辽宁鞍山市海城市高级中学2025-2026学年高二下学期期中数学复习卷五

**基本信息** 高二下期中复习卷涵盖数列、导数、统计等核心知识，解答题融合线性回归与独立性检验（如第17题）、函数单调性与恒成立问题（如第18题），注重基础巩固与综合应用能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|等差数列求和（第1题）、导数应用（第2题）、独立性检验（第3题）|基础概念与基本运算结合，梯度合理| |多项选择|3/18|导数运算（第9题）、等差数列性质（第10题）、斐波那契数列（第11题）|易错点辨析，融入数学文化| |填空题|3/15|数列递推（第12题）、函数求值（第13题）、公切线方程（第14题）|综合性强，考查转化能力| |解答题|5/60|等差等比数列综合（第15题）、数列单调性（第16题）、统计案例（第17题）、函数导数综合（第18-19题）|分层设计，从基础应用到创新探究，如第19题结合方程根与不等式证明，培养逻辑推理与数学表达能力|

高二下期中复习五 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。 1.记为等差数列的前n项和．若，，则的公差为  A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 2.已知函数，其导函数的部分图象如图，则对于函数的描述错误的是(    ) A. 在上单调递减 B. 在上单调递增 C. 为极值点 D. 为极值点 3.为了研究性别与对乡村音乐态度喜欢和不喜欢两种态度的关系，运用列联表进行独立性检验，经计算，则“性别与喜欢乡村音乐有关系”这个推断犯错误的概率不超过参考数据：，     A. B. C. D. 4.数列满足：，，记，则。 A. B. C. D. 5.在数列中，，，则值为。 A. B. C. D. 前三个答案都不对 6.某公司计划在12年内每年对某产品的广告投入单位：万元等于上一年的倍再减去已知第一年年该公司对该产品的广告投入为5万元，则按照计划该公司从2018年到2028年含2028年对该产品的广告总投入约为参考数据：     A. 215万元 B. 219万元 C. 153万元 D. 154万元 7.已知公差不为0的等差数列的前n项和为，若，，，成等比数列，则满足的n的最大值为(    ) A. 8 B. 9 C. 13 D. 14 8.函数，若恒成立，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。 9.下列求导数运算正确的有(    ) A. B. C. D. 10.设等差数列的前n项和为，公差为d，已知，，则下列说法正确的是    A. 的最小值为 B. 满足的n的最小值为14 C. 满足的n的最大值为14 D. 数列的最小项为第8项 11.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，该列数的特点是前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面相邻两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列.若记此数列为，前n项和为，则，下列对斐波那契数列的描述正确的是    A. B. 该数列的前2024项中能被3整除的有507项 C. 是偶数 D. 三、填空题：本大题共3小题，共15分。 12.已知正数数列满足，则          。 13.已知函数，若，则实数          . 14.曲线与的公切线方程为          . 四、解答题：本大题共5小题，共60分。 15.已知数列是等差数列，是等比数列，且，，， 求的通项公式; 设，求数列的前n项和. 16.已知数列中，，其前n项和为，且满足N 求数列的通项公式； 记，若数列为递增数列，求的取值范围． 17.为了了解高中学生课后自主学习数学时间分钟/天和他们的数学成绩分的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据，如表所示. 编号 1 2 3 4 5 学习时间分钟/天 30 40 50 60 70 数学成绩分 65 78 85 99 108 求数学成绩y与学习时间x的样本相关系数精确到； 请用样本相关系数说明该组数据中y与x之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求出y关于x的经验回归方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为100分钟时的数学成绩； 基于上述调查，某校提倡学生周末在校自主学习.经过一学期的实施后，抽样调查了220位学生.按照是否参与周末在校自主学习以及成绩是否有进步统计，得到列联表.依据表中数据及小概率值的独立性检验，分析“周末在校自主学习与成绩进步”是否有关. 没有进步 有进步 合计 参与周末在校自主学习 35 130 165 未参与周末在校自主学习 25 30 55 合计 60 160 220 参考数据：，，，，的方差为 方差：， 样本相关系数： 经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，， 18.已知函数 讨论的单调性； 当时，，求实数a的取值范围． 19.已知函数 设函数，若在其定义域内恒成立，求实数a的最小值； 若方程恰有两个相异的实根，，求实数a的取值范围，并证明： 答案和解析 1.【答案】C  【解析】【分析】 本题主要考查等差数列通项公式及等差数列求和公式，属于基础题. 利用等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出的公差. 【解答】 解：为等差数列的前n项和，设公差为d， ，， ， 解得，， 的公差为 故选 2.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查函数的单调性以及函数的极值点的判断，是中档题． 利用导函数的符号判断A、B；利用函数的单调性判断函数的极值点，判断C、 【解答】 解：由题意可知：，，所以在上单调递减，所以A正确； ，，所以在上单调递增，所以B正确； ，，所以在上单调递增，结合A选项，所以时，函数取得极小值，所以C正确； 时，函数未取得极值，所以D不正确． 故选： 3.【答案】B  【解析】略 4.【答案】A  【解析】利用递推关系可得。 因此。选A。 5.【答案】A  【解析】，可猜测，代入递推式可确定，再代初值，可确定。因此。选A。 注.二阶线性递推数列如果有重复特征根，例如本题的二重根2，将使得通解形如用于应对非齐次项。 6.【答案】A  【解析】设该公司在2018年，2019年，……，2028年的广告投入单位：万元分别为，，…，， 依题意可得…，，则…，， 所以数列是首项为1，公比为的等比数列，则，即 …… ， 故从2018年到2028年该公司对该产品的广告总投入约为215万元． 故选 7.【答案】D  【解析】设等差数列的公差为d，因为，，，成等比数列， 所以 可得所以， 故 由，得，解得 因为，所以n的最大值为故选 8.【答案】D  【解析】解：， a在上单调递增，且时， 在上单调递增，且时， 所以要使恒成立，应有即，则， 令，则， 时，，时，所以时取得极大值也是最大值， 所以，所以的取值范围是 故选： 9.【答案】AB  【解析】【分析】 本题主要考查了导数的运算，属于基础题． 利用导数的运算法则求解． 【解答】 解：对于A，，故A正确， 对于B，，故B正确， 对于C，，故C错误， 对于D，，故D错误， 故选： 10.【答案】ABD  【解析】由，可知，， 对于选项A，由，，，，可知，，，为负，，，为正，所以最小，故A正确. 对于选项B，C，， ，则满足的n的最小值为14， 满足的n的最大值为13，故B正确，C错误. 对于选项D，由上述分析可得，，，为负，，，为正，，，，为负，，，为正， 所以，，，为负， 又，， 所以最大，即最小，故D正确.故选 11.【答案】AD  【解析】对于A，因为，所以， 所以 ， 又，所以，故A正确. 对于B，易得斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，， 它们除以3所得的余数分别为1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，，可以发现， 余数以8为周期重复出现，一个周期内有两个能被3整除的数，又， 所以该数列的前2024项中能被3整除的有项，故B错误. 对于C，因为，，均为奇数，所以为偶数， 所以为奇数，， 所以斐波那契数列中的项是按“奇、奇、偶”的规律出现的， 又，所以为奇数，故C错误. 对于D， ，又， 所以，故D正确. 12.【答案】  【解析】推出，推出，从而有，。 13.【答案】e  【解析】解：当时此时， 因为，所以 根据指数函数的性质，对于指数函数，当时，， 在中，e的指数为1，所以， 但是我们假设的是，1不满足这个条件，所以这种情况舍去， 当时，此时， 因为，所以， 设，则， 令，即，解得， 当时，，单调递减;当时，，单调递增， ，所以满足这个条件. 故答案为： 14.【答案】  【解析】【分析】 本题考查导数的几何意义，利用导数求曲线上一点的切线方程，属于中档题. 设出两曲线的切点和，由导数的意义可得，再由点斜式得出公切线方程，把点A代入直线方程可得，构造函数，求导分析单调性得到，进而得出，，最后得到直线方程. 【解答】 解：设曲线上的切点为， 曲线上的切点为， 因为，， 则公切线的斜率，所以， 因为公切线的方程为，即， 将代入公切线方程得 ， 由，得， 令，，则， 当时，当时，， 故函数在上单调递增，在上单调递减，， 所以，， 故公切线方程为，即 故答案为： 15.【答案】解：设是公差为d的等差数列，是公比为q的等比数列， 由，，可得， ； 又因为，， 则公差， 则； ，， ， 记数列的前n项和， ① ② ①-②得： ， ， 即数列的前n项和  【解析】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，同时考查数列的求和方法：错位相减法，属于中档题． 设是公差为d的等差数列，是公比为q的等比数列，可得，，进而得到所求通项公式； 求得，再由数列的求和方法：错位相减法，求和即可． 16.【答案】解  ，，，  即，，，N ，    数列为递增数列，，即  令，  即 ，为递增数列，，  即的取值范围为   【解析】略 17.【答案】解， ， 又…，的方差为 ， ， 由知接近1，故y与x之间具有极强的线性相关关系，可用线性回归模型进行拟合， ， ， 故 当时，， 故预测每天课后自主学习数学时间达到100分钟时的数学成绩为分. 零假设：周末在校自主学习与成绩进步无关， 根据数据，计算得到 ， 因为， 所以依据小概率值的独立性检验，推断不成立，即可以认为“周末在校自主学习与成绩进步”有关.   【解析】略 18.【答案】解  依题意，得  当时，，  所以在R上是增函数．  当时，令，可得；  令，可得，  所以在上单调递增，  在上单调递减．  综上所述，当时，在R上是增函数；  当时，在上单调递增，在上单调递减． 因为当时，，  所以，  即，  即，  即  令，则有对恒成立．  因为，  所以在R上是增函数，  故只需，  即对恒成立．  令，  则，  令，得  当时，，  当时，，  所以在上单调递增，在上单调递减，所以  因此，所以  所以，实数a的取值范围是   【解析】略 19.【答案】解  易知的定义域为  由得  在上恒成立，  设，则，当时，，单调递增，  当时，，单调递减，，，即，实数a的最小值为 由得，  即，  令，  则，  设，，  则，在上单调递减，又，在上，，，单调递增，在上，，，单调递减，  当x趋近于0时，，当x趋近于时，  若方程恰有两个相异的实根，，则，，  即实数a的取值范围为  下面证明：不妨令，  则，，，  又，     ，  令，  则，在上单调递增，当时，，  即，得证．   【解析】略 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $