精品解析：2025年广东省肇庆市封开县中考数学一模试卷

2025年广东省肇庆市封开县中考数学一模试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 计算：（ ） A. B. 7 C. D. 3 2. 为了节能减排，国家积极倡导使用新能源汽车，新能源汽车发展也取得了巨大成就．下列新能源汽车的车标既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 我国拥有最先进的网络，已建成了2340000多个基站，其中2340000用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，一个弯形管道的拐角，管道，则拐角（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是( ) A. B. C. D. 6. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”，小兰购买了四张“二十四节气”主题邮票，其中“立春”有两张，“雨水”和“惊蛰”各一张，从中随机抽取一张恰好抽到“立春”概率是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，把两个边长为2的小正方形分别沿对角线剪开，将四个直角三角形拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为（    ） A. B. 4 C. D. 8 8. 已知二次函数，当y随x的增大而减小时，x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 分式方程的解是（ ） A. B. C. D. 10. 一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．根据图象有下列五个结论：①；②；③方程的解是；④不等式的解集是；⑤不等式的解集是．其中正确的结论个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 某篮球队五名队员的年龄分别为17，15，17，16，15，则这五名队员年龄的中位数是______． 12. 一个不等式组的解集如图所示，请写出它的解集___________． 13. 关于x的一元二次方程有两个实数根，则a的取值范围是______． 14. 计算：＝_______． 15. 如图所示，扇形的半径长为3，，再以点A为圆心，长为半径作弧，交弧于点C，则阴影部分的面积是______． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算：． 17. 如图，，点是射线上一点． （1）实践与操作：利用尺规作图，作，使，边交射线于，保留作图痕迹，不用写作法）； （2）应用与证明：求证． 18. 如图，在综合与实践活动中，小辰所在的数学兴趣小组要利用测角仪测量塔的高度，塔前有一座高为的观景台，已知，点在同一条水平直线上，且．小辰在处用测角仪测得塔顶部的仰角为，在观景台处测得塔顶部的仰角为．请你根据以上数据，帮小辰求出塔的高度． (结果保留整数；参考数据：) 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 垫球是排球队常规训练的重要项目之一．下列图表中的数据是甲、乙、丙三人每人十次垫球测试的成绩．测试规则为每次连续接球10个，每垫球到位1个记1分． 运动员丙测试成绩统计表 测试序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 成绩（分） 7 6 8 7 5 8 8 7 运动员丙测试成绩的平均数和众数都是7， （1）成绩表中的 _________， _________； （2）若在他们三人中选择一位垫球成绩优秀且较为稳定的接球能手作为自由人，你认为选谁更合适？请用你所学过的统计量加以分析说明（参考数据：三人成绩的方差分别为、、）． 20. 习总书记强调，实行垃圾分类，关系广大人民群众生活环境，关系节约使用资源，也是社会文明水平的一个重要体现．为改善城市生态环境，某公司为配合国家垃圾分类入户的倡议，设计了一款成本为元/个的多用途垃圾桶投放市场，经试销发现，销售量（个）与销售单价（元）符合一次函数关系：当时，；当时，． （1）若该公司获得利润为元，试写出利润与销售单价之间的函数解析式； （2）若物价部门限定该产品的销售单价不得超过30元/个，那么定价为多少元时才可获得最大利润？ 21. 综合与实践：测量如图（1）所示的圆口水杯的杯口直径．工具：一张宽度为的矩形硬纸板（厚度忽略不计）和刻度尺．小明的测量方法：如图（2），将硬纸板紧贴在杯口上，纸板的两个顶点，分别靠在杯口上，硬纸板的边沿与杯口的另两个交点分别为，，利用刻度尺测得的长． 小亮的测量方法：如图（3），将硬纸板紧贴在杯口上，纸板的一边与杯口相切，切点为A，另一边与杯口相交于B，C两点，利用刻度尺测得BC的长为． （1）小明认为，他所测量的的长就是杯口的直径，他用到的几何知识是：______； （2）请根据小亮的测量方法和所得数据，计算出杯口的直径． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 在中，，，． （1）问题发现：如图1，将绕点按顺时针方向旋转得到，连接，交于点．请猜想：① ．②锐角的度数 ． （2）类比探究：将绕点按顺时针方向旋转任意角度得到，若直线与直线相交于点，当锐角存在时，（1）中的两个结论是否还成立？若成立，请结合图2说明理由； （3）迁移应用：如图3是将绕点按顺时针方向旋转到一定角度得到，当点在直线上方，且时，求线段的长． 23. 如图1，在平面直角坐标系中有长方形，点，将长方形沿折叠，使得点B落在点D处，边交x轴于点E，． （1）求点D的坐标； （2）如图2，点N为的中点，在直线上是否分别存在点M，使得的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由； （3）点P为y轴上一动点，作直线交直线于点Q，存在点P使得为等腰三角形，请直接写出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年广东省肇庆市封开县中考数学一模试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 计算：（ ） A. B. 7 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】先确定符号，负号，再把两数的绝对值相加即可． 【详解】解：， 故选：A． 【点睛】本题考查的是有理数的加法运算，熟记加法运算的运算法则是解本题的关键． 2. 为了节能减排，国家积极倡导使用新能源汽车，新能源汽车发展也取得了巨大成就．下列新能源汽车的车标既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称与轴对称的定义进行判断即可．本题考查了中心对称图形与轴对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A．中图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意； B．中图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意； C．中图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D．中图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意． 故选：B． 3. 我国拥有最先进的网络，已建成了2340000多个基站，其中2340000用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】解：， 故选：C． 4. 如图，一个弯形管道的拐角，管道，则拐角（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的性质，管道，由平行线的性质得，即可求解；掌握平行线的性质定理：两直线平行，同旁内角互补是解答本题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：A． 5. 下列计算正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据同底数幂乘除法、积的乘方法则、合并同类项法则逐项判断即可． 【详解】解：A、，正确； B、，原式计算错误； C、，原式计算错误； D、无法计算，原式计算错误； 故选：A． 【点睛】本题考查了同底数幂乘除法、积的乘方、合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键． 6. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”，小兰购买了四张“二十四节气”主题邮票，其中“立春”有两张，“雨水”和“惊蛰”各一张，从中随机抽取一张恰好抽到“立春”概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查等可能条件下的概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．直接利用概率公式进行计算即可． 【详解】解：“立春”有两张，“雨水”和“惊蛰”各一张，从中随机抽取一张恰好抽到“立春”概率是； 故选A． 7. 如图，把两个边长为2的小正方形分别沿对角线剪开，将四个直角三角形拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为（    ） A. B. 4 C. D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的平方根，正方形的面积公式，根据小正方形面积求出大正方形面积，然后根据正方形面积公式可求解即可得到答案； 【详解】解：由图形可得， ∵大正方形面积：， ∴， 故选：C． 8. 已知二次函数，当y随x的增大而减小时，x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出对称轴，根据二次函数的增减性判断即可． 【详解】解：二次函数的对称轴为：， 函数图象开口向上， 时，y随x的增大而减小． 故选：D 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟记二次函数的性质是解题关键． 9. 分式方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，先把分式方程为一元一次方程，解出，注意要验根，即可作答． 【详解】考查目标 能解可化为一元一次方程的分式方程． 解：去分母，得； 移项，合并同类项，得； 系数化为1，得； 经检验，是原分式方程的解． 故选B． 10. 一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．根据图象有下列五个结论：①；②；③方程的解是；④不等式的解集是；⑤不等式的解集是．其中正确的结论个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数经过第一、二、三象限，即可判断①；根据一次函数与x轴、y轴的交点即可判断②③；利用图象法即可判断④⑤． 【详解】解：∵一次函数经过第一、二、三象限， ∴，故①正确； ∵一次函数与y轴交于负半轴，与x轴交于， ∴，方程的解是，故②正确，③不正确； 由函数图象可知不等式的解集是，故④不正确； 由函数图象可知，不等式的解集是，故⑤正确； ∴正确的一共有3个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，一次函数图象的性质，图象法解不等式；熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 某篮球队五名队员的年龄分别为17，15，17，16，15，则这五名队员年龄的中位数是______． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查中位数，根据中位数的求解方法求解即可． 【详解】解：将所给5个数据从小到大排列：15，15，16，17，17，第3个数据是16， ∴中位数为16， 故答案为：16． 12. 一个不等式组的解集如图所示，请写出它的解集___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据数轴可得，即可求解． 【详解】解：根据题意得：该不等式组的解集为． 故答案为： 【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“<”，“>”要用空心圆点表示． 13. 关于x的一元二次方程有两个实数根，则a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 据此得到，即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得：， 故答案为：． 14. 计算：＝_______． 【答案】 【解析】 【详解】原式= 15. 如图所示，扇形的半径长为3，，再以点A为圆心，长为半径作弧，交弧于点C，则阴影部分的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求不规则图形面积，等边三角形的性质与判定，连接，先证明是等边三角形，得到，再求出，，，据此根据图形面积之间的关系求解即可． 【详解】解：连接， 在扇形中，，，以A为圆心，长为半径画弧， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，，． ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算：． 【答案】3 【解析】 【分析】先求出算术平方根、去绝对值、计算零次幂和负整数次幂，再进行加减运算． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查实数的混合运算，涉及算术平方根、去绝对值、零次幂、负整数次幂等知识点，属于基础题，解题的关键是熟记各项运算法则并正确计算． 17. 如图，，点是射线上一点． （1）实践与操作：利用尺规作图，作，使，边交射线于，保留作图痕迹，不用写作法）； （2）应用与证明：求证． 【答案】（1） 如图所示，为所求： （2） 证明：由（1）得， 又 ∴四边形是平行四边形， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了基本作图，平行线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用在射线上解决问题． （1）根据要求作出图形； （2）根据条件得出，进而证明四边形是平行四边形即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 如图，在综合与实践活动中，小辰所在的数学兴趣小组要利用测角仪测量塔的高度，塔前有一座高为的观景台，已知，点在同一条水平直线上，且．小辰在处用测角仪测得塔顶部的仰角为，在观景台处测得塔顶部的仰角为．请你根据以上数据，帮小辰求出塔的高度． (结果保留整数；参考数据：) 【答案】塔的高度约为 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，涉及含30度角的直角三角形的性质、锐角三角函数、勾股定理，理解题意，掌握作辅助线构造直角三角形解决问题是解答的关键． 首先求出，过点作，垂足为点，设，则，然后在中解直角三角形求解即可． 【详解】解∶在中，， ∴． 如图，过点作，垂足为点， 由题意得，， 在中，， ， 故可设， ． 在中，， ． ， ， 解得∶， 故塔的高度约为． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 垫球是排球队常规训练的重要项目之一．下列图表中的数据是甲、乙、丙三人每人十次垫球测试的成绩．测试规则为每次连续接球10个，每垫球到位1个记1分． 运动员丙测试成绩统计表 测试序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 成绩（分） 7 6 8 7 5 8 8 7 运动员丙测试成绩的平均数和众数都是7， （1）成绩表中的 _________， _________； （2）若在他们三人中选择一位垫球成绩优秀且较为稳定的接球能手作为自由人，你认为选谁更合适？请用你所学过的统计量加以分析说明（参考数据：三人成绩的方差分别为、、）． 【答案】（1）7，7 （2） 选乙运动员更合适，理由如下： 甲的平均分为：（分），众数是6分； 乙的平均分为：（分），众数是7分； 丙的平均分是（分），众数是7分， 从平均数上看乙、丙的较高， 又∵、、，即， ∴乙的成绩更稳定， 故选乙运动员更合适． 【解析】 【分析】（1）根据众数的定义与平均数的计算公式，可求出a、b的值． （2）分别求出甲、乙、丙三人的平均分与众数，再结合方差，可确定乙更稳定，即更合适． 【小问1详解】 解：由众数的定义可知，a、b中至少有一个为7，又因为平均数是7， 即， 解得：， 则，； 故答案为：7，7． 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查平均数、众数与方差，平均数，一组数据之和再除以这组数据的个数，就是平均数；众数，一组数据中出现次数最多的那个数据就是这组数据的众数；方差，各个数据与平均数差的平方的平均数就是方差，熟练掌握相关概念与计算公式是解题的关键． 20. 习总书记强调，实行垃圾分类，关系广大人民群众生活环境，关系节约使用资源，也是社会文明水平的一个重要体现．为改善城市生态环境，某公司为配合国家垃圾分类入户的倡议，设计了一款成本为元/个的多用途垃圾桶投放市场，经试销发现，销售量（个）与销售单价（元）符合一次函数关系：当时，；当时，． （1）若该公司获得利润为元，试写出利润与销售单价之间的函数解析式； （2）若物价部门限定该产品的销售单价不得超过30元/个，那么定价为多少元时才可获得最大利润？ 【答案】（1） （2）当销售单价定为元时，商场可获最大利润，最大利润是元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）根据利润=销售量×（销售单价-成本）得到与之间的函数关系式， （2）利用二次函数的性质结合已知条件求解即可． 【小问1详解】 解：设销售量y（个）与销售单价x（元）一次函数关系为， 当时，；当时，． ，解得 ， ∴ ， 【小问2详解】 解：， ，抛物线开口向下，在的左侧，随的增大而增大， 时，有最大值，最大值为元． 答：当销售单价定为元时，商场可获最大利润，最大利润是元． 21. 综合与实践：测量如图（1）所示的圆口水杯的杯口直径．工具：一张宽度为的矩形硬纸板（厚度忽略不计）和刻度尺．小明的测量方法：如图（2），将硬纸板紧贴在杯口上，纸板的两个顶点，分别靠在杯口上，硬纸板的边沿与杯口的另两个交点分别为，，利用刻度尺测得的长． 小亮的测量方法：如图（3），将硬纸板紧贴在杯口上，纸板的一边与杯口相切，切点为A，另一边与杯口相交于B，C两点，利用刻度尺测得BC的长为． （1）小明认为，他所测量的的长就是杯口的直径，他用到的几何知识是：______； （2）请根据小亮的测量方法和所得数据，计算出杯口的直径． 【答案】（1）的圆周角所对的弦是直径； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据的圆周角所对的弦是直径进行解答即可； （2）设点O为圆心，连接交于点M，连接．根据为的切线得到．由得到，垂径定理得到，设的半径为，则，，在中，，得到，解得，即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵纸板的两个顶点A，B分别靠在杯口上，硬纸板的边沿与杯口的另两个交点分别为，， ∴为杯口的直径（的圆周角所对的弦是直径）， 即小明认为，他所测量的的长就是杯口的直径，他用到的几何知识是的圆周角所对的弦是直径． 故答案为：的圆周角所对的弦是直径； 【小问2详解】 解：如图，设点O为圆心，连接交于点M，连接． ∵为的切线， ∴． 又∵， ∴， ∴， 设是半径为，则，， 在中，， ∴， 解得， 所以杯口的直径为． 【点睛】此题考查了圆周角定理、勾股定理、垂径定理、切线的性质定理等知识，熟练掌握圆的性质定理是解答本题的关键． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 在中，，，． （1）问题发现：如图1，将绕点按顺时针方向旋转得到，连接，交于点．请猜想：① ．②锐角的度数 ． （2）类比探究：将绕点按顺时针方向旋转任意角度得到，若直线与直线相交于点，当锐角存在时，（1）中的两个结论是否还成立？若成立，请结合图2说明理由； （3）迁移应用：如图3是将绕点按顺时针方向旋转到一定角度得到，当点在直线上方，且时，求线段的长． 【答案】（1）①；② （2）成立， 理由如下： 如图 2，由旋转得：， 由（1）同理得：， ，， ， ； （3） 【解析】 【分析】此题是几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行线的性质，勾股定理等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． （1）①根据旋转的性质和勾股定理即可解答； ②证明，并根据8字形即可解答； （2）同理可知：当锐角存在时，（1）中的两个结论还成立； （3）过点作于，过点作，交的延长线于，证明，则，设，，则，由勾股定理即可解答． 【小问1详解】 解：①由旋转得：，，， ，， ； 故答案为：； ②如图 1，，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解： 如图 3，过点作于，过点作，交的延长线于 ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，，则， ， ， ， ，， ， ， ， ． 23. 如图1，在平面直角坐标系中有长方形，点，将长方形沿折叠，使得点B落在点D处，边交x轴于点E，． （1）求点D的坐标； （2）如图2，点N为的中点，在直线上是否分别存在点M，使得的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由； （3）点P为y轴上一动点，作直线交直线于点Q，存在点P使得为等腰三角形，请直接写出的度数． 【答案】（1） （2）存在，最小值 （3）存在点P使得为等腰三角形，的度数为或 【解析】 【分析】（1）过点D作于点F，利用矩形的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理求得，利用折叠的性质得到，再利用勾股定理，含角的直角三角形的性质求得，即可得出结论； （2）过点E作并延长交于点H，连接，交于点M，利用全等三角形的判定与性质得到点E与点H关于对称，由将军饮马模型可知：此时的周长最小．最小值为；利用直角三角形的边角关系定理，勾股定理求得，即可得出结论； （3）利用分类讨论的思想方法解答：当点P在点O的下方时，①时，利用等腰三角形的性质和直角三角形的性质解答即可；②时，利用等腰三角形的性质和直角三角形的性质解答即可；存在的情形；当点P在点O的上方时，此种情况不存在；当点P在点C的上方时，同样也不存在为等腰三角形． 【小问1详解】 解：过点D作于点F，如图， ∵点， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴． ∴， ∴． ∵将长方形沿折叠，使得点B落在点D处， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴点D的坐标为； 【小问2详解】 解：在直线上存在点M，使得的周长最小． 过点E作并延长交于点H，连接，交于点M，如图， ∵将长方形沿折叠，使得点B落在点D处， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴点E与点H关于对称， ∴． 则由将军饮马模型可知：此时的周长最小．最小值为． ∵点N为的中点， ∴， 由（1）知：， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴的周长的最小值为； 【小问3详解】 解：当点P在点O的下方时， ①时，如图， 由（1）知：， ∵， ∴， ∴； ②时，如图， ∵， ∴， ∴． ③不存在的情形； 当点P在点O的上方时，如图， 若，则， ∴， ∴， ∴与重合，此种情况不存在． 当点P在点C的上方时，如图， 同样也不存在为等腰三角形， 综上，存在点P使得为等腰三角形，的度数为或． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，直角三角形的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，点的坐标的特征，分类讨论的思想方法，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $