精品解析：2026年广东肇庆市封开县初中毕业班第一次模拟考试 数学

2026年封开县初中毕业班第一次模拟考试 数学 （时间：120分钟，满分：120分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在下列选项中，具有相反意义的量是（ ） A. 收入13元与支出35元 B. 12个大学生和7个小学生 C. 走了120米和跑了120米 D. 向西行75米和向北行75米 2. 据科学家统计，目前地球上已经被定义、命名的生物约有1000万种左右，数字1000万用科学记数法表示为（　　） A. 1×103 B. 1×106 C. 1×107 D. 10×106 3. 已知直角三角形的两条直角边的长分别为和，则这个直角三角形的面积为（ ） A. 16 B. 8 C. 163 D. 4. 如图所示的几何体是由6个大小相同的小正方体搭成的，其俯视图是（　） A. B. C. D. 5. 如图，小华注意到跷跷板静止状态时，可以与地面构成一个，跷跷板中间的支撑杆垂直于地面（分别为的中点）．若支撑杆，则点距离地面的最大高度为（ ） A. B. C. D. 6. 某校统计了100名学生的身高数据并分成6组，如下表： 组号 1 2 3 4 5 6 频数 20 19 17 18 14 则第4组数据的频率为（　　） A. 0.15 B. 0.13 C. 0.12 D. 0.18 7. 现已知某药品原售价为每盒121元，经过连续两次降价后，现在售价为每盒81元，若根据题意所列的方程为，则x表示的实际意义是（ ） A. 该药品平均每次降价的百分率 B. 该药品第一次降价的百分率 C. 该药品第二次降价的百分率 D. 该药品平均每次涨价的百分率 8. 暑假期间，小明一家从昆明自驾去大理旅游，途中在楚雄停留休息．如图反应的是他们离家的距离（单位：）与汽车行驶时间（单位：）之间的函数图象．下列说法错误的是（ ） A. 昆明到楚雄路程为 B. 小明家在楚雄休息了半小时 C. 楚雄距离大理 D. 小明休息前后车速不变 9. 天气预报显示，某地下周一到周五的降水概率如图所示，则当地居民下周一到周五出门时，最有可能带雨具的是（ ） A. 周一 B. 周二 C. 周四 D. 周五 10. 学完《相似》一章后，某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量河的宽度．如图，这条河的两岸是平行的，小丽站在离南岸20米（即米）的点处看北岸，小军、小强站在南岸边，调整小军、小强两人的位置，当小军、小强两人分别站在，两点处时，小丽发现河北岸边的两根电线杆恰好被小军、小强遮挡（即，，三点共线，，，三点共线）．已知电线杆，之间的距离为75米，小军、小强两人之间的距离为30米，则这条河的宽度为（ ） A. 25米 B. 30米 C. 45米 D. 50米 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 分解因式：_____． 12. 如图，在矩形中，，，为中点，连接，则的长为_____． 13. 命题“方程有两个不相等的实数根”是______（填“真”或“假”）命题． 14. cos30°的值等于_____． 15. 请写出一个开口向上，与y轴交点纵坐标为，且经过点的抛物线的解析式_____．（答案不唯一） 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 下面是小王同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：．．．．．第一步 ．．．．．第二步 ．．．．．第三步 ．．．．．第四步 ．．．．．第五步 任务一：填空：①以上解题过程中，第二步是依据____________（运算律）进行变形的； ②第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______________________； 任务二：请直接写出该不等式的正确解集． 17. 如图，一块直角三角尺形状的木板余料，木工师傅要在此余料上锯出一块圆形的木板制作凳面，要想使锯出的凳面的面积最大. （1）请你试着用直尺和圆规画出此圆（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． （2）若此Rt△ABC的直角边分别为30cm和40cm，试求此圆凳面的面积． 18. 如图1．是某景区的一个标志性建筑物——拱门观光台，拱门的形状近似于抛物线，已知拱门的地面宽度为200米，两侧距地面高150米处各有一个观光窗，两窗的水平距离为100米，图2是从实际拱门中得出的抛物线，请你结合数据，求出拱门的高度． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，在四边形中，对角线与相交于点，是的中点，． （1）请你从以下条件①；②；③平分；④中，选择一个使得四边形是菱形的条件________．（填序号）； （2）根据（1）中所选择的条件，求证：四边形是菱形． 20. 第四届全民阅读大会于2025年4月23日至25日在太原举办，大会主题是“培育读书风尚建设文化强国”，通过全民阅读构筑共有精神家园，提升社会文明程度，为以中国式现代化全面推进强国建设、民族复兴伟业提供文化滋养和精神力量．某校数学综合实践小组为了解全校2000名学生最喜欢阅读的一种图书类型进行了抽样调查，调查的图书类型包括“A人文社科类”、“B文学艺术类”、“C科普生活类”、“D少儿类”和“E其他”，并将调查情况绘制成如下两幅统计图． 根据调查信息，回答下列问题： （1）本次调查共抽查了___名学生，的值为____； （2）估计该校最喜爱“文学艺术类”图书的学生有多少名？ （3）假如你是小组成员，请你向该校提一条合理建议． 21. 综合与实践 【主题】卷筒纸的设计与测量 【素材】某品牌卷筒纸，直尺 【实践操作】 步骤1：使用直尺测量卷筒纸的高度，中间空心硬纸轴的直径和外层的直径，记录数据如1图所示； 步骤2：如2图，把展开的纸巾折叠多层后再测量，通过计算得到每层纸巾厚度为0.02厘米． 【实践探索】 （1）制作这个中间的纸轴至少需要多少平方厘米的硬纸板？（结果保留） （2）根据以上数据，设计一个方案，估计这种规格的一卷空心卷筒纸展开后的总长度．（的值取3.14） 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 综合探究 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法． 如图1所示，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，以此类推… ① ② ③ 阴影面积 面积 （1）根据图形填写上表； （2）计算：；（请写出计算过程） （3）类比：小华在计算时利用了如图2所示的正方形模型． 设正方形的面积为1，第1次分割，把正方形的面积三等分，阴影部分的面积为； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积三等分，阴影部分的面积之和为； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积三等分，阴影部分的面积之和为；… ①第n次分割后，空白部分的面积是______． ②由此计算的值． 23. 阅读材料：“三等分角”是数学史上一个著名问题．今天人们已经知道，仅用圆规和直尺是不可能作出的．在研究这个问题的过程中，数学家帕普斯借助函数给出了一种“三等分锐角”的方法，如图1，步骤如下： ①建立直角坐标系，将已知锐角的顶点与原点O重合，角的一边与x轴正方向重合； ②在直角坐标系中，绘制函数的图象，图象与已知角的另一边交于点P； ③以P为圆心、以为半径作弧，交函数的图象于点R； ④分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，分别交于点M，点Q； ⑤连接，得到．则． 思考问题： （1）设，，求直线的函数解析式（用含a，b的代数式表示），并说明Q点在直线上； （2）证明：． （3）如图2，若直线与反比例函数交于点C，D为反比例函数第一象限上的一个动点，使得．求用材料中的方法求出满足条件D点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年封开县初中毕业班第一次模拟考试 数学 （时间：120分钟，满分：120分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在下列选项中，具有相反意义的量是（ ） A. 收入13元与支出35元 B. 12个大学生和7个小学生 C. 走了120米和跑了120米 D. 向西行75米和向北行75米 【答案】A 【解析】 【分析】根据正数和负表示相反意义进行判断即可. 【详解】解：A收入与支出相反，收入13元与支出35元，是表示相反意义的量，故A的说法正确；B大学生和小学生没有相反意义，故B错误； C走和跑说的是动作，没有相反意义，故C的说法错； D北和西不相反，故D的说法错误； 故答案为A. 【点睛】本题考查了正数和负数表示相反意义的量，找到表示相反的量是解答的关键. 2. 据科学家统计，目前地球上已经被定义、命名的生物约有1000万种左右，数字1000万用科学记数法表示为（　　） A. 1×103 B. 1×106 C. 1×107 D. 10×106 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】解：将1000万用科学记数法表示为：1×107． 故选：C． 【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3. 已知直角三角形的两条直角边的长分别为和，则这个直角三角形的面积为（ ） A. 16 B. 8 C. 163 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意及三角形面积公式可进行求解 【详解】解：∵直角三角形的两条直角边的长分别为：和， ∴这个直角三角形的面积为：． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了二次根式的应用，正确化简二次根式是解题关键． 4. 如图所示的几何体是由6个大小相同的小正方体搭成的，其俯视图是（　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三视图，熟练地掌握主视图，左视图和俯视图是解决本题的关键．根据俯视图是从几何体的上面看到的图形，进而得出答案． 【详解】解：该几何体的俯视图为： 故选：D． 5. 如图，小华注意到跷跷板静止状态时，可以与地面构成一个，跷跷板中间的支撑杆垂直于地面（分别为的中点）．若支撑杆，则点距离地面的最大高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线定理，解决本题的关键是掌握三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半． 根据三角形中位线定理即可解决问题． 【详解】解：∵分别为的中点， ∴， 故选：B． 6. 某校统计了100名学生的身高数据并分成6组，如下表： 组号 1 2 3 4 5 6 频数 20 19 17 18 14 则第4组数据的频率为（　　） A. 0.15 B. 0.13 C. 0.12 D. 0.18 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查频数与频率．根据频数总和为100求出第4组的频数，再将频数除以100即可计算其频率． 【详解】解：第4组的频数为， 频率为． 故选：C 7. 现已知某药品原售价为每盒121元，经过连续两次降价后，现在售价为每盒81元，若根据题意所列的方程为，则x表示的实际意义是（ ） A. 该药品平均每次降价的百分率 B. 该药品第一次降价的百分率 C. 该药品第二次降价的百分率 D. 该药品平均每次涨价的百分率 【答案】A 【解析】 【分析】题目主要考查一元二次方程的应用，理解题意，根据增长率问题求解即可． 根据所列的一元二次方程即可求解． 【详解】解：设该药品平均每次降价的百分率为x，则第一次降价后药品的售价为每盒元，第二次降价后药品的售价为每盒元． ∵现在售价为每盒81元， ∴． ∴x表示的实际意义是该药品平均每次降价的百分率． 故选：A． 8. 暑假期间，小明一家从昆明自驾去大理旅游，途中在楚雄停留休息．如图反应的是他们离家的距离（单位：）与汽车行驶时间（单位：）之间的函数图象．下列说法错误的是（ ） A. 昆明到楚雄路程为 B. 小明家在楚雄休息了半小时 C. 楚雄距离大理 D. 小明休息前后车速不变 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了函数的图象，掌握数形结合的方法是解答本题的关键． 根据函数图象的相关点的横坐标和纵坐标解答即可． 【详解】解：由题意可知， 昆明到楚雄路程为,楚雄距离大理：，故选项A、C正确，不符合题意； 小明家在楚雄休息了：（小时），故选项B正确，不符合题意； 小明休息前车速为，休息后速度为，故选项D说法错误，符合题意． 故选：D． 9. 天气预报显示，某地下周一到周五的降水概率如图所示，则当地居民下周一到周五出门时，最有可能带雨具的是（ ） A. 周一 B. 周二 C. 周四 D. 周五 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了随机事件可能性大小．比较每天的可能性大小作答即可． 【详解】解：∵， ∴当地居民下周一到周五出门时，最有可能带雨具的是周二． 故选：B． 10. 学完《相似》一章后，某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量河的宽度．如图，这条河的两岸是平行的，小丽站在离南岸20米（即米）的点处看北岸，小军、小强站在南岸边，调整小军、小强两人的位置，当小军、小强两人分别站在，两点处时，小丽发现河北岸边的两根电线杆恰好被小军、小强遮挡（即，，三点共线，，，三点共线）．已知电线杆，之间的距离为75米，小军、小强两人之间的距离为30米，则这条河的宽度为（ ） A. 25米 B. 30米 C. 45米 D. 50米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用．延长交于点，设这条河的宽度为x米．由相似三角形对应高的比等于相似比得到，代入有关数据列方程求解方程，即可得解． 【详解】解：延长交于点，如解图所示． ，， ， 依题意，米，米． 设这条河的宽度为米． ， ． ， 即， 解得． 这条河的宽度为30米． 故选：B． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 分解因式：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，直接提取公因式m进行分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 如图，在矩形中，，，为中点，连接，则的长为_____． 【答案】13 【解析】 【分析】根据矩形的性质和中点的定义得到，，，，根据勾股定理即可求出答案． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∵E为中点， ∴， ∴． 13. 命题“方程有两个不相等的实数根”是______（填“真”或“假”）命题． 【答案】真 【解析】 【分析】根据将方程整体化简后求解判断即可． 【详解】方程可化为， ，即方程有两个不相等的实数根，故该命题是真命题． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的情况，解题的关键是将方程整体化简后求解即可． 14. cos30°的值等于_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用特殊角的三角函数值即可得答案． 【详解】， 故答案为：． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题关键． 15. 请写出一个开口向上，与y轴交点纵坐标为，且经过点的抛物线的解析式_____．（答案不唯一） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】设抛物线的解析式为，由此函数图像与y轴交点纵坐标为，得出；把代入，得出；由开口向上，知．据此答题．本题答案不唯一． 【详解】解：设抛物线的解析式为 ∵开口向上， ∴ ∵y轴交点纵坐标为， ∴ ∵经过点， ∴ 即， 写一个满足条件的函数解析式即可，如 故答案为：，答案不唯一． 【点睛】此题是一个开放题，考查了二次函数的性质；解题的关键是注意别漏条件，此题考查了学生的发散思维和综合应用能力． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 下面是小王同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：．．．．．第一步 ．．．．．第二步 ．．．．．第三步 ．．．．．第四步 ．．．．．第五步 任务一：填空：①以上解题过程中，第二步是依据____________（运算律）进行变形的； ②第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______________________； 任务二：请直接写出该不等式的正确解集． 【答案】任务一：①乘法分配律；②二；不等号右边去括号时x前面的系数多乘了2；任务二： 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 任务一：①根据题意可得，第二步依据是乘法分配律；②第二步中，不等号右边去括号时x前面的系数多乘了2； 任务二：按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式即可得到答案． 【详解】解：任务一：①由题意得，第二步是依据乘法分配律进行变形的； ②第二步开始出现错误，错误原因是不等号右边去括号时x前面的系数多乘了2； 任务二： ． 17. 如图，一块直角三角尺形状的木板余料，木工师傅要在此余料上锯出一块圆形的木板制作凳面，要想使锯出的凳面的面积最大. （1）请你试着用直尺和圆规画出此圆（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． （2）若此Rt△ABC的直角边分别为30cm和40cm，试求此圆凳面的面积． 【答案】 （1）如图所示： （2）100πcm 2． 【解析】 【分析】（1）可作出任意两个内角的平分线，交点即为所求的圆心，交点到任意边的距离为半径画圆即可； （2）设三角形内切圆半径为r，由勾股定理得出AB=50，再根据三角形的面积等于周长乘以半径的一半，从而得出三角形内切圆半径． 【详解】（1）略 （2）设三角形内切圆半径为r，则•r•（50+40+30）=×30×40，解得r=10（cm）， 故此圆凳面的面积为：π×102=100π（cm 2）． 【点睛】本题考查了复杂作图以及三角形内切圆的半径求法；用到的知识点为：内切圆的圆心为三角形内角平分线的交点． 18. 如图1．是某景区的一个标志性建筑物——拱门观光台，拱门的形状近似于抛物线，已知拱门的地面宽度为200米，两侧距地面高150米处各有一个观光窗，两窗的水平距离为100米，图2是从实际拱门中得出的抛物线，请你结合数据，求出拱门的高度． 【答案】米 【解析】 【分析】以的中垂线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，求出坐标，设出抛物线的解析式，用待定系数法求出函数解析式，再令，求出的值即可． 【详解】解：如图所示建立平面直角坐标系． 此时，抛物线与x轴的交点为C(-100,0), D(100,0)． 设这条抛物线的解析式为 ∵ 抛物线经过点B (50,150)，) 可得 解得． ∴． 顶点坐标是（0，200） ∴ 拱门的最大高度为200米． 【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，根据题意正确的建立坐标轴可使问题简单化，解题关键是正确建立坐标轴和熟练掌握待定系数法求解析式． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，在四边形中，对角线与相交于点，是的中点，． （1）请你从以下条件①；②；③平分；④中，选择一个使得四边形是菱形的条件________．（填序号）； （2）根据（1）中所选择的条件，求证：四边形是菱形． 【答案】（1）①或②或③（任写一个即可） （2） 证明：∵是的中点，． ∴，，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ①添加：， ∴四边形是菱形， ②添加：， ∴四边形是菱形， ③添加：平分， ∴，而， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ④添加：， 而，， ∴， ∴四边形是矩形．不是菱形． 【解析】 【分析】（1）根据题目中的条件即可得到结论； （2）先证明，可得，证明四边形是平行四边形，再根据菱形的判定定理逐一证明即可得到结论； 【小问1详解】 解：添加①或②或③； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，平行线的性质，正确的识别图形是解题的关键． 20. 第四届全民阅读大会于2025年4月23日至25日在太原举办，大会主题是“培育读书风尚建设文化强国”，通过全民阅读构筑共有精神家园，提升社会文明程度，为以中国式现代化全面推进强国建设、民族复兴伟业提供文化滋养和精神力量．某校数学综合实践小组为了解全校2000名学生最喜欢阅读的一种图书类型进行了抽样调查，调查的图书类型包括“A人文社科类”、“B文学艺术类”、“C科普生活类”、“D少儿类”和“E其他”，并将调查情况绘制成如下两幅统计图． 根据调查信息，回答下列问题： （1）本次调查共抽查了___名学生，的值为____； （2）估计该校最喜爱“文学艺术类”图书的学生有多少名？ （3）假如你是小组成员，请你向该校提一条合理建议． 【答案】（1）50，30 （2）该校最喜爱“文学艺术类”图书的学生有400名； （3） 解：因为喜欢“科普生活类”和“少儿类”的学生较多，建议学校多购置“科普生活类”和“少儿类”图书等． 【解析】 【分析】（1）用A类的人数和所占的百分比求出总人数；用A类的人数除以总人数，即可得出m的值； （2）用学校总人数乘以样本中喜欢B文学艺术类的学生所占的百分比即可． （3）根据题意，写出建议即可． 【小问1详解】 解：这次调查的学生人数为（人）； D类的人数为（人）． ， ∴， 故答案为：50；30； 【小问2详解】 解：， 答：该校最喜爱“文学艺术类”图书的学生有400名； 【小问3详解】 略 21. 综合与实践 【主题】卷筒纸的设计与测量 【素材】某品牌卷筒纸，直尺 【实践操作】 步骤1：使用直尺测量卷筒纸的高度，中间空心硬纸轴的直径和外层的直径，记录数据如1图所示； 步骤2：如2图，把展开的纸巾折叠多层后再测量，通过计算得到每层纸巾厚度为0.02厘米． 【实践探索】 （1）制作这个中间的纸轴至少需要多少平方厘米的硬纸板？（结果保留） （2）根据以上数据，设计一个方案，估计这种规格的一卷空心卷筒纸展开后的总长度．（的值取3.14） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了立体图形，解题的关键是理解题意，正确计算． （1）直接根据圆柱的侧面积公式计算即可； （2）根据展开前后的体积不变的原理，先计算出卷筒纸的体积，再结合展开后纸的厚度和宽度，从而计算出展开后的总长度． 【小问1详解】 解：根据题意，得纸轴的直径为，高度为， ∴纸轴至少需要硬纸板的面积为； 【小问2详解】 解：， ， 答：估计这种规格的一卷空心卷筒纸展开后的总长度为． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 综合探究 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法． 如图1所示，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，以此类推… ① ② ③ 阴影面积 面积 （1）根据图形填写上表； （2）计算：；（请写出计算过程） （3）类比：小华在计算时利用了如图2所示的正方形模型． 设正方形的面积为1，第1次分割，把正方形的面积三等分，阴影部分的面积为； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积三等分，阴影部分的面积之和为； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积三等分，阴影部分的面积之和为；… ①第n次分割后，空白部分的面积是______． ②由此计算的值． 【答案】（1） （2） （3）①；② 【解析】 【分析】本题考查了有理数的乘方、图形类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键． （1）根据图1分别求出部分①⑥的面积，再根据阴影部分的面积等于部分⑥的面积的一半即可得； （2）将转化为，再去括号，计算即可得； （3）①根据第次分割后，空白部分的面积归纳类推出一般规律，由此即可得； ②根据①中的规律求出，再将所求出式子的转化为，代入计算即可得． 【小问1详解】 解：由图1可知，部分①的面积为， 部分②的面积为， 部分③的面积为， 部分④的面积为， 部分⑤的面积为， 部分⑥的面积为， 则阴影部分的面积为． 则填表如下： ① ② ③ 阴影面积 面积 【小问2详解】解： ． 【小问3详解】 解：由图2可知，第1次分割后，空白部分的面积为， 第2次分割后，空白部分的面积为， 第3次分割后，空白部分的面积为， 归纳类推得：第次分割后，空白部分的面积是， 故答案为：． ②由上可知，第100次分割后，空白部分的面积是， ∴， ∴ ． 23. 阅读材料：“三等分角”是数学史上一个著名问题．今天人们已经知道，仅用圆规和直尺是不可能作出的．在研究这个问题的过程中，数学家帕普斯借助函数给出了一种“三等分锐角”的方法，如图1，步骤如下： ①建立直角坐标系，将已知锐角的顶点与原点O重合，角的一边与x轴正方向重合； ②在直角坐标系中，绘制函数的图象，图象与已知角的另一边交于点P； ③以P为圆心、以为半径作弧，交函数的图象于点R； ④分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，分别交于点M，点Q； ⑤连接，得到．则． 思考问题： （1）设，，求直线的函数解析式（用含a，b的代数式表示），并说明Q点在直线上； （2）证明：． （3）如图2，若直线与反比例函数交于点C，D为反比例函数第一象限上的一个动点，使得．求用材料中的方法求出满足条件D点坐标． 【答案】（1） 解：设直线的函数表达式为， 由题意得：， ∴四边形为矩形， ∵，， ∴，， 把点代入得：， ∴直线的函数表达式为， ∵的坐标满足， ∴点Q在直线上； （2） 证明：连接，交于点S， 由题意得四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴． ∴， ∵轴， ∴， ∴，即． （3）或 【解析】 【分析】（1）由轴，轴，，，即可得出M点的坐标，即可，再将点Q的坐标代入解析式即可判断点Q是否在直线上； （2）连接，交于点S，由矩形的性质和平行线的性质即可得到结论； （3）先求出点，可得，然后分两种情况讨论：当D点在下方时，当D点在上方时，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵直线与反比例函数交于点C， ∴，解得：或（舍去）， ∴， ∴， 当D点在下方时，如图，以C为圆心，为半径画弧，交反比例函数于点E，作轴，作轴，连接并延长交反比例于点D，作，连接，与交于点H，作于I， ∴，四边形是矩形 ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 则，， ∴ ∵点H是的中点， ∴，即 ∴可得直线的表达式为 联立得， 解得或（舍去） ∴； 同理可得，当D点在上方时，． 综上所述，D点坐标为或． 【点睛】此题在考查三等分角的作法时，综合考查了待定系数法求函数解析式的方法、矩形的性质以及三角形外角的性质等，综合性较强． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $