精品解析：辽宁沈阳市第四十三中学教育集团2025～2026学年七年级（下）期中考试数学学科

2025~2026学年度沈阳市第四十三中学教育集团 七年级（下）期中考试 数学学科 （本试卷共23小题 满分120分 考试时长120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．每个小题只有一个答案符合题目要求．） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件中，属于必然事件的是（　　） A. 打开电视，正在播广告 B. 在一个只装有红球的袋中摸出白球 C. 射击运动员射击一次，命中10环 D. 投掷一枚普通的骰子，掷得的点数小于10 3. 下列各图中，与是对顶角的是（ ） A. B. C. D. 4. 随着科学技术的迅猛发展，我国国产光刻机分辨率进步显著，浸没式光刻机套刻精度达到的水平，相当于米，数字用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 5. 一木工师傅有两根长分别为的木条，他要找第三根木条，将它们钉成一个三角形框架，以下4根木条，他选择（ ）的木条合适． A. 3cm B. C. D. 6. 下列多项式相乘，不能用平方差公式计算的是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，为测量池塘两端的距离，学校课外实践小组在池塘旁的开阔地上选了一点C，测得的度数，在的另一侧测得，，再测得的长，就是的长．则其依据是（　　） A. B. C. D. 8. 下列四种说法正确的是（ ） A. 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 B. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C. 过一点有且只有一条直线与这条直线平行 D. 三角形三条高线交于一点 9. 如图，已知，点C为射线上一点，用尺规按如下步骤作图：①以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交于点D，交于点E；②以点C为圆心，以长为半径作弧，交于点F；③以点F为圆心，以长为半径作弧，交前面的弧于点G；④连接并延长交于点H．则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，已知与的面积相等，如果，，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 已知：，，则_________． 12. 如图所示的两个三角形全等，则的度数是_________． 13. 如图，在中，D，E分别是的中点，点F在上，且，若，则等于______． 14. 随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段分别为前叉、下管和立管（点C在上），为后下叉．已知，，，，则的度数为_______． 15. 在中，为边上的高，，，则______． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 按要求完成各题： （1）． （2）． （3）利用整式乘法公式计算：． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均在小正方形的顶点上，请利用格点解决下列问题： （1）画出的边上的高； （2）画出的边上的中线； （3）过点B作的平行线； （4）线段，直接写出点C到直线的距离______． 19. 完成下面的证明并填上推理的根据． 如图，已知，，垂足分别为，，，求证：． 证明：∵，（已知） ∴，（______________） ∴（_________________） ∴（________________） ∴___________ ∵ ∴__________（________________） ∴∥___________ ∴（___________________） 20. 小明和小亮做掷骰子（质地均匀的正方体）游戏，他们共做了100次试验，结果如下： 朝上的点数 1 2 3 4 5 6 出现的次数 15 14 25 20 13 13 （1）计算“1点朝上”的频率和“6点朝上”的频率； （2）小明将一枚骰子任意投掷一次，求朝上的点数不小于4的概率． 21. 定义：把多项式化简后的项数记为，例如多项式，则．一个多项式乘以多项式，化简得到多项式（即），如果，则称是的“好多项式”，如果，则称是的“极好多项式”． （1）若，均是关于的多项式，则是不是的“好多项式”？请判断并说明理由； （2）若，均是关于的多项式，且是的“极好多项式”，则_______． （3）若，均是关于的多项式，且是的“极好多项式”，则_______． 22. 【知识生成】 通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形（），把余下的部分剪开并拼成一个长方形（如图2），图1中阴影部分的面积可表示为：，图2中阴影部分的面积可表示为：，因为两个图中的阴影部分的面积是相同的，所以可得到等式：． （1）观察与发现：图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个大正方形．用两种不同方法表示图中阴影部分面积，可得到一个关于，，，的等式是____________． 【类比迁移】 （2）运用与探究：利用（1）的结论， 解决下列问题：若，；则__________． 【深入探究】 （3）小明在写作业时遇到了这样的一个数学题目： 若满足，求的值”，小明的解题过程如下： 令，，则， 因为． 所以． 请你类比上述方法，解决以下问题： 若满足，求的值； 【实践应用】 （4）如图5，将两个大小不等的正方形按如图所示的方式放置（点、、在一条直线上），连接、、．若，阴影部分面积为48，直接写出的面积． 23. 某数学兴趣学习小组的同学通过赵爽弦图由外到内的三个正方形中找出了全等三角形的模型图，如图1和图2所示的“一线三等角”型． 【问题初探】 （1）已知：点、、在同一条直线上，，，请利用图1，说明． 【内化迁移】 （2）在中，，，点为射线上一动点（点不与点重合），连接，以为直角边，在的右侧作，使，． ①如图3，当点在线段上时，过点作于，当时，________； ②如图4，连接，交直线于点，点在运动过程中，若，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度沈阳市第四十三中学教育集团 七年级（下）期中考试 数学学科 （本试卷共23小题 满分120分 考试时长120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．每个小题只有一个答案符合题目要求．） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】需运用同类项定义、同底数幂乘法法则、积的乘方法则、完全平方公式，逐一判断选项即可． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，A错误； B、根据同底数幂乘法法则，，B错误； C、根据积的乘方法则，，C正确； D、根据完全平方公式，，D错误． 2. 下列事件中，属于必然事件的是（　　） A. 打开电视，正在播广告 B. 在一个只装有红球的袋中摸出白球 C. 射击运动员射击一次，命中10环 D. 投掷一枚普通的骰子，掷得的点数小于10 【答案】D 【解析】 【分析】一定会发生的事件为必然事件，据此求解即可． 【详解】A、打开电视，正在播广告是随机事件，不符合题意； B、在一个只装有红球的袋中摸出白球是不可能事件，不符合题意； C、射击运动员射击一次，命中10环是随机事件，不符合题意； D、投掷一枚普通的骰子，掷得的点数小于10是必然事件，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 3. 下列各图中，与是对顶角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角， 根据对顶角的定义可得只有A选项符合题意． 4. 随着科学技术的迅猛发展，我国国产光刻机分辨率进步显著，浸没式光刻机套刻精度达到的水平，相当于米，数字用科学记数法表示是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，确定和的值即可求解． 【详解】解：是小于1的数，将小数点向右移动9位可得符合要求的， ． 5. 一木工师傅有两根长分别为的木条，他要找第三根木条，将它们钉成一个三角形框架，以下4根木条，他选择（ ）的木条合适． A. 3cm B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用，理解三角形三边关系是解题关键． 根据 “三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边”，据此可得第三边的取值范围，据此即可解答． 【详解】解：设三角形框架的第三边长为x， 根据题意，可得 ，即， 故选项A、C、D不符合题意，选项B符合题意． 故选：B． 6. 下列多项式相乘，不能用平方差公式计算的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平方差公式找两数和与这两数的差即可得到答案． 【详解】解：A、，能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意； B、，能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意； C、，能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意； D、，不能用平方差公式进行计算，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查平方差公式：解题的关键是熟练掌握． 7. 如图，为测量池塘两端的距离，学校课外实践小组在池塘旁的开阔地上选了一点C，测得的度数，在的另一侧测得，，再测得的长，就是的长．则其依据是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：已知条件是，，， ∴， ∴． 故选：B． 8. 下列四种说法正确的是（ ） A. 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 B. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C. 过一点有且只有一条直线与这条直线平行 D. 三角形三条高线交于一点 【答案】A 【解析】 【分析】根据初中几何的定理定义，逐一核对各选项表述判断正误． 【详解】解：选项A的表述完全符合垂线段的性质定理，内容正确； 选项B中，定理需要前提“在同一平面内”，缺少前提，表述错误； 选项C中，定理要求该点为“直线外一点”，若点在已知直线上，无法作出平行线，表述错误.； 选项D中，三角形三条高线所在直线才交于一点，钝角三角形的三条高线本身不交于同一点，表述错误． 9. 如图，已知，点C为射线上一点，用尺规按如下步骤作图：①以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交于点D，交于点E；②以点C为圆心，以长为半径作弧，交于点F；③以点F为圆心，以长为半径作弧，交前面的弧于点G；④连接并延长交于点H．则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查尺规基本作图-作一角等于已知角，三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质， 根据作图，由全等三角形的判定定理可以推知，得到，即，再利用三角形外角性质求解即可． 【详解】解：由作图可知，在与中， ， 则． ∴，即， ∴． 故选：D． 10. 如图，在中，已知与的面积相等，如果，，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，构造一个新的三角形．根据三角形的三边关系就可以求解． 【详解】解：延长到E，使， ， 已知与的面积相等， 为的底边的中线， ， 在和中 ， ， ， ，， ， 在中，， ， ， ； 故选：B 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 已知：，，则_________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵， ∴． 12. 如图所示的两个三角形全等，则的度数是_________． 【答案】##度 【解析】 【分析】根据三角形全等对应角相等直接求解即可得到答案． 【详解】根据三角形全等的性质可得． 13. 如图，在中，D，E分别是的中点，点F在上，且，若，则等于______． 【答案】12 【解析】 【分析】根据三角形的面积公式，利用得到，进而得到，再利用D是的中点，可得，，然后根据点E是AD的中点得到，从而得到的值． 【详解】解：， ∴， ∴． ∵D是的中点， ∴，， 点E是的中点， ∴， ∴． 故答案为：12． 【点睛】本题考查三角形面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即；三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．理解等底同高的三角形面积相等是解答关键． 14. 随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段分别为前叉、下管和立管（点C在上），为后下叉．已知，，，，则的度数为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质．根据两直线平行，内错角相等得出，即可求出的度数，再根据两直线平行，内错角相等得出即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 15. 在中，为边上的高，，，则______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理以及三角形的高，解决问题的关键是进行分类讨论． 根据的不同位置，分两种情况进行讨论：在的内部，在的外部，分别求得的度数． 【详解】解：①如图，在的内部， ∵为边上的高， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图，在的外部， ∵为边上的高， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为或． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 按要求完成各题： （1）． （2）． （3）利用整式乘法公式计算：． 【答案】（1） （2） （3）1 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，4 【解析】 【分析】先利用整式的乘法去小括号，再将括号内合并同类项，最后利用整式的除法得到化简结果， 继而将代入计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 18. 如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均在小正方形的顶点上，请利用格点解决下列问题： （1）画出的边上的高； （2）画出的边上的中线； （3）过点B作的平行线； （4）线段，直接写出点C到直线的距离______． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 如图，即为所求； （3） 过点B作的平行线，如图所示： （4） 【解析】 【分析】本题考查作图—应用与设计作图、三角形的中线和高、平行线的判定、三角形的面积． （1）根据三角形的高的定义画图即可． （2）根据三角形的中线的定义画图即可． （3）运用网格特征，观察，且结合平行线的判定，即可作图． （4）由题意可得，再根据三角形面积公式列式计算得点C到直线AB的距离，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：依题意，， ∵线段， ∴点C到直线的距离． 故答案为：． 19. 完成下面的证明并填上推理的根据． 如图，已知，，垂足分别为，，，求证：． 证明：∵，（已知） ∴，（______________） ∴（_________________） ∴（________________） ∴___________ ∵ ∴__________（________________） ∴∥___________ ∴（___________________） 【答案】垂直的定义；等量代换；同位角相等，两直线平行；；；同角的补角相等；；两直线平行，同位角相等． 【解析】 【分析】先根据垂直的定义得到，然后证明，再由平行线的性质以及已知条件得到，即可证明，再由平行线的性质证明即可． 【详解】解：证明：∵，（已知） ∴，（垂直的定义） ∴（等量代换） ∴（同位角相等，两直线平行） ∴ ∵ ∴（同角的补角相等） ∴ ∴（两直线平行，同位角相等） 20. 小明和小亮做掷骰子（质地均匀的正方体）游戏，他们共做了100次试验，结果如下： 朝上的点数 1 2 3 4 5 6 出现的次数 15 14 25 20 13 13 （1）计算“1点朝上”的频率和“6点朝上”的频率； （2）小明将一枚骰子任意投掷一次，求朝上的点数不小于4的概率． 【答案】（1）“1点朝上”的频率为0.15，“6点朝上”的频率为0.13 （2）朝上的点数不小于4的概率为0.46 【解析】 【分析】（1）用频数除以总数即可得到频率； （2）求出100次试验中朝上点数是4，5，6的频率之和，即可得到朝上的点数不小于4的概率． 【小问1详解】 解：“1点朝上”的频率为：， “6点朝上”的频率：， 即“1点朝上”的频率为0.15，“6点朝上”的频率为0.13； 【小问2详解】 解：， 故朝上的点数不小于4的概率为0.46． 【点睛】本题考查频率的计算方法、频率与概率的关系，解题的关键是能够利用频率估计概率．在同样条件下，做大量的重复试验，利用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数，可以估计这个事件发生的概率． 21. 定义：把多项式化简后的项数记为，例如多项式，则．一个多项式乘以多项式，化简得到多项式（即），如果，则称是的“好多项式”，如果，则称是的“极好多项式”． （1）若，均是关于的多项式，则是不是的“好多项式”？请判断并说明理由； （2）若，均是关于的多项式，且是的“极好多项式”，则_______． （3）若，均是关于的多项式，且是的“极好多项式”，则_______． 【答案】（1）B是A的“好多项式” （2）2 （3） 【解析】 【分析】先计算出两个多项式乘积化简后的结果，再根据定义判断或建立方程求解未知数即可． 【小问1详解】 解：由题意得 ， ， 计算乘积得 ， 可得 ， ， 满足 ， 符合“好多项式”的定义，因此是的“好多项式”； 【小问2详解】 解：由题意得 ， ， 计算乘积得 ，  是的“极好多项式”， ， 因此需要， 解得； 【小问3详解】 解：由题意得 ，， 计算乘积得 ， 是的“极好多项式”，则 ， ①当时，则，，此时，故不符合题意； ②当时，则 ， ∴，解得； 因此的值为． 22. 【知识生成】 通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形（），把余下的部分剪开并拼成一个长方形（如图2），图1中阴影部分的面积可表示为：，图2中阴影部分的面积可表示为：，因为两个图中的阴影部分的面积是相同的，所以可得到等式：． （1）观察与发现：图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个大正方形．用两种不同方法表示图中阴影部分面积，可得到一个关于，，，的等式是____________． 【类比迁移】 （2）运用与探究：利用（1）的结论， 解决下列问题：若，；则__________． 【深入探究】 （3）小明在写作业时遇到了这样的一个数学题目： 若满足，求的值”，小明的解题过程如下： 令，，则， 因为． 所以． 请你类比上述方法，解决以下问题： 若满足，求的值； 【实践应用】 （4）如图5，将两个大小不等的正方形按如图所示的方式放置（点、、在一条直线上），连接、、．若，阴影部分面积为48，直接写出的面积． 【答案】（1） （2）1 （3）61 （4） 【解析】 【分析】（1）根据大正方形的面积减去4个小长方形的面积，阴影部分面积等于边长为的小正方形的面积，再两种方法得到的面积相等列出等式即可； （2）利用求解即可； （3）仿照题干方法求解即可； （4）设大正方形的边长为，小正方形的边长为，则，那么，而，再代入求解即可． 【小问1详解】 解：方法1：，方法2：； 由于方法1和方法2表示的图形面积相等， ∴； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：∵ ∴ 令， ∴， ∴ ； 【小问4详解】 解：设大正方形的边长为，小正方形的边长为， ∵， ∴， ∴ ∵阴影部分面积为48 ∴ ∴ ∴ ∴． 23. 某数学兴趣学习小组的同学通过赵爽弦图由外到内的三个正方形中找出了全等三角形的模型图，如图1和图2所示的“一线三等角”型． 【问题初探】 （1）已知：点、、在同一条直线上，，，请利用图1，说明． 【内化迁移】 （2）在中，，，点为射线上一动点（点不与点重合），连接，以为直角边，在的右侧作，使，． ①如图3，当点在线段上时，过点作于，当时，________； ②如图4，连接，交直线于点，点在运动过程中，若，请直接写出的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴，． ∴． 在和中 ，，， ∴． （2）①　　　②或 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定及性质： （1）容易得到，，推出，即可证明结论； （2）①容易得到，，推出，证得，得到；②分三种情况讨论：当点在上运动时，当点在的延长线上运动且点在线段上时，当点在的延长线上运动且点在线段的延长线上时． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：①∵， ∴，． ∴． 在和中， ，，． ∴． ∴． ∴． ②（Ⅰ）当点在上运动时，如图所示． ∵， ∴． ∵， ∴． 在和中， ，，， ∴． ∴． 设，则，，． ∴． ∵， ∴，即． 解得（舍去）． （Ⅱ）当点在的延长线上运动，且点在线段上时，如图所示，过点作的垂线，交的延长线于点，设． 同（1）的证明，可得， ∴，． 同（2）②（Ⅰ）的证明，可得， ∴． ∴． ∵， ∴，即． 解得． ∴． （Ⅲ）当点在的延长线上运动，且点在线段的延长线上时，如图所示，过点作的垂线，交的延长线于点，设． 同（1）的证明，可得， ∴，． 同（2）②（Ⅰ）的证明，可得， ∴． ∴． ∵， ∴，即． 解得． ∴． 综上所述，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $