6.3.2 刻画空间点、线、面位置关系的公理(基本事实4、等角定理以及异面直线)-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（北师大版）

该高中数学课件聚焦空间点线面位置关系，涵盖基本事实4、空间直线位置关系、等角定理及异面直线夹角。通过问题导思结合长方体模型，从平面几何自然过渡到空间几何，以问题链、例题解析和规律总结搭建学习支架。 其亮点在于以直观想象和逻辑推理为核心，通过正方体、空间四边形等模型引导学生观察分析，结合典例演练培养数学运算能力。采用讲练结合与系统小结，助力学生构建知识体系，也为教师提供结构化教学资源，提升课堂效率。

刻画空间点、线、面位置关系的公理 (基本事实4、等角定理以及异面直线) 　 第六章　§3　空间点、直线、平面之间的位置关系 学习目标 1.了解基本事实4和等角定理.　 2.了解空间中直线与直线平行、异面的位置关系，培养直观想象和逻辑推理的核心素养.　 3.掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念，会求特殊的异面直线所成的角，提升数学运算的核心素养. 内容索引 任务一　基本事实4 1 任务二　空间两直线的位置关系 2 任务三　等角定理 3 课时分层评价 6 任务四　异面直线的夹角 4 随堂评价 5 任务一　基本事实4 返回 问题1.在平面几何中，我们知道平行于同一直线的两条直线平行；在长方体ABCD-A1B1C1D1中(如图)，BB1∥AA1，DD1∥AA1，那么BB1与DD1平行吗？ 提示：根据平行的传递性，BB1∥DD1. 问题导思 基本事实4 新知构建   文字语言 图形语言 符号语言 基本事实 4 平行于同一条直线的两条直线互相______   若a∥c，b∥c，则______ 推广 空间中平行于一条已知直线的所有直线都互相______ 平行 a∥b 平行 (链教材P225例1)如图所示，设E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且＝＝λ，＝＝μ.求证： (1)当λ＝μ时，四边形EFGH是平行四边形； 证明：在△ABD中，＝＝λ， 所以EH∥BD，且EH＝λBD. 在△CBD中，＝＝μ， 所以FG∥BD，且FG＝μBD，所以EH∥FG， 所以点E，F，G，H在由EH和FG确定的平面内. 当λ＝μ时，EH＝FG，故四边形EFGH为平行四边形. 典例 1 (2)当λ≠μ时，四边形EFGH是梯形. 证明：在△ABD中，＝＝λ， 所以EH∥BD，且EH＝λBD. 在△CBD中，＝＝μ， 所以FG∥BD，且FG＝μBD，所以EH∥FG， 所以点E，F，G，H在由EH和FG确定的平面内. 当λ≠μ时，EH≠FG，故四边形EFGH是梯形. 证明空间中两条直线平行的方法 1.利用平面几何的知识(三角形与梯形的中位线、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理等)来证明. 2.利用基本事实4即找到一条直线c，使得a∥c，同时b∥c，由基本事实4得到a∥b. 规律方法 对点练1.如图，四边形ABEF和四边形ABCD都是梯形， BC∥AD，BC＝AD，BE∥AF，BE＝AF，G，H分别 为FA，FD的中点. (1)证明：四边形BCHG是平行四边形； 证明：由G，H分别为FA，FD的中点，可得GH∥AD，GH＝AD. 又BC∥AD，BC＝AD，所以GH∥BC，GH＝BC， 所以四边形BCHG为平行四边形. (2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？ 解：C，D，F，E四点共面. 理由如下：由题意易知BE∥FG，BE＝FG，所以四边形BEFG为平行四边形，所以EF∥BG. 由(1)知CH∥BG，CH＝BG，所以EF∥CH，所以EF与CH共面. 又D∈FH，所以C，D，F，E四点共面. 返回 任务二　空间两直线的位置关系 返回 问题2.如图，我们知道在长方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AB与DC没有公共点，在同一平面内，它们是平行直线，直线AB与BC在同一平面内是相交直线；那么AB与CC1的位置关系如何？ 提示：AB与CC1既不平行也不相交，不同在任何一个平面内. 问题导思 1.异面直线的概念 新知构建 定义 不同在______一个平面内(不共面)的两条直线称为异面直线 特点 异面直线既不相交又不平行，即不同在任何一个平面内 表示 为了表示异面直线a，b不共面的特点，画图时，通常用一个或两个平面衬托.如图所示：   任何 2.空间两条直线的位置关系 共面直线 相交直线 在同一平面内，有且只有______公共点 平行直线 在同一平面内，______公共点 异面直线 不同在任何一个平面内，______公共点 一个 没有 没有 (多空题)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中： (1)直线A1B与直线D1C的位置关系是__________； 典例 2 平行 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC，所以四边形A1BCD1为平行四边形，所以A1B∥D1C. (2)直线A1B与直线B1C的位置关系是__________； 异面 直线A1B与直线B1C不同在任何一个平面内. (3)直线D1D与直线D1C的位置关系是__________； 相交 直线D1D与直线D1C相交于点D1. (4)直线AB与直线B1C的位置关系是__________. 异面 直线AB与直线B1C不同在任何一个平面内. 1.判定两条直线平行或相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也可以用基本事实4判断. 2.判定两条直线是异面直线的方法：由定义判断两直线不可能在同一平面内. 规律方法 对点练2.(1)已知空间中的两条直线m，n都与一个平面α平行，则m和n的位置关系为 A.平行或相交 B.相交或异面 C.平行或异面 D.平行、相交或异面 √ 由题意可得两条直线m，n都与一个平面α平行，可作出 平行六面体如图所示，M，F分别为A1B1，C1D1的中点， 设平面AA1D1D为平面α，当BB1，CC1所在直线表示为m， n，此时两条直线m，n都与平面α平行，且m平行n；当 BB1，BC所在直线表示为m，n，此时两条直线m，n都与平面α平行，且m与n相交；当BB1，FM所在直线表示为m，n，此时两条直线m，n都与平面α平行，且m与n异面；故m和n的位置关系为平行、相交或异面，故D正确.故选D. (2)如图，正六棱柱中与直线AB异面的侧棱共有____条. 4 根据正六棱柱的性质结合图形可得，侧棱中，没有与AB平行的直线；与AB相交的有AA'，BB'，共2条.又正六棱柱的侧棱共有6条，所以与直线AB异面的侧棱共有6－2＝4条. 返回 任务三　等角定理 返回 问题3.平面内两个角的两边分别平行，那么这两个角的大小有什么关系？在空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角的大小有什么关系？ 提示： 如图所示，在平面内两条射线平行时它们的方向有以下三种不同的情况，那么这两个角相等或互补；在空间中也有这样的结论. 问题导思 等角定理 新知构建 文字语言 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角______或______ 图形 语言   作用 判断或证明两个角相等或互补 相等 互补 两个角的两条边分别平行，那么这两个角满足什么条件时相等？满足什么条件时互补？ 提示： 两个角的两条边分别平行，并且方向都相同或相反时两个角相等.一组对应边方向相同，另一组对应边方向相反时两个角互补. 微思考 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱CC1，BB1，DD1的中点. 求证：(1)GB∥D1F； 证明：因为正方体ABCD-A1B1C1D1中，F，G分别是棱BB1，DD1的中点， 所以D1G＝BF，且D1G∥BF， 所以四边形D1GBF是平行四边形， 所以GB∥D1F. 典例 3 (2)∠BGC＝∠FD1E. 证明：因为正方体ABCD-A1B1C1D1中，E， G分别是棱CC1，DD1的中点， 所以D1G＝CE，D1G∥CE， 所以四边形D1GCE是平行四边形， 所以GC∥ED1. 由(1)知：GB∥D1F. 由图形可知：∠BGC，∠FD1E均为锐角， 所以∠BGC＝∠FD1E. 证明两角相等的两种方法 1.应用等角定理，在证明的过程中常用到基本事实4，注意对两角对应边方向的讨论. 2.应用三角形全等或相似. 规律方法 对点练3.(1)(多选题)下列命题中正确的为 A.如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等 B.如果两条相交直线和另两条直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等 C.如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或 互补 D.如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行 √ √ 对于A，这两个角也可能互补，故A错误，B正确，C不 正确，举反例：如图所示，BC⊥PB，AC⊥PA，∠ACB 的两条边分别垂直于∠APB的两条边，但这两个角既不 一定相等，也不一定互补；对于D，由基本事实4可知正确.故选BD. (2)已知角α的两边和角β的两边分别平行且α＝60°，则β＝__________. 60°或120° 角α的两边和角β的两边分别平行且α＝60°，由等角定理可知，β＝α或β＋α＝180°，则β＝60°或120°. 返回 任务四　异面直线的夹角 返回 问题4.如图，在正方体ABCD-A'B'C'D'中，直线A'C'与直线AB，直线A'D'与直线AB都是异面直线，直线A'C'与A'D'相对于直线AB的位置相同吗？如果不同，如何表示这种差异？ 提示：相对于直线AB的位置不同，主要利用A'C'和A'D'与直线AB所成的角来表示这种差异. 问题导思 1.异面直线的夹角 新知构建 定义 前提 已知两条异面直线a，b 作法 过空间任一点O作直线a'∥a，b'∥b，这时a'，b'共面 结论 我们把a'与b'所成的____________的角称为异面直线a，b的夹角 范围 记异面直线a与b的夹角为θ，则_______________ 特殊情况 当θ＝______时，a与b互相垂直，记作：______ 2.空间四边形 ________________________的四边形称为空间四边形. 不大于90° 0°＜θ≤90° 90° a⊥b 四个顶点不在同一平面内 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，BC1∥AD1，则“直线BC1与直线BC所成的角”与“直线AD1与直线BC所成的角”是否相等？ 提示：相等. 微思考 (链教材P225例2)如图，在正方体ABCD-EFGH中，O为侧面ADHE的中心. 求：(1)BE与CG的夹角； 解：因为CG∥FB，所以∠EBF是异面直线BE与CG的夹角. 在Rt△EFB中，EF＝FB，所以∠EBF＝45°， 所以BE与CG的夹角为45°. 典例 4 (2)FO与BD的夹角. 解：如图所示，连接FH，因为FB∥AE，FB＝AE， AE∥HD，AE＝HD， 所以FB＝HD，FB∥HD. 所以四边形FBDH是平行四边形，所以BD∥FH. 所以∠HFO或其补角是FO与BD的夹角. 连接HA，AF，则△AFH是等边三角形. 又O是AH的中点，所以∠HFO＝30°， 所以FO与BD的夹角为30°. 求两条异面直线的夹角的一般步骤 第一步(作角)：根据异面直线的定义，用平移法(常利用三角形中位线、平行四边形的性质)作出异面直线的夹角； 第二步(证明)：证明作出的角就是要求的角； 第三步(计算)：求角度(常利用三角形的有关知识)； 第四步(结论)：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线的夹角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线的夹角. 规律方法 对点练4.(1)如图，棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线AC与A1B所成的角是 A.30° B.60° C.90° D.120° √ 如图所示，连接CD1，AD1，因为BC＝A1D1且BC∥A1D1， 所以四边形BCD1A1为平行四边形，则可得A1B∥D1C，所 以直线AC与A1B所成的角为∠ACD1或其补角.在正方体中 可知AD1＝D1C＝AC，所以可知∠ACD1＝60°.故选B. (2)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AC1与BB1所成的角为30°，则AA1＝ A. B.3 C. D. √ 如图所示，连接A1C1，因为B1B∥A1A，由图知∠A1AC1为 锐角，所以∠A1AC1是异面直线AC1与BB1所成的角，即 ∠A1AC1＝30°.在Rt△A1B1C1中，A1C1＝ ＝＝.在Rt△A1AC1中，有＝tan 30°，即AA1 ＝＝＝.故选D. 教材拓展9　异面直线的判定定理(源于教材P225例2) 过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面 直线. 用符号语言可表示为A∉α，B∈α，l⊂α，B∉l⇒AB与l是异面直线(如图). (1)已知点M是平行六面体ABCD-A1B1C1D1的面对角线A1C1上的动点，则下列直线中与BM恒为异面直线的是 A.A1D B.DD1 C.CD D.DC1 典例 5 √ 对于A，当点M位于A1位置时，直线BM与直线A1D相交， 故A错误；对于D，当点M位于C1位置时，直线BM与直 线DC1相交，故D错误；对于B，当点M位于A1C1的中点 时，如图所示，因为四边形A1B1C1D1为平行四边形，所 以M也为B1D1的中点，因为BB1∥DD1，所以B，D，D1，B1四点共面，所以BM与DD1共面，故B错误；对于C，直线CD⊂平面ABCD，直线BM∩平面ABCD＝B，点B不在直线CD上，所以直线BM与直线CD为异面直线，故C正确.故选C. (2)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1各个表面的对角线所在直线中，与直线AD1异面的直线有n条，则n＝_______. 5 观察可得，与直线AD1异面的直线有BD，B1C，A1C1，A1B，DC1，共5条，所以n＝5. 返回 课堂小结 任务再现 1.基本事实4.2.空间两直线的位置关系.3.等角定理.4.异面直线的夹角 方法提炼 定义法、定理法、转化与化归思想 易错警示 容易忽视异面直线夹角θ的范围是0°＜θ≤90°；等角定理应用时往往忽视两角互补的情况 随堂评价 返回 1.若空间两条直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是 A.共面 B.平行 C.异面 D.平行或异面 √ 若直线a和b共面，则由题意可知a∥b；若a和b不共面，则由题意可知a与b是异面直线.故选D. 2.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线A1D与CC1所成的角等于 A. 　　 B. C. 　　 D. √ 由题意可得CC1∥DD1，所以异面直线A1D与CC1所成的角等于∠A1DD1，由正方体的性质可得∠A1DD1＝.故选B. 3.在空间四边形ABCD中，AC＝BD，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，则四边形EFGH的形状是 A.梯形 B.长方形 C.菱形 D.正方形 √ 如图所示，因为E，F分别是边AB，BC的中点，所以EF＝ AC且EF∥AC.又G，H分别是边CD，DA的中点，所以 HG＝AC且HG∥AC，所以HG∥EF且HG＝EF.因此四边 形EFGH是平行四边形，同理有FG＝BD.又因为AC＝BD，所以EF＝FG.因此四边形EFGH是菱形.故选C. 4.三棱柱ABC-A1B1C1的9条棱中，与AB异面的棱有_______条. 3 如图所示，与AB异面的棱有A1C1，B1C1，CC1. 返回 课时分层评价 返回 1.分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是 A.一定平行 B.一定相交 C.一定异面 D.相交或异面 √ 可能相交也可能异面，但一定不平行(否则与条件矛盾).故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.如图，在下列正方体中，M，N为正方体的两个顶点，P，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，M，N，P，Q四点共面的是 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，显然P，Q，N在正方体的上底面，且三点不共线，M不在正方 体的上底面，所以P，Q，N，M四点不共面，故A错误；对于B，如图 ①所示， MN∥BA，即A，B，M，N四点共面，即Q，M，N三点共面，且三点 不共线，又P∉平面ABMN，所以P，Q，N，M四点不共面，故B错误； 对于C，显然P，M，N在正方体的下底面，且三点不共线，Q不在正 方体的下底面，所以P，Q，N，M四点不共面，故C错误；对于D，如 图②所示， 连接AC，则PQ∥AC，又AC∥MN，所以PQ∥MN，所以P，Q，N，M四点共面，故D正确.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝，则异面直线CD与A1C1所成的角的大小为 A.30° B.45° C.60° D.90° √ 因为CD∥C1D1，所以∠A1C1D1是异面直线CD与A1C1所成的角或其补角.在直角△A1C1D1中，A1D1＝AD＝1，C1D1＝AB＝，tan ∠A1C1D1＝＝，所以∠A1C1D1＝30°，所以异面直线CD与A1C1所成的角是30°.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知直线a，b，c，若a∥b，且b与c相交，则a与c的位置关系是 A.相交 B.相交或异面 C.平行或异面 D.相交、平行或异面 √ 因为b与c相交，所以b与c确定一个平面，不妨设为α，又a∥b，所以a⊂α或a∥α，若a⊂α，则a与c相交，若a∥α，则a与c异面；综上可得a与c的位置关系是相交或异面.故选B. 4 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 5.已知空间三条直线l，m，n.若l与m异面，且l与n异面，则 A.m与n异面 B.m与n相交 C.m与n平行 D.m与n异面、相交、平行均有可能 √ 空间三条直线l，m，n.若l与m异面，且l与n异面，则m与n可能平行(图①)，也可能相交(图②)，也可能异面(图③)，故选D. 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 1 2 6.(多选题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为BC，B1C1的中点，则 A.BD与EF异面 B.A1B1与EF的夹角为45° C.DD1与EF异面 D.A1B与EF的夹角为45° √ √ 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为BC， B1C1的中点.对于A，BD与EF异面，故A正确；对于B， A1B1与BB1的夹角为90°. 又BB1∥EF，所以A1B1与EF的 夹角为90°，故B错误；对于C，由DD1∥BB1∥EF，得 DD1与EF共面，故C错误；对于D，A1B与BB1的夹角为45°. 又BB1∥EF，所以A1B与EF的夹角为45°，故D正确.故选AD. 4 5 6 3 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 7.若平面α∥平面β，a⊂α，b⊂β，则直线a与b的位置关系不可能是__________.(填“相交”“平行”“异面”之一) 相交 若两个平面平行，则两个平面没有公共点，所以分别在两个平面内的直线可能平行，可能异面，不可能相交.故答案为相交. 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 5 3 1 2 8.已知空间两个角∠ABC与∠A'B'C'，若AB∥A'B'，BC∥B'C'，∠ABC＝66°，则∠A'B'C'＝____________. 66°或114° 因为AB∥A'B'，BC∥B'C'，故∠A'B'C'＝66°或∠A'B'C'＝114°. 6 7 8 4 5 3 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 9.在空间四边形ABCD中，对角线AC，BD的长分别为6和8，异面直线AC与BD所成的角为60°，则连接各边中点所得四边形的面积为_________. 6 设AB，BC，CD，AD的中点分别为H，E，F，G，连接EF， FG，GH，HE，如图所示.由题意可得HE＝FG＝AC＝3， GH＝EF＝BD＝4，且HE∥GF，所以四边形EFGH为平行 四边形. 因为异面直线AC与BD所成的角为60°，所以直线 HG与HE所成的角等于60°. 所以S四边形EFGH＝GH·HEsin 60°＝4×3×＝6. 9 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 1 2 10.(13分)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，M1分 别是棱AD和A1D1的中点. 求证：(1)四边形BB1M1M为平行四边形； 证明：因为ABCD-A1B1C1D1为正方体，所以AD＝A1D1， 且AD∥A1D1. 又M，M1分别为棱AD，A1D1的中点，所以AM＝A1M1且AM∥A1M1， 所以四边形AMM1A1为平行四边形，所以MM1＝AA1且MM1∥AA1. 又AA1＝BB1且AA1∥BB1，所以MM1＝BB1且MM1∥BB1， 所以四边形BB1M1M为平行四边形. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 (2)∠BMC＝∠B1M1C1. 证明：由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形， 所以B1M1∥BM. 同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，所以C1M1∥CM. 因为∠BMC和∠B1M1C1对应边分别平行，且方向相同，所以∠BMC＝∠B1M1C1. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 11.在以下四图中，直线a与直线b可能平行的位置关系只能是 √ 对于A、B、D，平面α，β内的两直线异面，则a与b异面；对于C，平面α，β内的两直线相交，两相交直线能确定一个平面，则a与b有可能平行.故选C. 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 9 1 2 12.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，△A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述中正确的是 A.CC1与B1E是异面直线 B.CC1与AE共面 C.AE与B1C1是异面直线 D.AE与B1C1的夹角为60° √ 11 12 13 14 15 16 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 对于A，由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内，故CC1 与B1E是共面的，故A错误；对于B，由于CC1在平面 C1B1BC内，而AE与平面C1B1BC相交于点E，点E不 在C1C上，故CC1与AE是异面直线. 同理，AE与B1C1 是异面直线，所以B错误，C正确；对于D，AE与B1C1夹角就是AE与BC的夹角，且E是BC的中点，△ABC为正三角形， 所以AE⊥BC，即AE与B1C1的夹角为90°，故D错误.故选C. 11 12 13 14 15 16 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 13.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是边长为2的等边三角形，异面直线AB1与A1C1所成角的余弦值为，则该三棱柱的高为_______. 2 12 13 11 10 8 6 7 4 5 3 9 14 15 16 1 2 连接B1C，如图所示，设三棱柱的高为h，在Rt△ABB1和 Rt△CBB1中，AB1＝CB1＝，所以△B1AC是等腰 三角形.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC∥A1C1，则∠B1AC 是异面直线AB1与A1C1所成的角，所以cos ∠B1AC＝. 因为cos ∠B1AC＝＝，所以＝，所以h＝2，所以该三棱柱的高为2. 12 13 11 10 8 6 7 4 5 3 9 14 15 16 1 2 14.(15分)如图，棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M， N，P分别是C1D1，C1C，A1A的中点. (1)证明：M，N，A1，B四点共面； 证明：如图①所示，连接MN，A1B，CD1. 由已知可得，A1D1∥BC，A1D1＝BC，所以四边形A1BCD1为平行四边形，则A1B∥CD1. 又M，N分别是C1D1，C1C的中点，所以MN∥CD1， 所以MN∥A1B， 所以M，N，A1，B四点共面. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 (2)求异面直线PD1与MN所成角的余弦值的大小. 解：如图②所示，连接DP，D1P，CP，AC. 因为P是AA1的中点，所以PA＝PA1＝1. 又A1D1⊥A1A，所以PD1＝＝. 在Rt△PAC中，PC＝＝3. 又D1C＝＝2， 在△PCD1中，有PC＝3，D1C＝2，PD1＝， 由余弦定理可得，cos ∠PD1C＝＝＝. 又MN∥CD1，所以异面直线PD1与MN所成角的大小即等于直线PD1与CD1所成角的大小， 即异面直线PD1与MN所成角的余弦值为. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 15.(5分)若从正方体八个顶点中任取四个顶点分别记为A，B，C，D，则直线AB与CD所成角的大小不可能为 A.30° B.45° C.60° D.90° √ 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 ①由题意作图①：由图易知△OCD为等腰直角三角形，则直线AB与CD的夹角为45°； ②由题意作图②： 由图易知△OCD为等边三角形，则直线AB与CD的夹角为60°； ③由题意作图③：由图易知OA⊥AB，因为CD∥OA，则 直线AB与CD的夹角为90°.而不管怎么找顶点，都无法 得到直线AB与CD所成角为30°.故选A. 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 16.(17分)在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别 为BC和AD的中点，DN∥BC，DN与EF相交于M. 将平面DCEF沿EF翻折起来，使CD到C'D'的位 置，G，H分别为AD'和BC'的中点. 求证：(1)四边形EFGH为平行四边形； 证明：因为在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为BC，AD的中点， 所以EF∥AB且EF＝. 又C'D'∥EF，EF∥AB，所以C'D'∥AB. 因为G，H分别为AD'，BC'的中点， 所以GH∥AB且GH＝＝. 所以GH∥EF且GH＝EF，所以四边形EFGH为平行四边形. 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 (2)∠C'EB＝∠D'MN. 证明：折叠前DN∥BC，且DM∥CE，MN∥EB， 折叠后D'M∥C'E，MN∥EB， 所以∠C'EB与∠D'MN的对应边平行且方向相同， 所以∠C'EB＝∠D'MN. 返回 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 谢 谢 观 看 刻画空间点、线、面位置关系的公理 (基本事实4、等角定理以及异面直线) 返回 $