辽宁鞍山市海城市高级中学2025-2026学年高二下学期期中数学复习卷二

**基本信息** 高二下期中复习试卷，涵盖导数、数列、统计等核心知识，通过基础题（如导数运算）、综合题（如数列与不等式结合）及文化情境题（如三角形数），培养数学抽象、逻辑推理与数学建模素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|导数运算、等比数列性质、函数单调性|基础巩固，如第1题考查导数公式，第7题结合古希腊三角形数渗透文化| |多项选择|3/18|统计相关概念、二阶导数应用|能力辨析，如第9题检验独立性检验与回归直线理解| |填空|3/15|数列通项、导数计算、不等式恒成立|简洁综合，如第14题通过构造函数转化恒成立问题| |解答|5/60|数列求和、函数切线与单调性、线性回归、导数应用|分层提升，如19题综合等比数列与分组求和，体现逻辑推理与数学运算|

高二下期中复习二 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。 1.下列求导运算正确的是(    ) A. B. C. D. 2.等比数列的各项均为正数，且，则…(    ) A. 4 B. 5 C. 10 D. 3.正项等比数列前n项和为，，，则(    ) A. 144 B. C. 162 D. 240 4.若函数在区间内为增函数，则实数a的取值范围是(    ) A. B. C. D. 5.已知等差数列和的前n项和分别为和，且，则(    ) A. B. C. D. 6.设函数在R上的导函数为，且，下面的不等式在R上恒成立的是(    ) A. B. C. D. 7.在古希腊，毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，36，45，……这些数叫做三角形数．设第n个三角形数为，则下面结论错误的是(    ) A. B. C. 1024是三角形数 D. 8.若不等式对任意，恒成立，则实数m的取值范围是(    ) A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。 9.下列命题中，正确的是(    ) A. 两个变量的线性相关性越弱，相关系数r就越接近 B. 回归直线可能不经过样本点 C. 在检验A与B是否有关的过程中，根据数据计算得根据小概率值的独立性检验，可有的把握认为A与B有关 D. 如果散点均匀分布在回归直线的两侧，那么回归效果就好 10.给出定义：若函数在D上可导，即存在，且导函数在D上也可导，则称在D上存在二阶导函数，记若在D上恒成立，则称在D上是“下凸函数”.下列函数中在定义域上是“下凸函数”的是(    ) A. B. C. D. 11.下列说法正确的是(    ) A. 函数在区间的最小值为 B. 函数的图象关于点中心对称 C. 已知函数，若时，都有成立，则实数a的取值范围为 D. 若恒成立，则实数a的取值范围为 三、填空题：本大题共3小题，共15分。 12.已知，求数列      . 13.若函数的导函数为，且，则______. 14.对任意，，不等式恒成立，则实数a的取值范围是      . 四、解答题：本大题共5小题，共60分。 15.已知数列的前n项和满足，，且 求数列的通项公式； 记，求数列的前n项和 16.求函数的值域； 求函数在点处的切线方程； 求函数的增区间. 17.恩格尔系数法是国际上常用的一种测定贫困线的方法，是指居民家庭中年人均食物支出占年人均消费总支出的比重，它随家庭收入的增加而下降，即恩格尔系数越大，生活越贫困.某调研小组通过调查得到了年人均消费总支出万元与恩格尔系数y的五组数据如下表： x 1 2 3 y 请根据上表数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程； 若某居民家庭年人均消费总支出为万元，估计该居民家庭恩格尔系数. 参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为， 18.已知函数 当时，直接写出的单调区间； 当时，，，求m的取值范围． 19.已知等比数列是递减数列，的前n项和为，且，，成等差数列，，数列满足，， 求和的通项公式； 若求数列的前2n项和 答案和解析 1.【答案】C  【解析】解：A选项，，A错误； B选项，，B错误； C选项，，C正确； D选项，，D错误． 故选： 根据求导公式计算，得到答案． 本题考查导数的运算，属于基础题． 2.【答案】B  【解析】解：由等比数列的性质知，， 所以…… 故选： 根据等比数列的性质以及对数运算进行求解． 本题主要考查等比数列的性质，属于基础题． 3.【答案】D  【解析】解：正项等比数列前n项和为，，， 由题意可知，，，成等比数列，设其公比为q， 则，即，整理可得， 即，解得， 由，则，解得 故选： 由等比数列前n项和的性质，构建新的等比数列，由等比数列的定义建立方程，可得答案． 本题主要考查了等比数列的性质的应用，属于中档题． 4.【答案】D  【解析】解：由，得 ， 函数在区间内为增函数， 对任意恒成立， 即在上恒成立， 在上为减函数， ， 则 实数a的取值范围是 故选 5.【答案】C  【解析】解：根据题意，等差数列和的前n项和分别为和， 设，，， 从而， ， 所以 故选： 根据题意，利用等差数列和的前n项和的性质可以设且，结合等差数列的性质代入计算可得答案． 本题考查等差数列前n项和的性质，注意等差数列前n项和的形式，属于基础题． 6.【答案】A  【解析】解：令，则， 因为，所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以，即 故选： 令，根据条件判断的单调性，求出的最小值即可得到正确选项． 本题考查了不等式恒成立问题，考查了函数思想，属中档题． 7.【答案】C  【解析】【分析】 本题主要考查累加法求通项，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题. 对每一个选项逐一分析得解． 【解答】 解：1，3，6，10，15，21，28，36，45，… 可得，，… 得到，所以A正确； 累加可得…； 所以，，所以B正确； ，解得，所以C不正确； ，所以D正确； 故选： 8.【答案】B  【解析】解：的几何意义为直线与曲线上的点的距离， 不等式对任意，恒成立， 即直线与曲线上的点的距离最小值恒成立， 由，得，由，得，则， 切点为，则直线与曲线上的点的距离最小值， 即实数m的取值范围是 故选： 问题转化为直线与曲线上的点的距离最小值，利用导数的几何意义求上斜率为1的切线的切点坐标，再应用点到直线的距离公式求最小距离，即可得m的范围． 本题考查恒成立问题的求解方法，考查化归与转化思想，训练了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是中档题． 9.【答案】BC  【解析】解：两个变量的线性相关性越弱，相关系数r就越接近0，故A说法错误； 回归直线只是一定过均值点，所以可能不经过样本点，故B说法正确； 由卡方检验可知，所以有的把握认为A与B有关，故C说法正确； 回归效果好坏跟误差有关，所以散点均匀分布在回归直线的两侧不能说明回归效果，故D说法错误． 故选： 根据相关系数、线性回归方程、卡方检验的相关概念可逐项判断． 本题主要考查相关系数，经验回归方程，独立性检验，考查逻辑推理能力，属于基础题． 10.【答案】ABC  【解析】解：， 则定义域为R，，，故A正确． B.定义域为，，，故B正确． C.定义域为R，，，故C正确． D.， 则定义域为，，， 当时，，故D错误． 故选： 利用导数运算法则计算导函数与二阶导函数，根据题目所给定义可确定选项． 本题主要考查导数的运算，属于基础题． 11.【答案】ABD  【解析】解：对于A：，， 则，当时，，当， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在取得极小值，即最小值，即，故A正确； 对于B：因为，则， 所以， 所以函数的图象关于点中心对称，故B正确； 对于C：因为时，都有成立， 即时，都有成立， 即时，都有成立， 令，则， 则在上单调递增， 所以在上恒成立， 所以在上恒成立， 又在上单调象减， 所以， 所以，即实数a的取值范围为故C错误； 对于D：当时，不等式在上恒成立不会成立， 故， 当时，，此时不等式恒成立； 不等式在上恒成立， 即在上恒成立， 而即， 设，， 当时，，故，是增函数， 则， 则，故， 设，，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 故，则， 综上可得，实数a的取值范围是，故D正确． 故选： 利用导数求出函数的单调性，即可求出函数的最小值，即可判断A；计算出，即可判断B；依题意时，都有成立，令，则，从而在上单调递增，在上恒成立，参变分离即可求出参数的取值范围，即可判断C；将变为，即，构造新函数，，利用其单调性得到，即可判断 本题考查导数的综合应用，属于难题． 12.【答案】  【解析】解：当时，， 当时，由， 有， 两式相减，得，则有， 时，不符合， 所以 故答案为： 由已知条件时，求出，时通过前n项和与前项和作差得，可得通项公式． 本题考查数列的递推式和数列的通项与求和的关系，考查转化思想和运算能力，属于基础题． 13.【答案】  【解析】解：根据题意，， 则， 当时，有， 变形可得：； 故答案为： 根据题意，求出函数的导数可得，令可得，变形可得答案． 本题考查函数导数的计算，关键是掌握导数的计算公式，属于基础题． 14.【答案】  【解析】解：对任意，，不等式恒成立， 等价于恒成立，即恒成立， 令，其中， 则在上恒成立， 所以在上单调递增， 所以， 令，， 则，当时，，所以在上单调递增， 所以， 所以，又，所以，即a的取值范围是 故答案为： 将已知不等式转化为，令，其中，利用导数判断在上单调递增，从而不等式转化为，参变量分离可得，令，，利用导数求出的范围，即可求解a的取值范围． 本题主要考查利用导数研究函数的最值，不等式恒成立问题，考查运算求解能力，属于中档题． 15.【答案】；    【解析】因，则， 则数列是以2为首项，2为公差的等差数列， 则，即， 则， 上式对也成立， 故； 由知，， 则 根据等差数列通项公式求出，再利用，求出； 采用裂项相消即可求和． 本题考查数列的通项与前n项和的关系、等差数列的通项公式，以及数列的裂项相消求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题． 16.【答案】；   ；  ，  【解析】函数的定义域为R，又， 因此当时，当时， 因此在上单调递增，在上单调递减，因此， 因此函数的值域为 因为，则，又， 因此，即切点为，切线的斜率， 因此切线方程为，即 函数的定义域为R，又， 令，即，即，解得，， 因此函数的单调递增区间为， 求出函数的定义域与导函数，即可得到函数的单调性，从而求出函数的值域； 求出函数的导函数，利用导数的几何意义求出切线方程； 求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式，即可得解． 本题考查利用导数求解函数的单调性和单调区间，属于中档题． 17.【答案】；     【解析】由题意可得， ， ， ， 则，，故； 当时，， 故估计该居民家庭恩格尔系数为 利用表格和附注公式代入相应的数据求解即可表示出该回归直线； 在上一问的基础上，令，求出y即可． 本题考查了一元线性回归模型，属于中档题． 18.【答案】   的单调递增区间为，单调递减区间为     【解析】当时，， 令，解得；令，解得， 的单调递增区间为，单调递减区间为 当时，， 对恒成立， 对恒成立， 即对恒成立， 设， 则 ，， 令，，则， 在上单调递增． 又，， 由零点存在性定理可知：，使得，即， 时，，，在上单调递减； 时，，，在上单调递增． 当时，取得最小值 ，即m的取值范围为 根据导数的几何意义求出曲线在点处的切线斜率，利用点斜式方程即可求解； 对函数求导，令，即可求得的单调递增区间；令，即可求得的单调递减区间； 当时，，原不等式可化为，故即可．设，对求导，研究函数的单调性，求的最小值即可求得m的取值范围． 本题考查了导数的综合应用，属中档题． 19.【答案】，；    【解析】解：设等比数列的公比为q， 由，，成等差数列，， 得，则， 解得，， 由，得， ，，则，故； 由， 当n为奇数时，，令， 则，① ，② ①-②得， ， 则； 当n为偶数时，， 令， 则 ， 故 设等比数列的公比为q，根据题意可得出关于、q的方程组，结合数列为递减数列可求得、q的值，即可得出等比数列的通项公式；推导出，结合可求得数列的通项公式； 分n为奇数、偶数两种情况讨论，化简的表达式，利用错位相减法、裂项相消法结合分组求和法可求得 本题考查数列递推式，考查等差数列的性质与等比数列的通项公式，训练了错位相减法与裂项相消法求和，是中档题． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $