6.3.2刻画空间点、线、面位置关系的公理（第2课时）课件-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

作课人：廉文杰 北师大版（2019）高中数学 必修第二册 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 第六章 立体几何初步 第3节 空间点、直线、平面之间的位置关系 3.2 刻画空间点、线、面位置关系的公理 第2课时（共2课时） 1 学 习 目 标 目 标 重 点 难 点 1、理解异面直线的概念. 2、能求出一些较特殊的异面直线所成的角. 3、掌握等角定理. 1、会判断两条直线是否是异面直线. 2、求异面直线所成的角. 1、理解异面直线的概念. 2 新 知 引 入 基本事实1 基本事实2 基本事实3 基本事实4 1、四个基本事实和三个推论： 推论1 推论2 推论3 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内。 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 平行于同一直线的两条直线互相平行。 一条直线和该直线外一点确定一个平面。 两条相交直线确定一个平面。 两条平行直线确定一个平面。 新 知 引 入 2、空间两条直线的位置关系 A B D C A1 B1 C1 D1 m a b c 直线m与直线a的位置关系是：_________；记作:___________. 直线m与直线b的位置关系是：_________；记作:___________. 观察直线m与直线c，它们相交吗？平行吗？共面吗？ 相交 平行 m∩a=A1 m∥b 无论相交还是平行，这两条空间直线都在同一个平面内（即共面）。 学 习 新 知 异面直线：不同在任何一个平面内(不共面)的两条直线. 注意：1、 2、 3、 空间两条直线的位置关系有：相交、平行、异面。 在画两条异面直线时常用平面进行衬托： 两条直线平行或相交时，则这两条直线共面； 两条直线平行或异面时，则这两条直线无公共点。 α a b α a b α β a b 典 例 引 路 （1）分别在两个平面内的直线一定是异面直线．(       ) （2）两条异面直线一定在两个不同的平面内．(      ) （3）没有公共点的两条直线是异面直线．(      ) （4）空间中两条直线没有交点，则两条直线平行．(      ) 例1、判断正误： × √ × × 同 步 练 习 （1）过直线外一点可以作无数条直线与该直线成异面直线．(     ) （2）若a与b是异面直线且a与c也是异面直线，则b与c是异面直线．(      ) （3）已知a,b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b不可能是平行直线．(     ) （4）两条平行直线中的一条与直线a是异面直线，那么另一条与直线a也是异面直线．(     ) 练1、判断正误： × × √ √ 典 例 引 路 例2、如图所示，AA1是长方体的一条棱，这个长方体中与AA1异面的棱有_____条． 解:根据异面直线的定义，与AA1异面的棱有BC,B1C1,CD,C1D1共4条． 同 步 练 习 练2、长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有______对． 解:与AC1对角线成异面直线位置关系的是A1D1,BC,BB1,DD1,A1B1,DC 所以长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有6对. 典 例 引 路 例3、如图，在三棱台ABC-A1B1C1的9条棱所在直线中，与直线A1B是异 面直线的共有___________条. 解:与直线A1B是异面直线的共有3条，分别为B1C1,AC,CC1. 同 步 练 习 练3、如图，在四棱台ABCD-A1B1C1D1 的12 条棱所在的直线中，与 AB  异面的有________条 解:与AB异面的有四条，分别是直线A1D1,DD1,B1C1,CC1. 典 例 引 路 例4、在图中，G,H,M,N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线 GH,MN是异面直线的图形有_________（填上所有正确答案的序号）． ②④ 同 步 练 习 练4、如图，点P,Q,R,S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直 线PQ与RS是异面直线的一个图是________(填序号） ③ 新 知 引 入 3、在平面几何中，角的边是射线，射线是有方向的，在平面内，两条射线平行 时它们的方向有如下三种不同的情形： A B C A B C A B C A＇ B＇ C＇ A＇ B＇ C＇ A＇ B＇ C＇ ∠BAC与∠B＇A＇C＇________ ∠BAC与∠B＇A＇C＇________ ∠BAC与∠B＇A＇C＇________ 相等 相等 互补 在空间中，这个结论仍然成立吗？ 学 习 新 知 如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补 等角定理 注意：1、 2、 3、 符号语言:已知OA∥O'A',OB∥O'B',则∠AOB=∠A'O'B'或∠AOB+∠A'O'B'=180°. 作用:判断或证明两个角相等或互补. 等角定理的结论是相等或互补，在实际应用时，一般是借助于图形判断是相等，还是互补。 典 例 引 路 例5、如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,M1分别是棱AD和A1D1的中点. 求证:(1)四边形BB1M1M为平行四边形; (2)∠BMC=∠B1M1C1. 证明(1)在正方形ADD1A1中,M,M1分别为AD,A1D1的中点, ∴ A1M1∥AM,且A1M1=AM,∴四边形AMM1A1是平行四边形, ∴ A1A∥M1M,且A1A=M1M. 又∵ A1A∥B1B,且A1A=B1B, ∴ M1M∥B1B,且M1M=B1B, ∴ 四边形BB1M1M为平行四边形. (2)由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形,所以B1M1∥BM. 同理可得四边形CC1M1M为平行四边形, ∴C1M1∥CM. 由平面几何知识可知,∠BMC和∠B1M1C1都是锐角. ∴∠BMC=∠B1M1C1. 同 步 练 习 练5、如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱CD,AD的中点. 求证: (1)四边形MNA1C1是梯形; (2)∠DNM=∠D1A1C1. 证明:(1)如图,连接AC, 在△ACD中,因为M,N分别是CD,AD的中点,所以MN是△ACD的中位线, ∴ MN∥AC,MN= AC. 由正方体的性质,得AC∥A1C1,AC=A1C1. ∴ MN∥A1C1,且MN= A1C1,即MN≠A1C1, ∴四边形MNA1C1是梯形. (2)由(1)可知MN∥A1C1,又因为ND∥A1D1, ∴∠DNM与∠D1A1C1相等或互补. 而∠DNM与∠D1A1C1均是直角三角形的一个锐角, 所以∠DNM=∠D1A1C1. 新 知 引 入 当直线a与直线b相交时，产生了4个角，其中______________的角 称为它们的夹角。 α a b 当a∥b时，规定：直线a与直线b所成的角为______. 0º α a b 不大于90º α a b 当直线a与直线b异面时，它们所成的角如何定义呢？ 学 习 新 知 注意：1、 2、 3、 4、 异面直线所成角 已知两条异面直线a、b，过空间任一点O作直线a'∥a,b'∥b, 这时a',b'共面，我们把a'与b'所成的不大于90°的角称为 异面直线a,b所成的角(或夹角) 若两条异面直线a,b所成的角是直角,则称这两条直线互相垂直,记作:a⊥b 若两条异面直线a,b所成的角为θ,则θ的范围为0°<θ≤90°; 定义中的点O常选取两异面直线中其中一个线段的端点或中点或几何体中的某个特殊点． 求两异面直线所成角的大小的关键是作出这个角，作异面直线所成的角．可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：①直接平移法(可利用图中已有的平行线)；②中位线平移法；③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)． 典 例 引 路 例6、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AB与A1D1所成的角为_____________，直线 AD1与DC1所成的角为_____________． 解：如图，连接AB1，B1D1， ∵A1B1∥AB，∴∠D1A1B1就是异面直线AB与A1D1所成的角． ∵∠D1A1B1=90º，∴直线AB与A1D1所成的角为90º， 由正方体性质得四边形ADC1B1是平行四边形，则AB1∥DC1， 可得∠B1AD1即为直线DC1与AD1所成的角， 又由勾股定理得AD1=AB1=B1D1， 则△AB1D1为正三角形，可得∠B1AD1=60º， 即直线AD1与DC1所成的角为60º． 同 步 练 习 练6、如图，点M是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CD的中点，则异面直线AM与 BC1所成角的余弦值是________． 解：连接AD1、D1M，不妨设AB=2，如图所示： 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB∥C1D1，AB=C1D1， 所以，四边形ABC1D1为平行四边形，所以，AD1∥BC1， 所以异面直线AM与BC1所成角为∠MAD1或其补角， 在△AD1M中，由勾股定理可得AD1==2, 同理可得AM=D1M= 由余弦定理可得cos∠MAD1 = = = 因此，异面直线AM与BC1所成角的余弦值为. 典 例 引 路 例7、在四面体ABCD中，AB=CD，AB⊥CD，E、F分别为BC、AD的中点， 则直线EF与AB所成角的大小为________． 解：取BD的中点G，连接EG,FG. ∵ E,F分别为BC,AD的中点， ∴ EG∥CD,EG = CD,FG∥AB,FG = AB 又∵ AB=CD,AB⊥CD， ∴ EG=FG,EG⊥FG. ∴ 直线EF与AB所成角为∠EFG. 在直角三角形EGF中， ∵FG⊥EG,FG=EG，∴∠EFG= 同 步 练 习 练7、在正四面体ABCD中，点E,F,G分别为棱BC,CD,AC的中点，则异面直线 AE,FG所成角的余弦值为__________． 解：连接DE，∵F,G分别为CD,AC的中点，∴FG∥AD， 因异面直线所成角的范围为(0º,90º]， 则异面直线AE,FG所成角为∠EAD， 设正四面体ABCD的棱长为a，则AD=a, AE=ED==a 根据余弦定理，cos∠EAD = = 则异面直线AE,FG所成角的余弦值为. 同 步 练 习 全 课 总 结 一、异面直线的定义 二、异面直线所成的角 三、等角定理 THANK YOU 谢谢！ 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 25 $