辽宁鞍山市海城市高级中学2025-2026学年高二下学期期中数学复习卷六

**基本信息** 2026高二期中复习卷聚焦数列、导数、统计等核心知识，以茶文化温度回归、数列优化数等情境题设计，融合数学抽象与数据分析，适配期中复习巩固与能力提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|等比数列求和、相关系数性质、函数图像判断|基础概念辨析，如第2题考查相关系数范围| |多选|3/18|独立性检验、函数奇偶性与单调性、数列递推|选项分层，如第11题综合奇偶项性质判断| |填空|3/15|导数计算、取整函数求和、不等式整数解|创新情境，如第13题结合取整函数考查数列求和| |解答|5/60|等比数列通项与求和、导数极值与切线、茶文化温度回归模型|跨情境应用，如第17题通过茶文化数据建立回归方程，体现数学建模与数据分析素养|

2026年度下学期高二期中复习卷六 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。 1.已知数列的前n项和，，则k的值为    A. 2 B. C. 1 D. 2.下列关于相关系数的命题错误的是(    ) A. r的范围为 B. r为正时，x，y正相关为负时，x，y负相关 C. 越接近于1，x与y的线性相关程度越强越接近于0，二者的线性相关程度越弱 D. 当时，所有数据点都在一条直线上 3.记为等比数列的前n项和，若，，则(    ) A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 4.已知函数，则的大致图像为    A. B. C. D. 5.直线是曲线的一条切线，则实数  A. 或1 B. 或3 C. D. 3 6.定义在R上的函数的导函数为，，对于任意的实数x均有成立，且的图像关于点对称，则不等式的解集为    A. B. C. D. 7.数列中，，，若，则    A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8.设函数，若关于x的方程恰好有4个不相等的实数解，则实数m的取值范围是    A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。 9.为了解阅读量多少与幸福感强弱之间的关系，一个调查机构根据所得到的数据，绘制了如下所示的列联表个别数据暂用字母表示： 阅读量 幸福感 合计 幸福感强 幸福感弱 阅读量多 m 18 72 阅读量少 36 n 78 合计 90 60 150 计算得：，参照下表： 下面的选项正确的为    A. 根据小概率值的独立性检验，可以认为阅读量多少与幸福感强弱无关 B. C. 根据小概率值的独立性检验，可以在犯错误的概率不超过的前提下认为阅读量多少与幸福感强弱有关 D. 10.已知函数，则    A. 是偶函数，也是周期函数 B. 的最大值为 C. 的图象关于直线对称 D. 在上单调递增 11.已知数列的前n项和为，且，，则下列说法正确的是  A. 数列的奇数项成等比数列 B. 数列的偶数项成等差数列 C. D. 三、填空题：本大题共3小题，共15分。 12.函数的导函数          . 13.对于实数x，表示不超过x的最大整数，如，已知数列的通项公式，前n项和为，则…          . 14.已知函数，若不等式的解集中恰有两个不同的正整数解，则实数m的取值范围           四、解答题：本大题共5小题，共60分。 15.等比数列中，， 求的通项公式； 记为的前n项和．若，求 16.已知是函数的一个极值点. 求实数a的值; 求函数的单调区间; 若直线与函数的图象有3个交点，求实数b的取值范围. 17.中国茶文化博大精深，饮茶深受大众喜爱．茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．某数学建模小组为了获得茶水温度关于时间的回归方程模型，通过实验收集在室温，用同一温度的水冲泡的条件下，茶水温度随时间变化的数据，并对数据做初步处理得到如图所示散点图． 表中：， 根据散点图判断，①与②哪一个更适宜作为该茶水温度y关于时间x的回归方程类型？给出判断即可，不必说明理由 根据的判断结果及表中数据，建立该茶水温度y关于时间x的回归方程； 已知该茶水温度降至口感最佳．根据中的回归方程，求在相同条件下冲泡的茶水，大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？ 附：①对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，；②参考数据：，，，， 18.已知数列的各项均为正数，其前n项和， 求数列的通项公式； 设，若称使数列的前n项和为整数的正整数n为“优化数”，试求区间内所有“优化数”的和 19.已知函数 讨论函数的单调性； 当时，若关于x的方程有两个实数根，，且，求证： 答案和解析 1.【答案】C  【解析】解：数列的前n项和，， ， 故选项为： 2.【答案】A  【解析】r的范围为 3.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查等比数列的性质，属于基础题． 根据等比数列的性质得，，成等比数列，从而得到关于的方程，再求出 【解答】 解：为等比数列的前n项和，，， 根据等比数列的性质， 可知，，成等比数列， ，2，成等比数列， ，解得 故选： 4.【答案】C  【解析】【分析】 本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查数形结合思想，属于中档题. 根据函数的特殊值，，排除A，D选项，对函数求导，结合函数和的图像交点研究的单调性，从而可得结果. 【解答】 解：由，得，，，故排除A， 由函数知， 在同一坐标系作出函数和的图像，如图所示， 可知函数和的图像有两个交点， 设交点的横坐标为，，，则，， 当时，，此时，单调递增； 当时，，此时，单调递减； 当时，，此时，单调递增； 所以函数在处取得极大值点，在处取得极小值点，且，， 排除B， 故选 5.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查了导数的几何意义，属于基础题. 设切点为，根据导数的几何意义求出切点坐标，再代入切线方程可得结果. 【解答】 解：设切点，，则，解得或； 若，则； 若，则； 综上所述，或3， 故选： 6.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查利用导数解不等式，函数奇偶性、对称性、单调性以及恒成立问题，属于中档题. 根据的图像关于点对称，得到是奇函数，构造函数，由得到在R上递增，然后将转化为求解. 【解答】 解：因为的图像关于点对称， 所以关于对称，是奇函数， 因为对任意的实数x均有成立， 所以对任意的实数x均有成立， 令， 则， 所以在R上递增， 因为， 又， 所以， 故选： 7.【答案】C  【解析】【分析】 本题考查等比数列的判定及等比数列的求和公式，属基础题. 取，知数列是等比数列，再由等比数列的求和公式可求出k的值. 【解答】 解：取，则， 又，所以， 所以是首项和公比均为2的等比数列， 则， 所以 ， 得 故选 8.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查考查函数零点与方程根的关系，利用导数研究函数的单调性，属于较难题. 由题意可得恰好有4个不相等的实数解，所以或共有4个解，作出函数的图象，结合图象即可得解. 【解答】 解：因为恰好有4个不相等的实数解， 所以恰好有4个不相等的实数解， 所以或共有4个解， 设，，则， 所以时，，单调递增，  时，，单调递减， 且，， 当时，，所以 设，， 则，为单调减函数， 且时，，， 作出函数的图象如图所示： 由图可知只有一解， 要恰好有4个不相等的实数解， 即要恰有3解， 所以， 即， 故选： 9.【答案】BC  【解析】略 10.【答案】BD  【解析】【分析】 本题考查函数的奇偶性、周期性、对称性，考查利用导数研究函数的单调区间和最值，属于中档题. 利用函数周期性和奇偶性的定义，即可判断A；因为是周期函数且周期为，则研究函数在上的最值即可，利用导数求解函数的单调性和最值，进而可判断B和D；对于C，易举出反例. 【解答】 解：对于A，显然，所以函数是周期函数， ， 又定义域为R， 所以为奇函数，故A错误； 对于B，， 则 ， 是周期函数，周期为， 研究情况， 令，则， 令，则或， 所以在上单调递增，在，上单调递减， 求得，，，， 则的最大值为，故B正确； 对于D，又， 所以在上单调递增，故D正确； 对于C，假设的图象关于直线对称， 则 ， ， 显然， 所以的图象不关于直线对称，故C错误. 故选 11.【答案】ACD  【解析】解：由，， 可知数列的奇数项是以1为首项，4为公比的等比数列，偶数项也是以4为公比的等比数列， 所以A项正确，B项错误; 由，，易得， ，C项正确; 当n为奇数时，，当n为偶数时，， 所以，D项正确. 答案：ACD 12.【答案】  【解析】【分析】 本题考查导数的计算，属于基础题 根据导数运算公式运算即可． 【解答】 解：函数的导函数 故答案为： 13.【答案】54  【解析】解：， ……， 当时，， ， 当时，， ， 当时，， ， 当时，， ， 当时，， ， 故… ， 故答案为： 14.【答案】  【解析】解：函数的定义域为， 不等式化为：， 令，，， 故函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，，当时，， 当时，，当时，，当，且时，， 画出及的大致图象如下， 因为不等式的解集中恰有两个不同的正整数解， 故正整数解为1，， 故，即， 故 15.【答案】解：等比数列中，， ， 解得， 当时，， 当时，， 的通项公式为，，或 记为的前n项和． 当，时，， 由，得，，无解； 当，时，， 由，得，， 解得  【解析】本题考查等比数列的通项公式的求法，考查等比数列的求和，考查运算求解能力，是中档题． 利用等比数列通项公式列出方程，求出公比，由此能求出的通项公式． 当，时，，由，得，，无解；当，时，，列方程由此能求出 16.【答案】解：因为， 所以， 因此， 则，，， 可得在两边异号，即是函数的一个极值点， 故 由知，，， 当时，， 当时，， 所以的单调增区间是，，的单调减区间是； 由知，在内单调递增，在内单调递减，在上单调递增，且当或时，， 所以的极大值为，极小值为 因为，， 所以要使直线与函数的图象有3个交点， 则在的三个单调区间，，内，直线与的图象各有一个交点， 当且仅当， 因此，b的取值范围为  【解析】本题考查利用求导研究函数的单调性，最值问题，函数图象交点个数问题，理解求导在函数最值中的研究方法是解题的关键，数形结合理解函数的取值范围． 先求导，再由求解; 由确定，，再由和求得单调区间; 由可得的极大值为，极小值为，再由直线与函数的图象有3个交点则须有，即可得结果． 17.【答案】解：根据散点图，更适合的回归方程为 由，可得， 两边取自然对数，得， 令，则， 计算，得，， 则， 则， 由， 则， 即茶水温度y关于时间x的回归方程为 在室温下，茶水温度降至口感最佳， 即时，， 可得， 即， 故在室温下，刚泡好的茶水大约需要放置才能达到最佳引用口感.  【解析】本题考查了非线性回归方程以及散点图，考查了数据分析能力，计算求解能力，属于中档题. 根据散点图判断即可; 由题可得，令，则，结合已知数据计算从而求出回归方程; 由题可得时，，计算可得. 18.【答案】解：由数列的前n和知： 当时，， ， 又， 所以， 当时， ， 整理得：， 因为，所以有， 所以数列是首项，公差的等差数列， 数列的通项公式为； 由知：， 数列的前n项和为 ， 令， 则有， 由知且， 所以区间内所有“优化数”的和为   【解析】本题考查了数列的递推关系，数列的求和与等比数列的求和公式，等差数列的判定与证明，等差数列的通项公式，属于中档题. 易得，当时，，整理可得数列是首项，公差的等差数列，进而得出数列的通项公式； 易得，数列的前n项和，结合区间内所有“优化数”的和，得出区间内所有“优化数”的和 19.【答案】解：因为，所以， 当时，对任意的恒成立; 当时，令，得；令，得； 综上，当时，函数在区间上单调递增; 当时，函数在区间上单调递增，在上单调递减. 证明：当时，方程，即， 根据题意，得， 两式相减，得， 即，故， 所以， 令， 则 引入函数， 则 因为，所以， 所以在区间上单调递增． 又当时，， 所以当时，，即， 所以当时，，即  【解析】本题考查了利用导数研究函数的单调性，利用导数证明不等式，是较难题． 分类讨论，利用导数研究函数的单调性，求解即可； 依题意得到，，令，其中，记，根据导数证明即可． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $