专题01 复数全章10大重点题型归纳（必考50题专项训练）-2025-2026学年高一数学春季讲义（人教A版必修第二册）

专题01 复数全章10大重点题型归纳（必考50题专项训练） 【人教A版】 题型归纳 题型1 复数的相等  1．（24-25高一下·吉林·期中）已知为实数，（为虚数单位），则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解题思路】利用复数相等的定义即可求得. 【解答过程】因，则由复数相等的定义可得：. 故选：B. 2．（24-25高一下·陕西·期中）已知复数，，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据复数相等可得，结合三角函数及二次函数的性质即可求解. 【解答过程】因为，所以 则． 令， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，，当时，， 所以． 故选：. 3．（24-25高一·全国·课后作业）若，，则复数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用复数相等的条件即可得解. 【解答过程】由，得，则， 根据复数相等的充要条件得，解得， 故． 故选：B． 4．（24-25高一下·天津滨海新区·期中）已知，其中，则__________. 【答案】 【解题思路】根据复数相等，列出方程组计算即可. 【解答过程】因为， 所以，解得， 所以. 故答案为：. 5．（24-25高一下·山西·期中）已知复数． (1)若为纯虚数，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据纯虚数定义列式求参； （2）根据复数相等列式，结合三角函数值域求范围即可. 【解答过程】（1）因为为纯虚数，所以解得． （2）由于，所以 所以， 又，所以当时，，当时，， 所以实数的取值范围是． 题型2 已知复数的类型求参数 6．（24-25高一下·陕西咸阳·期末）若复数（其中为虚数单位）为纯虚数，则实数的值为（    ） A． B．1 C． D．0 【答案】A 【解题思路】根据纯虚数的概念列式求解即可. 【解答过程】若复数(是虚数单位)是纯虚数，则，解得. 故选：A. 7．（24-25高一下·福建福州·期中）已知复数为纯虚数，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【解题思路】由纯虚数概念得到求解即可. 【解答过程】因为复数是纯虚数， 所以， 解得. 故选：A. 8．（24-25高一下·上海·期末）下列关于复数的命题中， ①若是实数，则；②若是虚数，则；③若是纯虚数，则． 真命题的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，利用复数的概念逐一判断各个命题. 【解答过程】对于①，由是实数，得，则，①正确； 对于②，由是虚数，得，则，②正确； 对于③，由是纯虚数，得，则，③正确， 所以真命题的序号是①②③. 故选：D. 9．（24-25高一下·天津和平·月考）设m∈R， 复数若z为纯虚数，则m=__________. 【答案】 【解题思路】由复数的定义列方程组，即可求出. 【解答过程】复数若z为纯虚数， 则，解得：. 故答案为：. 10．（24-25高一下·广东清远·期末）已知复数，求当实数为何值时； (1)为实数； (2)为纯虚数； (3)为虚数． 【答案】(1) (2)或 (3)且 【解题思路】（1）根据复数为实数的条件，列方程和不等式组m的值； （2）根据复数为纯虚数的条件，列方程和不等式求m的值； （3）根据复数为虚数的条件，列不等式组求m的值即可. 【解答过程】（1）当且时，复数为实数，解得， 所以时，复数为实数； （2）当且且时，复数为纯虚数， 解得或， 所以或时，复数为纯虚数； （3）当且时，复数为虚数，解得且， 所以且时，复数为虚数. 题型3 复数的几何意义 11．（24-25高一下·河北雄安·期末）已知i为虚数单位，若复数在复平面内对应的点位于第二象限，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据复数对应的点位于第二象限，得出实部小于0，虚部大于0，列出不等式组，求出解集即可. 【解答过程】易得在复平面内对应的点为， 由题意可得，解得． 故选：B． 12．（24-25高一下·湖北黄冈·期末）已知在复平面内，为原点，向量对应的复数分别为，，那么向量对应复数的虚部为（    ） A．1 B．9 C． D． 【答案】B 【解题思路】根据复数的几何意义，结合向量的减法运算求解. 【解答过程】由题意可知：， 可得， 所以向量对应的复数为， 所以向量对应复数的虚部为. 故选：B. 13．（24-25高一下·河南驻马店·月考）已知复数（，i为虚数单位），且，当取得最小值时，则z在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解题思路】根据题意，化简得到，得出时，取得最小值，此时复数，再结合复数的几何意义即可求解. 【解答过程】因为，可得， 所以，当时，取得最小值为，可得， 此时z在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限． 故选：D. 14．（24-25高一下·青海西宁·期中）若复数（其中为虚数单位），当对应的点在第三象限时，则实数的取值范围为_________． 【答案】 【解题思路】根据对应的点在第三象限，则实部虚部均小于列不等式即可求解. 【解答过程】由题意得，解得， 则实数的取值范围为 故答案为：. 15．（24-25高一下·山东菏泽·期中）在复平面内，复数，． (1)若复数对应的点在虚轴上，求实数的取值范围； (2)若复数对应的点在第二象限或第四象限，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或． 【解题思路】（1）依题意可得实部为，解得即可； （2）依题意可得，解不等式即可得解. 【解答过程】（1）由题意得，解得或； （2）复数在复平面内对应的点为， 依题意可得， 则或 解得或，即实数的取值范围为或． 题型4 复数的模的几何意义 16．（2025·辽宁·模拟预测）已知复数分别满足，，则的最大值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【解题思路】先通过模长公式求出复数在复平面内对应点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，再利用的最大值为两圆圆心距加两个圆的半径即可求得结果. 【解答过程】设，则， 如图，复数在复平面内对应点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆， 复数在复平面内对应点的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆， 则． 故选：D． 17．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）设，在复平面内对应的点为，则满足的点的集合形成的图形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据复数减法的几何意义可知图形为圆环，求圆环面积即可. 【解答过程】表示复平面内点到的距离，又，所以点的集合形成的图形为圆环，面积为，    故选：C. 18．（24-25高一下·河南·期中）已知复数满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先确定所表示的图形，再分析的几何意义，最后结合图形求出的最大值． 【解答过程】设（），则． 已知，根据复数的模的计算公式可得． 等式两边同时平方可得， 这表示复平面上以点为圆心，半径的圆． 因为，所以，则， 它表示复平面上复数所对应的点与点之间的距离． 根据两点间距离公式，可得圆心与点之间的距离为： ． 因为表示点与点之间的距离，而点在以为圆心，半径为的圆上， 所以的最大值为圆心到点的距离加上圆的半径，即． 的最大值为． 故选：A． 19．（24-25高一下·浙江杭州·期中）复数，满足，，则的最小值为__________. 【答案】 【解题思路】设，利用复数模的意义求出在复平面内对应点的轨迹，再结合复数的几何意义及圆的性质求出最小值. 【解答过程】设，则，由，得， 整理得，即在复平面内对应点的轨迹为直线， 由，得在复平面内对应点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆， 过点作于点，线段交圆于，则为等腰直角三角形，， 而表示在复平面内复数对应点的距离， 所以的最小值为. 故答案为：. 20．（24-25高一·全国·单元测试）已知复数满足，且复数在复平面内的对应点为． (1)确定点的集合构成图形的形状； (2)求的最大值和最小值． 【答案】(1)点的集合是以点为圆心，2为半径的圆 (2)最大值为7，最小值为3 【解题思路】（1）根据复数模的几何意义确定点的集合构成图形的形状. （2）根据复数模的几何意义，结合圆的几何性质求得正确答案. 【解答过程】（1）设复数在复平面内的对应点为， 则， 故点的集合是以点为圆心，2为半径的圆，如下图所示． （2）设复数在复平面内的对应点为，则,如下图所示， ， 则的最大值即的最大值是； 的最小值即的最小值是． 题型5 复数加、减法的几何意义的应用 21．（24-25高一下·河北邢台·月考）设复数满足，且，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解题思路】根据复数加减的几何意义可求. 【解答过程】设在复平面内对应的向量分别为. 由题意可知，， 由于，则以为邻边的平行四边形为矩形， 由于矩形的对角线相等，故. 故选：C. 22．（2025·贵州六盘水·一模）在复平面内，O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形，且A，B，C三点对应的复数分别为，，，若，则=（    ） A．1+i B．1－i C．－1+i D．－1－i 【答案】C 【解题思路】根据复数加法的几何意义及法则即可求解. 【解答过程】因为O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形， 又因为， 所以由复数加法的几何意义可得， . 故选：C. 23．（2025·福建漳州·一模）已知复数，在复平面内，复数，对应的点分别为，，且点与点关于直线对称，则（    ） A． B． C． D．5 【答案】A 【解题思路】先根据复数几何意义得坐标，再根据对称得到坐标，最后根据复数减法几何意义，结合两点间距离公式得结果. 【解答过程】因为，所以点 因为点与点关于直线对称，所以. 所以 故选:A. 24．（24-25高一·全国·课后作业）复平面上有A、B、C三点，点对应的复数为，对应的复数为，对应的复数为，则点的坐标为__________． 【答案】 【解题思路】根据即，求得点对应的复数，进而即得. 【解答过程】因为对应的复数是，对应的复数为，又， 所以对应的复数为，又， 所以点对应的复数为， 所以点的坐标为． 故答案为：． 25．（24-25高一·全国·课后作业）已知复数，试在复平面上作出下列运算结果对应的向量： (1)；                 (2)． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【解题思路】（1）在复平面上作出对应的向量，再作出对应的向量，根据减法的几何意义及向量（复数）相等的定义，即为； （2）再作出对应的向量，根据减法的几何意义及向量（复数）相等的定义，即为． 【解答过程】（1）设复数对应的向量为． 　　　图1 设复数对应的向量为，则两个复数的差对应两个向量的差，如图①所示，即为； （2）设复数对应的向量为，则两个复数的差对应两个向量的差，如②所示，即为． 图2 题型6 根据复数的四则运算求复数特征 26．（24-25高一下·辽宁丹东·期末）已知复数满足（i为虚数单位），则对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【解题思路】由复数除法可得，据此可得答案. 【解答过程】因为， 所以，则其对应坐标为，在第一象限. 故选：A. 27．（24-25高一下·陕西咸阳·期末）已知为虚数单位，复数，则（    ） A．的虚部为 B． C． D．在复平面内对应的点在第四象限 【答案】D 【解题思路】由复数的除法运算化简复数，根据虚部的概念判断A，根据共轭复数的概念判断B，求复数的模判断C，根据复数的几何意义判断D. 【解答过程】由得，则虚部为， 则，，对应的点为，位于第四象限， 故ABC错误，D正确. 故选：D. 28．（24-25高一下·新疆哈密·期末）已知复数，则对应的点位于复平面的（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解题思路】先根据复数的乘法法则确定复数，再根据复数的几何意义确定复数对应的点所在的象限. 【解答过程】首先 . 所以复数对应的点在复平面的第三象限. 故选：C. 29．（24-25高一下·新疆和田·期末）设复数，则下列命题中正确的是___________填序号 ①； ②； ③在复平面上对应的点在第一象限； ④虚部为2． 【答案】①②③ 【解题思路】根据已知条件，结合复数的四则运算，先对化简，依次求解即可． 【解答过程】解：， 对于①，，故①正确， 对于②，，故②正确， 对于③，在复平面上对应的点在第一象限，故③正确， 对于④，的虚部为1，故④错误． 故答案为：①②③. 30．（24-25高一下·河南安阳·期末）已知复数，，． (1)当时，求的值； (2)若是纯虚数，求的值； (3)若在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1），可得，再根据复数的乘法运算即可求解； （2）根据复数的分类，即可求； （3）根据复数的乘法、除法运算法则可得，然后根据复数的几何意义在复平面对应点所在的象限可求实数的取值范围. 【解答过程】（1）当时，． （2）因为为纯虚数，所以，所以． （3）， 该复数在复平面内对应的点在第二象限， 则，解得， 故实数的取值范围是． 题型7 复数范围内方程的根的问题 31．（24-25高一下·福建厦门·期末）已知是关于的方程 一个根，则（   ） A．-2 B．3 C．6 D．7 【答案】B 【解题思路】将代入方程，即可得到关于的方程组，解出即可. 【解答过程】将代入方程得， 即，则，解得，故， 故选：B. 32．（24-25高一下·浙江台州·期末）已知虚数，是方程的两个不同的根，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先因式分解得，即为的两个根，从而依次判断选项. 【解答过程】根据题意，， 令，其中， 由于为虚数，故为的两个根，且为， 不妨设， 则，， 则， 故只有B正确. 故选：B. 33．（24-25高一下·河南南阳·月考）已知关于的一元二次方程有两个虚根，且，则实数的值为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【解题思路】由求出的范围，再利用一元二次方程的求根公式求出，结合列方程求出的值. 【解答过程】由关于的一元二次方程有两个虚根， 得，即，解得或， 则，， 整理得，解得或，则， 所以实数的值为3. 故选：B. 34．（24-25高一下·山东临沂·期末）若是关于x的方程的一个根，则___________. 【答案】3 【解题思路】由题意也是关于x的方程的一个根，结合韦达定理求得即可. 【解答过程】若是关于x的方程的一个根， 则也是关于x的方程的一个根， 所以， 解得， 所以. 故答案为：3. 35．（24-25高一下·上海·期末）设，已知、是关于的方程的两个虚根． (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围； (3)若，，求和的值． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）由韦达定理可求； （2）根据题意可得，然后根据虚数根，利用判别式即可求解； （3）设设，则，根据题意可求，再利用韦达定理求即可. 【解答过程】（1），方程为， 所以. （2），、是关于的方程的两个虚根 所以，解得， 所以的取值范围为. （3）设，则， ， ， 由韦达定理， ， 所以. 题型8 复数的三角表示 36．（24-25高一上·上海·课后作业）的三角形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】合理化简原复数，表示为三角形式即可. 【解答过程】由题意得，故D正确. 故选：D. 37．（24-25高一上·湖南衡阳·期末）复数的辐角的主值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据辐角主值的知识求得正确答案. 【解答过程】， 所以辐角的主值为. 故选：A. 38．（2025高一下·全国·专题练习）复数化为代数形式为（    ） A．i B． C． D． 【答案】D 【解题思路】直接代入三角函数值即可运算求解. 【解答过程】. 故选：D. 39．（24-25高一·全国·单元测试）设，，则的三角形式为___________. 【答案】 【解题思路】先将化简，然后计算，再转化为三角形式即可 【解答过程】因为， ， 所以 ， 故答案为：. 40．（2025高一·全国·专题练习）将下列复数的三角形式转化为代数形式，代数形式转化为三角形式． (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【解题思路】（1）求出三角函数值展开后可得； （2）结合诱导公式求出三角函数值展开后可得； （3）先计算模长，再求辐角，然后可得； （4）先计算模长，再求辐角，然后可得. 【解答过程】（1）. （2）. （3）复数的模长为1，辐角为，所以. （4）复数的模长为1，辐角为，. 题型9 复数乘、除运算的三角表示 41．（24-25高一下·上海·期末）欧拉公式：是虚数单位，是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它非常巧妙地将三角函数与复指数函数关联了起来.若复数，复数满足，则的最大值为（     ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】D 【解题思路】由题设新定义得，再应用乘方运算得，且，即可得. 【解答过程】由题设，则， 所以， 由，则，故时的最大值为2. 故选：D. 42．（25-26高三上·江西南昌·月考）设有复数，，令，则复数（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用复数三角形式的乘方运算，化简计算即可得到答案. 【解答过程】根据复数的三角形式，复数，模为，极角为， 则.又因为， 所以， 所以， ，所以. ， 故选：A. 43．（2025·湖北恩施·模拟预测）任意一个复数都可以表示成三角形式，即．棣莫弗定理是由法国数学家棣莫弗（1667－1754年）创立的，指的是：设两个复数，，则，已知复数，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【解题思路】将化为三角形式，根据棣莫弗定理可求得的值，即可求得答案. 【解答过程】由题意可得， 故， 所以 . 故选：B. 44．（24-25高一下·福建泉州·月考）在复平面的上半平面内有一个菱形，，点所对应的复数是，则点所对应的复数为___________. 【答案】 【解题思路】分析可知，设点、对应的复数分别为、，利用复数三角形式乘法的几何意义得出，结合复数的乘法可得结果. 【解答过程】因为菱形在复平面的上半平面，且， 由复数的几何意义可得，故菱形位置只能如图，且，， 记点、对应的复数分别为、， 由复数三角形式乘法的几何意义 . 故点所对应的复数是. 故答案为：. 45．（24-25高一下·全国·课后作业）在复平面内，把复数对应的向量绕原点逆时针旋转后所得向量对应的复数为，绕原点顺时针旋转后所得向量对应的复数为. (1)求复数； (2)若复数，求复数. 【答案】(1)， (2) 【解题思路】(1)根据复数的三角形式旋转后可得新复数； (2)根据复数三角形式的除法运算律求解即可. 【解答过程】（1）复数逆时针旋转后得, 顺时针旋转后得. （2）由（1）得. 题型10 复数新定义 46．（2025高三·全国·专题练习）已知是复数，定义关于复数的一种运算“”：当，时，（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先求出，再结合运算“”的定义直接计算即可. 【解答过程】因为，， 所以，从而. 故选：A. 47．（2025高三·全国·专题练习）定义复数的大小关系：已知复数，，，，，．若或（且），称．若且，称．其余情形均为．复数u，v，w分别满足：，，，则下列各式一定错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题设所给定义结合复数定义和运算法则分析、计算判断即可. 【解答过程】设复数，若，则，则无解， 所以，将代入，可得， ，即， 所以，解得，所以， 又因为， 设，所以， 所以，所以复数对应的点在以为圆心，为半径的圆上， 所以，从而最大，故B错误； 若，，则， 所以当，或， 时，则，C正确； 若，此时，则，A正确； 若，此时，则，D正确； 故选：B. 48．（2025·甘肃兰州·二模）定义运算，则满足（为虚数单位）的复数z在复平面内对应的点在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解题思路】由已知运算和复数的运算化简即可. 【解答过程】由题意可得， 即， 所以复数z在复平面内对应的点为，在第二象限， 故选：B. 49．（2025高一·全国·专题练习）在实数集中，我们定义的大小关系“”为全体实数排了一个“序”.类似地，我们在复数集上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“”.定义如下：对于任意两个复数，，“”当且仅当“”或“且”. 按上述定义的关系“”，给出下列命题： ①若，则； ②若，，则； ③若，则对于任意，. 其中正确的命题为___________.（填序号） 【答案】②③ 【解题思路】对于①举出反例即可；对于②利用已知的定义进行判断即可；对于③同样利用定义进行判断. 【解答过程】对于①，复数，，满足， 但，，不满足，故①不正确； 对于②，设，，， 由，可得“”或“且”，所以，故②正确； 对于③，设，，， 由可得“”或“且”， 显然有“”或“且”， 从而，故③正确. 故答案为：②③. 50．（24-25高一下·湖北·期中）形如的数称为复数的代数形式，而任何一个复数都可以表示成的形式，即其中为复数的模，叫做复数的辐角，我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作．复数叫做复数的三角形式．由复数的三角形式可得出，若，则．其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍． (1)试将写成三角形式（辐角取主值）； (2)复平面内，将对应的向量绕原点顺时针方向旋转，模长变为原来的2倍后，所得向量对应的复数为，求； (3)类比高中函数的定义，引入虚数单位，自变量为复数的函数称之为复变函数．已知复变函数．若存在实部不为0，且虚部大于0的复数和实数，使得成立，复数在复平面上对应的点为为坐标原点，点，以为边作正方形，其中在上方，求线段的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据向量三角函数形式的定义代入计算辐角即可； （2）先计算得，再代入化简即可； （3）设，代入化简，则，从而得到，最后计算得，从而得到其最值. 【解答过程】（1）由于，故，所以， 所以，因为，所以， 所以. （2） . . （3）设， 则 . 因为存在实数，使得成立，所以为实数， 所以， 因为，所以， 当时，，符合题意，点A的轨迹为单位圆的一部分． 设所表示的复数为， 则 记所表示的复数为，则， 故， 当时，. 第 1 页 共 31 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 复数全章10大重点题型归纳（必考50题专项训练） 【人教A版】 题型归纳 题型1 复数的相等  1．（24-25高一下·吉林·期中）已知为实数，（为虚数单位），则（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（24-25高一下·陕西·期中）已知复数，，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一·全国·课后作业）若，，则复数等于（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·天津滨海新区·期中）已知，其中，则__________. 5．（24-25高一下·山西·期中）已知复数． (1)若为纯虚数，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围． 题型2 已知复数的类型求参数 6．（24-25高一下·陕西咸阳·期末）若复数（其中为虚数单位）为纯虚数，则实数的值为（    ） A． B．1 C． D．0 7．（24-25高一下·福建福州·期中）已知复数为纯虚数，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 8．（24-25高一下·上海·期末）下列关于复数的命题中， ①若是实数，则；②若是虚数，则；③若是纯虚数，则． 真命题的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 9．（24-25高一下·天津和平·月考）设m∈R， 复数若z为纯虚数，则m=__________. 10．（24-25高一下·广东清远·期末）已知复数，求当实数为何值时； (1)为实数； (2)为纯虚数； (3)为虚数． 题型3 复数的几何意义 11．（24-25高一下·河北雄安·期末）已知i为虚数单位，若复数在复平面内对应的点位于第二象限，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 12．（24-25高一下·湖北黄冈·期末）已知在复平面内，为原点，向量对应的复数分别为，，那么向量对应复数的虚部为（    ） A．1 B．9 C． D． 13．（24-25高一下·河南驻马店·月考）已知复数（，i为虚数单位），且，当取得最小值时，则z在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 14．（24-25高一下·青海西宁·期中）若复数（其中为虚数单位），当对应的点在第三象限时，则实数的取值范围为_________． 15．（24-25高一下·山东菏泽·期中）在复平面内，复数，． (1)若复数对应的点在虚轴上，求实数的取值范围； (2)若复数对应的点在第二象限或第四象限，求实数的取值范围． 题型4 复数的模的几何意义 16．（2025·辽宁·模拟预测）已知复数分别满足，，则的最大值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 17．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）设，在复平面内对应的点为，则满足的点的集合形成的图形的面积为（    ） A． B． C． D． 18．（24-25高一下·河南·期中）已知复数满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 19．（24-25高一下·浙江杭州·期中）复数，满足，，则的最小值为__________. 20．（24-25高一·全国·单元测试）已知复数满足，且复数在复平面内的对应点为． (1)确定点的集合构成图形的形状； (2)求的最大值和最小值． 题型5 复数加、减法的几何意义的应用 21．（24-25高一下·河北邢台·月考）设复数满足，且，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 22．（2025·贵州六盘水·一模）在复平面内，O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形，且A，B，C三点对应的复数分别为，，，若，则=（    ） A．1+i B．1－i C．－1+i D．－1－i 23．（2025·福建漳州·一模）已知复数，在复平面内，复数，对应的点分别为，，且点与点关于直线对称，则（    ） A． B． C． D．5 24．（24-25高一·全国·课后作业）复平面上有A、B、C三点，点对应的复数为，对应的复数为，对应的复数为，则点的坐标为__________． 25．（24-25高一·全国·课后作业）已知复数，试在复平面上作出下列运算结果对应的向量： (1)；                 (2)． 题型6 根据复数的四则运算求复数特征 26．（24-25高一下·辽宁丹东·期末）已知复数满足（i为虚数单位），则对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 27．（24-25高一下·陕西咸阳·期末）已知为虚数单位，复数，则（    ） A．的虚部为 B． C． D．在复平面内对应的点在第四象限 28．（24-25高一下·新疆哈密·期末）已知复数，则对应的点位于复平面的（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 29．（24-25高一下·新疆和田·期末）设复数，则下列命题中正确的是___________填序号 ①； ②； ③在复平面上对应的点在第一象限； ④虚部为2． 30．（24-25高一下·河南安阳·期末）已知复数，，． (1)当时，求的值； (2)若是纯虚数，求的值； (3)若在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围． 题型7 复数范围内方程的根的问题 31．（24-25高一下·福建厦门·期末）已知是关于的方程 一个根，则（   ） A．-2 B．3 C．6 D．7 32．（24-25高一下·浙江台州·期末）已知虚数，是方程的两个不同的根，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 33．（24-25高一下·河南南阳·月考）已知关于的一元二次方程有两个虚根，且，则实数的值为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 34．（24-25高一下·山东临沂·期末）若是关于x的方程的一个根，则___________. 35．（24-25高一下·上海·期末）设，已知、是关于的方程的两个虚根． (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围； (3)若，，求和的值． 题型8 复数的三角表示 36．（24-25高一上·上海·课后作业）的三角形式是（    ） A． B． C． D． 37．（24-25高一上·湖南衡阳·期末）复数的辐角的主值为（   ） A． B． C． D． 38．（2025高一下·全国·专题练习）复数化为代数形式为（    ） A．i B． C． D． 39．（24-25高一·全国·单元测试）设，，则的三角形式为___________. 40．（2025高一·全国·专题练习）将下列复数的三角形式转化为代数形式，代数形式转化为三角形式． (1)； (2)； (3)； (4). 题型9 复数乘、除运算的三角表示 41．（24-25高一下·上海·期末）欧拉公式：是虚数单位，是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它非常巧妙地将三角函数与复指数函数关联了起来.若复数，复数满足，则的最大值为（     ） A．0 B． C．1 D．2 42．（25-26高三上·江西南昌·月考）设有复数，，令，则复数（   ） A． B． C． D． 43．（2025·湖北恩施·模拟预测）任意一个复数都可以表示成三角形式，即．棣莫弗定理是由法国数学家棣莫弗（1667－1754年）创立的，指的是：设两个复数，，则，已知复数，则（    ） A． B． C． D．1 44．（24-25高一下·福建泉州·月考）在复平面的上半平面内有一个菱形，，点所对应的复数是，则点所对应的复数为___________. 45．（24-25高一下·全国·课后作业）在复平面内，把复数对应的向量绕原点逆时针旋转后所得向量对应的复数为，绕原点顺时针旋转后所得向量对应的复数为. (1)求复数； (2)若复数，求复数. 题型10 复数新定义 46．（2025高三·全国·专题练习）已知是复数，定义关于复数的一种运算“”：当，时，（   ） A． B． C． D． 47．（2025高三·全国·专题练习）定义复数的大小关系：已知复数，，，，，．若或（且），称．若且，称．其余情形均为．复数u，v，w分别满足：，，，则下列各式一定错误的是（ ） A． B． C． D． 48．（2025·甘肃兰州·二模）定义运算，则满足（为虚数单位）的复数z在复平面内对应的点在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 49．（2025高一·全国·专题练习）在实数集中，我们定义的大小关系“”为全体实数排了一个“序”.类似地，我们在复数集上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“”.定义如下：对于任意两个复数，，“”当且仅当“”或“且”. 按上述定义的关系“”，给出下列命题： ①若，则； ②若，，则； ③若，则对于任意，. 其中正确的命题为___________.（填序号） 50．（24-25高一下·湖北·期中）形如的数称为复数的代数形式，而任何一个复数都可以表示成的形式，即其中为复数的模，叫做复数的辐角，我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作．复数叫做复数的三角形式．由复数的三角形式可得出，若，则．其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍． (1)试将写成三角形式（辐角取主值）； (2)复平面内，将对应的向量绕原点顺时针方向旋转，模长变为原来的2倍后，所得向量对应的复数为，求； (3)类比高中函数的定义，引入虚数单位，自变量为复数的函数称之为复变函数．已知复变函数．若存在实部不为0，且虚部大于0的复数和实数，使得成立，复数在复平面上对应的点为为坐标原点，点，以为边作正方形，其中在上方，求线段的最大值． 第 1 页 共 31 页 学科网（北京）股份有限公司 $