7.2复数的四则运算（分层作业+9题型）-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 本同步练以“刷基础-提能力-破难关”分层设计，覆盖复数四则运算全知识点，从基础运算到综合应用再到高阶探究，梯度清晰，适配新授课知识巩固与核心素养培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |刷基础|复数加减运算、模长计算、乘除运算|以选择填空为主，夯实概念与基本运算，如复数加减直接计算（题1）和模长几何意义初步应用（题6）| |提能力|乘方运算、加减法几何意义、复数方程|增加解答题，综合应用知识，如几何意义坐标问题（题24）和方程求解（题29），发展运算能力与推理意识| |破难关|模的几何意义应用、共轭复数性质、参数问题|聚焦综合探究，提升逻辑推理与创新意识，如模的最值问题（题31）和参数范围讨论（题43）|

7.2 复数的四则运算 刷基础 题型一 复数的加减运算 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得原式. 2．复数对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据复数的运算法则，求得复数为，结合复数的几何意义，即可求解. 【详解】由复数，可得复数在复平面内对应的点位于第二象限. 故选：B. 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的四则运算求解对应参数即可 【详解】由，得：，解得：. 故选：A 4．复数满足（，）且，则（    ） A． B． C．的虚部为 D．的实部为 【答案】BC 【分析】根据题意结合复数的加法运算可得，结合选项逐项分析判断. 【详解】因为，则， 可得，解得， 所以，其虚部为，实部为3，故BC正确，AD错误； 故选：BC. 5．已知，则的虚部为__________. 【答案】 【详解】由题意得，则，可得虚部为. 题型二 复数的模长计算 6．已知复数，在复平面内，复数，对应的点分别为，，且点与点关于直线对称，则（    ） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】先根据复数几何意义得坐标，再根据对称得到坐标，最后根据复数减法几何意义，结合两点间距离公式得结果. 【详解】因为，所以点 因为点与点关于直线对称，所以. 所以 故选:A. 7．如图，在复平面内每个小方格的边长均为1，向量 对应的复数分别为 则 =（    ） A． B． C．5 D． 【答案】B 【详解】依题意，，则， 因此， 所以. 8．若复数满足，则（    ） A． B．5 C． D． 【答案】C 【分析】设，根据共轭复数的定义及复数的加减法求出，再根据复数模的计算公式即可求解． 【详解】设， 由题得，， 所以． 9．设复数满足，且，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据复数加减的几何意义可求. 【详解】设在复平面内对应的向量分别为. 由题意可知，， 由于，则以为邻边的平行四边形为矩形， 由于矩形的对角线相等，故. 故选：C. 10．已知复数，，，i为虚数单位. (1)若是纯虚数，求实数的值； (2)若为正实数，求. 【答案】(1) (2)5 【详解】（1）， 因为为纯虚数，所以且，得. （2）， 因为，所以为实数， 所以且，得， 所以，所以. 题型三 复数的乘除运算 11．已知复数，则的共轭复数（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以. 12．已知，则复数z是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知，则， ． 13．若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据复数的加法结合复数相等求，进而逐项分析判断. 【详解】由题意可得：， 则，解得，可得， 故BCD正确，A错误. 故选：BCD. 14．若，则复数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数运算以及复数模的计算分析即可. 【详解】由，则，所以. 15．已知复数，，则复数的代数形式为_____. 【答案】 【详解】 ， 故代数形式为 提能力 题型一 复数的乘方运算 16．在复平面内，复数所对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】. 则其在复平面内所对应的点的坐标为， 则对应的点在第二象限. 17．已知复数（为虚数单位），则下列说法错误的是（   ） A．的实部为1 B．的虚部为 C． D． 【答案】BD 【分析】根据复数的运算法则，可得z，根据实部、虚部的定义，可判断A、B的正误；根据求模公式及共轭复数的定义，可判断C、D的正误. 【详解】由题意， 所以z的实部为1，虚部为1，故A正确，B错误， 模为，共轭复数为，故C正确，D错误. 18．已知复数满足（i为虚数单位），则（    ） A．1 B． C．i D． 【答案】D 【分析】根据的计算公式化简求，再化简求. 【详解】因为，所以，所以， 所以. 19．若i为虚数单位，则________． 【答案】 【分析】设，利用错位相减法求得，进而求解即可. 【详解】由，， 设， 则， 两式相减得， ， 所以. 20．表示虚数单位，则__________. 【答案】 【详解】因为且 所以. 题型二 复数加减法的几何意义 21．复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据及向量的复数表示，运算得到答案. 【详解】复数与分别表示向量与， 因为，所以表示向量的复数为. 故选：D. 22．复平面上有A、B、C三点，点对应的复数为，对应的复数为，对应的复数为，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】根据即，求得点对应的复数，进而即得. 【详解】因为对应的复数是，对应的复数为，又， 所以对应的复数为，又， 所以点对应的复数为， 所以点的坐标为． 故答案为：． 23．在平行四边形ABCD中，若点A，C分别对应于复数，，则A，C两点间的距离为______． 【答案】5 【分析】根据复数减法的几何意义求出向量对应的复数，再根据复数的模的计算公式即可求解． 【详解】依题意得对应的复数为， 所以A，C两点间的距离为． 故答案为：5． 24．如图所示，平行四边形，顶点分别表示，试求： (1)对角线所表示的复数； (2)求点对应的复数. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）先由向量运算得，再根据复数的向量表示以及复数加减法的几何意义直接转成复数减法运算即可得解. （2）先由向量运算得，再根据复数的向量表示以及复数加减法的几何意义将向量加法运算转化成复数加法运算即可得解. 【详解】（1）因为， 所以所表示的复数为. （2）因为， 所以所表示的复数为， 即点对应的复数为. 25．已知复平面内平行四边形ABCD，A点对应的复数为，向量对应的复数为，向量对应的复数为，求： (1)点D对应的复数； (2)平行四边形ABCD的面积． 【答案】(1)5 (2)7 【分析】（1）根据复数与向量间的关系运算得，，则，从而得到其对应的复数； （2），则，利用平行四边形面积公式即可得到答案. 【详解】（1）向量对应的复数为,所以向量， 对应的复数为,所以向量， ， ， ， 点对应的复数为5 . （2）， ， ，， . 故平行四边形面积为7. 题型三 复数方程问题 26．已知复数是关于的方程的一个复数根，则（    ） A． B． C．4 D．8 【答案】A 【详解】由题意可得，即，解得. 27．方程在复数集范围内的两个根分别记作，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用求根公式求出，根据复数的乘法和乘方运算逐项验证. 【详解】由求根公式，记， 对于A：，A错误； 对于B：，B正确； 对于C：由选项B的结论及选项A的计算过程可知，，C正确； 对于D：由选项B的判断，，D正确. 28．若是关于的方程（，均为实数）的一个复数根，则______. 【答案】3 【分析】由题意可得，两个复数根为和，由韦达定理求解即可. 【详解】由题意得关于的方程的两个复数根为和， 由韦达定理得，，得，故. 29．设关于复数x的方程. （1）若，，，求复数x； （2）设，，如果，且方程有实根，求复数a. 【答案】（1）；（2）或. 【分析】(1)把给定值代入方程，利用配方法解方程即得； (2)设出复数a的代数形式并代入方程，化简整理，借助复数为0列式，结合进行分析求解即得. 【详解】（1）若，，，则原方程为， 即，解得， 所以复数； （2）由已知可得，原方程为， 设，且方程的实根为， 而，即， 又，整理得， 因，从而得， 若，则，解得， 当时，方程无实数解，当时，方程有实数解， 于是得， 若，则由可知：或2， 由方程知：，则有，代入得：，解得， 又因，即得，于是有， 综上，复数或. 30．（1）若是关于的方程的一个根，求； （2）若对任意，关于的方程都有纯虚数根，求出该纯虚数根. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据题意，得到方程的另一个根为，结合韦达定理，即可求解； （2）设该方程的纯虚数根为，且，代入方程，列出方程组，即可求解. 【详解】解：（1）由题意知，是关于的方程的一个根，可得方程的另一个根为， 由韦达定理得，解得. （2）设该方程的纯虚数根为，且， 可得，整理得， 所以，因为该方程对任意都成立，所以，解得， 经验证：适合方程，所以该方程的纯虚数根为. 破难关 题型一 复数模的几何意义的应用 31．已知复数满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】确定表示复数的几何意义，再结合的几何意义求解作答. 【详解】由，得复数对应的点在以为圆心，半径的圆上， 表示复数对应的点到的距离， 点到点的距离， 所以的最大值为. 故选：C. 32．已知复数，和满足，若，则的最大值为（    ） A． B．3 C． D．1 【答案】B 【分析】先利用复数的模与加减法的几何意义，及三角形两边之和大于第三边得到，再将时各复数的取值取出，即可得到的最大值. 【详解】根据题意，得， 当，，时，，此时， 所以. 故选：B. 33．设是复数且，则的最小值为___________. 【答案】/ 【分析】根据复数模的几何意义，结合图象，即可求解. 【详解】根据复数模的几何意义可知，表示复平面内以为圆心，1为半径的圆，而表示复数到原点的距离， 由图可知，. 故答案为：. 34．已知复数满足，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】利用复数的几何意义，将转化为点到圆上的距离问题，进而利用圆心到点距离可得的取值范围. 【详解】表示对应的点是以原点为圆心，半径的圆上的点, 的几何意义表示圆上的点和之间的距离， 于是，的最大值为， 最小值为， 所以的取值范围是. 故答案为：. 35．已知为复数，则的最小值为______． 【答案】 【详解】设，复数在复平面内对应的点记作，故； 表示复平面内，点到的距离；表示复平面内，点到点的距离； 故表示复平面内，点到两点的距离之和， 显然当点在线段上时，其取得最小值，最小值为. 题型二 共轭复数的应用 36．已知复数均不为0，则下列等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】设复数， 对于A，易知， 所以，可得A正确； 对于B，易知， 由可得，所以，即B正确； 对于C，， 而，所以，即C错误； 对于D，根据C中分析可知，即可得，所以D正确. 37．设为复数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则是实数 B． C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【详解】设，若，则， 对于A，，故A正确； 对于B，， 则，故B正确； 对于C，若取，显然满足，但，故C错误； 对于D，若取，则，而，，故D错误. 38．已知复数，，则下列结论中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【分析】由复数的运算逐项判断可得. 【详解】设 ， 对于A，有 ，正确； 对于B，若 ，则有 ， 比如 ，则有 ，但 ，错误； 对于C，若 ，则有 ，不妨设 ，并且 ， 则 ， 代入①，整理得 ，故 ， ； 若 ，则 或 ，若 代入①得 ， 若 代入①得 ， 综上，C 正确； 对于D，若 ，表示 在复平面上对应的点到原点的距离相等，显然不能推出 ， 比如 ，则 ， ，错误； 39．已知复数，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则为实数 D． 【答案】BD 【详解】选项A：反例：设，满足，但，故A错误. 选项B：由模的性质可得，故B正确. 选项C：当时，，符合题意，此时是纯虚数，故C错误. 选项D：设，则， 此时，得到，故D正确. 40．已知复数，则下列结论正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C． D． 【答案】ABC 【分析】根据复数模的性质，可得，即可判断A的正误；由题意得，又，分析可判断B的正误；根据复数的运算法则及求模公式，可判断C的正误；根据复数的运算法则，可判断D的正误. 【详解】选项A：若，则，所以，则，故A正确； 选项B：若，则，设， 则， 由，得， 因为模是非负数，所以，故B正确； 选项C：设， 则， 所以， 又， 所以，则，故C正确； 选项D：， ， 所以 当且时，，故D错误. 题型三 复数的参数问题 41．复数对应的点在第四象限内，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复数对应点的性质求解即可. 【详解】由题意得， 因为复数对应的点在第四象限， 所以，解得，故B正确. 故选：B 42．设复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（    ） A．“”的充要条件是“” B．若，则的最大值为3 C．若，，则 D．方程在复数集中有6个解 【答案】ABD 【分析】根据共轭复数的概念及性质，结合充分、必要条件的判定方法，可判定A正确；根据复数模的几何性质，可判定B正确；根据复数乘方的运算规律，可判定C不正确；设为方程的解，得到，分、两种情况讨论，即可求解. 【详解】对于A中：若，则成立，若，可得，解得， 所以成立，所以A正确； 对于B中：若，则表示以原点为圆心，半径为的圆上的点到点的距离， 因为原点到点的距离为，所以的最大值为，所以B正确； 对于C中：若，， 则，所以C不正确； 对于D中：设为方程的解， 代入方程得，即， 若，则，即， 所以或，解得或，即是原方程的解； 若，则，即， 所以，解得或；或，解得或； 即，，，也是原方程的解. 综上可得，原方程有6个解，分别为，，，，，，所以D正确. 故选：ABD. 43．已知复数，，若，则实数的取值范围为_________． 【答案】 【分析】根据复数的加法运算结合复数的概念可得，运算求解即可. 【详解】由题意可得：， 因为，可得，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 44．已知复数分别对应向量， (O为原点). (1)若向量表示的点在第四象限，求的取值范围； (2)若向量对应的复数为纯虚数，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据复数的几何意义，结合第四象限的点的特征即可求解， （2）根据复数减法的几何意义，由纯虚数的定义即可求解. 【详解】（1）因为复数，向量表示的点在第四象限， 所以解得. 所以a的取值范围是. （2）因为， 所以向量对应的复数为. 根据向量对应的复数为纯虚数，可得且， 解得. 45．已知复数. (1)若复数在复平面上对应点落在第四象限，求实数m的范围； (2)为的共轭复数，，且是关于x的方程的一个根，求a，b的值，并求出该一元二次方程的另一复数根. 【答案】(1) (2)，， 【详解】（1）复数，即复数在复平面上对应点坐标为， 对应点落在第四象限，即，解得. （2）为的共轭复数，所以， ，即，解得，即， 是关于的方程的一个根， 代入可得，化简可得， 即，解得，，所以原方程为， 利用求根公式可得， 所以该一元二次方程的另一复数根为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.2 复数的四则运算 刷基础 题型一 复数的加减运算 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 2．复数对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 4．复数满足（，）且，则（    ） A． B． C．的虚部为 D．的实部为 5．已知，则的虚部为__________. 题型二 复数的模长计算 6．已知复数，在复平面内，复数，对应的点分别为，，且点与点关于直线对称，则（    ） A． B． C． D．5 7．如图，在复平面内每个小方格的边长均为1，向量 对应的复数分别为 则 =（    ） A． B． C．5 D． 8．若复数满足，则（    ） A． B．5 C． D． 9．设复数满足，且，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 10．已知复数，，，i为虚数单位. (1)若是纯虚数，求实数的值； (2)若为正实数，求. 题型三 复数的乘除运算 11．已知复数，则的共轭复数（   ） A． B． C． D． 12．已知，则复数z是（    ） A． B． C． D． 13．若，，，则（    ） A． B． C． D． 14．若，则复数（    ） A． B． C． D． 15．已知复数，，则复数的代数形式为_____. 提能力 题型一 复数的乘方运算 16．在复平面内，复数所对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 17．已知复数（为虚数单位），则下列说法错误的是（   ） A．的实部为1 B．的虚部为 C． D． 18．已知复数满足（i为虚数单位），则（    ） A．1 B． C．i D． 19．若i为虚数单位，则________． 20．表示虚数单位，则__________. 题型二 复数加减法的几何意义 21．复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为（    ） A． B． C． D． 22．复平面上有A、B、C三点，点对应的复数为，对应的复数为，对应的复数为，则点的坐标为______． 23．在平行四边形ABCD中，若点A，C分别对应于复数，，则A，C两点间的距离为______． 24．如图所示，平行四边形，顶点分别表示，试求： (1)对角线所表示的复数； (2)求点对应的复数. 25．已知复平面内平行四边形ABCD，A点对应的复数为，向量对应的复数为，向量对应的复数为，求： (1)点D对应的复数； (2)平行四边形ABCD的面积． 题型三 复数方程问题 26．已知复数是关于的方程的一个复数根，则（    ） A． B． C．4 D．8 27．方程在复数集范围内的两个根分别记作，则（   ） A． B． C． D． 28．若是关于的方程（，均为实数）的一个复数根，则______. 29．设关于复数x的方程. （1）若，，，求复数x； （2）设，，如果，且方程有实根，求复数a. 30．（1）若是关于的方程的一个根，求； （2）若对任意，关于的方程都有纯虚数根，求出该纯虚数根. 破难关 题型一 复数模的几何意义的应用 31．已知复数满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D．4 32．已知复数，和满足，若，则的最大值为（    ） A． B．3 C． D．1 33．设是复数且，则的最小值为___________. 34．已知复数满足，则的取值范围是______． 35．已知为复数，则的最小值为______． 题型二 共轭复数的应用 36．已知复数均不为0，则下列等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 37．设为复数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则是实数 B． C．若，则 D．若，则 38．已知复数，，则下列结论中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 39．已知复数，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则为实数 D． 40．已知复数，则下列结论正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C． D． 题型三 复数的参数问题 41．复数对应的点在第四象限内，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 42．设复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（    ） A．“”的充要条件是“” B．若，则的最大值为3 C．若，，则 D．方程在复数集中有6个解 43．已知复数，，若，则实数的取值范围为_________． 44．已知复数分别对应向量， (O为原点). (1)若向量表示的点在第四象限，求的取值范围； (2)若向量对应的复数为纯虚数，求的值. 45．已知复数. (1)若复数在复平面上对应点落在第四象限，求实数m的范围； (2)为的共轭复数，，且是关于x的方程的一个根，求a，b的值，并求出该一元二次方程的另一复数根. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $