6.3.2刻画空间点、线、面位置关系的公理（第1课时）课件-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

该高中数学课件聚焦空间点、线、面位置关系的4个基本事实及3个推论，课堂导入先回顾平面几何基本事实，再类比引出立体几何基本事实，通过旧知搭建学习支架，帮助学生建立知识联系。 其亮点是以典例引路结合同步练习，如例2证明三线共面、例3证明三点共线，培养数学思维（推理能力）和数学眼光（空间观念）。采用“新知引入-学习新知-典例-练习-总结”流程，全课总结系统梳理知识，助力学生构建逻辑体系，教师可直接用于教学提升效率。

作课人：廉文杰 北师大版（2019）高中数学 必修第二册 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 第六章 立体几何初步 第3节 空间点、直线、平面之间的位置关系 3.2 刻画空间点、线、面位置关系的公理 第1课时（共2课时） 1 学 习 目 标 目 标 重 点 难 点 1、理解4个基本事实. 2、理解3个推论. 3、能利用基本事实和推论进行证明。 1、能利用基本事实和推论进行证明。 1、理解4个基本事实和3个推论. 2 新 知 引 入 位置关系 符号表示 图形表示 点与直线的 位置关系 点P在直线a上 点P在直线a外 点与平面的 位置关系 点P在平面α内 点P在平面α外 直线与直线的 位置关系 相交 不相交 直线与平面的 位置关系 直线在平面内 相交 平行 平面与平面的 位置关系 相交 平行 1、空间点、线、面的位置关系： P∈a P ∉ a P∈α P ∉ α a∩b=P a∩b=Ø b⊂α b∩α=P b∥α α∩β=m α∥β P a P a P α P α a b P α a b α a b α b α b α P b α α β α β α β m 新 知 引 入 2、在平面几何中，我们学习过一些基本事实： ① 两点________一条直线。 ② 两点之间线段最_______。 ③ 过直线外一点_______________一条直线与这条直线平行。 确定 短 有且只有 类似的，在立体几何中，也存在着一些基本事实。 学 习 新 知 基本事实1：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 注意：1、 2、 3、 4、 此基本事实刻画了平面的基本性质。 此基本事实是确定一个平面的依据。 三个推论： 推论1：一条直线和该直线外一点确定一个平面。 推论2：两条相交直线确定一个平面。 推论3：两条平行直线确定一个平面。 此基本事实也可描述为：不共线的三点确定一个平面。 典 例 引 路 例1、能确定一个平面的条件是（ ） A. 空间三个点 B. 一个点和一条直线 C. 无数个点 D. 两条相交直线 解：对于A，三个点可能共线； 对于B，点可能在直线上； 对于C，无数个点也可能在同一条直线上。 D 同 步 练 习 练1、下列说法中正确的是(　　) A．三点确定一个平面 B．四边形一定是平面图形 C．梯形一定是平面图形 D．两个不同平面α和β有不在同一条直线上的三个公共点 解：不共线的三点确定一个平面，故A不正确； 四边形有时指空间四边形，故B不正确； 梯形的上底和下底平行，可以确定一个平面，故C正确； 不共线的三点确定一个平面，故D不正确． C 学 习 新 知 基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这 条直线在这个平面内。 注意：1、 2、 3、 此基本事实的符号表示为：若A∈m,B∈m,且A∈α,B∈α，则m⊂α. 此基本事实是证明线在面内的依据。 在证明多线共面时，可用下面的两种方法来证明： (1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内. (2)重合法：先说明一些直线在一个平面内，另一些直线也在另一个平面 内，再证明两个平面重合. 典 例 引 路 例2、已知:如图所示,l1∩l2=A,l2∩l3=B,l1∩l3=C. 求证:直线l1,l2,l3在同一平面内. 证明:∵l1∩l2=A, ∴l1和l2确定一个平面α. ∵l2∩l3=B,∴B∈l2.又l2⊂α,∴B∈α. 同理可证C∈α. ∵B∈l3,C∈l3, ∴l3⊂α. ∴直线l1,l2,l3在同一平面内. 同 步 练 习 练2、若l1∥l2,l3与l1,l2分别相交于点C,B.求证:l1,l2,l3在同一平面内. 证明：∵l1∥l2, ∴l1,l2确定一个平面记为α. ∵l1∩l3=C, ∴C∈l1. ∵l1⊂α, ∴C∈α. ∵l2∩l3=B,∴B∈l2.∵l2⊂α,∴B∈α. ∵B∈l3,C∈l3, ∴l3⊂α,即l1,l2,l3在同一平面内. 学 习 新 知 基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们 有且只有一条过该点的公共直线。 注意：1、 2、 3、 4、 此基本事实的符号表示为：P∈α,P∈β⇔α∩β=m,且P∈m. 此基本事实是证明“点共线”和“线共点”的依据。 证明“线共点”时可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面 的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一 条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两 点，再证点重合，从而得三线共点. 证明“点共线”时可通过证明点分别在两个平面内，说明点在相交平面的 交线上. 典 例 引 路 例3、已知△ABC在平面α外,AB∩α=P,AC∩α=R,BC∩α=Q,如图. 求证:P,Q,R三点共线. 证明：∵AB∩α=P, ∴P∈AB,P∈平面α. 又AB⊂平面ABC, ∴P∈平面ABC. ∴由基本事实3可知点P在平面ABC与平面α的交线上, 同理可证Q,R也在平面ABC与平面α的交线上, ∴P,Q,R三点共线. 同 步 练 习 练3、如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,设A1C∩平面ABC1D1=E. 则B,E,D1三点的关系为　　　　　.(填“共线”或“不共线”)  解：如图所示,连接A1B,BD1,CD1. ∵A1C∩平面ABC1D1=E, ∴E∈A1C,E∈平面ABC1D1. ∵A1C⊂平面A1BCD1, ∴E∈平面A1BCD1. ∵平面A1BCD1∩平面ABC1D1=BD1, ∴E∈BD1, ∴B,E,D1三点共线. 典 例 引 路 例4、如图所示,三个平面α,β,γ两两相交于三条直线,即α∩β=c,β∩γ=a,γ∩α=b, 若直线a和b不平行,求证:a,b,c三条直线必过同一点. 证明：∵α∩γ=b,β∩γ=a, ∴a⊂γ,b⊂γ. ∵直线a和b不平行,∴a,b必相交. 如图所示,设a∩b=P,则P∈a,P∈b. ∵a⊂β,b⊂α, ∴P∈β,P∈α. 又α∩β=c, ∴P∈c,即交线c经过点P. ∴a,b,c三条直线必过同一点. 同 步 练 习 练4、四个顶点不在同一平面内的四边形称为空间四边形。如图所示,在空间四 边形ABCD中,E,F分别是AB和CB上的点,G,H分别是CD和AD上的点,且四 边形EFGH为梯形,HG∥EF,HG∶EF=1∶3. 求证:EH,BD,FG三条直线相交于同一点. 证明：∵HG∥EF,HG∶EF=1∶3, ∴EH,FG共面,且EH与FG不平行. 延长EH,FG,不妨设EH∩FG=O, ∵O∈EH,EH⊂平面ABD,∴O∈平面ABD, ∵O∈FG,FG⊂平面BCD,∴O∈平面BCD. ∵平面ABD∩平面BCD=BD,∴O∈BD, ∴EH,BD,FG三条直线相交于同一点O. 学 习 新 知 基本事实4：平行于同一直线的两条直线互相平行。 注意：1、 2、 3、 此基本事实的符号表示为：a∥b,b∥c⇒a∥c. 此基本事实是证明两条直线平行的依据。 此基本事实称为平行线的传递性. 典 例 引 路 例5、如图所示,点P是△ABC所在平面外一点,点D,E分别是△PAB和△PBC的重心. 求证:DE∥AC,DE=AC. 证明：如图所示,连接PD,PE,并延长分别交AB,BC于点M,N. 因为点D,E分别是△PAB,△PBC的重心,所以M,N分别是AB,BC的中点. 连接MN,则MN∥AC,且 MN = AC ① 在△PMN中，因为 = = ,所以DE∥MN,且 DE = MN ② 由①②，得DE∥AC 且 DE = MN = ×AC = AC. 同 步 练 习 练5、如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱A1A,C1C的中点, 求证:四边形MBND1为平行四边形. 证明：取B1B的中点P,连接C1P,MP. ∵N为C1C的中点,由正方体的性质知C1N∥PB且C1N=PB, ∴四边形C1PBN为平行四边形, ∴C1P∥BN且C1P=BN. 又M,P分别为A1A,B1B的中点,所以MP∥A1B1且MP=A1B1. 又由正方体的性质知A1B1∥C1D1且A1B1=C1D1, ∴MP∥C1D1且MP=C1D1, ∴四边形D1MPC1为平行四边形, ∴C1P∥MD1且C1P=MD1.∴MD1∥BN且MD1=BN, ∴四边形MBND1为平行四边形. 典 例 引 路 例6、已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别为D1C1、C1B1的中点， AC∩BD=P，A1C1∩EF=Q．求证：D,B,F,E四点共面. 证明：∵EF是△D1B1C1的中位线， ∴EF∥B1D1． 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，B1D1∥BD， ∴EF∥BD． ∴EF,BD在一个平面内， 即D,B,F,E四点共面． 同 步 练 习 练6、在空间四边形ABCD中，M,N,P,Q分别是四边上的点， 且满足 = = = ，求证：M,N,P,Q共面． 证明：∵ = ∴MQ∥BD ∵ = ∴NP∥BD ∴MQ∥NP ∴即MQ,NP共面，从而M,N,P,Q四点共面． A B D C M N P Q 同 步 练 习 全 课 总 结 基本事实 文字语言 符号语言 图形表示 基本事实1 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内。 若A∈m,B∈m,且A∈α,B∈α，则m⊂α. 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 P∈α,P∈β⇔α∩β=m,且P∈m. 基本事实4 平行于同一直线的两条直线互相平行。 a∥b,b∥c⇒a∥c. A B C α A B α m P α β m a b c 文字语言 图形表示 推论1 一条直线和该直线外一点确定一个平面。 推论2 两条相交直线确定一个平面。 推论3 两条平行直线确定一个平面。 A B C α α a b α a b THANK YOU 谢谢！ 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 22 $