23.1 一次函数的概念课件 2025-2026学年人教版数学八年级下册

第二十三章 一次函数 23.1 一次函数的概念 1．理解一次函数、正比例函数的定义，掌握两者的包含关系． 2．会识别一次函数与正比例函数，能根据实际情境列出一次函数解析式． 3．初步感受“变量间均匀变化”的函数模型思想． 现实世界中的运动变化现象各种各样，有的简单，有的复杂．例如，在匀速直线运动中，任意相同时间的变化都会引起相同路程的变化，即路程随时间均匀变化．像这样，一个变量随另一个变量均匀变化的现象在现实世界中大量存在．例如， 高铁列车在匀速行驶的过程中，行驶的路 程s随时间t的变化；一年期存款到期时在 计算本息和的过程中，本息和y随本金x的 变化；登山队员在攀登高峰的过程中，所 在位置的气温y随海拔x的变化；等等． 3 在本章中，我们将学习刻画一个变量随另一个变量均匀变化这类现象的函数———一次函数．通过具体问题体会一次函数的意义，结合其图象讨论它的性质，体会其在解决运动变化问题中的作用．在此基础上，还将从一次函数的角度再次认识一次方程和不等式，并用一次函数解决一些实际问题． 函数是刻画运动变化现象中变量之间关系的数学模型．运动变化各种各样，函数也有不同的类型．一次函数是一类刻画简单的运动变化的函数，也是一类最基本的函数． 问题：某登山队大本营所在地的气温为5℃，海拔每升高1km气温下降6℃．登山队员由大本营向上登高xkm时，他们所在位置的气温是y℃．用函数解析式表示y与x的关系，并求当登山队员向上登高2km时，他们所在位置的气温． 分析：y随x变化的规律是：从大本营向上，当海拔增加xkm时，气温从5℃减少6x℃．因此，y关于x的函数解析式为 y＝5－6x． 这个函数也可以写为 y＝－6x＋5． 当登山队员由大本营向上登高2km时，他们所在位置的气温就是当x＝2时函数y＝－6x＋5的值，即 y＝－6×2＋5＝－7（℃）． 问题：某登山队大本营所在地的气温为5℃，海拔每升高1km气温下降6℃．登山队员由大本营向上登高xkm时，他们所在位置的气温是y℃．用函数解析式表示y与x的关系，并求当登山队员向上登高2km时，他们所在位置的气温． 思考：在下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，写出函数解析式． （1）铁的密度约为7.9g/cm3，铁块的质量m（单位：g）随它的体积V（单位：cm3）的变化而变化． 解：（1）变量铁块质量与体积之间对应的关系是函数关系，函数解析式为： m＝7.9V 思考：在下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，写出函数解析式． （2）每个练习本的厚度为0.5cm，一些练习本摞在一起的总厚度h（单位：cm）随练习本的个数n的变化而变化． 解：（2）变量练习本总厚度与个数之间对应的关系是函数关系，函数解析式为： h＝0.5n 思考：在下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，写出函数解析式． （3）一种计算成年人标准体重m（单位：kg）的方法是：以厘米为单位量出身高h，再减去常数105，所得差是m的值，m随h的变化而变化． 解：（3）变量标准体重与身高之间对应的关系是函数关系，函数解析式为： m＝h－105 思考：在下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，写出函数解析式． （4）把一个长10cm、宽5cm的矩形的长减少xcm，宽不变，矩形的面积y（单位：cm2）随x的变化而变化． 解：（4）变量矩形面积与长减少量之间对应的关系是函数关系，函数解析式为： y＝－5x＋50 这些函数解析式有哪些共同特征？ （1）m＝7.9V； （2）h＝0.5n； （3）m＝h－105； （4）y＝－5x＋50． 这些函数解析式都是常数k与自变量的积与常数b的和的形式． 一般地，形如y＝kx＋b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫作一次函数，其中x是自变量．特别地，当b＝0时，y＝kx＋b即y＝kx．形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数，叫作正比例函数，其中k叫作比例系数． 满足一次函数的条件： ①自变量的次数是 1 ；②一次项系数k≠0 ． 满足正比例函数的条件： ①自变量的次数是 1 ；②一次项系数k≠0 ；③常数项b＝0 ． 例：一个弹簧不挂物体时长12cm，在弹簧的弹性限度内，每挂1kg的物体，弹簧伸长2cm． （1）求弹簧的长度y（单位：cm）关于所挂物体质量x（单位：kg）的函数解析式； （2）当挂5kg的物体时，弹簧的长度是多少？ 解：（1）由每挂1kg的物体，弹簧伸长2cm可知，挂xkg的物体时，弹簧伸长2xcm．因此，y关于x的函数解析式为 y＝2x＋12． （2）把x＝5代入y＝2x＋12，得y＝2×5＋12＝22． 因此，当挂5kg的物体时，弹簧的长度是22cm． 【知识技能类练习】必做题： 【知识技能类练习】必做题： 【知识技能类练习】必做题： 【知识技能类练习】必做题： 【知识技能类练习】选做题： 【综合拓展类练习】 一次函数的概念 正比例函数的概念 一次函数的概念 y＝kx＋b （k，b是常数，k≠0） y＝kx （k是常数，k≠0） 【知识技能类作业】必做题： 【知识技能类作业】必做题： 【知识技能类作业】必做题： 【知识技能类作业】选做题： 【综合拓展类作业】 1．下列函数中，y是x的一次函数的是（      ） A． B． C． D． C 2．已知函数是正比例函数，则k的值为______． 1 3．写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？ (1)正方形的面积与它的边长之间的关系； (2)某地居民用电收费标准是0.53元/（），应缴电费y（元）与用电量x（）之间的关系； (3)小华用50元去文具店买黑色签字笔，已知黑色签字笔的单价是2元，小华剩余的费用y（元）与购买的黑色签字笔x（支）之间的关系． 解：（1）由正方形的面积是边长的平方得，，y不是x的一次函数，也不是x的正比例函数． （2）由应缴电费y（元）是收费标准0.53元/（）与用电量x（）的乘积得，，y是x的一次函数，也是x的正比例函数． （3）由剩余的费用y（元）是总钱数减去用去的钱得，，y是x的一次函数，但不是x的正比例函数． 4．若函数是关于的正比例函数，则常数的值等于（    ） A． B． C． D． B 5．已知函数是关于x的一次函数．求当时y的值． 解：∵函数是一次函数， ∴且， ∴， ∴函数解析式为， ∴当时，． 1．下列函数关系式：①；②；③；④其中一次函数的个数是(   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 B 2．已知长方形的周长为30cm，它的长为xcm，宽为ycm，则y与x之间的函数关系式为________________，该关系式________（填“是”或“不是”）一次函数． 是 3．已知函数，为常数．若该函数是正比例函数， (1)求的值；(2)指出这个正比例函数的比例系数． 解：（1）函数，为常数，是正比例函数， ，且， 解得； （2）由（1）知，， ， 即正比例函数的比例系数为． 4．下列说法错误的是（   ） A．是正比例函数，也是一次函数 B．是一次函数，也是正比例函数 C．商品单价一定，总金额与商品数量成正比 D．如果是一次函数，那么 B 5．已知函数． (1)m的取值满足什么条件时，y是x的一次函数？ (2)m，n的取值满足什么条件时，y是x的正比例函数？ 解：（1）由题意得且， 解，可得，∴或， 解，可得， ∴当时函数是一次函数； （2）由题意得且，且， 解，可得，∴或， 解，可得，解，可得， 综上所述，当、时，函数是正比例函数． $