函数的奇偶性与周期性课件-2027届高三数学一轮复习

数 学 构建知识体系 形成关键能力 提高学科素养 精准高效备考 高考能力梯级集训 第3节　函数的奇偶性与周期性 返回目录 目录 1 2 3 基础满分练 课前 自检自测·夯基固本 能力高分练 课中 关键能力·可视思维 素养提升练 课中 高考定向·捕捉热点 第3节　函数的奇偶性与周期性 基础 满分练 课前 自检自测·夯基固本 四个高考关键点 关键点1 奇偶性定义与判断 1.(人教A版必修第一册教材习题改编)(多选)给出下列函数,其中为奇函数的是(　　)[命题点❷] A.f(x)=x4 B.f(x)=x5 C.f(x)=x+ D.f(x)= BC 返回目录 解析:对于f(x)=x4,f(x)的定义域为R,由f(-x)=(-x)4=x4=f(x),可知f(x)=x4是偶函数,同理,f(x)=是偶函数,根据奇函数定义f(-x)=-f(x),可知f(x)=x5,f(x)=x+是奇函数. 返回目录 2.(苏教版必修第一册教材习题改编)已知f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么a+b的值是　　　　　.[命题点❶] 解析:由于f(x)是定义在[a-1,2a]上的偶函数,所以a-1+2a=0,且f(-x)=f(x),所以a=,b=0,所以a+b= 返回目录 关键点2 奇、偶函数性质应用 3.已知f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=2x+m,则f(-3)=　　　　. [命题点❷] -7 解析:由结论知f(0)=0,即f(0)=20+m=0,解得m=-1,故f(x)=2x-1(x≥0),则 f(-3)=-f(3)=-(23-1)=-7. 返回目录 4.(人教A版必修第一册教材习题改编)设奇函数f(x)的定义域为[-5,5],若当x∈[0,5]时,f(x)的图象如图所示,则不等式f(x)<0的解集是　　 　　　. [命题点❷] (-2,0)∪(2,5] 解析:由图象知,当0<x<2时,f(x)>0;当2<x≤5时,f(x)<0.又f(x)是奇函数,所以当-2<x<0时,f(x)<0,当-5≤x<-2时,f(x)>0.综上,f(x)<0的解集是(-2,0)∪(2,5]. 返回目录 5.(人教A版必修第一册教材习题改编)已知函数f(x)满足f(x+3)=f(x),当x∈[0,2]时,f(x)=x2+4,则f(2 026)=　　　　.[命题点❸] 关键点3 周期性求值与证明 5 解析:因为f(x+3)=f(x),所以f(x)是以3为周期的周期函数,所以f(2 026) =f(675×3+1)=f(1)=5. 返回目录 6.(2026·陕西西安模拟)已知函数f(2x+5)的周期是3,则f(x)的周期为　　　　.[命题点❸] 6 解析:因为f(2x+5)的周期是3,所以f(2x+5)=f[2(x+3)+5]=f(2x+11),令2x=y,则f(y+5)=f(y+11),即f(y)=f(y+6),所以f(x)的周期为6. 返回目录 关键点4 函数性质综合应用 7.(苏教版必修第一册教材习题)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,若f(x)在区间(-∞,0)上单调递增,则下列关系式中成立的是(　　)[命题点❶] A.f(-1)<f(-2) B.f(1)<f(2) C.f(-1)<f(2) D.f(-1)>f(2) D 解析:因为f(x)是偶函数,所以f(1)=f(-1),f(-2)=f(2),又f(x)在(-∞,0)上单调递增,所以f(-1)>f(-2),f(1)>f(2),f(-1)>f(2).故选D. 返回目录 8.(北师大版必修第二册教材习题改编)已知f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数,且f(-1)=2f(10)+3,则f(2 023)=　　　　.[命题点❷❸] -1　 解析:由题意知f(2 023)=f(3×674+1)=f(1),而f(-1)=2f(10)+3,所以f(-1) =2f(3×3+1)+3=2f(1)+3=-2f(-1)+3,即3f(-1)=3,解得f(-1)=1,故f(2 023) =f(1)=-1. 返回目录 回归教材•考教衔接 1.函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 [❶] 一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果∀x∈D,都有-x∈D,且f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称 奇函数 [❷] 一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果∀x∈D,都有-x∈D,且f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称 返回目录 返回目录 2.函数的周期性[❸] 两个周期函数和、差、积、商,周期为原周期的最小公倍数 (1)周期函数:一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个非零常数T,使得对每一个x∈D都有x+T∈D,且f(x+T)=f(x),那么函数y=f(x)就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期. (2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. 返回目录 返回目录 能力 高分练 课中 关键能力•可视思维 考点1　判断函数的奇偶性 命题视角:聚焦定义域对称性验证,代数式f(-x)的化简与比较,以及图象对称性的识别与应用. 例1 (1)(2025·北京西城一模)下列函数中,图象关于y轴对称的是(　　) A.y=(x-1)2 B.y=2x C.y=x4+x2 D.y=|ln x| C 返回目录 考点1 考点2 考点3 解析:A选项,由二次函数图象及性质可知,y=(x-1)2图象的对称轴为x=1,A选项错误;B选项,由指数函数图象及性质可知,函数图象没有对称轴,B选项错误;C选项,因为(-x)4+(-x)2=x4+x2,所以函数为偶函数,图象关于y轴对称,C选项正确;D选项,函数定义域为(0,+∞),图象不关于y轴对称,D选项错误.故选C. 返回目录 考点1 考点2 考点3 (2)(多选)设函数f(x)=,则下列结论正确的有(　 　) A.|f(x)|是偶函数 B.-f(x)是奇函数 C.f(x)|f(x)|是奇函数 D.f(|x|)f(x)是偶函数 ABC 解析:∵f(x)=,定义域为R,则f(-x)==-f(x),∴f(x)是奇函数, ∴|f(x)|为偶函数,-f(x)为奇函数,f(x)|f(x)|为奇函数.∵f(|-x|)=f(|x|),∴f(|x|)是偶函数,∴f(|x|)f(x)是奇函数.故选ABC. 返回目录 考点1 考点2 考点3 对点训练1 (一题多解)(2024·天津,4)下列函数是偶函数的是(　　) A.f(x)= B.f(x)= C.f(x)= D.f(x)= B 返回目录 考点1 考点2 考点3 解析: (方法1)对于A,f(-x)=f(x),故f(x)不是偶函数;对于B,f(-x)==f(x),故f(x)是偶函数;对于C,f(x)的定义域为{x|x≠-1},不关于原点对称,故f(x)不是偶函数;对于D,f(-x) ==-=-f(x), 故f(x)是奇函数.故选B. (方法2)易知y=x2+1与y=e|x|均为偶函数,且恒为正.对于A,由于y=ex-x2是非奇非偶函数,所以f(x)也是非奇非偶函数;对于B,y=cos x+x2是偶函数,所以f(x)是偶函数;对于C,易知f(x)的定义域不关于原点对称,所以f(x)是非奇非偶函数;对于D,y=sin x+4x是奇函数,所以f(x)是奇函数.故选B. 返回目录 考点1 考点2 考点3 答题要语 解题思维路径 先验定义域对称,再代f(-x)化简,比较f(x)与f(-x)关系. 返回目录 考点1 考点2 考点3 能力要语 验证f(-x)是否等于±f(x),还可以验证其等价形式f(x)±f(-x)=0或=±1(f(x)≠0)是否成立. 返回目录 考点1 考点2 考点3 考点2　函数奇偶性的应用 角度 1 命题视角:求解析式、值或参数,直接应用奇偶性定义f(-x)=±f(x),建立方程求解未知量,常利用f(0)=0(奇函数)等特殊值. 求解析式(参数或值) 例2 (1)(2025·云南昆明模拟)已知函数f(x)的定义域为R,g(x)=f(x)-x+1是奇函数,h(x)=f(x)-x3是偶函数,则f()=(　　) A.-10 B.-8 C.8 D.10 C 返回目录 考点1 考点2 考点3 解析:因为函数g(x)=f(x)-x+1为奇函数,即g(-x)=-g(x),所以f(-x)+x+1= -f(x)+x-1,可得f(x)+f(-x)=-2①, 因为函数h(x)=f(x)-x3是偶函数,即h(-x)=h(x),所以f(-x)-(-x)3=f(x)-x3,可得 f(x)-f(-x)=2x3②, 联立①②可得f(x)=x3-1,因此f()=()3-1=32-1=8.故选C. 返回目录 考点1 考点2 考点3 (2)(一题多解)(2023·新高考Ⅱ,4)若f(x)=(x+a)ln为偶函数,则a=(　　) A.-1 B.0 C. D.1 B 解析: (方法1)∵函数f(x)为偶函数, ∴f(-x)=f(x).不妨令x=1,则有f(-1)=f(1),∴(-1+a)ln 3=(1+a)ln, ∴-1+a=-1-a,∴a=0.此时f(x)=xln,易知函数f(x)的定义域为,f(-x)=-xln=-xln=xln=f(x),∴a=0符合题意. 返回目录 考点1 考点2 考点3 (方法2)设g(x)=ln,函数g(x)的定义域是 g(-x)=ln=ln=-ln=-g(x),∴函数g(x)是奇函数.而f(x)=(x+a)g(x)为偶函数,有f(-x)=(-x+a)g(-x)=-(-x+a)g(x)=(x-a)g(x)=f(x), 故x-a=x+a,则a=0.故选B. 返回目录 考点1 考点2 考点3 对点训练2 (2025·江苏连云港模拟)设f(x)是定义在R上的函数,若f(x)+x2是奇函数,f(x)+2x是偶函数,则f(-1)的值为(　　) A.- B.- C. D. A 解析:由于函数y=f(x)+x2是奇函数,函数y=f(x)+2x为偶函数, 所以 即 解得f(-1)=-故选A. 返回目录 考点1 考点2 考点3 角度 2 函数的奇偶性与单调性的综合 例3 (2026·云南开学考试)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,f(x)在(0,+∞)上单调递减,且f(-2)=0,则不等式xf(x)>0的解集为(　　) A.(-∞,-2)∪(0,+∞) B.(-2,0)∪(2,+∞) C.(-∞,-2)∪(0,2) D.(-2,0)∪(0,2) D 解析:因为f(x)是定义在R上的奇函数,f(-2)=0,所以f(2)=-f(-2)=0.因为f(x)在(0,+∞)上单调递减,当x>0时,xf(x)>0⇒f(x)>0,故x∈(0,2),因为f(x)是定义在R上的奇函数,故f(x)在(-∞,0)上单调递减,又f(-2)=0,当x<0时,xf(x)>0⇒f(x)<0,故x∈(-2,0).综上,xf(x)>0的解集为(-2,0)∪(0,2).故选D. 返回目录 考点1 考点2 考点3 对点训练3 (2025·广西河池二模)设函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(0,+∞)上单调递增.若实数a满足f(a-1)>f(2),则a的取值范围是(　　) A.(3,+∞) B.(-∞,-1) C.(-∞,-1)∪(3,+∞) D.(-1,3) C 解析:由于f(x)是偶函数,根据偶函数的定义,f(-x)=f(x).因此,不等式f(a-1)>f(2)可以转化为f(|a-1|)>f(2).函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,在(-∞,0)上单调递减,所以|a-1|>2,解得a<-1或a>3.故选C. 返回目录 考点1 考点2 考点3 答题要语 解题思维路径 利用奇偶性定义列方程(组),联立求解参数或解析式. 返回目录 考点1 考点2 考点3 答题要语 解题思维路径 判奇偶性定对称性,用单调性转化不等式,注意定义域. 返回目录 考点1 考点2 考点3 考点3　函数的周期性及应用 命题视角:聚焦周期定义f(x+T)=f(x)的直接应用,利用周期性求函数值、化简解析式,并与对称性、奇偶性、单调性结合命制综合题. 例4 (1)(2025·新高考Ⅰ,5)已知f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数,当2≤x≤3时,f(x)=5-2x,则f(-)=(　　) A.- B.- C. D. A 解析:由题知,f(-x)=f(x),且f(x+2)=f(x),所以f(-)=f()=f()=5-2=-故选A. 返回目录 考点1 考点2 考点3 (2)(2025·浙江阶段练习)已知函数y=f(x),与其相应的y=f(x+1)的图象如图所示,则(　　) A.f(0)=0 B.f(2)=-1 C.f(99)=0 D.f(100)=1 C 解析:函数y=f(x+1)是函数y=f(x)向左平移1个单位长度得到的,因为函数y=f(x+1)的周期T=4,则f(x)的周期也为4.选项A,由图象知f(0)=f(-1+1)=-1≠0,错误;选项B,由图象知f(2)=f(1+1)=1≠-1,错误;选项C,99=4×24+3,则f(99)=f(3),由图象知f(3)=f(2+1)=0,即f(99)=0,正确;选项D,100=4×25,则f(100)=f(0)=-1≠1,错误.故选C. 返回目录 考点1 考点2 考点3 对点训练4 (2026·湖南衡阳阶段练习)定义在R上的函数f(x)满足f(1-x) =f(x+1),且y=f(2x+2)为奇函数.当x∈(0,1]时,f(x)=,则f(2 025)=(　　) A.1 B.-1 C.0 D.2 A 解析:因为函数f(x)满足f(1-x)=f(x+1),所以f[1-(x-1)]=f[(x-1)+1],即f(2-x)=f(x)①.又因为y=f(2x+2)为奇函数,所以f(-2x+2)=-f(2x+2),即f(-x+2)=-f(x+2)②.由①②知f(x)=-f(x+2),所以f(x+2)=-f(x+4),即f(x)=f(x+4),所以函数f(x)的一个周期为4,所以f(2 025)=f(506×4+1)=f(1).因为x∈(0,1]时,f(x)=,所以f(1)=1,所以f(2 025)=1.故选A. 返回目录 考点1 考点2 考点3 答题要语 用周期性化简自变量,转化到已知区间求值. 解题思维路径 返回目录 考点1 考点2 考点3 关键能力思维链 返回目录 考点1 考点2 考点3 素养 提升练 课中 高考定向•捕捉热点 命题趋势1:聚焦抽象函数奇偶性的判断与证明,通过给定关系式推导性质,考查逻辑推理能力. 1.(2025·天津河北模拟)已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,则下列函数中为奇函数的是(　　) A.y=f(|x|) B.y=f(x2) C.y=xf(x) D.y=f(x)+x D 返回目录 解析:因为f(x)的定义域为R,又因为f(|-x|)=f(|x|),所以y=f(|x|)是偶函数,A不符合题意;令F(x)=f(x2),则F(-x)=f(x2)=F(x),所以F(x)是偶函数,B不符合题意;令M(x)=xf(x),则M(-x)=(-x)f(-x)=xf(x)=M(x),所以M(x)是偶函数,C不符合题意;令N(x)=f(x)+x,则N(-x)=f(-x)-x=-f(x)-x=-[f(x)+x]=-N(x),所以N(x)是奇函数,D符合题意.故选D. 返回目录 命题趋势2:结合分段函数、指数函数、对数函数等具体函数,综合考查奇偶性与单调性、不等式的综合应用. 2.(原创+新定义)定义双曲余弦函数表达式为cosh x=,定义双曲正弦函数的表达式为sinh x=.设函数f(x)=,若实数a满足不等式f(a2)+f(2a-3)<0,则a的取值范围为(　　) A.(-1,3) B.(-3,1) C.(-∞,-3)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(3,+∞) B 返回目录 解析:由题意得f(x)=的定义域为R,∵f(-x)==-f(x),∴f(x)为奇函数.∵f(x)==1-,且g(x)=在R上为减函数, ∴f(x)=1-在R上为增函数. ∵f(a2)+f(2a-3)<0,∴f(a2)<-f(2a-3)=f(3-2a),∴a2<3-2a,解得-3<a<1,即a的取值范围为(-3,1).故选B. 返回目录 3.(2025·河北邢台二模)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x)=则不等式<0在(-2,2)上的解集为(　　) A.(-2,-1)∪(0,1) B.(-2,-1)∪(1,2) C.(-2,0)∪(0,1) D.(-1,0)∪(1,2) A 返回目录 解析:因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x)=所以当x∈(-1,0]时,-x∈[0,1),则f(x)=-f(-x)=-[-(-x)]=-x;当x∈(-∞,-1]时,-x∈[1,+∞),则f(x)=-f(-x)=-(-x-2)=x+2, 所以f(x)=函数y=f(x+1)的图象可由函数 y=f(x)的图象向左平移1个单位长度得到,作出函数y=f(x+1)在(-2,2)上的图象,如图所示,由图可知不等式<0在(-2,2)上的解集为(-2,-1)∪(0,1).故选A. 返回目录 命题趋势3:利用函数奇偶性求参数、解析式或函数值,强调定义域优先与方程思想的运用. 4.(2025·广东广州模拟)已知定义域为R的函数f(x)=满足f(x)+f(-x)=0,则a+b=(　　) A.3 B.2 C.1 D.0 A 解析:因为函数f(x)定义域为R且f(x)+f(-x)=0,所以函数f(x)=是奇函数且f(0)=0,即f(0)==0,所以b=1,又f(1)+f(-1)=0,所以=0,所以a=2,即a+b=3.故选A. 返回目录 命题趋势4:探索周期性与奇偶性、对称性的综合问题,通过周期简化运算,体现转化与化归思想. 5.(2026·湖南开学考试)已知f(x)是定义在R上的偶函数,函数g(x)=(x-3)f(x)的图象关于点(3,0)中心对称,若g(-1)=-4,则f(5)=(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 A 解析:因为g(x)=(x-3)f(x),g(-1)=-4,所以g(-1)=-4f(-1)=-4, 所以f(-1)=1.因为f(x)是偶函数,所以f(1)=f(-1)=1,故g(1)=-2f(1)=-2,又因为g(x)的图象关于点(3,0)中心对称,所以g(5)=-g(1)=2,即g(5)=2f(5)=2,故f(5)=1.故选A. 返回目录 6.(原创)已知奇函数f(x)的定义域为R,且函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称.当x∈[0,1]时,f(x)=2x+1,则f(2 026)的值为(　　) A.1 B.3 C.-1 D.-3 A 解析:因为f(x)是奇函数,得f(-x)=-f(x),由f(x)图象关于直线x=1对称,得f(1+x)=f(1-x),则f(x+2)=f(-x)=-f(x);则f(x+4)=-f(x+2)=f(x),所以f(x)的周期为4.因为f(2 026)=f(4×506+2)=f(2),f(2)=f(1+1)=f(1-1)=f(0),当x∈[0,1]时, f(0)=2×0+1=1,所以f(2 026)=1. 返回目录 $