6.3 第2课时 空间中两条直线的位置关系 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套练习word（北师大版）

6.3 第2课时 空间中两条直线的位置关系 [课时跟踪检测] 1.[多选]下列命题错误的结论是 (　　) A.如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等 B.如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等 C.如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,那么这两个角相等或互补 D.如果两条直线同时平行于第三条直线,那么这两条直线互相平行 解析:选AC　如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补,故A错误; 由等角定理可知B正确; 如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,这两个角的关系不确定,既可能相等也可能互补,也可能既不相等,也不互补.反例如图,在正方体中,∠A1D1C1与∠A1BC1满足A1D1⊥A1B,C1D1⊥C1B,但是∠A1D1C1=,∠A1BC1=,二者不相等也不互补.故C错误; 如果两条直线同时平行于第三条直线,那么这两条直线平行,故D正确.故选AC. 2.[多选]如图,在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,C1C的中点,则下列说法正确的是 (　　) A.直线AM与CC1是相交直线 B.直线BN与MB1是异面直线 C.直线AM与BN是平行直线 D.直线AM与DD1是异面直线 解析:选BD　∵A,M,C,C1四点不共面,∴直线AM与CC1是异面直线,故选项A说法错误;直线BN与MB1不同在任何一个平面内,是异面直线,故选项B说法正确;取DD1的中点E,连接AE(图略),易知AE∥BN,而AE与AM相交,故AM与BN不是平行直线,选项C说法错误;直线AM与DD1不同在任何一个平面内,是异面直线,故选项D说法正确. 3.a,b,c是两两不同的三条直线,下面四个命题中,真命题是 (　　) A.若直线a,b异面,b,c异面,则a,c异面 B.若直线a,b相交,b,c相交,则a,c相交 C.若a∥b,则a,b与c的夹角相等 D.若a⊥b,b⊥c,则a∥c 解析:选C　若直线a,b异面,b,c异面,则a,c相交、平行或异面;若a,b相交,b,c相交,则a,c相交、平行或异面;若a⊥b,b⊥c,则a,c相交、平行或异面;由异面直线的夹角的定义知C正确. 4.如图,在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为AA1,AB,BB1,B1C1的中点,则异面直线EF与GH夹角的大小等于 (　　) A.45° B.60° C.90° D.120° 解析:选B　取A1B1中点I,连接IG,IH,则EF∥IG.易知IG,IH,HG相等,则△HGI为等边三角形,所以IG与GH的夹角为60°,即EF与GH的夹角为60°.故选B. 5.[多选]在图中,G,N,M,H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形有 (　　) 解析:选BD　对于A,如图1连接GM, ∵G,M为中点,∴GM∥AB.又AB∥HN,∴GM∥HN.故直线GH,MN共面,故A错误. 对于B,已知HN和GM是异面直线,故GH,MN是异面直线,故B正确. 对于C,如图2, 连接GM,∵G,M为中点,∴GM∥AB.又AB∥HN,∴GM∥HN.故直线GH,MN共面,故C错误. 对于D,直线GH,MN既不平行又不相交,故直线GH,MN是异面直线,故D正确.故选BD. 6.[多选]如图是正方体的平面展开图,则在这个正方体中 (　　) A.AB与CD平行 B.CD与GH是异面直线 C.EF与GH的夹角为60° D.CD与EF平行 解析:选CD　该正方体的直观图如图所示. AB与CD是异面直线,故A错误;CD与GH相交,故B错误;因为该几何体为正方体,所以EF∥CD,三角形GHD为正三角形,直线GH与直线GD的夹角为60°,则EF与GH的夹角为60°,故C、D正确.故选CD. 7.(5分)在三棱台A1B1C1⁃ABC中,G,H分别是AB,AC的中点,则GH与B1C1的位置关系是___________. 解析:如图所示,因为G,H分别是AB,AC的中点,所以GH∥BC.又由三棱台的性质得BC∥B1C1,所以GH∥B1C1. 答案:平行 8.(5分)在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,E,F分别为AB,AD的中点,则异面直线B1C与EF夹角的大小为___________. 解析:如图所示,连接BD,B1D1,D1C. ∵EF∥DB,DB∥D1B1, ∴EF∥D1B1. ∴异面直线B1C与EF的夹角为∠D1B1C. ∵D1B1=B1C=D1C,即△B1CD1为等边三角形, ∴∠D1B1C=60°. 答案:60° 9.(5分)已知a,b,c是空间中的三条直线,下列说法错误的是__________.(写出所有满足条件的说法序号)  ①若a∥b,b∥c,则a∥c; ②若a,b分别在两个相交平面上,则这两条直线可能平行、相交或异面; ③若a与c相交,b与c异面,则a与b异面. 解析:对于①,根据基本事实4可得①正确. 对于②,如图1,可得②正确. 对于③,如图2,把直线a看成AB,直线b看成AC,直线c看成BC1,所以直线a,b相交,故③错误. 答案:③ 10.(5分)如图,若正四棱柱ABCD⁃A1B1C1D1的底面边长为2,高为4,则异面直线BD1与AA1夹角的正弦值为___________,异面直线BD1与AD夹角的正弦值是___________. 解析:∵AA1∥DD1,∴∠DD1B即为异面直线BD1与AA1的夹角.连接BD, 在Rt△D1DB中, sin∠DD1B===. ∵AD∥BC,∴∠D1BC即为异面直线BD1与AD的夹角. 连接D1C,在△D1BC中,∵正四棱柱ABCD⁃A1B1C1D1的底面边长为2,高为4, ∴D1B=2,BC=2,D1C=2,D1B2=BC2+D1C2.∴∠D1CB=90°. ∴sin∠D1BC===. 答案:　 11.(10分)如图,在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,E,F,G分别是棱CC1,BB1,DD1的中点.求证: (1)GB∥D1F;(5分) (2)∠BGC=∠FD1E.(5分) 证明:(1)因为正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,F,G分别是棱BB1,DD1的中点, 所以D1G=BF,且D1G∥BF. 所以四边形D1GBF是平行四边形. 所以GB∥D1F. (2)因为正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,E,G分别是棱CC1,DD1的中点, 所以D1G=CE,D1G∥CE. 所以四边形D1GCE是平行四边形. 所以GC∥ED1. 由(1)知GB∥D1F, 由图形可知∠BGC,∠FD1E均为锐角, 所以∠BGC=∠FD1E. 12.(10分)如图,四边形ABEF和四边形ABCD都是直角梯形,∠BAD=∠FAB=90°,BC∥AD,BC=AD,BE∥FA,BE=FA,G,H分别为FA,FD的中点. (1)证明:四边形BCHG是平行四边形;(4分) (2)C,D,F,E四点是否共面?为什么?(6分) 解:(1)证明:因为G,H分别为FA,FD的中点,所以GH∥AD,GH=AD.又BC∥AD,BC=AD,所以GH∥BC,GH=BC.所以四边形BCHG为平行四边形. (2)C,D,F,E四点共面.理由如下: 连接CE(图略),由BE∥FA,BE=FA,G为FA的中点,知BE∥FG,BE=FG, 所以四边形BEFG为平行四边形. 所以EF∥BG,EF=BG. 由(1)知BG∥CH,BG=CH,所以EF∥CH,EF=CH.所以四边形EFHC是平行四边形.所以CE与HF共面. 又D∈直线FH,所以C,D,F,E四点共面. 13.(10分)如图,在等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,BC=,DA⊥AC,DA⊥AB,若DA=1,且E为DA的中点,求异面直线BE与CD的夹角的余弦值. 解:取AC的中点F,连接EF和BF.在△ACD中,E,F分别是AD,AC的中点,∴EF∥CD,∠FEB即为异面直线BE与CD的夹角. 在Rt△ABC中,BC=,AB=AC,∴AB=AC=1. 在Rt△EAB中,AB=1, AE=AD=,∴BE=. 在Rt△EAF中,AF=AC=,AE=, ∴EF=. 在Rt△ABF中,AB=1,AF=,∴BF=. 在等腰三角形EBF中,cos∠FEB===,故异面直线BE与CD的夹角的余弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $