微专题：复数易错题（分层作业+4题型）2025-2026学年高一下学期数学分层作业练习（人教A版必修第二册）

微专题：复数易错题 一、题型一 复数的几何意义 1．在复平面内，复数对应的点坐标是，则（   ） A． B．5 C． D．8 2．在复平面内，复数所对的向量为，将逆时针旋转得到，则所对应的复数为（    ） A． B． C． D． 3．（多选）在复平面内有一个平行四边形，点为坐标原点，点对应的复数为，点对应的复数为，点对应的复数为，则下列结论正确的是（   ） A． B．点位于第二象限 C． D． 4．若在复平面上的矩形中，对应的复数为，对应的复数为，则对应的复数是______. 5．如图所示，平行四边形，顶点分别表示，试求： (1)对角线所表示的复数； (2)求点对应的复数. 6．已知平行四边形ABCD中，与对应的复数分别是3＋2i与1＋4i，两对角线AC与BD相交于P点. （1）求对应的复数； （2）求对应的复数； （3）求△APB的面积. 二、题型二 复数方程根问题 7．已知是关于的方程的一个根，则（    ） A． B． C．1 D．9 8．方程在复数集范围内的两个根分别记作，则（   ） A． B． C． D． 9．已知复数，，则下列说法不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．是的充分不必要条件 D．，，，则 10．已知z为复数，和均为实数，其中是虚数单位． (1)求z； (2)若复数z是方程（m，）的一个解，求的值． 11．已知复数，. (1)若复数是纯虚数，求的值； (2)若是关于的方程的一个根，求的值. 三、题型三 复数模的几何意义 12．已知复数，满足，且，则（    ） A．1 B． C． D．2 13．若复数和复数满足，，，则________. 14．若复数满足，则在复平面内，复数所对应的点组成的图形的周长为（    ） A．2π B．4π C．6π D．8π 15．设复数z满足条件，那么的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 16．若复数满足，则|z|的最大值为（   ）． A． B． C． D． 17．若复数满足，其中为虚数单位，则的取值范围为（   ） A．[4，6] B． C． D． 18．已知复数，，其中，，则下列说法正确的是（    ） A．在复平面内，所对应的点位于第二象限 B．若，则， C．若，则为纯虚数 D．若，则的取值范围为 19．下列结论正确的是（   ） A．若复数满足，则 B．若复数与在复平面内分别对应向量与，则向量对应的复数为 C．若复数在复平面内对应的点为，则复数 在复平面内对应的点在第一象限 D．若复数满足，则复数在复平面内对应的点所构成的图形的面积为 20．设复数，（x，），在复平面内，，对应的向量分别为，，O为坐标原点，则（    ） A． B． C．若，则 D．若，则的最大值为 21．若复数满足，则的取值范围是______________． 22．已知复数的模长，则的取值范围为___________． 23．已知为虚数单位，复数满足，则的最小值为__________． 四、题型四 共轭复数的应用 24．若z为复数，则（   ） A．若，则为实数 B． C．若，则的最大值为 D．若，则在复平面内对应的点在第四象限 25．设是复数，则下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则的最大值为3 26．，是复数，下列说法正确的是（   ） A．若，则是纯虚数 B．若，互为共轭虚数，则，在复平面内对应的点关于实轴对称 C．若，则 D．若，则 27．下列命题中，真命题有（    ） A．若复数，则 B．若复数满足，则或 C．若复数，则 D．若复数满足，则且 28．已知，为复数，下列命题为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则的最小值为1 C．若，则 D．若，则 29．在复数范围内，下列命题正确的是（   ） A．若，则为纯虚数 B．若，则 C．若，则的最大值为3 D．若，则 30．已知复数均不为0，则（   ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题：复数易错题 一、题型一 复数的几何意义 1．在复平面内，复数对应的点坐标是，则（   ） A． B．5 C． D．8 【答案】C 【分析】先应用复数的几何意义得出复数，再应用复数加法及模长公式计算求解. 【详解】复数对应的点坐标是，则， 则， 则. 2．在复平面内，复数所对的向量为，将逆时针旋转得到，则所对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复数的几何意义结合旋转的性质求解即可. 【详解】由题意知，. 设，对应的复数为，则逆时针旋转后应在第一象限，所以，. 由旋转性质得旋转前后模长相等，且与垂直， 所以，解得. 所以逆时针旋转后，，对应的复数为. 3．（多选）在复平面内有一个平行四边形，点为坐标原点，点对应的复数为，点对应的复数为，点对应的复数为，则下列结论正确的是（   ） A． B．点位于第二象限 C． D． 【答案】ACD 【分析】运用复数的加减运算规则，结合几何意义和模长概念画出表格计算判断即可. 【详解】 A √ B × 由题意得，，，因为四边形为平行四边形，则，所以，所以，点位于虚轴上 C √ 如图，，，对应的向量分别为，，，则，，即， D √ 故选：ACD. 4．若在复平面上的矩形中，对应的复数为，对应的复数为，则对应的复数是______. 【答案】1+i 【分析】，代入条件求解即可. 【详解】由已知. 故答案为： 5．如图所示，平行四边形，顶点分别表示，试求： (1)对角线所表示的复数； (2)求点对应的复数. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）先由向量运算得，再根据复数的向量表示以及复数加减法的几何意义直接转成复数减法运算即可得解. （2）先由向量运算得，再根据复数的向量表示以及复数加减法的几何意义将向量加法运算转化成复数加法运算即可得解. 【详解】（1）因为， 所以所表示的复数为. （2）因为， 所以所表示的复数为， 即点对应的复数为. 6．已知平行四边形ABCD中，与对应的复数分别是3＋2i与1＋4i，两对角线AC与BD相交于P点. （1）求对应的复数； （2）求对应的复数； （3）求△APB的面积. 【答案】（1）－2＋2i；（2）5；（3）. 【分析】(1)平行四边形ABCD中，有且与对应的复数分别是3＋2i与1＋4i，即对应的复数为－2＋2i (2)同(1)，由于，而与对应的复数分别是3＋2i与－2＋2i，即对应的复数为5 (3) 平行四边形ABCD中，根据向量的关系得到、，由向量数量积的坐标公式和几何意义有，解得cos∠APB＝进而得到sin∠APB＝，再由三角形面积公式求得面积为5 【详解】由题意，画出平行四边形如下图示      （1）在平行四边形ABCD中，有 ∴有 = (1＋4i)－(3＋2i)＝－2＋2i 即对应的复数是－2＋2i （2）∵= (3＋2i)－(－2＋2i)＝5 即对应的复数是5 （3）∵ ∴，而， 即 ∴cos∠APB＝，故sin∠APB＝ 故 即的面积为 【点睛】本题考查了复数加减运算并结合向量在几何中的应用，向量数量积的几何意义和坐标公式，三角形的面积公式；综合运用复数和向量的关系及在几何中的应用，应用向量的数量积及三角形面积公式求值 二、题型二 复数方程根问题 7．已知是关于的方程的一个根，则（    ） A． B． C．1 D．9 【答案】C 【详解】根据题意是方程的另一根， 由，可得， 又， 所以. 8．方程在复数集范围内的两个根分别记作，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用求根公式求出，根据复数的乘法和乘方运算逐项验证. 【详解】由求根公式，记， 对于A：，A错误； 对于B：，B正确； 对于C：由选项B的结论及选项A的计算过程可知，，C正确； 对于D：由选项B的判断，，D正确. 9．已知复数，，则下列说法不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．是的充分不必要条件 D．，，，则 【答案】ABC 【分析】ABC，通过特例即可判断；对于D，通过平方求得，即可求解； 【详解】对于A，令，满足，显然不成立，错误； 对于B，令，满足，显然不成立，错误； 对于C，令，满足，此时不成立，错误； 对于D，如图，在复平面内，，则因为，则， 故为正三角形，故，正确. 故选：ABC 10．已知z为复数，和均为实数，其中是虚数单位． (1)求z； (2)若复数z是方程（m，）的一个解，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将未知复数设为标准代数形式 ，利用“复数为实数则虚部为0”的性质求出的值，再对进行分母实数化，将其化为的形式，同样令虚部为0求出的值，最后回代得到复数即可； （2）先将已知复数解 代入实系数方程，通过复数的四则运算后分离出实部与虚部，再根据“复数等于0则实部、虚部分别为0”的性质，建立关于参数 的二元一次方程组，最后解方程组得到参数值后，代入 计算结果即可. 【详解】（1）设（），则为实数， 所以，即， 所以 因为 为实数，即 ，解得 ， 将 ， 代入 ，可得 . （2）因为复数z是方程（m，）的一个解， 代入可得， 因为 则方程变为， 整理得： 所以，解得，， 所以． 11．已知复数，. (1)若复数是纯虚数，求的值； (2)若是关于的方程的一个根，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先进行复数的除法运算，再根据纯虚数的概念求得m的值； （2）将复数代入方程中，结合复数相等求出p，q的值. 【详解】（1）由题意可知：， 因为z是纯虚数，则，解得. （2）因为是关于的方程的一个根， 则，整理得， 则，解得，，所以. 三、题型三 复数模的几何意义 12．已知复数，满足，且，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】由复数的几何意义，模长即为对应向量模长，即可求解. 【详解】在复平面中，设，分别与向量，对应， 由题意可得，， 因为， 即， 解得，即． 13．若复数和复数满足，，，则________. 【答案】 【分析】根据题意，利用复数模的运算性质，准确化简、运算，即可求解. 【详解】因为，，， 由复数模的运算性质，可得 ， 所以，所以， 又由， 所以. 14．若复数满足，则在复平面内，复数所对应的点组成的图形的周长为（    ） A．2π B．4π C．6π D．8π 【答案】B 【分析】设复数，利用复数模的公式把等式变形即可得圆的方程，根据圆的周长公式即可求解 . 【详解】设复数，则对应复平面内的点 ， 由可得，即  ，两边平方得， 这表示圆心为、半径， 圆的周长. 15．设复数z满足条件，那么的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】设复数z在复平面对应的点为， 因为，所以， 因此点在单位圆上， 因为，设复数在复平面对应的点为， 所以表示圆上的点到点的距离， 因此的最大值为. 16．若复数满足，则|z|的最大值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数模长的几何意义可求答案. 【详解】由题意的几何意义为复数对应复平面内的点到点的距离为3， 点到原点的距离为， 所以的最大值为. 故选：D    17．若复数满足，其中为虚数单位，则的取值范围为（   ） A．[4，6] B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数及复数模的几何意义求解即可. 【详解】在复平面内，设对应的点为， 则表示到点的距离为， 表示动点到点的距离， 因为， 所以． 18．已知复数，，其中，，则下列说法正确的是（    ） A．在复平面内，所对应的点位于第二象限 B．若，则， C．若，则为纯虚数 D．若，则的取值范围为 【答案】BD 【详解】在复平面内，复数对应的点的坐标为，位于第四象限，故A错误； ，若，则，，故B正确； 当时，满足，但，是实数而非纯虚数，故C错误； ， 所以在复平面内对应的点在圆心为、半径为1的圆上， 又，所以的取值范围为，故D正确. 19．下列结论正确的是（   ） A．若复数满足，则 B．若复数与在复平面内分别对应向量与，则向量对应的复数为 C．若复数在复平面内对应的点为，则复数 在复平面内对应的点在第一象限 D．若复数满足，则复数在复平面内对应的点所构成的图形的面积为 【答案】BCD 【详解】对于A，也满足，A错误． 对于B，因为，，所以，B正确． 对于C，复数对应的点为，则复数对应的点为，该点在第一象限，C正确． 对于D，复数对应的点构成的图形为圆环，它的面积为，D正确． 20．设复数，（x，），在复平面内，，对应的向量分别为，，O为坐标原点，则（    ） A． B． C．若，则 D．若，则的最大值为 【答案】ABD 【分析】利用共轭复数及复数模的意义求解判断A；利用复数乘法及模的意义求解判断B；利用向量共线的坐标表示判断C；确定点的轨迹并求出最大值判断D. 【详解】对于A，，则，A正确； 对于B，，， 而，因此，B正确； 对于C，，由，得，C错误； 对于D，由，即， 得点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆， 表示点与点的距离，该距离最大值为，D正确. 21．若复数满足，则的取值范围是______________． 【答案】 【详解】设，由，可得， 所以，所以复数在复平面内对应的点为以为圆心，2为半径的圆上的点， 又， 所以的取值范围是. 22．已知复数的模长，则的取值范围为___________． 【答案】 【分析】利用复数模的三角不等式可求得的取值范围. 【详解】因为复数的模长， 由复数模的三角不等式可得， 当且仅当时，等号成立； ， 当且仅当时，等号成立， 因此的取值范围是. 故答案为：. 23．已知为虚数单位，复数满足，则的最小值为__________． 【答案】3 【分析】先求出满足题目要求的复数在复平面内的轨迹，再求所求复数模长的最小值. 【详解】设（），则， ， 设，，则， 即点在以为圆心，1为半径的圆上， ， 设，， ， 所以的最小值为3. 四、题型四 共轭复数的应用 24．若z为复数，则（   ） A．若，则为实数 B． C．若，则的最大值为 D．若，则在复平面内对应的点在第四象限 【答案】AC 【分析】由复数相等的定义即可判断A，举出反例代入计算，即可判断B，由复数的几何意义代入计算，即可判断CD. 【详解】对于A，设，则，若，则，即， 则为实数，故A正确； 对于B，若，则，，故B错误； 对于C，若，即，可得在复平面内对应点的轨迹为圆心，半径为的圆，原点到圆心的距离为，故的最大值为，故C正确； 对于D，因为，， 即，对应点在第二象限，故D错误； 25．设是复数，则下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则的最大值为3 【答案】AD 【分析】根据复数的相关性质逐一分析每个选项. 【详解】在A选项中，设，， 根据复数模的计算公式可得：，， 已知，则， 两边同时平方可得：， 又因为， 所以，A选项正确， 在B选项中，若取，，则， ，则满足， 但，，，B选项错误， 在C选项中，对两边同时平方可得： ，展开可得： ， 化简得：，即， 设，，则， 并不一定有，C选项错误， 在D选项中，说明对应复平面上单位圆， 表示单位圆上的点到点的距离， 原点到的距离为，因此最大距离为，D选项正确. 26．，是复数，下列说法正确的是（   ） A．若，则是纯虚数 B．若，互为共轭虚数，则，在复平面内对应的点关于实轴对称 C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【分析】对于A，设，由可得是纯虚数；对于B，由，互为共轭虚数可得，在复平面内对应的点关于实轴对称；对于C、D选项，举出反例即可判断. 【详解】对于A，设，则，则，解得且，所以是纯虚数，故A正确； 对于B，设，因为，互为共轭虚数，则，在复平面内对应的点，在复平面内对应的点，则，在复平面内对应的点关于实轴对称； 对于C，假设，，则，，，即，故C选项错误； 对于D， 假设，，则，，，即，但不都是实数，不能比较大小，不能得到，故D选项错误； 故选：AB 27．下列命题中，真命题有（    ） A．若复数，则 B．若复数满足，则或 C．若复数，则 D．若复数满足，则且 【答案】AC 【分析】利用共轭复数的性质判断AC，举反例判断BD. 【详解】A.由条件可知，和互为共轭复数，即，， 那么，故A正确； B.两个复数的模相等，不能推出两个复数相等或是共轭复数，比如，，，故B不正确； C. 由条件可知，和互为共轭复数，则，故C正确； D.若，，满足，则且，故D不正确. 故选：AC 28．已知，为复数，下列命题为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则的最小值为1 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】对于AD，举反例判断即可；对于B，由复数的模和几何意义求解即可；对于C，由共轭复数的概念和复数乘法运算即可. 【详解】对于A，设，则，但不成立，故A错误； 对于B，若，则设， 从而，等号成立当且仅当， 所以若，则的最小值为1，故B正确； 对于C，设，则，故C正确； 对于D，，则，但不成立，故D错误. 故选：BC. 29．在复数范围内，下列命题正确的是（   ） A．若，则为纯虚数 B．若，则 C．若，则的最大值为3 D．若，则 【答案】BC 【分析】取特值可判断AD；设，，由可得或，由此可判断B；由复数模的几何意义可判断C. 【详解】对于A，若，设，，， 所以， 若，，则，不为纯虚数，故A错误； 对于B，设，，则， 若，则，，解得：，即或， 所以，故B正确， 对于C，表示复数在复平面上对应的点到的距离为， 即以为圆心，为半径的圆，表示点到原点的距离， 圆心到原点的距离为，所以的最大值为，故C正确； 对于D，取，，，， 满足，但，故D错误. 故选：BC. 30．已知复数均不为0，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用复数的乘法和除法运算可得答案. 【详解】对于A，，，显然，A不正确； 对于B，设，，则，， ，所以，B正确； 对于C，设，， ，， ， 所以，C正确； 对于D， ， ，D正确； 故选：BCD 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $