河南省驻马店高级中学2025-2026学年高三下学期平行部模拟预测数学试题（五）

驻马店高中高三年级平行部模考五 数学 命题人：李四方审题人：张淑丽 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自已的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上， 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将 答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.已知集合4=1,4，a+2号，B=L},且AnB=B,则a=（) A.1 B.-1 C.2 D.-2 2.复数1+ 的值为() A.-2i B.2i C.-2 D.2 3. 已知平面向量a,b为单位向量，且a1b,若c=2a+b,则cos(5,c)=() A.3 B.V5 c.25 D.② 3 5 5 4.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=1,b=√3，A=30°， 则c为() A.1 B.2 C.1或2 1或 5.已知椭圆C于+片=1ab0的左右焦点分别为.，点在C上，且 满足P=√2PF,∠PFE=2∠PEE，则C的离心率为() A.√2-1 B.V3-1 C. 6.已知定义在[0，π)上的函数f()=coswx-V3 sin@x(w>0)有最小值，但 无最大值，则⊙的取值范围是() A(周 B.剧 c.(] D.周 7.已知e=4,9=e2,c=l0g52,则( 1 A.a<b<c B.a<c<b C.b<a<c D.b<c<a 8.已知在正三棱台ABC-AB,C中，AB=6,AB,=2,此正三棱台存在内切球， 则此正三棱台的高为() A.1 B.√2 C.5 D.2 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中， 至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分.部分选对得部分分，选错或不选 得0分) 9. 2025湖南省足球联赛以全民参与和城市荣誉为理念，多元融合激活文旅消 费，助推体育产业创新，创造经济效益超4亿元.下表是常规赛各队的积分： 永 常 长 株 娄 衡 郴 岳 益 邵 湘 湘 张 沙 洲 阳 阳 阳 潭 化 家 队 队 队 队 队 队 队 队 队 队 队 州 界 队 队 22 26 35 27 23 20 19 19 18 13 11 6 5 则下列说法正确的是（ A.积分数据的众数为19 B.积分数据的第70百分位数为22 C.积分数据的中位数为19.5 D.积分最高的4队积分的方差比积分最低的4队积分的方差小 10.已知抛物线y2=4x,其焦点为F,准线为1，过F的直线与抛物线交于A,B 两点，过A,B分别作1的垂线，垂足分别记为C,D,则() A.OA.OB是定值 B.以CD为直径的圆过点F C.对于1上的任一点P,∠APB<90°恒成立D.△OAB面积的最小值为2 2an an <3 1.已知数列{a}a满足a+1={a3a3S,为{a}的前n项和，则( A.当4=5时，4026=5 B.当4=5时，S06=4730 C.3a∈N,使得S226=S D.{an}为等比数列的充要条件是4<0 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分) 12.已知(x+x-2°=2a,则2a= 16 16 (用数字作答) 13.二项分布又称为n重伯努利分布，其可视作将n次两点分布叠加所得，现对其 中的两点分布进行调整，记原两点分布的发生概率为P（发生概率即所得结果为 1的概率)，定义变化后总试验次数为n时的发生概率p。=1-p”,其中n表示总试 2 验次数.现进行一类关于随机变量X的二项分布B(6,p)的调整.若当变化后总试 验次数为r时的发生概率为，总试验次数为：+1时的发生概率为7，则在原 二项分布中，P(X=)的最大值为 (用数字解答) 14.在正方形ABCD所在平面内，动点P在以点C为圆心且与直线BD相切的圆 上，设AP=xAB+yAC(x,yER),则x+2y的最大值为 四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤) 15.2025年春节假期，文旅市场火爆.文化和旅游部公布的数据显示：春节假期 8天，全国国内出游5.01亿人次，同比增长5.9%：国内出游总花费6770.02亿 元，同比增长7.0%.某景区的某网红饮品小店统计了春节假期前7天的营业额)y (单位：千元)，得到y与x的数据如表所示： 第x天 1 2 3 4 6 营业额 7 9 11 13 16 18 17 (1)已知y与x有较强的线性相关关系，求y关于x的线性回归方程，并预测春节 假期第8天的营业额： (2)如果某天营业额大于10（单位：千元），则该天“达标”，从表格中的7组数 据中随机选4组，设X表示“达标”的数据组数，求X的分布列和数学期望。 参考公式：在线性回归方程=x+a中，i=旦 -,a=-br. 参考数据： ∑y=417, ∑x2=140, 16.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为6的正方形ABCD,PA=8, PA⊥平面ABCD,点M是CD的中点，点N是PB的中点. (I)求证：AB⊥MN.(2)求二面角N-AM-B的余弦 值. 3 17.已知数列{a}的前n项和为A,对在意n∈N,满足4-4-，且 n+1n2 4=1数列{，}满足lgb,-2gb,+1b,=0,b3=7其前3项和为2 3 (1)求数列{an},{bn}的通项公式（2)将数列{an},{bn}的项按照“当n为奇 数时，4放在前面；当n为偶数时，bn放在前面”的要求进行“交叉排列”，得 到一个新的数列：a1,b1,b2,a2,a3,b3,b4,a4,…求这个新数列的前33项和S 18已知双曲线c普若口>06>0)的离心*为、5，右焦点为F,M是双曲线 上一点，MFLx轴，MF=√2. (1)求双曲线c的标准方程。 (2)过点F作斜率为√万的直线交该双曲线于A,B两点，且AF=FB(2>1). (i)求的值： （ⅱ)若点P不在直线AB上，且点P满足：PF平分∠APB,求△PAB面积的最大 值 19.(1)求f(x)=x-sinx(x≥0)的最小值。 (2)已知函数g(x)=sinx-x+nxsinx,x∈[0，r],m∈R,g’(x)为g(x)的导 函数。 ①当m>0时，证明：g’(x)在区间(0，)上存在唯一的极大值点： ②若gx)有且仅有两个零点，求m的取值范围。 4驻马店高中高三年级平行部模考五数学答案 一、1.D2.A3.B4.c5.A6C7.DI详解油题设，a=n4=1D:4b=1g,e2=1bg,6c=log,4, log,e 又0<log3e<1<log34,所以a>c>b.故选：D 8.D【详解】由题可知上下底正三角形的高分别为√22-1P=√5，√6-32=35， 由几何体结构特征结合题意可知内切球与上、下底面切点为上下底的重心， 如图，取BC和B,C1的中点分别为P,Q,上、下底面的中心分别为O,O,, 则09=30 设内切球的球心为0，半径为”，则正三棱台的高OO,=2”, 4=z--- 内阿球与心相切于点k根据圆的质可痴Q1-0Q=马PM=0,P=5:则 PQ-OM+MP- ,如图： 所以2-59-41，即=1，所以正 0 三棱台的高为2 二、9.AB【详解】将14支球队的积分，按照从小到大的顺序排列： 4,5,6,11,13,18,19,19,20,22,23,26,27,35:积分数据的众数为19，A选项正确：因为14× 0.7=9.8,所以积分数据的第70百分位数为第10个数据，即22，B选项正确；积分数 据的中位数为19，C选项错误，积分最高的4队积分的平均数为3+26+27+3=27号积分 4 最高的4队积分的方差223+(7是20+(2727+3=315，积分最低的4队积分的 16 平均数为+5#6+1=6宁积分最低的4队积分的方差兮+宁+G写9'+G停山-23， 4 4 所以积分最高的4队积分的方差比积分最低的4队积分的方差大，D选项错误： 10.【详解】抛物线y2=4x的焦点F(1,0),准线1：x=-1,设直线AB:x=y+1, A(x,),B(x,),由 x=y+1 y2=4x 消去x,得y2-4y-4=0,则为+为=4片乃=-4， 对于O,O元=5+y为=兰，兰+y为=-3，A正确：对于B,连接CR,DP,由 44 |AF日AC,BF曰BD,AC/1OF1/BD,得 ∠CFO=∠ACF=∠AFC,∠DFO=∠BDF=∠BFD,∠CFD=∠CFO+∠DFO=90°， 因此以CD为直径的圆过点F,B正确：对于C,取AB中点O,当P为CD中点时， PO/AC1/BD,POELAC+BD-AB,则∠A1PB=90°，c错误， 2 对于D,Ses1oFy-2+y为)-4少=2F+122, 当且仅当t=0时取等号，因此△OAB面积的最小值为2，D正确. 11.BCD【详解】对于A,由41=5>3→4，=5-3=2,4=2<3→43=2×2=4， 43=4>3→4=4-3=1,44=1<3→4=2×1=2,4=2<3→a6=2×2=4, 4。=4>3→4=4-3=1，…，由递推关系以下过程重复操作，后面各项依次为 5,2,4,1,2,4,1,2,…所以数列{a}除了4=5外，从4=2开始成周期为3规律，从4，到 4026共2025项，2025是3的倍数，所以426=4=2，故A错误，对于B,根据选项A 可知，S2026=5+675×(2+4+1)=4730,故B正确；对于C,取41=3，则 4=3-3=0,则a43=2☑2=0，…，依此下去，对n≥2，都有a,=0,此时 Sg=3+0++0=3,S3026=3+0++0=3,即]a1=3EN,使得S026=S8,故C 正确：对于D,若4，<0，则a2=2a<0,则4=2a2<0,…,依此下去，对n∈N, 都有a,<0,则a+1-2a,成立，放1=2，数列{a,}为等比数列：若数列{a,}为等比 数列，设公比为q(q≠0)，假设数列{a}中存在某项a.≥3，则a+1=a.-3=a,9<4., q<1,可得43，之3，又g20,解得0<g<1,由么=a”,可知加4-0， 放必存在某项a,<3,则a,1=2a,即21-2，这与公比0<g<1矛盾，假设错误， ap 即数列{an}中任意一项都小于3，自然4<3：再假设数列{an}中存在某项0<4，<3，则 ag+1=2ag,即q=2,则由a,=a,q-，可知n→0时，a→+o0,且数a列{a}为递 增数列，故存在某项a4m≥3，则am+1=am-3<am,这与数列递增矛盾，假设也错误；所 以数列{a}中也不存在大于0且小于3的项，又等比数列中各项均不为0，故数列{4}中 任意一项均小于0即4<0：综上所述，{a}为等比数列的充要条件是4<0，故D正确. 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） /1-p"=19 p=8 2 12.013.【详解】由题意知 1p5’可知 27 26’解得D 27 3,做X~B62） 81 81 n= 3 30P(X=0) 3，P(X=1D=1, 1 30,Px==60, ，PX=3)=160 36, P(=4)= 30，P(X=5)=192 240 ,PK-0-,可知PCx=)的最大值为x-架 14.3【详解】如图，设正方形ABCD的边长为1，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴 建立平面直角坐标系， 2 则各点坐标为A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),直线BD的方程为 x+y-I=O,由题意得，圆C与直线BD相切，所以圆C的半径r等于点C到直线BD的 距离，即=上+1-1V2 +二，所以，动点P的轨迹方程为(x-1刂+(0-=7，因为 AB=(1,0),AC=,1,所以AP=xAB+yAC=x(1,0)+y(1,1)=(x+yy),设 P(xp,yp),则xp=x+y,。=y,所以x+2y=xp+y。,问题转化为：P(x,y)在圆 (x-1旷+0-1=号上，求x+y的最大值设x+y=1,即x+y-1=0,当直线 +y-t=0与圆c-1+0-=相切时，1取得最值，圆心C(1,1)到直线x+y-t=0的 距离等于率轻，即二5，解得1-1,1-3所以人-3，因此，的最大位为3. 四、解答题（本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15,【详解】(1)由题意可得：-1+2+3+4+5+6+7-4，万7+9+1+13+16+18+17-3， > 7 ∑：-7元卫 则6= 三父-7深 装a-5后1B器49 ，可知线性回归方程为 +9,当x=8时，·是4，号-兰，所以预测春节假期第8天的吉业额为4千元。 2)油墨意可知X的所有可能取值为：2,3则P(X=2)-C=弓，x--兰-身。 C4 C P心r昌，所以X的分布 X的数学期望为E(x)=2×2+3×4+4×1-20 77 16【小问1详解】取PA的中点E,连接Ew,DB,因为点M是CD 的中点，点N是PB的中点，可得EN∥AB,且EN=AB,而 DM=1DC=1AB,且DM∥AB,所以EN∥DM且EN=DM,所 以四边形DMNE为平行四边形，所以MN∥DE,又因为PA⊥平面ABCD 而PAC平面PAD,所以平面PAD⊥平面ABCD,因为ABC平面 ABCD,平面PADO平面ABCD=AD,AB⊥AD,所以AB⊥平面 PAD,而DEC平面PAD,所以AB⊥DE,所以AB⊥N: 【小问2详解】以A为坐标原点，以AD,AB,AP所在的直线分别为x, y,z轴建立空间直角坐标系，PA=8,底面是边长为6的正方形 ABCD,点M是CD的中点，点N是PB的中点，则A(0,0,0),D(6,0,0) C(6,6,0),B(0,6,0),所以M(6,3,0),N(0,3,4),所以 AM=(6,3,0),AN=(0,3,4),易得平面AMB的法向量元=(0,0,1)， 设平面的法向量为m-则微即令=2，则=包，4。 3 可得m万-3同-1，丽-后，所以前 3329 29， 因为二面角 N-AM-B的平面角为锐角，所以它的余弦值为os列=3 29 17.【小间1详解144-且4=4=1，所以，数列 是以1为首项，以号 n+1n21 n 为公差的等差数列，÷=1+0m-)=安A=里当n≥2时，a=A 2 A-1=-,=n.41也适合上式，所以， 2 a=n(meN).lgb42-2gb1+lgbn=0,即21gb+1=lgbn+lgb+2,所以，数列 gb,}为等差数列，设其公差为d,则d=1gb-1g,=1g，=10,所以， 数列{b}是正项等比数列，设其公比为9，则q>0.由题意可得 ba=b1q2- b1- b1+b2+b3=b1(1+g+g2)=号’解得 , 因此，ba=bq1=×(目）”1 (9=3 (份”；【小问2详解】数列{a,}的前n项和为A=“aD,数列，}的前n项和为B 2 -0引，①当m=2kkcN谢，5a=a+R:-近型+-)- 1-3 2 +4-:②当m=4k+1kEN)时，S=A2+1+B2k=2+2+2+-)= 2×3z 2 兰+0京》 n2+4+7_1 2 8 2京特别地，当1=1时，S=1也适合上式， ®当n4北-1new减，=-+0剖-学+a 242 2 8 x2k,k EN )缘上所述5 n2+4n+7- 1 8 三，n=4k+1,n∈N.所以 2×3 2×3z n2+31 8 2xg受n=跳-1，kEN: $307 1 22×36· 1设【详解】①)解：设双商线号云-1的右焦点为FC0,将：=代入双曲线方是， 可得y=±，因为M是双曲线上一点，MP⊥x轴，且M=V2,所以=反， 又因为双曲线C的离心率为√2，所以e=C=V2,即c=√a, 因为2=c2-,可得a=b=5,所以双曲线的标准方程为父上 =1. 22 (2)解：(i)由(1)知c=√2a=2,所以F(2,0),且k=√万，可得直线AB方程为 -方2 =(《-2列，即方+之，联立方程组：，整理得6-4-14=0，即 2-1 2-23+可0，解得为s=所以4列，目因为正， 可得-为=5，即万=，解得2=3. (i)设P6。),由三角形内角平分线的性质，可得-，即P4=9PB, 即天+仿-s到写化简得←写，所以点P的轨迹是 一个圆，其圆心为-，满足AB的方程y=√7(-2)，当△PAB面积最大时，高为半径√2， 又-一}+万，哥-8，故PB面积的最大值为9厅- 3 19.解：(1)由fx)=x-sinx(x≥0)，得f'(x)=1-cosx≥0恒 成立 所以f(x)在[0，+∞)上单调递增. 所以f(x)≥f0)=0.所以f(x)的最小值为0.…3分 (2)(i)当m>0时，g(x)=cosx-l+m(sinx+xcosx),g'(0)=0. 令h(x)=g'(x),则'(x)=-sinx+m(2cosx-xsinx). 当xe,）时，y=x单调递增，令0<<<受，则0c sinz <sinx2<1. 所以x1sinx,<x2sinx,<x2sinx2.所以y=xsinx也单调递增， 所以当xe0,）时，-sir单调递减，2car单调递减 -xsinx单调递减 所以h'(x)单调递减： 又h'(0)=2m>0, 2m<0, 所以存在0， ,使得'(x)=0. 所以当xe(0,x1)时，h'(x)>0,h(x)=g'(x)单调递增； 当xe名，2）时，h'()<0,A()=g()单调递减 所以g()在区间0，》上存在唯一的极大值点。…9分 5 (ii)当m≤0时，因为xe[0,T],所以由(1)知，x-sinx≥0. 所以g(x）≤mxsinx≤0. 当且仅当x=0时，等号成立 所以g(x)只有一个零点0，不符合题意. 当m>0时，且xe[7,可]时，-inr≤0,2cos≤0，six≤0 所以k()≤0.所以A(x)在[受，]上单调递减 结合(i)可知，h(x)在(0，x1)上单调递增，在(x1,π)上单调 递减。 又h(x1)>h(0)=0,h(π)=-2-mT<0,所以存在x2∈(0，T), 使得h(x2)=0. 当x∈(0，x2)时，h(x)>0,即g'(x)>0,则g(x)单调递增. 当x∈(x2,π)时，h(x)<0,即g'(x)<0,则g(x)单调递减， 所以g(x2)>g(0)=0,g(π)=-π.所以存在x3∈(x2,π)，使 得g(x3)=0. 所以g(x)在[0，T]上有且仅有两个零点，即x=0与x=x3, 满足题意 综上所述，m的取值范围是m>0.…17分