23.3一次函数与方程 （组）、不等式 课件 2025--2026学年人教版八年级数学下册

第23章 一次函数 23.3一次函数与方程 （组）、不等式 （人教版）八年级 下 01 教学目标 01 02 会根据一次函数的图象解释一次函数与一元一次方程、一元一次不等式 和二元一次方程（组）的关系，增强几何直观。 经历用函数图象表示方程、不等式解（集）的过程，进一步体会“以形 表示数，以数解释形”的数形结合思想 02 章节导入 现实世界中的运动变化现象各种各样，有的简单，有的复杂．例如，在匀速直线运动中，任意相同时间的变化都会引起相同路程的变化，即路程随时间均匀变化．像这样，一个变量随另一个变量均匀变化的现象在现实世界中大量存在．例如，高铁列车在匀速行驶的过程中，行驶的路程s随时间t的变化；一年期存款到期时在计算本息和的过程中，本息和y随本金x的变化；登山队员在攀登高峰的过程中，所在位置的气温y随海拔x的变化；等等． 在本章中，我们将学习刻画一个变量随另一个变量均匀变化这类现象的函数——一次函数．通过具体问题体会一次函数的意义，结合其图象讨论它的性质，体会其在解决运动变化问题中的作用．在此基础上，还将从一次函数的角度再次认识一次方程和不等式，并用一次函数解决一些实际问题． 02 新知导入 数数去超市买水果，苹果每斤5元. 假设他买了 x 斤，总价 y 元. 问：(1) 如果数数付了30元，他买了几斤苹果？ (2) 如果数数只带了30元，他最多能买几斤苹果？ (3) 总价 y 与 x 的关系是什么？ 5x = 30 5x ≤ 30 y = 5x 方程 不等式 函数 方程、不等式、函数有什么联系呢？ 03 新知讲解 思考 如图，一次函数 y = 2x-1 的图象与 x 轴交点的横坐标是0.5.当自变量 x 的值为 0.5 时，函数值是多少？由此可以得出一元一次方程 2x－1= 0 的解吗？ 0.5 O x y -1 0.5 y=2x-1 -0.5 解：当自变量 𝑥 的值为 0.5 时，函数值是 0 ； 一元一次方程 2 𝑥 − 1 = 0 的解是 𝑥 = 0.5 。 03 新知讲解 思考 如图，一次函数 y = 2x-1 的图象与 x 轴交点的横坐标是0.5.当自变量 x 的值为 0.5 时，函数值是多少？由此可以得出一元一次方程 2x－1= 0 的解吗？ 0.5 O x y -1 0.5 y=2x-1 -0.5 因为任何一个以x为未知数的一元一次方程都可以变形为ax+b=0(a≠0)的形式，所以解一元一次方程, 从函数值考虑，相当于在某个一次函数y=ax+b(a≠0)的函数值为0时，求自变量x的值； 从函数的图象考虑，相当于已知直线y=ax+b，求它与x轴的交点的横坐标. 03 新知讲解 归纳总结 求ax+b=0（a，b 是 常数，a≠0）的解 一次函数y=ax+b的函数值为0时，求自变量x的值 从“数”的角度看 从“形”的角度看 求直线y=ax+b与x轴交点的横坐标 数形结合 03 新知讲解 思考 分析：当图象上点的纵坐标大于0时,点在x轴上方，其横坐标大于0.5，即函数值大于0时x的取值范围是 x>0.5； 当图象上点的纵坐标小于0时,点在x轴下方，其横坐标小于0.5，即函数值小于0时x的取值范围是 x<0.5. 如图，利用一次函数y=2x-1的图象，你能得出函数值大于0时x的取值范围吗？函数值小于0时呢？由此，你能分别得出一元一次不等式 2x-1＞0与 2x-1＜0 的解集吗？ ∴不等式 2x-1>0 的解集是 x > 0.5,不等式 2x-1<0 的解集是 x < 0.5. 03 新知讲解 归纳总结 一次函数与一元一次不等式的关系 对于可化为 ax+b > 0或 ax+b < 0 (a≠0) 的一元一次不等式，在求它的解集时， 从函数值考虑，相当于在某个一次函数y = ax+b 的值大于0或小于0时，求自变量 x 的取值范围； 从函数的图象考虑，相当于已知直线 y = ax+b，确定这条直线上的点的纵坐标大于0或小于0时横坐标的取值范围. 03 新知讲解 归纳总结 从“数”的角度看 求ax+b>0(或ax+b <0) (a, b是常数，a≠0)的解集 求一次函数y=ax+b的函数值大于0(或小于0)，求自变量x的取值范围 求直线y=ax+b在x轴上方(或下方)部分的自变量x的取值范围 从“形”的角度看 数形结合 03 新知讲解 思考 如何用一次函数的图象解释二元一次方程？以方程 2x-y=1为例. 分析：方程2x-y=1可以转化为y=2x-1，它们有相同的解. y=2x-1对应一次函数y=2x-1，它的图象是一条直线. 这条直线上每个点的坐标(x,y)都是方程2x-y=1的解， 以方程2x-y=1的解(x,y)为坐标的点都在这条直线上. 03 新知讲解 归纳总结 由于每个含未知数x和y的二元一次方程都可以转化为y=kx+b(k,b是常数，k≠0)的形式，所以每个这样的方程都对应一个一次函数，于是也对应一条直线．这条直线上每个点的坐标(x, y)都是这个二元一次方程的解，以这个二元一次方程的解(x, y)为坐标的点都在这条直线上． 二元一次方程 二元一次方程的解 一次函数 一条直线 一次函数 两变量的值 直线上 点的坐标 对应 对应 对应 对应 03 新知讲解 思考 对于二元一次方程组你能从函数的角度对解这个方程组进行解释吗？ 分析： 方程组中两个二元一次方程分别对应一次函数y=2x-1与y=﹣x+· 解这个方程组，可以看作求这两个一次函数的图象的交点坐标. 因此，可以用画图象的方法得到这个二元一次方程组的解. 03 新知讲解 思考 对于二元一次方程组你能从函数的角度对解这个方程组进行解释吗？ 如图，在同一平面直角坐标系中，画出一次函数 y = 2x-1与 y=﹣x+的图象. 这两条直线的交点坐标为 ( 1 , 1 )， 由此得出方程组 的解是. 3 2 1 2 1 -2 O x y -1 -1 3 y =2x-1 p （1,1） y=x+ 03 新知讲解 归纳总结 从数的角度看： 解这样的方程组相当于求自变量为何值时相应的两个函数值相等，以及这个函数值是何值； 由含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的每个二元一次方程组，都对应两个一次函数，于是也对应两条直线. 从形的角度看： 解这样的方程组相当于确定两条直线交点的坐标. 03 新知讲解 例 同时释放两个探测气球，1号气球从距离地面5m高处出发，以1m/s的速度上升；2号气球从距离地面15m高处出发，以0.5m/s 的速度上升. 两个气球都上升了1 min. (1) 分别写出表示两个气球所在位置的高度 y (单位：m) 关于上升时间 x (单位：s) 的函数解析式. 解：(1) 气球上升时间 x 满足0 ≤ x ≤ 60. 对于1号气球，y 关于 x 的函数解析式为 y = x+5. 对于2号气球，y 关于x的函数解析式为 y = 0.5x+15. 03 新知讲解 例 (2) 两个气球在某时刻能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多长时间？位于什么高度？ 解：(2) 两个气球在某时刻位于同一高度，就是对于 x (0 ≤ x ≤ 60)的某个值，函数 y = x+5 和 y = 0.5x+15 有相同的值 y. 由此可以列二元一次方程组 解得 这就是说，当气球上升 20s 时，两个气球都距离地面 25m. y = x+5, y = 0.5x+15 , x = 20. y = 25. 03 新知讲解 例 也可以画一次函数的图象解答此问题. 如图，在同一平面直角坐标系中，画出 一次函 数 y = x+5 与y = 0.5x+15 的图象. 这两条直线的交点坐标为(20，25)， 这说明当气球上升 20 s 时， 两个气球都距离地面 25 m. 04 课堂练习 基础题 1. 若关于x的方程4x－b＝0的解是x＝－2，则直线y＝4x－b一定经过点（　C　） A. （2，0） B. （0，－2） C. （－2，0） D. （0，2） C 04 课堂练习 基础题 2. 如图，一次函数y＝kx＋b的图象与坐标轴分别交于点A（0，2），B（4，0），则关于x的不等式kx＋b≥2的解集为（　A　） A. x≤0 B. x≤4 C. x≥0 D. x≥4 A 04 课堂练习 基础题 3. 已知关于x，y的二元一次方程组 的解是 则一次函数y＝ax＋b和y＝－x－2的图象的交点坐标为 　（－4，2）　. （－4，2）　 4. 在平面直角坐标系中，直线l1经过点（1，－3），（3，1），直线l2经过点（1，0），且与直线l1交于点A（2，a）. （1） 求a的值. 解：（1） 设直线l1对应的函数解析式为y＝kx＋b.将（1，－3），（3，1）代入，得 解得 ∴ 直线l1对应的函数解析式为y＝2x－5.将A（2，a）代入y＝2x－5，得a＝2×2－5＝－1 04 课堂练习 基础题 （2） 可看成怎样的二元一次方程组的解？　 （2） 设直线l2对应的函数解析式为y＝mx＋n.将（2，－1），（1，0）代入，得 解得 ∴ 直线l2对应的函数解析式为y＝－x＋1.∴ 可看成关于x，y的二元一次方程组 的解 04 课堂练习 基础题 （3） 设直线l1与y轴交于点B，直线l2与y轴交于点C，求△ABC的面积. （3） 将x＝0代入y＝2x－5，得y＝－5.将x＝0代入y＝－x＋1，得y＝1. ∴ 点B的坐标为（0，－5），点C的坐标为（0，1）.∴ BC＝1－（－5）＝6. ∵ 点A的坐标为（2，－1），∴ S△ABC＝ ×6×2＝6，即△ABC的面积为6 04 课堂练习 提升题 1. 若函数y＝kx－b的图象如图所示，则关于x的不等式k（x－3）－b＞0的解集为（　D　） A. x＜1 B. x＜2 C. x＜3 D. x＜5 D 04 课堂练习 提升题 2. （数形结合思想）如图，经过点B（－2，0）的直线y＝kx＋b与直线y＝4x＋2交于点A（－1，－2），则不等式组4x＋2≤kx＋b＜0的解集为 　－2＜x≤－1　. x≤－1　 04 课堂练习 拓展题 如图，一次函数y＝－ x＋b的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，与正比例函数y＝2x的图象交于点C（1，a）. （1） 求a，b的值. 解：（1） 由题意，得点C（1，a）在函数y＝2x的图象上，∴ a＝2×1＝2.∴ 点C的坐标为（1，2）.∵ 点C（1，2）在函数y＝－ x＋b的图象上， ∴ － ＋b＝2.∴ b＝ （2） 方程组 的解为 　 　. 　 04 课堂练习 拓展题 （3） 存在　∵ 点P在函数y＝2x的图象上，∴ 设点P的坐标为（x，2x）. ∵ 一次函数的解析式为y＝－ x＋ ，∴ 易得A ，B（5，0）.∴ OA＝ ，OB＝5.过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N. ∴ S△BOP＝ OB·PM＝ ×5×｜2x｜＝5｜x｜，S△AOP＝ OA·PN＝ × ×｜x｜＝ ｜x｜.由题意，得5｜x｜＝ ｜x｜＋5，解得x＝ 或x＝－ .∴ 点P的坐标为（ ， ）或（－ ，－ ） （3） 在函数y＝2x的图象上是否存在点P，使得△BOP的面积比△AOP的面积大5？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 05 课堂小结 一次函数与方程、不等式 解一元一次方程 解一元一次不等式 解二元一次方程组 对应一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，即一次函数与x轴交点的横坐标. 对应一次函数的函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围，即在x轴上方(或下方)的图象所对应的x取值范围 . 求对应两条直线交点的坐标 . 06 板书设计 23.3一次函数与方程 （组）、不等式 1.一次函数与一元一次方程的关系： 2.一次函数与一元一次不等式的关系： 3.一次函数与二元一次方程的关系： $