专题08 三元一次方程组及其解法 同步培优讲义2025-2026学年七年级数学下册（浙教版）

专题08 三元一次方程组及其解法 （5知识点+6题型+过关检测） 【题型1 判断是否是三元一次方程】 3 【题型2 判断是否是三元一次方程组】 4 【题型3 三元一次方程组的解】 6 【题型4 利用三元一次方程组求代数式的值】 9 【题型5 三元一次方程组的应用】 11 【题型6 实际问题】 14 · 1. 了解三元一次方程、三元一次方程组的定义，能准确判断一个方程是否为三元一次方程、一个方程组是否为三元一次方程组。 · 2. 理解三元一次方程组的解的概念，能判断一组未知数的值是否为三元一次方程组的解，掌握检验解的方法。 · 3. 掌握三元一次方程组的基本解法（代入消元法、加减消元法），能熟练将“三元”转化为“二元”，再转化为“一元”，求解简单的三元一次方程组。 · 4. 能利用三元一次方程组求代数式的值，学会运用整体思想简化计算。03 知识•梳理 知识点1：三元一次方程的定义 含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程，叫做三元一次方程。 关键要点：① 整式方程（分母不含未知数，根号下不含未知数）；② 含3个未知数；③ 含未知数的项的最高次数为1（注意：是“项的次数”，不是未知数的次数，如2xy+z=5不是三元一次方程，因为2xy项的次数是2）；④ 一般形式：ax+by+cz+d=0（其中a、b、c不同时为0）。 知识点2：三元一次方程组的定义 由几个一次方程组成，并且共含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组。 关键要点：① 方程组中所有方程均为一次方程（整式方程）；② 方程组中共含有3个未知数（不一定每个方程都含3个未知数，只要整体含3个即可）；③ 方程的个数通常为3个（特殊情况可少于3个，但需能确定未知数的值）。 知识点3：三元一次方程组的解 使三元一次方程组中所有方程都成立的三个未知数的值，叫做三元一次方程组的解。 特点：三元一次方程组的解是一组有序的三个数（），需同时满足方程组中的每一个方程；检验方法：将一组值代入方程组的每个方程，若所有方程均成立，则该组值是方程组的解，否则不是。 知识点4：三元一次方程组的解法 核心思想：消元思想——将“三元”转化为“二元”，再将“二元”转化为“一元”，最终求解（与二元一次方程组的解法思路一致）。 基本方法： 1. 代入消元法：从方程组中选一个系数较简单的方程，将其中一个未知数用另外两个未知数表示出来，再代入另外两个方程，消去这个未知数，得到二元一次方程组，进而求解。 2. 加减消元法：找出方程组中某两个方程中同一个未知数的系数的最小公倍数，通过两边同乘适当的数，使该未知数的系数相等或互为相反数，再将两个方程相加或相减，消去这个未知数，得到二元一次方程组，进而求解。 解题步骤：① 消元（消去一个未知数，转化为二元一次方程组）；② 解二元一次方程组（求出两个未知数的值）；③ 回代（将求出的两个未知数的值代入原方程组中任意一个简单方程，求出第三个未知数的值）；④ 检验（可选，确保解的正确性）；⑤ 写出方程组的解。 知识点5：三元一次方程组的应用 1. 代数式求值：已知三元一次方程组，或已知未知数之间的数量关系（可列出三元一次方程组），求含三个未知数的代数式的值，可直接求解方程组，再代入代数式计算，也可利用整体思想简化计算。 2. 实际问题：当实际问题中含有3个未知量，且存在3个相等关系时，可列出三元一次方程组求解，核心是找准等量关系，规范列方程、解方程。 列方程组解实际问题的步骤：① 审题（找出已知量、未知量，明确数量关系）；② 设元（设出3个未知数，通常设为x、y、z）；③ 列方程（根据3个等量关系，列出3个一次方程，组成三元一次方程组）；④ 解方程（求出未知数的值）；⑤ 检验（检验解是否符合实际意义，舍去不合理的解）；⑥ 作答（写出答案，注明单位）。 04 题型•汇总 【题型1 判断是否是三元一次方程】 方法总结：判断时紧扣“3个未知数、整式方程、含未知数的项的次数为1”三个核心条件，缺一不可。 【典例1】．下列方程是三元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】需根据定义逐一分析选项，即可解答． 【详解】A、，含有三个未知数、、，且每个未知数的次数都是1，是整式方程，符合三元一次方程的定义，故符合题意； B、，项的次数为，是三元三次方程，不符合 “一次” 的要求，故不符合题意； C、，只含有两个未知数、，是二元一次方程，不符合 “三元” 的要求，故不符合题意； D、，未知数的项、的次数为，是三元二次方程，不符合 “一次” 的要求，故不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了三元一次方程的定义，熟练掌握三元一次方程需同时满足三个未知数、未知数的项次数为 1、整式方程是解题的关键． 跟随训练1-1．若是一个三元一次方程，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三元一次方程的定义． 根据三元一次方程的定义，各未知数的次数均为1，且系数不为零． 【详解】解：∵是一个三元一次方程， ∴，，， 即，，即或， ∴，， 故选：A． 跟随训练1-2．下列方程中，属于三元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三元一次方程的识别，含有3个未知数，且含有未知数的项的指数为1的整式方程，叫做三元一次方程，据此进行判断即可． 【详解】解：A、只含有2个未知数，不是三元一次方程，不符合题意； B、含未知数的项的最高次幂为2次，不是三元一次方程，不符合题意； C、是三元一次方程，符合题意； D、方程化简为：，只含有2个未知数，不是三元一次方程，不符合题意； 故选C． 跟随训练1-3．在三元一次方程中，若，，则_______． 【答案】 【分析】本题考查了三元一次方程的解．将，代入方程中，即可求解． 【详解】解：在三元一次方程中，，， ， ， 故答案为：． 【题型2 判断是否是三元一次方程组】 方法总结：判断时注意两个关键点：一是方程组中共含3个未知数，二是所有方程均为一次整式方程。 【典例2】．下列是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三元一次方程组的相关知识点，掌握三元一次方程组的定义是解题的关键． 本题对每个选项中的方程组从未知数的个数有个、含未知数的项的次数是次以及是否为整式方程这几个方面去分析，即可解决问题． 【详解】解：A、方程中，未知数的次数是次，不满足“含有未知数的项的次数是”的条件，不符合题意； B、方程中含有，不是整式方程，不符合题意； C、方程中，的次数是2次，不满足“含有未知数的项的次数是”的条件，不符合题意； D、方程组满足 “含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是的整式方程”，符合题意． 故选：D． 跟随训练2-1．下列方程组中，是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三元一次方程组的定义，熟练掌握三元一次方程组的定义是解题的关键． 根据三元一次方程组的定义分别进行判断即可． 【详解】解：A、第三个方程中x的次数为2，不符合题意； B、第一个方程为分式方程，不符合题意； C、此方程组为三元一次方程组，符合题意； D、方程组只含有两个未知数，不符合题意． 故选：C． 跟随训练2-2．下列方程组中，是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三元一次方程组的定义判断即可． 【详解】解：A．是三元一次方程组，符合题意； B．方程组含有4个未知数，不是三元一次方程组，不符合题意； C．只含有2个未知数，不是三元一次方程组，不符合题意； D．方程组含有4个未知数，不是三元一次方程组，不符合题意； 故选：A． 【点睛】此题考查了解三元一次方程组，熟练掌握三元一次方程组的定义是解本题的关键． 跟随训练2-3．下列方程组中，不属于三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三元一次方程组的定义，即含有三个未知数，并且所含未知数的次数都是1的整式方程组叫做三元一次方程组，再根据三元一次方程组的定义判断即可． 【详解】解：A．符合定义，是三元一次方程组，不符合题意； B．符合定义，是三元一次方程组，不符合题意； C．符合定义，是三元一次方程组，不符合题意； D．方程组含有两个未知数，不是三元一次方程组，符合题意； 故选：D． 【题型3 三元一次方程组的解】 方法总结：检验时必须代入每一个方程，不能遗漏；若有一个方程不成立，该组值就不是方程组的解。 【典例3】．方程组（　　） A．无解． B．有组解． C．有组解． D．有无穷多组解． 【答案】A 【分析】本题考查了三元一次方程组，利用 “加减消元法” 即可求解． 【详解】解：根据题意可知三元一次方程组为： 将可得， 将和联立可得： 由于，所以原方程组无解． 故选：． 跟随训练3-1．三元一次方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解三元一次方程组，熟练掌握消元法是解题关键． 先将第一个方程与第二个方程相加可得，将第一个方程与第三个方程相加可得，解二元一次方程组可得的值，再代入第一个方程求出的值，由此即可得． 【详解】解：， 由①②得：④， 由①③得：⑤， 由⑤④得：， 解得， 将代入④得：， 解得， 将，代入①得：， 解得， 所以方程组的解为， 故选：A． 跟随训练3-2．方程组 的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解三元一次方程组．由可得，再把代入②可得，然后把代入①，即可求解． 【详解】解： 由得：， 把代入②得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为． 故选：C 跟随训练3-3．三元一次方程的非负整数解个数有_____________个． 【答案】884 【分析】当时，，有51个非负整数解；当时，，共有49个非负整数解；当时，，有48个非负整数解；当时，，有46个非负整数解；当时，，有45个非负整数解；……；当时，，有1个非负整数解；再列式计算可得答案． 【详解】解：当时，，y可以分别取0，1，2……50，一共有51个非负整数解； 当时，，y可以分别取0，1，2……48，一共有49个非负整数解； 当时，，y可以分别取0，1，2……47，一共有48个非负整数解； 当时，，y可以分别取0，1，2……45，一共有46个非负整数解； 当时，，y可以分别取0，1，2……44，一共有45个非负整数解； ……； 当时，，y可以分别取0，1，2，3，4，5，一共有6个非负整数解； 当时，，y可以分别取0，1，2，3，一共有4个非负整数解； 当时，，y可以分别取0，1，2，一共有3个非负整数解； 当时，，y可以取0，一共有1个非负整数解； ∵ ， ∴方程的非负整数解个数有884个． 【题型4 利用三元一次方程组求代数式的值】 方法总结：求代数式的值时，优先观察代数式与方程组中方程的关系，能用整体思想简化计算的优先用，避免繁琐求解。 【典例4】．用现代高等代数的符号可以将方程组的系数排成一个表，这种由数列排成的表叫做矩阵．矩阵表示x，y，z三元一次方程组，若为定值，则t与m关系（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解三元一次方程组等知识点，理解题意、根据新定义解答问题是解题的关键． 根据矩阵定义，将矩阵转化为三元一次方程组，通过消元法解出x和y关于z的表达式，代入并令其系数为0，得到t与m的关系． 【详解】解：由题意得：， 得，， ∴， 将③代入①得，， ∴ ， ∵为定值， ∴， ∴． 故选：B． 跟随训练4-1．已知三元一次方程组，则（   ） A．5 B．20 C．15 D．10 【答案】D 【分析】本题考查解三元一次方程组，利用加减消元法进行求解即可． 【详解】解：， ，得：， ∴； 故选D． 跟随训练4-2．某学习小组在研究数学问题时发现：方程只有1组正整数解，方程只有2组正整数解，方程只有3组正整数解…那么方程的正整数解有（    ） A．9组 B．28组 C．36组 D．45组 【答案】B 【分析】本题考查三元一次方程的问题，先把看作整体，得到的正整数解有组；再分析分别等于时对应的正整数解组数，把所有组数相加即为总的解组数．解题的关键是将三元一次方程里的两个未知数看作一个整体，再分层计算． 【详解】解：令， 则的正整数解中的值可以为：，，，，，，， ∴的正整数解有组， 又∵的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； ∴方程的正整数解组数为：． 故选：B． 跟随训练4-3．已知，，不同时为，且，那么的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了三元一次方程组，分式的求值，通过解方程组，将和用表示，代入所求表达式化简． 【详解】解：， 由②得，再代入①得，即， 解得， ， ，，不同时为，且 时会导致，，与条件矛盾，故， ． 故答案为：． 【题型5 三元一次方程组的应用】 方法总结：基础应用的关键是找准3个等量关系，设出未知数后，规范列出方程组，再用消元法求解。 【典例5】．逸夫中学初三（一）班参观龙河东北抗联烈士纪念馆，学校计划用100元为20名学生购买饮料、矿泉水和奶茶，饮料每瓶4元，矿泉水每瓶3元，奶茶每瓶6元（每种都要买），在钱全部用完的情况下，有购买方案（   ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【答案】A 【分析】本题考查了三元一次不定方程的整数解，掌握根据实际问题列方程组，消元得到不定方程，结合正整数约束枚举求解是解题的关键. 设三种饮品的购买数量，根据总人数和总费用列出方程组，消元后得到不定关系，结合每种都要买的正整数条件，统计方案个数即可. 【详解】设购买饮料瓶，矿泉水瓶，奶茶瓶，均为正整数. ∵总共有名学生，总费用为元. ∴可得方程组 由第一个方程得 ， 代入第二个方程得： 整理得 . 将代入得 . ∵均为正整数. ∴ 解得 . ∵为正整数， ∴可取，共对应种不同的购买方案 故选：A. 跟随训练5-1．设“”“”“”分别表示不同的物体，如图所示，图①、图②平衡．如果要图③也平衡，那么“？”处应放“”的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了三元一次方程组．解决此题的关键列出方程组，求解时用其中的一个数表示其他两个数，从而使问题解决． 设“”“”“”的质量分别为，，，由图列出方程组解答即可解决问题． 【详解】 解：设“”“”“”的质量分别为，，． 由题图可列方程组 解得 ，即“”的个数为． 故选：A． 跟随训练5-2．福耀中学为了打造“书香校园”，培养学生的阅读能力，学校开展了“读书伴我成长”为主题的演讲比赛，为奖励优秀的学生，学校计划用200 元钱购买A，B，C三种奖品，其中A种每个10元，B种每个20元，C种每个30元，在C种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下（三种奖品均购买），则有购买方案（   ） A．12种 B．15种 C．16种 D．14种 【答案】D 【分析】本题考查三元一次方程的实际应用，设购买A、B、C三种奖品的数量分别为，根据题意列出方程，简化得．分和两种情况求解，分别得到8种和6种方案，共计14种，即可． 【详解】解：设购买A、B、C三种奖品的数量分别为，由题意， ， ∴， ∵C种奖品不超过两个且钱全部用完（三种奖品均购买）， ∴均为正整数， 当时，， ∴，， 共8种方案； 当时，则， ∴，， 共6种方案； 总方案数：种． 故选D． 跟随训练5-3．7公斤桃子的价钱等于1公斤苹果和2公斤梨的价钱；7公斤苹果的价钱等于10公斤梨和1公斤桃子的价钱，则购买12公斤苹果所需的钱可以购买梨__________公斤． 【答案】18 【分析】设出三种水果的单价，根据题意列出方程，利用消元法得到苹果单价与梨单价的数量关系，即可求出12公斤苹果可购买梨的重量． 【详解】解：设每公斤桃子的价格为元，每公斤苹果的价格为元，每公斤梨的价格为元， 根据题意得：， 由①得 ， 将代入②得：， 整理得：， 即公斤苹果的总价等于公斤梨的总价， 因此购买公斤苹果所需的钱可以购买梨公斤． 【题型6 实际问题】 方法总结：实际问题中，未知数往往有实际限制（如正整数、非负数），求解后必须检验；列方程时注意单位统一（如本题中进价单位均化为元）。 【典例6】．重庆市某景点的门票价格如下表： 购票人数/人 以上 每人门票价/元 重庆某中学七年级有甲、乙两个班级计划去游览该景点，其中甲班的人数少于人，如果两个班都以班为单位单独购票，则甲班需支付元；如果两个班级联合起来作为一个团体购票，则只需花费元． (1)两个班各有多少人？ (2)小明和小红分别代表两个班级提前去超市购置一些旅途所需物品，发现超市正在对顾客实行优惠促销，规定如下： Ⅰ．若一次购物少于元，则不予优惠； Ⅱ．若一次购物满1元，但不超过元，按标价给予九折优惠； Ⅲ．若一次购物超过元，其中元部分给予九折优惠，超过元部分按八折优惠． ①若小明和小红分开两次付款，一共消费元，其中小明的付款额小于元；同样的物品，若小明与小红一起一次付款，则只需付款元，请问分开付款时小明支付了多少元？ ②小明和小红需要购买、、三种商品，他们若购买商品件、商品件、商品件共需元；若购买商品件、商品件、商品件共需元，则他们购买、、各一件共需要多少元？ 【答案】(1)甲班有人，乙班有人 (2)①分开付款时，小明支付了元或元；②他们购买、、各一件共需元 【分析】（1）根据表格数据，用总票价除以单价得到人数列出算式，即可求解； （2）①设分开付款时小明支付了元，则小红支付了元，根据题意分类讨论，列出一元一次方程，解方程，即可求解； ②设商品的单价为元/件，商品的单价为元/件，商品的单价为元/件，根据题意得出，进而得出，即可求解． 【详解】（1）解：甲班人数为（人），乙班人数为（人）． 答：甲班有49人，乙班有53人． （2）①当小明购物原价小于100元时，设小明支付了，其付款金额元即为原价，则小红支付了元． ， ． 当小明购物原价为元，小红购物原价为元，则， 解得； 当小明购物原价不小于100元时，其付款金额为原价的九折，则原价为元，小红购物原价为元， 则， 解得． 综上，分开付款时，小明支付了元或元． ②设商品的单价为元/件，商品的单价为元/件，商品的单价为元/件， 则①，②． 由，得③．由①，得， ． 答：他们购买，，各一件共需6元． 跟随训练6-1．如图，商品条形码是商品的“身份证”，共有13位数字．它是由前12位数字和校验码构成，其结构分别代表“国家代码、厂商代码、产品代码、和校验码”． 其中，校验码是用来校验商品条形码中前12位数字代码的正确性．它的编制是按照特定的算法得来的．其算法为： 步骤1：计算前12位数字中偶数位数字的和a，即； 步骤2：计算前12位数字中奇数位数字的和b，即； 步骤3：计算3a与b的和c，即； 步骤4：取大于或等于c且为10的整数倍的最小数d，即； 步骤5：计算d与c的差就是校验码x，即． 请根据以上信息，解答下列各题： (1)已知某商品条形码的校验码是7，前12位数字中奇数位数字之和为，计算步骤中的，则该商品条形码前12位数字中偶数位数字之和 ； (2)如图，若条形码中被污染的两个数字的和是7，求被污染的两个数字中右边的数字是多少？ 【答案】(1)34 (2)3 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）先根据该商品条形码的校验码是7，得出，再根据，代入求得c，然后可得出，再代入b，求出a即可； （2）设被污染的两个数字中右边的数字是y，从而可用y表示出左边被污染的数字，再根据校验码是9，是10的倍数，可得出c的个位数字是1，再用y分别表示出前12位数字中奇数位数字之和为，前12位数字中偶数位数字之和为，根据，得出用y表示出c，再根据c的个位数字是1，得出y是3或8，进而得出y的值． 【详解】（1）解：因为已知该商品条形码的校验码是7， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以， 因为前12位数字中奇数位数字之和为， 所以， 解得： 所以该商品条形码前12位数字中偶数位数字之和， 故答案为：34； （2）解：设被污染的两个数字中右边的数字是y， 则左边被污染的数字是， 因为校验码是9， 所以， 所以， 又是10的倍数， 所以是10的倍数， 即c的个位数字是1， 因为前12位数字中奇数位数字之和为， 前12位数字中偶数位数字之和为， ， 所以， 所以， 因为c的个位数字是1， 所以的个位数字是1， 所以的个位数字是6， 所以y是3或8， 若y是8，则，不符合， 所以， 此时，符合， 所以右边被污染的数字是3． 跟随训练6-2．定义运算：．数轴上点P从表示数m的点出发，以每秒2个单位向正方向运动，同时点Q从表示数n的点出发，以每秒1个单位向正方向运动．点P对应的数为p，点Q对应的数为q，运动时间为t秒． (1)若，求的值． (2)若，，，求运动时间t的值． (3)若，运动秒时，，直接写出的值． 【答案】(1)3 (2)11或15或 (3)或 【分析】（1）根据点P从出发，速度为每秒2单位，向正方向运动，可求得，再根据点Q从出发，速度为每秒1单位，向正方向运动，可求得，从而可求得； （2）先用t分别表示出p与q，从而可根据定义用t表示出，再当时，分，两种情况分别求解，当时，分，两种情况分别求解即可； （3）当运动秒时，，，根据，得出（①），（②），根据，得出（③），根据，得出（④），再得出（⑤），然后根据，联立⑤、③求得一组解，；，联立⑤和④求得第二组解：，． 【详解】（1）解：因为点P从出发，速度为每秒2单位，向正方向运动， 所以， 因为点Q从出发，速度为每秒1单位，向正方向运动， 所以， 当， 时， ； （2）解：因为，， 所以， ， 所以 因为， 所以， 当时， ， 若，即， 则， 解得：， ，符合； 若，即， 则， 解得：， ，符合； 当时， ， 若，则， 解得：，符合； 若，则， 解得：，不符合， 综上所述，t的值为11或15或； （3）解：当运动秒时，，， 因为， 所以， 所以或， 因为， 所以（①）， （②）， 若， 则， （③） 若， 则， 所以（④） 而由①得：（⑤） 情况一：， 由⑤得： 由③得： 令，则， 所以（）， （）， 将代入， 得 若，则，无解； 若，则， 解得：，符合； 将代入， 得， 将，代入， 得， 所以得一组解，； 若，则，无解； 情况二：，联立⑤和④， 所以， 所以或， 当时，无解； 当时，解得： 将代入， 解得：， 将，，代入， 得， 解得：， 所以得第二组解：，． 【点睛】本题考查了列代数式，已知字母的值，求代数式的值，动点问题（一元一次方程的应用），三元一次方程组的应用等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 跟随训练6-3．阅读感悟：有些关于方程组的问题，要求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值．例如问题：已知实数x，y满足①，②，求和的值．本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值，再代入要求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 解决问题： (1)已知二元一次方程组则____________； (2)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、4本日记本共需58元，则购买2支铅笔、2块橡皮共需多少元？ 【答案】(1) (2)12元 【分析】本题考查了二元一次方程组、三元一次方程组的应用以及整体思想的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键． （1）用整体的思想求解即可； （2）先列出三元一次方程组，再由“整体思想”即可得解． 【详解】（1）解： 得：， 故答案为：； （2）解：购买1支铅笔需a元，1块橡皮需b元，1本日记本共需c元， 由题意得：， 得：， ∴（元）． 答：购买2支铅笔、2块橡皮共需12元． 跟随训练6-4．小红家需要购一台冰箱、一台洗衣机和一台微波炉，请你来给他们当消费顾问，帮他们做出选择． 信息一、财联社1月19日电，据“上海商务”官方公众号，上海进一步做好国家家电以旧换新补贴工作．2025年1月20日起，对购买二级能效电器给予补贴（不超过1500元），对购买一级能效电器给予的补贴（不超过2000元）（注：电器国补按每一台计算） 信息二、小红家在某商店已经看中三种商品各有两个不同型号（见左表），另有一张该商店的五一促销海报（见右表） 能效等级 标价（元） 五一优惠大促☆倡导绿色节能，“国补”不孤单☆ 活动时间：5月1日-7日 凡在本店购买电器的顾客，给您再“补一补” 国补后满6000元的再减600元 国补后满8000元的再减1000元 国补后满10000元的再减1500元 本店及所有员工为您提供最优质的服务！ 冰箱A 1级 6000 冰箱B 2级 5000 洗衣机A 1级 4000 洗衣机B 2级 2400 微波炉A 1级 900 微波炉B 2级 600 (1)5月1日前，如果在该店购置一台价值8000元的一级能效的电器，那么国补后只需要支付多少钱？ (2)小红家如果购买三种电器都选择A型号，问导购还有没有其他优惠，商店导购告诉小红，说她每卖出一台电器，都可以获得一些提成，可以把自己从小红家购买的电器所获得的提成让出当做优惠．导购她前天卖出了1台冰箱A和2台洗衣机A，获得了700元提成，昨天她卖出了1台洗衣机A和3台微波炉A，获得了500元提成，今天已经卖出了2台冰箱A和1台微波炉A，获得了700元提成．请问，导购能让给小红家多少钱的优惠？ (3)小红家如果在商店五一优惠期间购买了三种电器都选择A型号，请问，小红在享受国家补贴后，又享受了商店优惠大促，最后又得到了导购的优惠，最终小红家花了多少钱？ 【答案】(1)国补后只需要支付6400元 (2)导购能让利给小红家的优惠为600元 (3)最终小红家花了7120元 【分析】本题考查了方程组的应用，有理数混合运算的应用，熟练掌握方程组的应用是解题的关键． （1）根据国补的标准计算即可； （2）设导购卖出1台冰箱，洗衣机，微波炉所得提成分别为a元，b元，c元，根据题意列方程组并求解即可； （3）先根据国补标准计算三种电器的国补费用，再用总价减去国补、商店优惠、导购优惠的总和即可． 【详解】（1）解：根据题意，购买电器国补元， 国补后只需要支付元， 答：国补后只需要支付6400元． （2）解：设导购卖出1台冰箱、洗衣机、微波炉所得提成分别为a元，b元，c元， 根据题意，得， 解得， （元）， 答：导购能让利给小红家的优惠为600元． （3）解：冰箱A可获得国补（元）， 洗衣机A可获得国补（元）， 微波炉A可获得国补（元）， 则国补后三种电器的总价为（元）， 因为， 所以活动可再减1000元， 所以最终花的钱数为（元）， 答：最终小红家花了7120元． 05 过关•检测 1．已知，，则下列结论正确的是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用代入消元法，用含a的代数式分别表示b和c，再代入各选项验证，即可得到正确结论． 【详解】解：∵， ∴将代入，得 整理得，即，故B错误， A、，故A正确 C、，故C错误； D、， ∵的取值不确定， ∴不一定大于0， 无法得出，故D错误． 2．下列四组数中，是方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用加减消元法对方程组求解，逐步求出未知数的值即可． 【详解】解： 得： 得：， 把代入得：， 解得， 把，代入得 ， 解得 方程组的解为． 3．三元一次方程组消去未知数z后，得到的二元一次方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过加减消元消去未知数，得到二元一次方程组，再对比选项得出正确结果． 【详解】解： ∵，得， 即，可排除C、D选项； 再将，得， 即， ∴ 消去后得到的二元一次方程组为，符合选项A． 若选择消去，可得，选项B中常数项为，因此B错误． 4．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题利用绝对值与平方的非负性，几个非负数的和为0，则每个非负数均为0，由此列出三元一次方程组，通过解方程组求出x、y、z的值，再匹配选项即可． 【详解】解： ∵ 绝对值和平方数均为非负数，即，， 又∵ ∴ 可得方程组： ① 解由(1)(2)组成的二元一次方程组： 给(2)式两边同乘3得： (4)， (1)+(4)得：， 解得， 将代入(2)式得：， 解得， ② 将，代入(3)式得：， 解得， ∴ 方程组的解为， 故选：B． 5．有甲、乙、丙三种货物，若购买3件甲货物、7件乙货物、1件丙货物，共需64元；若购买4件甲货物、10件乙货物、1件丙货物，共需79元．现购买甲、乙、丙三种货物各1件，共需（    ） A．33元 B．34元 C．35元 D．36元 【答案】B 【分析】本题考查三元一次方程组的应用，根据系数特征进行整体加减消元，直接求解目标表达式．设甲、乙、丙每件价格分别为元、元、元，根据条件列出方程组，通过加减消元法整体求解的值． 【详解】解：设购买甲货物每件需元，乙货物每件需元，丙货物每件需元． ∵ 得： 得： ∴ ∴ 故购买甲、乙、丙各一件共需34元． 故选：B． 6．我们探究发现，关于x，y的方程的正整数解有1组，的正整数解有2组，的正整数解有3组，…，那么关于x，y，z的方程的正整数解有（   ） A．7组 B．21组 C．28组 D．42组 【答案】B 【分析】本题考查三元一次方程的问题，先把看作整体，得到的正整数解有组；再分析分别等于不同值，所对应的正整数解组数，把所有组数相加即为总的解组数．解题的关键是将三元一次方程里的两个未知数看作一个整体，再分层计算． 【详解】解：令， 则的正整数解中的值可以为：，，，9，11，13 ∴的正整数解有组， 又∵的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； ∴方程的正整数解组数为：． 故选：B． 7．某商家将蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22个，搭配为A，B，C三种盲盒各一个．其中A盒中有2个耳机，3个优盘，1个音箱；B盒中耳机与音箱的数量之和等于优盘的数量，耳机与音箱的数量之比为；C盒中有1个耳机，3个优盘，2个音箱．经核算，A盒的价值为145元，B盒的价值为245元，则C盒的价值为 _______元． 【答案】155 【分析】先根据题意求出B盲盒中三种物品的数量，再设未知数列出方程组，整体变形求解得到C盲盒的价值． 【详解】解：由题意得，A盲盒物品总数为个，C盲盒物品总数为个， 因此B盲盒物品总数为个； 设B盲盒中蓝牙耳机数量为，迷你音箱数量为， 由B盲盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量，得多接口优盘数量为， 因此，解得， 即B盲盒中有蓝牙耳机3个，多接口优盘5个，迷你音箱2个； 设一个蓝牙耳机成本为元，一个多接口优盘成本为元，一个迷你音箱成本为元， 根据题意列方程组得： 得：， 变形得， 将代入得： ， 整理得， ∴C盲盒的价值为，将代入得： ． 8．每千克价格分别为2元、3元、2元4角、4元的桔子、苹果、香蕉、柿子四种水果共买了83千克，用去228元．已知买桔子用去的钱与买苹果用去的钱一样多，买柿子用去的钱是买香蕉所用的钱的2倍．那么桔子买了___千克，苹果买了___千克，香蕉买了___千克，柿子买了___千克． 【答案】 30 20 15 18 【分析】根据四种水果共买了83千克，用去228元．买桔子用去的钱与买苹果用去的钱一样多，买柿子用去的钱是买香蕉所用的钱的2倍，列出方程组，然后根据代入消元法和加减消元法求解即可． 【详解】解：设桔子买了x千克，苹果买了y千克，香蕉买了m千克，柿子买了n千克， 根据题意，得， 由③得， 由④得， 把，代入①、②，得， 化简，得， 解得， ∴，， 答：桔子买了30千克，苹果买了20千克，香蕉买了15千克，柿子买了18千克． 9．某市在国庆节前夕举办了庆国庆足球联赛活动，这次足球联赛共11轮，胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分．某校队所负场数是胜的场数的，结果共得20分，则该校队胜______场、平______场、负______场． 【答案】 6 2 3 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用．设胜场数为x，平场数为y，负场数为z，根据总场数、总得分和负场与胜场的关系列出方程组，即可求解． 【详解】解：设胜x场、平y场、负z场，根据题意得： ， 解得：， 答：胜6场、平2场、负3场． 故答案为：6，2，3 10．已知10个两两互不相等的正整数，，，满足条件 ，， ，， ，． 则的最小可能值为_______． 【答案】20 【分析】本题考查不定方程，根据题意合理赋值是解答本题的关键． 根据最小的正整数是1，据此进行代入运算即可． 【详解】，，， ． ，，， ． 要使得最小，就让，，，尽量最小， 由于，，，是各不相同的正整数， ∴不妨令，， ∴． 不妨令， ， ． 不妨令，则，此种情况不成立． 不妨令，则，此种情况成立． ． ． 故答案为：20． 11．若三元一次方程组的解使，则的值是_______． 【答案】 【分析】本题考查了解三元一次方程组，学会采用消元法和代入法解三元一次方程组是解题的关键．先解三元一次方程组，求出，，的值，再代入方程 求解． 【详解】解：， 由得， 由得 ， 解得， 将代入得， 将代入得， 将，，代入得， 解得， 故答案为：． 12．为了检验军训成果，某学校组织了一次游戏：每位同学朝特制的靶子上各投三支飞镖，当飞镖落在同一圆（或圆环）内时得分相同．如图，小明、小君、小红的成绩分别是29分、43分和33分，则小华的成绩为________分． 【答案】36 【分析】设投中不同的圆（或圆环）的得分分别为未知数，根据小明、小君、小红的成绩列出方程组，求解未知数后计算小华的成绩即可； 本题考查了三元一次方程组的应用，熟练掌握列出正确的等式是解题的关键. 【详解】设飞镖投到最小的圆中得分，投到中间的圆中得分，投到最外面的圆中得分． 根据题意得 解得 ∴小华的成绩是（分）； 故答案为：36． 13．解方程组：． 【答案】 【详解】解：， 得：， ， ， ③-②得：， ， ， 得：， 解得：， 把代入④得：， 解得：， 把，代入②得：， 解得：， ∴． 14．解方程组：． 【答案】 【分析】用，消去z得出关于x，y的方程组，再消去y求出x，然后求出方程组的解． 【详解】解：， ，得， ，得， ，得， 解得：， 把代入④，得，解得：， 把代入③，得，解得：， ∴原方程组的解为． 15．解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查三元一次方程组的求解，核心方法是通过加减消元法消去未知数，将三元一次方程组逐步转化为二元一次方程组、一元一次方程求解． （1）先利用方程①和②消去，再利用方程②和③消去，得到关于、的二元一次方程组，求解后代入原方程求出； （2）先利用方程①和②消去，得到关于、的方程，再与方程③联立求出、，最后代入原方程求出． 【详解】（1）解：①+②得：④； ②-③得：⑤； 由④得， 将其代入⑤得：，解得； 将代入④得； 将，代入③得，解得； ∴方程组的解为； （2）解：①+②得：，化简得④； ③+④得：，解得； 将代入④得，解得； 将，代入①得，解得； ∴方程组的解为． 16．已知的三边a，b，c满足求这个三角形的三边a，b，c的长． 【答案】这个三角形的三边a，b，c的长分别是12，9，15 【分析】本题考查解三元一次方程组，利用加减消元法求出解即可． 【详解】解：， 由①②，得④， 由③④，得， 解得． 把代入①，得， 解得． 把代入③，得， 解得． 综上所述，原方程组的解是． 答：这个三角形的三边a，b，c的长分别是12，9，15． 17．已知方程组的解使式子的值等于，求的值． 【答案】 【分析】本题考查三元一次方程组的求解与代数式求值，核心思路是先通过方程组消元，将、、用含的代数式表示，再代入给定的等式构建关于的一元一次方程，进而求出的值． 【详解】解：已知方程组， ①+②+③，得：，即④， ④-②，得； ④-③，得； ④-①，得； ∴，解得． 18．为提高学生身体素质，加强学生体育锻炼，某校计划用1000元购买15个体育用品，某商店的部分体育用品单价（单位：元）如下表： 体育用品 篮球 排球 足球 单价/元 75 50 80 (1)若1000元全部用来购买篮球和排球共15个，请问篮球和排球各购买多少个？ (2)若1000元全部用来购买篮球、排球和足球三种球共15个，且要求每一种球至少买一个，求可行的购买方案． 【答案】(1)篮球10个，排球5个 (2)篮球4个，排球6个，足球5个 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，三元一次方程组的应用，正确的列出方程组和方程是解题的关键： （1）设篮球和排球分别购买个和个，根据1000元全部用来购买篮球和排球共15个，列出方程组进行求解即可； （2）设篮球、排球和足球分别购买个，个和个，根据1000元全部用来购买篮球、排球和足球三种球共15个，列出方程组进行求解即可． 【详解】（1）解：设篮球和排球分别购买个和个，由题意： ，解得； 答：购买篮球10个，排球5个； （2）设篮球、排球和足球分别购买个，个和个，由题意： ， 由①，得， 把代入②，得， 整理，得， ∴， ∵为正整数， ∴当时，，； 当时，，（不符合题意，舍去）； 当时，均不满足题意； 故只有1种方案：购买篮球4个，排球6个，足球5个． 19．数学活动课上，老师让大家解方程组 小明上台展示了自己的思路：“我观察后发现方程①的左边是，而方程②的括号里也是，于是我想到可以把视为一个整体，把方程①直接代入到方程②中，这样就可以将方程②直接转化为一元一次方程，从而达到“消元”的目的”． (1)请你按照小明的思路，完成解方程组的过程． (2)请你仿照上述方法，解方程组 (3)已知，则_____． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查解二元一次方程组，三元一次方程组，整体代入消元，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）将整体代入②式进行消元解方程组即可； （2）将①整体代入③即可求得c，然后即可求解其他未知数； （3）由第一个方程得，然后整体代入第二个方程即可求解． 【详解】（1）解：（1）， 将①代入②得：， 解得：， 将代入①得：， 故原方程组的解为； （2）解：， 将①代入③得：， 解得， 将代入②得：， 解得， 将代入①得：， 解得， 故原方程组的解为； （3）解：， 由①得， 把③代入②得， ， ， 化简得， 整理得， 故答案为：． 20．阅读材料，回答问题． 探索《九章算术》中机械化算法思想 《九章算术》是中国传统数学的重要著作，其算法具有强烈的程序化、机械化特点，便于编写计算机程序．在解方程组时，古人用算筹构建数阵（只写系数与常数项），采用重复的乘法和减法计算，将复杂数阵转化为简单的阶梯数阵，最终求出答案． 例如：解三元一次方程组：思路大致如下（第一、第二、第三行分别用①②③表示）：            （1）                           （2）                （3）                   （4） 将原方程组中略去了未知数后形成数阵（1），通过“行乘倍数，行相减”逐步消元（类似加减消元法），将数阵（1）转化到阶梯数阵（4）．不难发现数阵（4）对应的方程组是，第三行的方程，易解出的值，再依次代入上一行方程分别求出的值． (1)直接写出示例方程组的解； (2)仿照材料中的机械化算法思想，解决下列问题： （i）解方程组： （ii）已知关于的方程组：有唯一解，求的取值范围． 【答案】(1) (2)（i） （ii） 【分析】（1）解出的值，再依次代入上一行方程分别求出的值； （2）根据材料的方法仿照解题即可． 【详解】（1）解：方程组， 由③得，， 代入②，解得， 代入①，解得， ∴方程组的解为； （2）解：（i）方程组， 仿照材料可得： 最后一个数阵对应的方程组是， 由⑥得， 代入⑤，解得， 代入④，解得， ∴方程组的解为； （ii）方程组， 仿照材料可得： 最后一个数阵对应的方程组是 ， 当，即时， 由⑥得， 代入⑤，解得， 代入④，解得， ∴方程组的解为，符合题意； ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 三元一次方程组及其解法 （5知识点+6题型+过关检测） 【题型1 判断是否是三元一次方程】 3 【题型2 判断是否是三元一次方程组】 3 【题型3 三元一次方程组的解】 4 【题型4 利用三元一次方程组求代数式的值】 4 【题型5 三元一次方程组的应用】 5 【题型6 实际问题】 6 · 1. 了解三元一次方程、三元一次方程组的定义，能准确判断一个方程是否为三元一次方程、一个方程组是否为三元一次方程组。 · 2. 理解三元一次方程组的解的概念，能判断一组未知数的值是否为三元一次方程组的解，掌握检验解的方法。 · 3. 掌握三元一次方程组的基本解法（代入消元法、加减消元法），能熟练将“三元”转化为“二元”，再转化为“一元”，求解简单的三元一次方程组。 · 4. 能利用三元一次方程组求代数式的值，学会运用整体思想简化计算。03 知识•梳理 知识点1：三元一次方程的定义 含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程，叫做三元一次方程。 关键要点：① 整式方程（分母不含未知数，根号下不含未知数）；② 含3个未知数；③ 含未知数的项的最高次数为1（注意：是“项的次数”，不是未知数的次数，如2xy+z=5不是三元一次方程，因为2xy项的次数是2）；④ 一般形式：ax+by+cz+d=0（其中a、b、c不同时为0）。 知识点2：三元一次方程组的定义 由几个一次方程组成，并且共含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组。 关键要点：① 方程组中所有方程均为一次方程（整式方程）；② 方程组中共含有3个未知数（不一定每个方程都含3个未知数，只要整体含3个即可）；③ 方程的个数通常为3个（特殊情况可少于3个，但需能确定未知数的值）。 知识点3：三元一次方程组的解 使三元一次方程组中所有方程都成立的三个未知数的值，叫做三元一次方程组的解。 特点：三元一次方程组的解是一组有序的三个数（），需同时满足方程组中的每一个方程；检验方法：将一组值代入方程组的每个方程，若所有方程均成立，则该组值是方程组的解，否则不是。 知识点4：三元一次方程组的解法 核心思想：消元思想——将“三元”转化为“二元”，再将“二元”转化为“一元”，最终求解（与二元一次方程组的解法思路一致）。 基本方法： 1. 代入消元法：从方程组中选一个系数较简单的方程，将其中一个未知数用另外两个未知数表示出来，再代入另外两个方程，消去这个未知数，得到二元一次方程组，进而求解。 2. 加减消元法：找出方程组中某两个方程中同一个未知数的系数的最小公倍数，通过两边同乘适当的数，使该未知数的系数相等或互为相反数，再将两个方程相加或相减，消去这个未知数，得到二元一次方程组，进而求解。 解题步骤：① 消元（消去一个未知数，转化为二元一次方程组）；② 解二元一次方程组（求出两个未知数的值）；③ 回代（将求出的两个未知数的值代入原方程组中任意一个简单方程，求出第三个未知数的值）；④ 检验（可选，确保解的正确性）；⑤ 写出方程组的解。 知识点5：三元一次方程组的应用 1. 代数式求值：已知三元一次方程组，或已知未知数之间的数量关系（可列出三元一次方程组），求含三个未知数的代数式的值，可直接求解方程组，再代入代数式计算，也可利用整体思想简化计算。 2. 实际问题：当实际问题中含有3个未知量，且存在3个相等关系时，可列出三元一次方程组求解，核心是找准等量关系，规范列方程、解方程。 列方程组解实际问题的步骤：① 审题（找出已知量、未知量，明确数量关系）；② 设元（设出3个未知数，通常设为x、y、z）；③ 列方程（根据3个等量关系，列出3个一次方程，组成三元一次方程组）；④ 解方程（求出未知数的值）；⑤ 检验（检验解是否符合实际意义，舍去不合理的解）；⑥ 作答（写出答案，注明单位）。 04 题型•汇总 【题型1 判断是否是三元一次方程】 方法总结：判断时紧扣“3个未知数、整式方程、含未知数的项的次数为1”三个核心条件，缺一不可。 【典例1】．下列方程是三元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 跟随训练1-1．若是一个三元一次方程，则（    ） A． B． C． D． 跟随训练1-2．下列方程中，属于三元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 跟随训练1-3．在三元一次方程中，若，，则_______． 【题型2 判断是否是三元一次方程组】 方法总结：判断时注意两个关键点：一是方程组中共含3个未知数，二是所有方程均为一次整式方程。 【典例2】．下列是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 跟随训练2-1．下列方程组中，是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 跟随训练2-2．下列方程组中，是三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 跟随训练2-3．下列方程组中，不属于三元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【题型3 三元一次方程组的解】 方法总结：检验时必须代入每一个方程，不能遗漏；若有一个方程不成立，该组值就不是方程组的解。 【典例3】．方程组（　　） A．无解． B．有组解． C．有组解． D．有无穷多组解． 跟随训练3-1．三元一次方程组的解是（   ） A． B． C． D． 跟随训练3-2．方程组 的解是（   ） A． B． C． D． 跟随训练3-3．三元一次方程的非负整数解个数有_____________个． 【题型4 利用三元一次方程组求代数式的值】 方法总结：求代数式的值时，优先观察代数式与方程组中方程的关系，能用整体思想简化计算的优先用，避免繁琐求解。 【典例4】．用现代高等代数的符号可以将方程组的系数排成一个表，这种由数列排成的表叫做矩阵．矩阵表示x，y，z三元一次方程组，若为定值，则t与m关系（    ） A． B． C． D． 跟随训练4-1．已知三元一次方程组，则（   ） A．5 B．20 C．15 D．10 跟随训练4-2．某学习小组在研究数学问题时发现：方程只有1组正整数解，方程只有2组正整数解，方程只有3组正整数解…那么方程的正整数解有（    ） A．9组 B．28组 C．36组 D．45组 跟随训练4-3．已知，，不同时为，且，那么的值为________． 【题型5 三元一次方程组的应用】 方法总结：基础应用的关键是找准3个等量关系，设出未知数后，规范列出方程组，再用消元法求解。 【典例5】．逸夫中学初三（一）班参观龙河东北抗联烈士纪念馆，学校计划用100元为20名学生购买饮料、矿泉水和奶茶，饮料每瓶4元，矿泉水每瓶3元，奶茶每瓶6元（每种都要买），在钱全部用完的情况下，有购买方案（   ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 跟随训练5-1．设“”“”“”分别表示不同的物体，如图所示，图①、图②平衡．如果要图③也平衡，那么“？”处应放“”的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 跟随训练5-2．福耀中学为了打造“书香校园”，培养学生的阅读能力，学校开展了“读书伴我成长”为主题的演讲比赛，为奖励优秀的学生，学校计划用200 元钱购买A，B，C三种奖品，其中A种每个10元，B种每个20元，C种每个30元，在C种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下（三种奖品均购买），则有购买方案（   ） A．12种 B．15种 C．16种 D．14种 跟随训练5-3．7公斤桃子的价钱等于1公斤苹果和2公斤梨的价钱；7公斤苹果的价钱等于10公斤梨和1公斤桃子的价钱，则购买12公斤苹果所需的钱可以购买梨__________公斤． 【题型6 实际问题】 方法总结：实际问题中，未知数往往有实际限制（如正整数、非负数），求解后必须检验；列方程时注意单位统一（如本题中进价单位均化为元）。 【典例6】．重庆市某景点的门票价格如下表： 购票人数/人 以上 每人门票价/元 重庆某中学七年级有甲、乙两个班级计划去游览该景点，其中甲班的人数少于人，如果两个班都以班为单位单独购票，则甲班需支付元；如果两个班级联合起来作为一个团体购票，则只需花费元． (1)两个班各有多少人？ (2)小明和小红分别代表两个班级提前去超市购置一些旅途所需物品，发现超市正在对顾客实行优惠促销，规定如下： Ⅰ．若一次购物少于元，则不予优惠； Ⅱ．若一次购物满1元，但不超过元，按标价给予九折优惠； Ⅲ．若一次购物超过元，其中元部分给予九折优惠，超过元部分按八折优惠． ①若小明和小红分开两次付款，一共消费元，其中小明的付款额小于元；同样的物品，若小明与小红一起一次付款，则只需付款元，请问分开付款时小明支付了多少元？ ②小明和小红需要购买、、三种商品，他们若购买商品件、商品件、商品件共需元；若购买商品件、商品件、商品件共需元，则他们购买、、各一件共需要多少元？ 跟随训练6-1．如图，商品条形码是商品的“身份证”，共有13位数字．它是由前12位数字和校验码构成，其结构分别代表“国家代码、厂商代码、产品代码、和校验码”． 其中，校验码是用来校验商品条形码中前12位数字代码的正确性．它的编制是按照特定的算法得来的．其算法为： 步骤1：计算前12位数字中偶数位数字的和a，即； 步骤2：计算前12位数字中奇数位数字的和b，即； 步骤3：计算3a与b的和c，即； 步骤4：取大于或等于c且为10的整数倍的最小数d，即； 步骤5：计算d与c的差就是校验码x，即． 请根据以上信息，解答下列各题： (1)已知某商品条形码的校验码是7，前12位数字中奇数位数字之和为，计算步骤中的，则该商品条形码前12位数字中偶数位数字之和 ； (2)如图，若条形码中被污染的两个数字的和是7，求被污染的两个数字中右边的数字是多少？ 跟随训练6-2．定义运算：．数轴上点P从表示数m的点出发，以每秒2个单位向正方向运动，同时点Q从表示数n的点出发，以每秒1个单位向正方向运动．点P对应的数为p，点Q对应的数为q，运动时间为t秒． (1)若，求的值． (2)若，，，求运动时间t的值． (3)若，运动秒时，，直接写出的值． 跟随训练6-3．阅读感悟：有些关于方程组的问题，要求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值．例如问题：已知实数x，y满足①，②，求和的值．本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值，再代入要求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 解决问题： (1)已知二元一次方程组则____________； (2)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、4本日记本共需58元，则购买2支铅笔、2块橡皮共需多少元？ 跟随训练6-4．小红家需要购一台冰箱、一台洗衣机和一台微波炉，请你来给他们当消费顾问，帮他们做出选择． 信息一、财联社1月19日电，据“上海商务”官方公众号，上海进一步做好国家家电以旧换新补贴工作．2025年1月20日起，对购买二级能效电器给予补贴（不超过1500元），对购买一级能效电器给予的补贴（不超过2000元）（注：电器国补按每一台计算） 信息二、小红家在某商店已经看中三种商品各有两个不同型号（见左表），另有一张该商店的五一促销海报（见右表） 能效等级 标价（元） 五一优惠大促☆倡导绿色节能，“国补”不孤单☆ 活动时间：5月1日-7日 凡在本店购买电器的顾客，给您再“补一补” 国补后满6000元的再减600元 国补后满8000元的再减1000元 国补后满10000元的再减1500元 本店及所有员工为您提供最优质的服务！ 冰箱A 1级 6000 冰箱B 2级 5000 洗衣机A 1级 4000 洗衣机B 2级 2400 微波炉A 1级 900 微波炉B 2级 600 (1)5月1日前，如果在该店购置一台价值8000元的一级能效的电器，那么国补后只需要支付多少钱？ (2)小红家如果购买三种电器都选择A型号，问导购还有没有其他优惠，商店导购告诉小红，说她每卖出一台电器，都可以获得一些提成，可以把自己从小红家购买的电器所获得的提成让出当做优惠．导购她前天卖出了1台冰箱A和2台洗衣机A，获得了700元提成，昨天她卖出了1台洗衣机A和3台微波炉A，获得了500元提成，今天已经卖出了2台冰箱A和1台微波炉A，获得了700元提成．请问，导购能让给小红家多少钱的优惠？ (3)小红家如果在商店五一优惠期间购买了三种电器都选择A型号，请问，小红在享受国家补贴后，又享受了商店优惠大促，最后又得到了导购的优惠，最终小红家花了多少钱？ 05 过关•检测 1．已知，，则下列结论正确的是（） A． B． C． D． 2．下列四组数中，是方程组的解是（   ） A． B． C． D． 3．三元一次方程组消去未知数z后，得到的二元一次方程组是（    ） A． B． C． D． 4．若，则（   ） A． B． C． D． 5．有甲、乙、丙三种货物，若购买3件甲货物、7件乙货物、1件丙货物，共需64元；若购买4件甲货物、10件乙货物、1件丙货物，共需79元．现购买甲、乙、丙三种货物各1件，共需（    ） A．33元 B．34元 C．35元 D．36元 6．我们探究发现，关于x，y的方程的正整数解有1组，的正整数解有2组，的正整数解有3组，…，那么关于x，y，z的方程的正整数解有（   ） A．7组 B．21组 C．28组 D．42组 7．某商家将蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22个，搭配为A，B，C三种盲盒各一个．其中A盒中有2个耳机，3个优盘，1个音箱；B盒中耳机与音箱的数量之和等于优盘的数量，耳机与音箱的数量之比为；C盒中有1个耳机，3个优盘，2个音箱．经核算，A盒的价值为145元，B盒的价值为245元，则C盒的价值为 _______元． 8．每千克价格分别为2元、3元、2元4角、4元的桔子、苹果、香蕉、柿子四种水果共买了83千克，用去228元．已知买桔子用去的钱与买苹果用去的钱一样多，买柿子用去的钱是买香蕉所用的钱的2倍．那么桔子买了___千克，苹果买了___千克，香蕉买了___千克，柿子买了___千克． 9．某市在国庆节前夕举办了庆国庆足球联赛活动，这次足球联赛共11轮，胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分．某校队所负场数是胜的场数的，结果共得20分，则该校队胜______场、平______场、负______场． 10．已知10个两两互不相等的正整数，，，满足条件 ，， ，， ，． 则的最小可能值为_______． 11．若三元一次方程组的解使，则的值是_______． 12．为了检验军训成果，某学校组织了一次游戏：每位同学朝特制的靶子上各投三支飞镖，当飞镖落在同一圆（或圆环）内时得分相同．如图，小明、小君、小红的成绩分别是29分、43分和33分，则小华的成绩为________分． 13．解方程组：． 14．解方程组：． 15．解下列方程组： (1)； (2)． 16．已知的三边a，b，c满足求这个三角形的三边a，b，c的长． 17．已知方程组的解使式子的值等于，求的值． 18．为提高学生身体素质，加强学生体育锻炼，某校计划用1000元购买15个体育用品，某商店的部分体育用品单价（单位：元）如下表： 体育用品 篮球 排球 足球 单价/元 75 50 80 (1)若1000元全部用来购买篮球和排球共15个，请问篮球和排球各购买多少个？ (2)若1000元全部用来购买篮球、排球和足球三种球共15个，且要求每一种球至少买一个，求可行的购买方案． 19．数学活动课上，老师让大家解方程组 小明上台展示了自己的思路：“我观察后发现方程①的左边是，而方程②的括号里也是，于是我想到可以把视为一个整体，把方程①直接代入到方程②中，这样就可以将方程②直接转化为一元一次方程，从而达到“消元”的目的”． (1)请你按照小明的思路，完成解方程组的过程． (2)请你仿照上述方法，解方程组 (3)已知，则_____． 20．阅读材料，回答问题． 探索《九章算术》中机械化算法思想 《九章算术》是中国传统数学的重要著作，其算法具有强烈的程序化、机械化特点，便于编写计算机程序．在解方程组时，古人用算筹构建数阵（只写系数与常数项），采用重复的乘法和减法计算，将复杂数阵转化为简单的阶梯数阵，最终求出答案． 例如：解三元一次方程组：思路大致如下（第一、第二、第三行分别用①②③表示）：            （1）                           （2）                （3）                   （4） 将原方程组中略去了未知数后形成数阵（1），通过“行乘倍数，行相减”逐步消元（类似加减消元法），将数阵（1）转化到阶梯数阵（4）．不难发现数阵（4）对应的方程组是，第三行的方程，易解出的值，再依次代入上一行方程分别求出的值． (1)直接写出示例方程组的解； (2)仿照材料中的机械化算法思想，解决下列问题： （i）解方程组： （ii）已知关于的方程组：有唯一解，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $