辽宁鞍山市海城市高级中学2025-2026学年高二下学期期中数学复习卷四

**基本信息** 以人工智能研发投入回归分析（解答题18）和函数零点与数列综合（解答题19）为载体，融合数学抽象与数据分析，实现知识巩固与能力提升的统一。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择题|8/40|函数导数、数列、统计|第4题动态几何问题，考查数学眼光观察运动变化| |多项选择题|3/18|数列性质、统计概念|第10题辨析回归分析概念，培养数学思维严谨性| |填空题|3/15|函数极值、最值|第14题含参数函数极值点，考查数学抽象能力| |解答题|5/60|导数应用、数列证明、回归分析|第18题人工智能数据建模，体现数学语言表达现实世界；第19题函数零点与数列综合，深化逻辑推理|

高二下期中复习四 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。 1.已知函数，则的值为     A. B. 3 C. 8 D. 16 2.已知数列满足，，则     A. 14 B. 13 C. 12 D. 11 3.在等比数列中，若，，则(    ) A. 16 B. 32 C. 64 D. 256 4.如图，设有圆和定点O，当l从开始在平面内绕O匀速逆时针旋转时角速度不变且旋转角度不超过，直线l扫过的圆内的面积S是时间t的函数，这个函数的图象只可能是(    ) A. B. C. D. 5.2022年6月18日，很多商场都在搞促销活动.重庆市物价局派人对5个商场某商品同一天的销售量及其价格进行调查，得到该商品的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示： x 90 95 100 105 110 y 11 10 8 6 5 用最小二乘法求得y关于x的经验回归直线是，相关系数，则下列说法错误的是        A. 变量x与y负相关且相关性较强 B. C. 当时，y的估计值为13 D. 相应于点的残差为 6.已知等差数列，的前n项和分别为，，若，则    A. B. C. D. 7.已知为定义在上的可导函数，且恒成立，则不等式的解集为(    ) A. B. C. D. 8.已知实数a，b分别满足，，且，则(    ) A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。 9.下列说法中错误的是(    ) A. 若数列满足，其中是关于n的一次函数，则数列一定是等差数列 B. 若数列的前n项和，则数列一定是等比数列 C. 若数列是等差数列，为数列的前n项和，则数列，，一定是等差数列 D. 若数列是等比数列，为数列的前n项和，则数列，，一定是等比数列 10.下列选项正确的是(    ) A. 样本相关系数r越大，成对样本数据的线性相关程度越强 B. 已知y关于x的经验回归方程为，则样本点的残差为 C. 根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其经验回归方程为，若其中一个散点坐标为，则 D. 若经验回归方程为，则当变量x增加1个单位时，平均增加3个单位 11.已知函数，则下列说法正确的是(    ) A. 当时， B. 当时，过原点与曲线相切的直线为 C. 若不等式在，时恒成立，则 D. 若函数恰有1个零点，则 三、填空题：本大题共3小题，共15分。 12.函数的极小值点为          . 13.已知函数，则的最小值为          . 14.若函数有大于零的极值点，则实数a的取值范围是          . 四、解答题：本大题共5小题，共60分。 15.已知函数的图象在点处的切线与直线平行． 求m的值； 求函数在区间上的极值与最值． 16.已知是数列的前n项和，且 求证：数列是等比数列； 设，求数列的前n项和 17.设数列满足，；正项数列满足， 证明：数列是等比数列； 求数列、的通项公式； 设是数列的前n项和，证明： 18.当前，人工智能技术以前所未有的速度迅猛发展，并逐步影响我们的方方面面，人工智能被认为是推动未来社会发展和解决人类面临的金球性问题的重要手段.某公司在这个领域逐年加大投入，以下是近年来该公司对产品研发年投入额单位：百万元与其年销售量单位：千件的数据统计表： x 1 2 3 4 5 6 y 1 3 6 12 0 公司拟分别用①和②两种方案作为年销售量y关于年投入额x的回归分析模型，请根据已知数据，确定方穼①和②的经验回归方程；计算过程保留到小数点后两位，最后结果保留到小数点后一位 根据下表数据，用决定系数只需比较出大小比较两种模型的拟合效果哪种更好，并选择拟合精度更高的模型，预测年投入额为7百万元时，产品的销售量是多少？ 经验回归方程 残差平方和 参考公式及数据： 19.已知函数， 证明：有唯一零点; 记的零点为 ⅰ数列中是否存在连续三项按某顺序构成等比数列，并说明理由; ⅱ证明： 答案和解析 1.【答案】C  【解析】【分析】根据导数的定义求解即可. 【详解】根据题意，，则， 由导数的定义知， 故选： 2.【答案】B  【解析】【分析】利用递推公式进行迭代，即可求解. 【详解】由，，可得，， 故选： 3.【答案】D  【解析】解：设等比数列的公比为q， 所以由，得， 所以 故选： 设等比数列的公比为q，由求得q，根据等比数列基本量运算进而求得答案． 本题主要考查等比数列的通项公式与前n项和公式，考查学生归纳推理与数学运算的能力，属于基础题． 4.【答案】D  【解析】解：由于是匀速旋转，所以阴影部分的面积在开始和最后时段缓慢增加，而中间时段相对增速较快． 对A，图象表示面积的增速是常数，与实际不符； 对B，图象表示最后时段增速较快，与实际不符； 对C，图象表示开始和最后时段的增速比中间时段的增速快，与实际不符； 对D，图象表示开始和最后时段增速缓慢，中间时段增速较快，与实际相符． 故选： 由题可得阴影部分的面积在开始和最后时段缓慢增加，而中间时段相对增速较快，再依次判断图象即可． 本题考查函数图象的应用，属于基础题． 5.【答案】C  【解析】【分析】 本题主要考查相关系数的定义，线性回归方程的性质，以及残差的定义，属于基础题． 根据相关性、相关系数判断A，利用样本中心点判断B，将代入回归直线方程判断C，求得时y的估计值，进而求得对应的残差，从而判断 【解答】 解：对于A，由回归直线可得变量x，y线性负相关，且由相关系数，可知相关性较强，故A正确； 对于B，由表中数据可得，，， 故回归直线恒过点，故，解得，故B正确； 对于C，当时，，故C错误； 对于D，相应于点的残差，故D正确． 故选：C 6.【答案】D  【解析】解：已知，不妨设，， ， ， 故选： 7.【答案】A  【解析】解：令， 则， 恒成立，， 为定义域上的减函数， 由不等式，得，即， ， 故选： 令函数，求其导函数，根据导函数的符号与函数单调性的关系判断出的单调性，将已知不等式转化为，利用单调性，可得关于x的不等式，求解即可． 本题考查了导数的运算，考查了利用导数研究函数单调性，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题． 8.【答案】D  【解析】解：对于和， 我们知道常用的不等式关系：当时，， 将代入不等式中，可得，即 再比较和……的大小． 设函数，对其求导 当时，，所以函数在上单调递增． 当时，， 因为且函数在单调递增，所以，即 综上可得： 故选： 构造函数，求导结合不等式判断即可． 本题考查利用导数判断函数单调性，属于中档题． 9.【答案】ACD  【解析】解：对于A，显然当，，时，，此时不是等差数列，所以A错误； 对于B，当时，，当时，， 又满足上式，所以是以6为首项，以3为公比的等比数列，所以选项B正确； 对于C，应把改为，选项C错误； 对于D，当公比为时，，D错误， 故选： 由等差等比数列的概念及性质逐个判断即可． 本题主要考查等比数列的性质，考查学生归纳推理与数学运算的能力，属于基础题． 10.【答案】BD  【解析】解：对于A，的值越大，相关性越强，故A错误； 对于B，由可得：，所以残差为：，故B正确； 对于C，散点不一定满足回归方程，不能直接代入方程，故C错误； 对于D，经验回归方程为，变量x增加1个单位时，平均增加3个单位，故D正确． 故选： 11.【答案】AB  【解析】解：对于A：当时，，则， 令，得， 所以当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增， 所以，所以，故A正确； 对于B：当时，，则， 设切点为，则过切点的切线方程为， 因为切线过原点，所以，解得， 此时，所以过原点与曲线相切的直线为，故B正确； 对于C：不等式在，时恒成立， 不妨令，则不等式转化为在恒成立，即， 令，则在上单调递增， 在恒成立，即在恒成立， 令，在恒成立，在上单调递减， ，所以，故C错误； 对于D：恰有1个零点，是一个零点， 要使函数恰有1个零点，则方程无实根或只有一个根， 令，，当时，，单调递减；当时，，单调递增， ，要使无零点或只有一个零点，则，即，故D错误． 故选： 对于A：当时，，求导函数，分析导函数的符号，得出函数的单调性，从而求得函数的最小值； 对于B：当时，，求导函数，设切点为，则过切点的切线方程为：，由切线过原点，求得，进而求得过原点的切线方程； 对于C：不妨令，将不等式转化为，令，由单调性的定义可得在上单调递增，则，参变量分离，构造新函数，利用恒成立与最值的关系即可求解a的取值范围； 对于D：，显然是函数的一个零点，由题意可得方程无实根或只有一个根，令，利用导数研究函数的最值，进而可得a的取值范围． 本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，利用导数研究曲线上某点的切线方程，函数零点问题，考查运算求解能力，属于中档题． 12.【答案】  【解析】【分析】根据题意，求导可得，令，再由极值点的定义，即可得到结果. 【详解】由可得， 令可得，即，解得， 当时，，即单调递减， 当时，，即单调递增， 所以是的极小值点. 故答案为： 13.【答案】72  【解析】解：， ， 的最小值为  故答案为： 14.【答案】  【解析】解：由题意，得， 若函数有大于零的极值点， 则存在使得 当时，，，函数单调递减，无极值点； 当时，，故，函数单调递减，无极值点； 若，解方程，得， 要求，因，故，需，得，解得， 综上，实数a的取值范围是 15.【答案】解：由，得，. 所以 因为函数的图象在点处的切线与直线平行， 所以，即，解得 由，得， 令，解得，或 当x变化时，的变化情况如下表所示： x 1 - 0 + 0 - 单调递减 单调递增 单调递减 因此，当时，有极小值，且极小值为，当时，有极大值，且极大值为 又，所以函数在区间上的最大值为12，最小值为   【解析】由导函数求得函数在切线的斜率，由直线平行得到m的值； 将m的值代入原函数，求出导函数，令导函数为0，求得极值点.然后求出函数的极值和端点的函数值，从而得到函数的极值和最值. 16.【答案】详见解答过程；    【解析】证明：由题，当时，，所以， 因为①， 当时，②， ①-②得，即， 故数列是以为首项，以为公比的等比数列， 由知， 令，则，，，， 设其前n项和为，则且， 时，，， 当时，， 综上， 结合递推关系进行转化，然后结合等比数列的定义即可求证； 结合等差数列的求和公式即可求解． 本题主要考查了数列递推关系，等比数列的判断，等差数列的求和公式，属于中档题． 17.【答案】证明见解析；  ，；   证明见解析．  【解析】证明：由得，， 则， 又，则， 所以是以3为首项，3为公比的等比数列； 由得， 所以， 由得，，， 所以， 又，所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列． 所以； 证明：因为， ， 所以， 易知是增函数，所以， 综上 由递推公式通过构造得到，即可求证； 由可求，由，通过因式分解得到，即可求解； 通过裂项相消法求和，进而可求证． 本题主要考查了等比数列的判断，数列递推关系的应用，还考查了裂项求和，属于中档题． 18.【答案】解：， ， 所以，， 所以， 由，两边取以e为底的对数得，即，，， 所以，所以； ， 对于，； 对于，， 所以②的拟合效果好，当时，预测值千件．  【解析】根据经验回归方程的求法求得正确答案； 通过计算决定系数确定拟合效果较好的方案，并由此进行预测． 本题主要考查线性回归方程的应用，考查转化能力，属于中档题． 19.【答案】解：证明：当时，，所以在上无零点. 因为，所以在上单调递增， 所以在上至多一个零点， 当时，有唯一零点1， 当时，因为，， 所以函数有唯一零点，得证； 由知，，且， 两边取自然对数，解得， 所以， 两式相减，得， 所以， 因为函数在上单调递增，所以， 所以数列单调递增， 假设数列中存在，，成等比数列，则， 所以， 由式得，， 代入上式，得， ， 因为，所以， 又因为，所以方程无解. 所以数列中不存在连续三项按某顺序构成等比数列; 证明：先证明：时，， 设，则， 所以当时，，单调递减;当时，，单调递增，  所以，当且仅当时，等号成立. 由式知，，所以， 所以， 所以 在式中，令，得，当且仅当，即时等号成立， 所以由式得， 所以，，当且仅当时等号成立， 所以， 当时，在式中，令，得， 所以时， ， 当时，成立， 所以，得证.  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $