三个角为锐角（小于90°），则三角形是锐角三角形；若第三个角为直角（等于90°），则为直角三角形；若第三个角为钝角（大于90°），则为钝角三角形。因此，虽然有两个锐角，但三角形类型不确定。题干说法正确。 故答案为：√ 【易错专练2】一个三角形中最大的角是100°，这个三角形一定是钝角三角形。（ ） 【答案】√ 【分析】有一个角是钝角的三角形叫钝角三角形。据此解答。 【解答】由题意得，一个三角形中最大的角是100°，100°＞90°，即这个角是钝角，所以这个三角形是钝角三角形。原题说法正确。 故答案为：√ 【易错专练3】图中有（ ）个锐角三角形，（ ）个直角三角形，（ ）个钝角三角形。 【答案】1 4 5 【分析】三个角都是锐角的三角形是锐角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形。 【解答】如图： 锐角三角形有：③＋④，共1个； 直角三角形有：③、④、②＋③、①＋②＋③，共4个； 钝角三角形有：①、②、①＋②、②＋③＋④、①＋②＋③＋④，共5个。 因此，图中有1个锐角三角形，4个直角三角形，5个钝角三角形。 【易错专练4】有一块三角形玻璃碎成了三块（如图），如果到玻璃店再重新配一块形状完全一样的玻璃，最省事的办法是带着第（ ）块玻璃。 【答案】① 【分析】根据三角形分类和特性，一个三角形最少有两个锐角，如果已知三角形的两个锐角，可以判断出三角形的形状，如果只知道一个锐角无法判断三角形的形状。据此解答。 【解答】把第①块玻璃残缺的那两条边延长就得到了原来三角形玻璃的形状。 所以，最省事的办法是带着第①块玻璃。 【易错专练5】下面的三个纸袋里各有一个三角形，都有一个角露在外面。你能猜一猜它们分别可能是什么三角形吗？ （ ）三角形      （ ）三角形         （ ）三角形 【答案】直角 直角/锐角/钝角 钝角 【分析】等于90°的角是直角，小于90°的角是锐角，大于90°小于180°的角是钝角； 在三角形中，有一个角是直角的是直角三角形，有一个角是钝角的是钝角三角形，三个角都是锐角的是锐角三角形；据此解答。 【解答】（1）有一个角是直角的三角形是直角三角形； （2）有一个角是锐角的三角形有可能是直角三角形、锐角三角形、钝角三角形； （3）有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。 易错点4：等腰三角形和等边三角形理解错误。 【典例4】一个等腰三角形，已知一个底角是40°，求顶角的度数。 【错误答案】顶角=180°-40°=140° 【错解分析】等腰三角形两个底角相等，不是只有一个底角，内角和180°是三个角的和，不是两个角的和，错误地用180°减去一个底角，忽略了另一个相等的底角。 【正确解答】底角=40°，另一个底角也是40° 顶角=180°-40°×2=180°-80°=100° 答：顶角的度数是100°。 【易错专练1】已知一个等腰三角形的两条边分别长5厘米，10厘米，那么它的第三条边长（ ）厘米。 【答案】10 【分析】根据等腰三角形的性质确定第三边的两种可能长度，再根据三角形的三边关系判断能否构成三角形，从而确定三角形第三条边的长度。 【解答】第三条边的长度可能为5厘米或者10厘米。 第一种情况：三角形的三条边长度分别为5厘米、5厘米、10厘米，再利用三角形的三边关系（三角形任意两边之和大于第三边），其中不满足三角形的三边关系，因此不能构成三角形； 第二种情况：三角形的三条边长度分别为5厘米、10厘米、10厘米，再利用三角形的三边关系（三角形任意两边之和大于第三边），其中或都满足三角形的三边关系，因此能构成三角形； 所以它的第三条边长为10厘米。 【易错专练2】有2厘米和5厘米的小棒各1根，如果再选一根小棒围成一个三角形，这根小棒最长是（ ）厘米（取整厘米数）；如果要围成一个等腰三角形，这根小棒的长度是（ ）厘米。 【答案】6 5 【分析】在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。那么比2厘米和5厘米的和小1厘米即为第三边最长的长度；如果要围成一个等腰三角形，假设第三边为2厘米，2＋2＝4（厘米）＜5厘米，不能围成三角形，只能选择第三边是5厘米。 【解答】5＋2－1＝6（厘米），如果再选一根小棒围成一个三角形，这根小棒最长是6厘米； 由分析可知：如果要围成一个等腰三角形，这根小棒的长度是5厘米，则三边长是5厘米，5厘米，2厘米符合等腰三角形特征。 即有2厘米和5厘米的小棒各1根，如果再选一根小棒围成一个三角形，这根小棒最长是6厘米（取整厘米数）；如果要围成一个等腰三角形，这根小棒的长度是5厘米。 【易错专练3】一个等腰三角形形状的风筝，两条边长分别是54厘米和27厘米，这个风筝的周长是多少厘米？ 【答案】135厘米 【分析】根据等腰三角形的性质，第三条边的长度可能是54厘米或27厘米。需要依据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”进行验证，排除不能组成三角形的情况，再计算三角形的周长。 【解答】分两种情况讨论： 第一种情况：当腰长是27厘米，底边长是54厘米时。 因为27＋27＝54，不满足三角形任意两边之和大于第三边，所以不能组成三角形。 第二种情况：当腰长是54厘米，底边长是27厘米时。 因为54＋27＞54，满足三角形任意两边之和大于第三边，可以组成三角形。 周长计算如下： 54＋54＋27 ＝108＋27 ＝135（厘米） 答：这个风筝的周长是135厘米。 【易错专练4】一根铁丝刚好可以围成一个边长是8cm的等边三角形，若把它重新围成一条边长是6cm的等腰三角形，则这个等腰三角形的底和腰各是多少厘米？ 【答案】底是6cm，腰是9cm 【分析】先计算铁丝的总长度，再分两种情况讨论等腰三角形的边长，根据三角形三边关系判断哪种情况成立，从而确定底和腰的长度；据此解答。 【解答】（cm） 如果腰是6cm，那么底是 （cm） 因为，所以围不成三角形，则这个等腰三角形的底是6cm。 腰长： （cm） 答：这个等腰三角形的底是6厘米，腰长是9厘米。 【易错专练5】一根铁丝可以围成一个腰长15分米、底边长24分米的等腰三角形。如果改围成一个等边三角形，那么等边三角形的每条边长多少分米？ 【答案】18分米 【分析】等腰三角形的两条腰长度相等。由题意得，一根铁丝可以围成一个腰长15分米、底边长24分米的等腰三角形，可以用腰的长度乘以2再加上底边的长度算出等腰三角形的周长，也就是这根铁丝的长度。如果改围成一个等边三角形，等边三角形的三条边长度相等，直接用前面的得数除以3即可算出等边三角形的每条边长多少分米。 【解答】15×2＋24 ＝30＋24 ＝54（分米） 54÷3＝18（分米） 答：等边三角形的每条边长18分米。 易错点5：三角形内角和或多边形内角和运用错误。 【典例5】判断:沿等腰直角三角形底边上的高将三角形平均分成两个小三角形,每个小三角形的内角 和是90°。（ ） 【错误答案】正确 【错解分析】此题错在类推出错,沿等腰直角三角形底边，上的高将三角形平均分成两个小三角形,误认为两个，小三角形的内角和是原等腰直角三角形内角和的一半，。 【正确答案】错误 【易错专练1】如图，∠1＝（ ）°，∠2＝（ ）°。 【答案】50 22 【分析】在包含∠1的直角三角形中，根据三角形内角和等于180°，用180°减去90°和已知的40°，即可求出∠1的角度；在包含∠2的直角三角形中，根据三角形内角和等于180°，用180°减去90°，再减去已知的18°与∠1的度数和，求出∠2的角度。 【解答】∠1＝180°－90°－40° ＝90°－40° ＝50° ∠2＝180°－90°－（18°＋50°） ＝90°－68° ＝22° 【易错专练2】在三角形ABC中∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠A＝70°。那么∠5等于（ ）°。 【答案】125 【分析】因为∠A＝70°，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4的度数为：180°－70°＝110°。因为∠1＝∠2，∠3＝∠4，所以∠2＋∠4的度数为：110°÷2＝55°。据此即可求出∠5的度数为：180°－55°＝125°。 【解答】∠1＋∠2＋∠3＋∠4的度数：180°－70°＝110° ∠2＋∠4的度数：110°÷2＝55° ∠5的度数：180°－55°＝125° 因此∠5的度数为125°。 【易错专练3】如图，已知等腰梯形中∠1＝45°，那么∠2＝（ ）。 【答案】135° 【分析】等腰梯形是一个四边形，一个四边形的内角和是360°，等腰梯形的两底角相等，用360°减去2个45°，求出的差再除以2，即可求出∠2的度数。 【解答】360°－2×45° ＝360°－90° ＝270° 270°÷2＝135° 所以∠2＝135°。 【易错专练4】如图三角形，已知∠1＝65°，则∠2＝（ ）°；沿图中虚线剪下一个小三角形后，剩余部分的内角和是（ ）°。 【答案】25 360 【分析】三角形的内角和是180°，因此用180°减另外两个角的度数之和，即可得到∠2的度数；沿虚线剪下一个小三角形，则剩余部分的图形是一个四边形，多边形的内角和＝（多边形的边数－2）×180°，依此解答。 【解答】180°－（90°＋65°） ＝180°－155° ＝25° （4－2）×180° ＝2×180° ＝360° ∠2＝25°；沿虚线剪下一个小三角形，则剩余部分的图形内角和是360°。 【易错专练5】如下图，已知∠4＝70°，∠6＝120°，求∠2和∠7的度数。 【答案】； 【分析】通过观察图形，利用三角形内角和为180°以及四边形内角和为360°的性质，结合已知角的度数逐步计算出∠2和∠7的度数。 【解答】在包含∠2、∠8和∠4的三角形中，已知∠8=90°，∠4=70°，根据三角形内角和为180°， 可得 在包含∠1、∠2和∠3的平角中，已知∠2=20°，∠3=90°，根据平角为180°， 可得 在包含∠7、∠6、∠1和∠5的四边形中，已知∠6=120°，∠1=70°，∠5=90°，根据四边形内角和为360°。 可得 = 答：∠2的度数为20°，∠7的度数为80°。 易错点6：三角形稳定性理解错误。 【典例6】判断：自行车车架做成三角形，是因为三角形不容易变形。（ ） 【错误答案】× 【错解分析】三角形具有稳定性，这是三角形的重要特性，稳定性指的是三角形三边确定后，形状和大小就固定了，不会变形，四边形具有不稳定性，容易变形。 自行车车架做成三角形正是利用了三角形的稳定性 【正确解答】√ 【易错专练1】用三根木条钉成一个三角形，用力拉都不会变形，这是三角形的（ ）性。 【答案】稳定 【分析】三角形具有不易变形的特点，这种特性被称为稳定性。 【解答】用三根木条钉成一个三角形，用力拉都不会变形，这是三角形的稳定性。 【易错专练2】如下图，小红利用课余时间搭建了一座相当牢固的“桥”，这是利用了（ ）。 【答案】三角形的稳定性 【分析】小红利用课余时间搭建了一座相当牢固的“桥”，是由三角形组成的，只要三角形的三边的长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定了，这个性质叫做三角形的稳定性。依此填空。 【解答】如下图，小红利用课余时间搭建了一座相当牢固的“桥”，这是利用了三角形的稳定性。 【易错专练3】如图，这种外推式窗户用一根钢条将一扇打开的玻璃窗支撑起来，这样风就不易吹动窗户。请你利用学过的知识解释这样设计的原理。 【答案】利用了三角形的稳定性。 【分析】观察图形发现，当用一根钢条把窗户撑住时，窗户、钢条和窗框之间形成了一个三角形结构。三角形具有稳定性，它的形状不容易改变，据此作答。 【解答】答：这种窗户设计利用了三角形的稳定性，当用一根钢条把窗户撑住时，窗户、钢条和窗框之间形成了一个三角形结构，因此不易被吹动。 【易错专练4】爷爷给菜地设计篱笆，他想了以下几种方案，哪种方案设计的篱笆最牢固？为什么？ 【答案】②；理由见详解 【分析】三角形具有稳定性，有着稳固、坚定、耐压的特点，埃及金字塔、钢轨、三角形框架、起重机、三角形吊臂、屋顶、三角形钢架、钢架桥和埃菲尔铁塔都以三角形形状建造；四边形具有易变形的特性，即不稳定性，升降机、晾衣架等都利用了平行四边形的这种特性。据此解答。 【解答】答：方案②设计的篱笆最牢靠。方案①和方案③篱笆中间的形状是长方形或者平行四边形，它们都易变形。而方案②篱笆中间的形状是三角形，三角形具有稳定性，所以方案②设计的篱笆最牢靠。 【易错专练5】王宇同学为克服自己的惰性，把电影《哪吒2》中哪吒说的“我命由我，不由天”做成座右铭相框时时勉励自己。为了使相框立着放置，他选择用三角形支架。 （1）这里选用三角形支架是应用了三角形的____________这一特性。 （2）网上有3种组合的木条： ①8cm    15cm    6cm ②7cm    7cm    14cm ③10cm    8cm    6cm 你会建议王宇选第（ ）种组合的木条。（填序号）说说你的想法：__________________________________________________________________。 【答案】（1）稳定性 （2）③ 三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，8＋6＞10，10－6＜8，只有③符合三角形的三边关系，则能围成三角形。 【分析】（1）根据三角形具有稳定性这一特性进行解答； （2）三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此依次分析①、②、③，看哪种组合符合三角形的三边关系，就选这种组合。 【解答】（1）这里选用三角形支架是应用了三角形的稳定性这一特性。 （2）①8＋6＜15，不符合三角形的三边关系，不能围成三角形； ②7＋7＝14，不符合三角形的三边关系，不能围成三角形； ③8＋6＞10，10－6＜8，符合三角形的三边关系，能围成三角形； 建议王宇选第③种组合的木条。 想法：三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，8＋6＞10，10－6＜8，只有③符合三角形的三边关系，则能围成三角形。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五单元 三角形易错专项讲义 简介： 1．易错知识点梳理：本单元易错点梳理，让学生明确哪些知识点容易记混、记错。 2．易错点剖析训练：结合相关例题分类剖析常考易错点，并对易错点进行针对性训练，让学生在训练中记住易错点，攻克难关。 目录 模块一 易错知识点梳理 2 模块二 易错点剖析训练 2 易错点1：对三角形的高理解错误。 2 易错点2：未能正确理解三角形的三边关系。 4 易错点3：对三角形中角的认识或三角形分类理解错误。 6 易错点4：等腰三角形和等边三角形理解错误。 7 易错点5：三角形内角和或多边形内角和运用错误。 8 易错点6：三角形稳定性理解错误。 10 模块一 易错知识点梳理 1、误认为三角形只有一条高。 任何三角形都有三条边、三个顶点、三个角和三条高。当对边不够长时，可将该对边画虛线延长，再经过顶点画延长线的垂线。 2、对三角形三边关系掌握不透彻。 必须是任意两边之和都大于第三边才能围成一个三角形。 3、对三角形中角的认识理解错误。 一个三角形中至少有两个锐角，因此，根据最大角就能直接判断出三角形的类型。 4、对等腰三角形的概念理解不透彻。 等腰三角形可以是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形。 5、对三角形的内角和认识不清。 一个三角形中最多有一个直角。 6、没有正确理解三角形三个内角的和是180°。 三角形的内角和不会随着三角形的大小而改变,永远都是180°。 模块二 易错点剖析与训练 易错点1：对三角形的高理解错误。 【典例1】判断:下图三角形只有一条高。（ ） 【错误答案】正确 【错解分析】此题错在认为该三角形只有一条高在内部,就误以为这个三角形只有一条高,没有认识到三角形的三个顶点都可以向其对边作高,当对边不够长时,可以画延长线作高,故题中的三角形也应该有三条高。 【正确答案】错误 【易错专练1】如下图所示的三角形ABC中，AB边上的高是（    ）。 A．线段BD B．线段AC C．线段BC 【易错专练2】写出下列三角形的底和高。 （1）图①中三角形的底是（ ），高是（ ）。 （2）图②中三角形的底是（ ），高是（ ）。 （3）图③中三角形的底是（ ），高是（ ）。 【易错专练3】填一填。 （1）在图中括号里写出三角形各部分的名称。 （2）每个三角形中都有（    ）条边，（    ）个角，（    ）个顶点，（    ）条高。 （3）图中的三角形可以表示为（    ）。 【易错专练4】如下图，在一组平行线之间有3个三角形，从数学角度观察，3个三角形有什么共同点？ 【易错专练5】画出下面三角形指定底边上的高。 易错点2：未能正确理解三角形的三边关系。 【典例2】现有长6cm、10cm的小棒各一根。要搭成一个三角形，第三根小棒（长度为整厘米数）最长可以是( )cm，最短可以是( )cm。 【错误答案】17 4 【错解分析】本题未能正确掌握三角形的三边关系。根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”进行分析即可。 【正确答案】6＋10=16（厘米）； 第三条边要比16厘米小，比16小的最大整厘米数是15厘米； 10－6＝4（厘米）； 第三边要比4厘米大，比4大的最小整厘米数是5厘米。 【易错专练1】一个三边长均为整厘米数的三角形的两边的长分别是8厘米和3厘米，第三边的长度最大为（ ）厘米，最小为（ ）厘米。 【易错专练2】把一根12cm长的吸管剪成3段（每段都是整厘米数），围成一个三角形，这个三角形三条边的长度可能分别是（ ）cm、（ ）cm和（ ）cm，还可能分别是（ ）cm、（ ）cm和（ ）cm。 【易错专练3】海海测量了两块三角形土地，并把测量结果画成了两张平面图（如下图）。乐乐看了这两张图说：“你测量有误。”想一想，为什么乐乐没有测量就知道海海的测量有误呢？ 【易错专练4】三角形的一条边长是12厘米，另外两条边长（整米厘米）的和是20厘米，这两条边长可以分别是多少厘米？你能把你想到的符合条件的一组一组地都写出来吗？试试看。 【易错专练5】把一根长10厘米的铁丝剪成3段，再首尾相连围成三角形。（在整厘米处剪） （1）若从4厘米处剪了一刀，再在（    ）厘米处剪一刀得到的铁丝就能围成三角形。 （2）小雨第一刀剪在5厘米处，飞飞判断她不能围成一个三角形。飞飞的说法正确吗？请举例说明理由。 易错点3：对三角形中角的认识或三角形分类理解错误。 【典例3】填空:任意一个三角形中至少有( )个锐角。 【错误答案】1 【错解分析】此题错在对三角形中角的认识不够。在锐角三角形中,三个角都是锐角;在直角三角形中,有两个角是锐角;在钝角三角形中,也有两个角是锐角。因此,任意一个三角形中至少有两个锐角 【正确答案】2 【易错专练1】一个三角形里虽然有两个锐角，但这个三角形不一定是锐角三角形。（ ） 【易错专练2】一个三角形中最大的角是100°，这个三角形一定是钝角三角形。（ ） 【易错专练3】图中有（ ）个锐角三角形，（ ）个直角三角形，（ ）个钝角三角形。 【易错专练4】有一块三角形玻璃碎成了三块（如图），如果到玻璃店再重新配一块形状完全一样的玻璃，最省事的办法是带着第（ ）块玻璃。 【易错专练5】下面的三个纸袋里各有一个三角形，都有一个角露在外面。你能猜一猜它们分别可能是什么三角形吗？ （ ）三角形      （ ）三角形         （ ）三角形 易错点4：等腰三角形和等边三角形理解错误。 【典例4】一个等腰三角形，已知一个底角是40°，求顶角的度数。 【错误答案】顶角=180°-40°=140° 【错解分析】等腰三角形两个底角相等，不是只有一个底角，内角和180°是三个角的和，不是两个角的和，错误地用180°减去一个底角，忽略了另一个相等的底角。 【正确解答】底角=40°，另一个底角也是40° 顶角=180°-40°×2=180°-80°=100° 答：顶角的度数是100°。 【易错专练1】已知一个等腰三角形的两条边分别长5厘米，10厘米，那么它的第三条边长（ ）厘米。 【易错专练2】有2厘米和5厘米的小棒各1根，如果再选一根小棒围成一个三角形，这根小棒最长是（ ）厘米（取整厘米数）；如果要围成一个等腰三角形，这根小棒的长度是（ ）厘米。 【易错专练3】一个等腰三角形形状的风筝，两条边长分别是54厘米和27厘米，这个风筝的周长是多少厘米？ 【易错专练4】一根铁丝刚好可以围成一个边长是8cm的等边三角形，若把它重新围成一条边长是6cm的等腰三角形，则这个等腰三角形的底和腰各是多少厘米？ 【易错专练5】一根铁丝可以围成一个腰长15分米、底边长24分米的等腰三角形。如果改围成一个等边三角形，那么等边三角形的每条边长多少分米？ 易错点5：三角形内角和或多边形内角和运用错误。 【典例5】判断:沿等腰直角三角形底边上的高将三角形平均分成两个小三角形,每个小三角形的内角 和是90°。（ ） 【错误答案】正确 【错解分析】此题错在类推出错,沿等腰直角三角形底边，上的高将三角形平均分成两个小三角形,误认为两个，小三角形的内角和是原等腰直角三角形内角和的一半，。 【正确答案】错误 【易错专练1】如图，∠1＝（ ）°，∠2＝（ ）°。 【易错专练2】在三角形ABC中∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠A＝70°。那么∠5等于（ ）°。 【易错专练3】如图，已知等腰梯形中∠1＝45°，那么∠2＝（ ）。 【易错专练4】如图三角形，已知∠1＝65°，则∠2＝（ ）°；沿图中虚线剪下一个小三角形后，剩余部分的内角和是（ ）°。 【易错专练5】如下图，已知∠4＝70°，∠6＝120°，求∠2和∠7的度数。 易错点6：三角形稳定性理解错误。 【典例6】判断：自行车车架做成三角形，是因为三角形不容易变形。（ ） 【错误答案】× 【错解分析】三角形具有稳定性，这是三角形的重要特性，稳定性指的是三角形三边确定后，形状和大小就固定了，不会变形，四边形具有不稳定性，容易变形。 自行车车架做成三角形正是利用了三角形的稳定性 【正确解答】√ 【易错专练1】用三根木条钉成一个三角形，用力拉都不会变形，这是三角形的（ ）性。 【易错专练2】如下图，小红利用课余时间搭建了一座相当牢固的“桥”，这是利用了（ ）。 【易错专练3】如图，这种外推式窗户用一根钢条将一扇打开的玻璃窗支撑起来，这样风就不易吹动窗户。请你利用学过的知识解释这样设计的原理。 【易错专练4】爷爷给菜地设计篱笆，他想了以下几种方案，哪种方案设计的篱笆最牢固？为什么？ 【易错专练5】王宇同学为克服自己的惰性，把电影《哪吒2》中哪吒说的“我命由我，不由天”做成座右铭相框时时勉励自己。为了使相框立着放置，他选择用三角形支架。 （1）这里选用三角形支架是应用了三角形的____________这一特性。 （2）网上有3种组合的木条： ①8cm    15cm    6cm ②7cm    7cm    14cm ③10cm    8cm    6cm 你会建议王宇选第（ ）种组合的木条。（填序号）说说你的想法：__________________________________________________________________。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $