第9章 二元一次方程组（复习讲义，4知识&9题型+分层训练）数学新教材沪教版五四制六年级下册

第9章 二元一次方程组（复习讲义） 1.精准理解二元一次方程（组）的定义、解的概念，能准确辨析相关概念并检验解的正确性。 2.熟练掌握代入消元法、加减消元法，能根据方程组结构灵活选法，规范求解并检验。 3.掌握列二元一次方程组解应用题的六步法（审→设→列→解→验→答），能提取等量关系建模。 4.初步了解简单三元一次方程组，掌握“两次消元”转化为二元的方法。 知识点01二元一次方程组的概念 二元一次方程：含两个未知数，含未知数的项次数为1的整式方程，形式：（），有无数组解。 二元一次方程组：由两个一次方程组成，含两个未知数的整式方程组，解为公共解（唯一组）。 解的检验：将数值代入每个方程，同时满足左右相等才是解。 知识点02二元一次方程组的解法（核心：消元→化二元为一元） （1）代入消元法（适用：某未知数系数为±1） 步骤：①变形（用一个未知数表示另一个，如）；②代入（消元得一元一次方程）；③求解（求一个未知数，回代求另一个）；④检验。 示例：，代入得，解得，。 （2）加减消元法（适用：同一未知数系数相同/相反/成倍数） 步骤：①化同系数（找最小公倍数，变形方程）；②加减消元（系数相反加、相同减）；③求解、回代、检验。 示例：，①×3+②×5得，，。 知识点03二元一次方程组的应用（六步法） 1.审：分析题意，找两个等量关系； 2.设：设两个未知数（直接/间接设元）； 3.列：根据等量关系列方程组； 4.解：用代入/加减法求解； 5.验：检验解是否符合实际意义； 6.答：规范作答。 常见题型：鸡兔同笼、行程（相遇/追及）、工程、购物、分配、年龄问题。 知识点04 简单的三元一次方程组 定义：含三个未知数，每项次数为1的整式方程组； 解法：两次消元（先消一个未知数，转化为二元一次方程组，再求解）。 题型一 二元一次方程（组）的概念 【例1-1】（25-26六年级下·上海静安·期中）下列是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【例1-2】（24-25六年级下·上海闵行·期末）已知是关于、的二元一次方程，则________． 【变式1-1】（24-25六年级下·上海宝山·期末）若是关于、的二元一次方程，则的值为__________． 【变式1-2】（24-25六年级下·上海徐汇·期末）下列方程组，属于二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25六年级下·上海·期末）已知是关于，的二元一次方程，则________． 题型二 二元一次方程（组）解的检验与求值 【例2-1】（25-26六年级下·上海静安·期中）已知是方程的解，则________． 【例2-2】（24-25六年级下·上海奉贤·期中）方程组的解（    ）方程的解． A．一定是 B．一定不是 C．不一定是 D．以上都不对 【变式2-1】（24-25六年级下·上海青浦·期末）已知是二元一次方程的一个解，则________． 【变式2-2】（24-25六年级下·上海闵行·期末）______方程组的解（填“是”或“不是”）． 题型三 二元一次方程组的解法代入消元法（基础） 【例3】（24-25六年级下·上海奉贤·期中）二元一次方程组的解为______． 【变式3-1】（24-25六年级下·上海徐汇·期末）解方程组：． 【变式3-2】（24-25六年级下·上海金山·期末）解方程组： 【变式3-3】（24-25六年级下·上海·期末）解二元一次方程组： 题型四 二元一次方程组的解法加减消元法（高频） 【例4】（25-26六年级下·上海静安·期中）方程组的解为______． 【变式4-1】（25-26六年级下·上海静安·期中）解方程组： 【变式4-2】（25-26六年级下·上海·期中）如果方程组的解也是二元一次方程的解，求 【变式4-3】（24-25六年级下·上海·期中）解方程组：． 题型五 已知二元一次方程组的解的情况求参数 【例5】（25-26六年级下·上海·期中）关于，的方程组有无数多个解，则___． 【变式5-1】（25-26六年级下·上海·期中）如果方程组，中与的值相等，那么的值为___________． 【变式5-2】（24-25六年级下·上海杨浦·期末）满足，且，则___________． 【变式5-3】（24-25六年级下·上海·期末）关于的方程组有无数组解，则________． 题型六 二元一次方程组的特殊解法与构造（压轴） 【例6-1】（25-26六年级下·上海·期中）解方程组：． 【例6-2】（25-26六年级下·上海静安·期中）设有个数，它们每个数的值只能取三个数中的一个，且，则的值为_____． 【变式6-1】（25-26六年级下·上海静安·期中）对于有理数，规定新运算：，其中、是常数，已知，，求的比值． 【变式6-2】（25-26六年级下·上海·期中）阅读下列解方程组的方法，然后解决问题． 解方程组时，我们如果直接考虑消元，那将是比较繁杂的，而采用下面的解法比较简便． 解：由①②，得，所以．③ 将③，得．④ ②，得，将代入③，得，所以原方程组的解是 (1)请采用上面的方法解方程组 (2)已知关于的方程组，该方程组的解为___________． 题型七 二元一次方程组的应用行程问题（压轴重难） 【例7】甲，乙两车分别从A、B两站同时出发相向而行，经过3小时两车相遇，此时甲车比乙车多行18千米，相遇后，甲车再行小时就到达B站．求甲，乙两车速度． 【变式7-1】（24-25六年级下·上海松江·期末）小敏去相距6千米的外滩游玩，她决定先步行一段路程，之后乘坐观光车前往．整个行程共用时1小时，且在步行与换乘中的耗时忽略不计．已知小敏步行时的平均速度是每小时4千米，乘坐观光车时的平均速度是每小时12千米．请计算小敏步行和乘坐观光车分别所用的时间． 【变式7-2】甲、乙两地相距74千米，途中有上坡、平路和下坡．一汽车从甲地下午1点出发到乙地是下午3点30分，停留30分钟后从乙地出发，6点48分返回甲地．已知汽车在上坡路每小时行驶20千米，平路每小时行驶30千米，下坡每小时行驶40千米，求甲地到乙地的行驶过程中平路、上坡、下坡分别是多少千米？ 【变式7-3】（24-25六年级下·上海金山·期末）某快递公司为应对“618”购物节，根据网站预售情况，提前安排了分拣员，如果名熟练分拣员和名新手分拣员一天能分拣件包裹；名熟练分拣员和名新手分拣员一天能分拣件包裹． (1)每名熟练分拣员和新手分拣员每天分别可以分拣多少件包裹？ (2)如果该公司为了按时完成配送任务，快递车按原速度行驶，刚好能在小时内送完所有包裹；若将速度提高千米小时，行驶小时后，还剩千米的路程未完成配送．求快递车的总配送路程是多少千米？ 题型八 二元一次方程组的应用购物分配问题（压轴重点） 【例8-1】（23-24六年级下·上海闵行·期末）某学校5月开展校园科技节，已知六年级（1）班和（2）班各有人，两个班各有一部分同学参加了模型比赛，其中（1）班参加人数的倍比（2）班没参加的人数多人，而（2）班参加的人数比（1）班没参加的人数的一半还少人．求这两个班各有多少人参加模型比赛？ 【例8-2】（24-25六年级下·上海黄浦·期末）2025年央视春晚节目《秧》别出心裁，独树一帜，人机共舞为文化传承搭建了新的桥梁，不仅舞出了精彩的节目，更是舞出了传统文化与现代科技交织的艺术新境界．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率．拟购买、两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台型机器人、3台型机器人，共需260万元；若买3台型机器人、2台型机器人，共需360万元． (1)求、两种型号智能机器人的单价； (2)该企业预计每天需要分拣200万件快递，现准备购买、两种型号智能机器人共10台．已知型机器人每台每天可分拣22万件；型机器人每台每天可分拣18万件，则企业要购买型和型机器人各几台？ 【变式8-1】（24-25六年级下·上海松江·期末）根据以下素材，探索完成任务． 素材1 某体育用品商场销售、两款足球．该商场3月份购进20个款足球和40个款足球共需4400元；4月份购进10个款足球和30个款足球共需花费3000元．        素材2 该商场决定5月份再购进一批、款足球（、两款足球都需要购买），另购进款足球作为赠品（进价为每个20元），总进货款为4800元．为促进消费，商场给出了如下促销方案：买3个款足球送1个款足球，买3个款足球送2个款足球． 问题解决 任务1 （1）求该商场购进款、款足球的单价分别为多少元？ 任务2 （2）如果5月份商场购进的足球数量恰好符合上述促销方案，那么5月份该商场购进、、款足球各多少个？（写出所有的购买方案） 【变式8-2】（24-25六年级下·上海普陀·期末）随着对人们交通安全意识的增强，某城镇居民开始积极购买头盔以保证骑行安全．某小店购进A种头盔3个和B种头盔4个共需345元，A种头盔4个和B种头盔3个共需390元． (1)A、B两种头盔的单价各是多少元？ (2)该店计划正好用450元购进A、B两种头盔共12个，销售1个A种头盔可获利35元，销售1个B种头盔可获利15元．假如这些头盔全部售出，该店共可获利多少元？ 【例8-3】（24-25六年级下·上海宝山·期末）某工厂用如图1所示的长方形和正方形纸板，做成如图2所示的竖式与横式两种长方体无盖纸盒． (1)现有长方形纸板170张，正方形纸板80张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完．求两种纸盒生产个数； (2)工厂共有52名工人，每个工人一天能生产60张长方形纸板或者100张正方形纸板，已知1个竖式纸盒与2个横式纸盒配套，问如何分配工人能使一天生产的竖式纸盒与横式纸盒配套？ (3)如果有长方形纸板170张，正方形纸板82张，做出上述两种纸盒后剩余2张纸板，问两种纸盒各生产了多少个？请直接写出结论． 题型九 三元一次方程组 【例9-1】（24-25六年级下·上海·期末）已知方程组，则的值_____． 【例9-2】（24-25六年级下·上海宝山·期末）解方程组：． 【变式9-1】（24-25六年级下·上海·月考）解方程组：． 【变式9-2】（24-25六年级下·上海宝山·期末）数学活动：探究不定方程 小川，小渝两位同学在学习方程过程中发现，三元一次方程组，虽然解不出具体数值，但可以解出，的值. (1)小川的方法：整理可得：； 整理可得：；∴ 小渝的方法：：______________________；∴. (2)已知，试求解的值. 【变式9-3】（24-25六年级下·上海闵行·期末）小红家需要购一台冰箱、一台洗衣机和一台微波炉，请你来给他们当消费顾问，帮他们做出选择． 信息一、财联社1月19日电，据“上海商务”官方公众号，上海进一步做好国家家电以旧换新补贴工作．2025年1月20日起，对购买二级能效电器给与补贴（不超过1500元），对购买一级能效电器给与的补贴（不超过2000元）（注：电器国补按每一台计算） 信息二、小红家在某商店已经看中三种商品各有两个不同型号（见左表），另有一张该商店的五一促销海报（见右表） 能效等级 标价（元） 冰箱A 1级 6000 冰箱B 2级 5000 洗衣机A 1级 4000 洗衣机B 2级 2400 微波炉A 1级 900 微波炉B 2级 600 五一优惠大促 ☆倡导绿色节能，“国补”不孤单！☆ 活动时间：5月1日－7日 凡在本店购买电器的顾客，给您再“补一补” 国补后  满6000元的再减600元 国补后  满8000元的再减1000元 国补后  满10000元的再减1500元 本店及所有员工为您提供最优质的服务！ (1)5月1日前，如果在该店购置一台价值8000元的一级能效的电器，那么国补后只需要支付多少钱？ (2)小红家如果购买三种电器都选择A型号，问导购还有没有其他优惠，商店导购告诉小红，说她每卖出一台电器，都可以获得一些提成，可以把自己从小红家购买的电器所获得的提成让出当做优惠．导购她前天卖出了1台冰箱A和2台洗衣机A，获得了700元提成，昨天她卖出了1台洗衣机A和3台微波炉A，获得了500元提成，今天已经卖出了2台冰箱A和1台微波炉A，获得了700元提成．请问，导购能让给小红家多少钱的优惠？ (3)小红家如果在商店五一优惠期间购买了三种电器都选择A型号，请问，小红在享受国家补贴后，又享受了商店优惠大促，最后又得到了导购的优惠，最终小红家花了多少钱？ 基础巩固通关测 一、单选题 1．（23-24六年级下·上海·阶段检测）已知方程，用含x的式子表示y，可表示为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24六年级下·上海宝山·期末）古书中有一个“隔沟计算”的问题，其大意如下：甲乙两人隔一条沟放牧，二人心里暗中合计．甲对乙说：“我得到你的九只羊，我的羊就比你多一倍．”乙对甲说：“我得到你的九只羊，咱俩的羊一样多．”设甲有羊只，乙有羊只，那么符合题意的方程组是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25六年级下·上海嘉定·期末）下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（2024六年级下·上海·专题练习）方程组的解中和的值互为相反数，则的值是__． 5．（24-25六年级下·上海·阶段检测）观察下表可知关于，的二元一次方程组的解为_______． 的解 的解 0 1 … 1 5 … 6 4 2 … 3 2 0 … 6．（23-24六年级下·上海虹口·期末）将方程变形为用含x的式子表示y，那么______． 7．（24-25六年级下·上海·月考）若是关于，的二元一次方程，则的值是_______． 三、解答题 8．食品安全标准是关乎民生的重大的事情，在食品中添加过量的添加剂对人体健康有害，但在日常生活中适量的、科学的添加一些添加剂对人体健康无害而且有利于提高食品的口感，方便储存和运输等，某饮料加工厂需生产A、B两种饮料共1500桶，需加入同种食品添加剂3400克，其中饮料每桶需添加添加剂2克，饮料每桶需添加添加剂3克，求饮料加工厂生产了两种饮料各多少桶？ 9．一项工程，甲队单独做要20天完成，乙队单独做要15天完成，丙队单独做要12天完成．按原计划这项工程要求在7天内完成，现在乙、丙两队先合作若干天，后来为加快进度，甲队也同时加入这项工程，这样比原定时间提前一天完成任务．乙、丙两队合作了多少天？甲队加入后又做了多少天？ 10．（24-25六年级下·上海·期末）解二元一次方程组． (1) (2) 能力提升进阶练 1．（24-25六年级下·上海金山·期末）如图是由块颜色不同的正方形卡片无重叠无缝隙地拼成的长方形，中间最小的正方形边长为．若设标有序号的两个正方形边长分别为，，则根据题意可得到的二元一次方程组为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25六年级下·上海闵行·期末）我国古代夏禹时期的“洛书”（如图①所示），就是一个三阶“幻方”（如图②所示）．观察图①、图②，我们可以寻找出“九宫图”中各数字之间的关系．在显示部分数据的新“幻方”（如图③所示）中，根据寻找出的关系，可推算出，的值分别为______． 3．某汽车销售公司为提升业绩，计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解1辆型汽车，3辆型汽车的进价共计70万元；3辆型汽车，2辆型汽车的进价共计105万元． (1)求两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用250万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均有购买），请你通过计算写出所有购买方案． 4．（24-25六年级下·上海·期末）幻方，又称“魔方阵”，是一种古老而有趣的数学游戏．最早可以追溯到夏禹时代的“洛书”．三阶幻方是指在一个的方格中填入9个不同的整数，使得每一行、每一列以及两条对角线上的三个数之和都相等，这个共同的数值称为“幻和” (1)如图①所示幻方，求x的值； (2)如图②所示幻方，求a，b的值； (3)如图③所示幻方，若m，a为正整数，写出m，a可能的所有取值，并将对应的幻方填写完整． 5．某校组织350名学生去研学，已知1辆A型车和2辆B型车可以载学生110人；3辆A型车和1辆B型车可以载学生130人． (1)A型、B型车每辆可分别载学生多少人？ (2)如果350名学生一次送完，且每辆车都坐满，请你设计租车方案； (3)若租一辆型车需要1000元，一辆型车需1200元，怎样租车费用最少？ 6．（24-25六年级下·上海·月考）阅读下列材料： 问题：某饭店工作人员第一次买了13只鸡、5只鸭、9只鹅共用了925元．第二次买了2只鸡、4只鸭、3只鹅共用了320元，试问第三次买了鸡、鸭、鹅各一只共需多少元？（假定三次购买鸡、鸭、鹅单价不变） 解：设鸡、鸭、鹅的单价分别为x，y，z元．根据题意，得方程组： 上述方程组可变形为： 设，，上述方程组可化为： 得： ，即 ． 答：第三次买鸡、鸭、鹅各一只共需 元． 阅读后，细心的你，可以解决下列问题： (1)上述材料中， ； (2)选择题：上述材料中的解答过程运用了 思想方法来指导解题． A．整体    B．数形结合    C．分类讨论 (3)某校体育组购买体育用品甲、乙、丙、丁的件数和用钱金额如下表： 甲 乙 丙 丁 用钱金额/元 第一次购买件数 5 4 3 1 1882 第二次购买件数 9 7 5 1 2764 根据表格中提供的数据信息填空，如果购买每种体育用品各一件，共需 元． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第9章 二元一次方程组（复习讲义） 1.精准理解二元一次方程（组）的定义、解的概念，能准确辨析相关概念并检验解的正确性。 2.熟练掌握代入消元法、加减消元法，能根据方程组结构灵活选法，规范求解并检验。 3.掌握列二元一次方程组解应用题的六步法（审→设→列→解→验→答），能提取等量关系建模。 4.初步了解简单三元一次方程组，掌握“两次消元”转化为二元的方法。 知识点01二元一次方程组的概念 二元一次方程：含两个未知数，含未知数的项次数为1的整式方程，形式：（），有无数组解。 二元一次方程组：由两个一次方程组成，含两个未知数的整式方程组，解为公共解（唯一组）。 解的检验：将数值代入每个方程，同时满足左右相等才是解。 知识点02二元一次方程组的解法（核心：消元→化二元为一元） （1）代入消元法（适用：某未知数系数为±1） 步骤：①变形（用一个未知数表示另一个，如）；②代入（消元得一元一次方程）；③求解（求一个未知数，回代求另一个）；④检验。 示例：，代入得，解得，。 （2）加减消元法（适用：同一未知数系数相同/相反/成倍数） 步骤：①化同系数（找最小公倍数，变形方程）；②加减消元（系数相反加、相同减）；③求解、回代、检验。 示例：，①×3+②×5得，，。 知识点03二元一次方程组的应用（六步法） 1.审：分析题意，找两个等量关系； 2.设：设两个未知数（直接/间接设元）； 3.列：根据等量关系列方程组； 4.解：用代入/加减法求解； 5.验：检验解是否符合实际意义； 6.答：规范作答。 常见题型：鸡兔同笼、行程（相遇/追及）、工程、购物、分配、年龄问题。 知识点04 简单的三元一次方程组 定义：含三个未知数，每项次数为1的整式方程组； 解法：两次消元（先消一个未知数，转化为二元一次方程组，再求解）。 题型一 二元一次方程（组）的概念 【例1-1】（25-26六年级下·上海静安·期中）下列是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵ 二元一次方程组需要满足三个条件：①方程组总共含有两个未知数；②每个方程都是整式方程；③每个方程中未知数的次数为1． 对各选项判断如下： A 选项中第二个方程不是整式方程，故A 选项不符合要求； B 选项中方程组共含两个未知数，两个方程都是整式方程，且未知数次数都为1，符合二元一次方程组定义，故B选项符合要求； C 选项中方程组共含三个未知数，不符合二元一次方程组定义，故C选项不符合要求； D 选项中第二个方程的项次数为2，不符合二元一次方程组定义，故D选项不符合要求． 【例1-2】（24-25六年级下·上海闵行·期末）已知是关于、的二元一次方程，则________． 【答案】 【详解】解：∵是关于、的二元一次方程， ∴，， 解得，， ∴， 故答案为：． 【变式1-1】（24-25六年级下·上海宝山·期末）若是关于、的二元一次方程，则的值为__________． 【答案】1 【详解】解：由关于，的方程是二元一次方程， 故， ， 解得，且， 故， 故答案为：1． 【变式1-2】（24-25六年级下·上海徐汇·期末）下列方程组，属于二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A. 方程组含三个未知数x、y、z，不符合“二元”条件，选项错误； B. 第一个方程含二次项，且含三个未知数x、y、z，不符合“二元一次”条件，选项错误； C. 第一个方程为分式方程，非整式方程，不符合条件，选项错误； D. 方程组含两个未知数x、y，且两个方程均为一次整式方程，符合二元一次方程组的定义，选项正确； 故选：D． 【变式1-3】（24-25六年级下·上海·期末）已知是关于，的二元一次方程，则________． 【答案】 【详解】解：由题可得， 解得， 故答案为：． 题型二 二元一次方程（组）解的检验与求值 【例2-1】（25-26六年级下·上海静安·期中）已知是方程的解，则________． 【答案】2 【详解】解：将代入方程中， 得， 即， 则． 【例2-2】（24-25六年级下·上海奉贤·期中）方程组的解（    ）方程的解． A．一定是 B．一定不是 C．不一定是 D．以上都不对 【答案】A 【详解】解：对于方程组， ∵方程组的解是能使方程组中两个方程同时成立的未知数的值， ∴方程组的解一定满足其中的每一个方程， 而是方程组中的第一个方程， ∴方程组的解一定是方程的解． 故选：A ． 【变式2-1】（24-25六年级下·上海青浦·期末）已知是二元一次方程的一个解，则________． 【答案】 【详解】解：∵是二元一次方程的一个解， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式2-2】（24-25六年级下·上海闵行·期末）______方程组的解（填“是”或“不是”）． 【答案】不是 【详解】解：把代入原方程组 ①方程左边右边， ②方程左边右边， 所以不是原方程组的解． 故答案为：不是． 题型三 二元一次方程组的解法代入消元法（基础） 【例3】（24-25六年级下·上海奉贤·期中）二元一次方程组的解为______． 【答案】 【详解】解：， 将代入得：， 解得：， 将代入得：， ∴， 故答案为：． 【变式3-1】（24-25六年级下·上海徐汇·期末）解方程组：． 【答案】 【详解】解：， 由②得：③ 将③代入①得：， 解得：， 将代入③得：， 原方程组的解为：． 【变式3-2】（24-25六年级下·上海金山·期末）解方程组： 【答案】 【详解】解： 由①得，③， 将③代入②得，， 解得：， 将代入③得，， ∴原方程组的解为：． 【变式3-3】（24-25六年级下·上海·期末）解二元一次方程组： 【答案】 【详解】解：把①代入②得：， 解得， 把代入①得：， ∴方程组的解为． 题型四 二元一次方程组的解法加减消元法（高频） 【例4】（25-26六年级下·上海静安·期中）方程组的解为______． 【答案】 【详解】解： ，得， 解得， 把代入①，得， 解得， 方程组的解为． 【变式4-1】（25-26六年级下·上海静安·期中）解方程组： 【答案】 【详解】解： ，得： ， ， 解得：， 将代入，得： ， ， 解得：． ． 【变式4-2】（25-26六年级下·上海·期中）如果方程组的解也是二元一次方程的解，求 【答案】 【详解】解：∵方程组的解也是二元一次方程的解， ∴方程组的解也是二元一次方程的解， 由①②得：，解得， 将代入②得：，解得， 将代入方程得：， 解得． 【变式4-3】（24-25六年级下·上海·期中）解方程组：． 【答案】 【详解】解：将原方程组进行化简整理可得： ， 得：， 得：， 解得：， 把代入②得：， 解得：， ∴原方程组的解为：． 题型五 已知二元一次方程组的解的情况求参数 【例5】（25-26六年级下·上海·期中）关于，的方程组有无数多个解，则___． 【答案】 【详解】解：根据题意可知，方程组中的两个方程相同，据此可得 解方程组，得 所以，． 【变式5-1】（25-26六年级下·上海·期中）如果方程组，中与的值相等，那么的值为___________． 【答案】1 【详解】解：与相等， ，即， 解得， 把代入得： ， 解得． 【变式5-2】（24-25六年级下·上海杨浦·期末）满足，且，则___________． 【答案】 【详解】解： 得：，解得， 把滴入①得：，解得， ∴原方程组的解为， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式5-3】（24-25六年级下·上海·期末）关于的方程组有无数组解，则________． 【答案】 【详解】解：， 得：， 方程组有无数组解， ，， 解得：，， ∴． 故答案为：． 题型六 二元一次方程组的特殊解法与构造（压轴） 【例6-1】（25-26六年级下·上海·期中）解方程组：． 【答案】 【详解】解：令， 原方程组为， 得，解得， 将代入得，解得， ， 得，解得， 将代入得，解得， ． 【例6-2】（25-26六年级下·上海静安·期中）设有个数，它们每个数的值只能取三个数中的一个，且，则的值为_____． 【答案】 【详解】解：设个数中含有a个2，b个， 根据题意得， ， 解得， ∴． 【变式6-1】（25-26六年级下·上海静安·期中）对于有理数，规定新运算：，其中、是常数，已知，，求的比值． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴， 解得：， ∴． 【变式6-2】（25-26六年级下·上海·期中）阅读下列解方程组的方法，然后解决问题． 解方程组时，我们如果直接考虑消元，那将是比较繁杂的，而采用下面的解法比较简便． 解：由①②，得，所以．③ 将③，得．④ ②，得，将代入③，得，所以原方程组的解是 (1)请采用上面的方法解方程组 (2)已知关于的方程组，该方程组的解为___________． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ，得． ∴③． 将，得， ，得． 把代入③，得， ∴原方程组的解为； （2）解：， ，得， ， 将，得， ，得． 解得， 把代入③，得， ∴原方程组的解为． 题型七 二元一次方程组的应用行程问题（压轴重难） 【例7】甲，乙两车分别从A、B两站同时出发相向而行，经过3小时两车相遇，此时甲车比乙车多行18千米，相遇后，甲车再行小时就到达B站．求甲，乙两车速度． 【答案】甲车速度为36千米/小时，乙车速度为30千米/小时 【详解】解：设甲车速度为x千米/小时，乙车速度为y千米/小时， 由题意可得：， 解得：， ∴甲车速度为36千米/小时，乙车速度为30千米/小时． 【变式7-1】（24-25六年级下·上海松江·期末）小敏去相距6千米的外滩游玩，她决定先步行一段路程，之后乘坐观光车前往．整个行程共用时1小时，且在步行与换乘中的耗时忽略不计．已知小敏步行时的平均速度是每小时4千米，乘坐观光车时的平均速度是每小时12千米．请计算小敏步行和乘坐观光车分别所用的时间． 【答案】小敏步行所用的时间为小时，乘坐观光车所用的时间为小时 【详解】解：设小敏步行所用的时间为小时，乘坐观光车所用的时间为小时， 根据题意得， 解得， 答：小敏步行所用的时间为小时，乘坐观光车所用的时间为小时． 【变式7-2】甲、乙两地相距74千米，途中有上坡、平路和下坡．一汽车从甲地下午1点出发到乙地是下午3点30分，停留30分钟后从乙地出发，6点48分返回甲地．已知汽车在上坡路每小时行驶20千米，平路每小时行驶30千米，下坡每小时行驶40千米，求甲地到乙地的行驶过程中平路、上坡、下坡分别是多少千米？ 【答案】甲地到乙地的行驶过程中平路是30千米，上坡路是16千米，下坡路是28千米． 【详解】解：从下午1点到下午3点30分共2.5小时，从下午4点到下午6点48分共2.8小时． 设甲地到乙地的行驶过程中平路是x千米，上坡路是y千米，则下坡路是千米， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， ∴． 答：甲地到乙地的行驶过程中平路是30千米，上坡路是16千米，下坡路是28千米． 【变式7-3】（24-25六年级下·上海金山·期末）某快递公司为应对“618”购物节，根据网站预售情况，提前安排了分拣员，如果名熟练分拣员和名新手分拣员一天能分拣件包裹；名熟练分拣员和名新手分拣员一天能分拣件包裹． (1)每名熟练分拣员和新手分拣员每天分别可以分拣多少件包裹？ (2)如果该公司为了按时完成配送任务，快递车按原速度行驶，刚好能在小时内送完所有包裹；若将速度提高千米小时，行驶小时后，还剩千米的路程未完成配送．求快递车的总配送路程是多少千米？ 【答案】(1)每名熟练分拣员每天可以分拣件包裹，新手分拣员每天可以分拣件包裹 (2)快递车的总配送路程是千米 【详解】（1）解：设每名熟练分拣员每天可以分拣件包裹，新手分拣员每天可以分拣件包裹，根据题意得， 解得： 答：每名熟练分拣员每天可以分拣件包裹，新手分拣员每天可以分拣件包裹； （2）解：设快递车原速度为 千米/小时，总路程为千米，根据题意得 解得： 答：快递车的总配送路程是千米 题型八 二元一次方程组的应用购物分配问题（压轴重点） 【例8-1】（23-24六年级下·上海闵行·期末）某学校5月开展校园科技节，已知六年级（1）班和（2）班各有人，两个班各有一部分同学参加了模型比赛，其中（1）班参加人数的倍比（2）班没参加的人数多人，而（2）班参加的人数比（1）班没参加的人数的一半还少人．求这两个班各有多少人参加模型比赛？ 【答案】六年级（1）班人；六年级（2）班人 【详解】解：设六年级（1）班参加人数为人，六年级（2）班参加人数为人， 由题意可得 解得： 答：六年级（1）班参加人数为人，六年级（2）班参加人数为人． 【例8-2】（24-25六年级下·上海黄浦·期末）2025年央视春晚节目《秧》别出心裁，独树一帜，人机共舞为文化传承搭建了新的桥梁，不仅舞出了精彩的节目，更是舞出了传统文化与现代科技交织的艺术新境界．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率．拟购买、两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台型机器人、3台型机器人，共需260万元；若买3台型机器人、2台型机器人，共需360万元． (1)求、两种型号智能机器人的单价； (2)该企业预计每天需要分拣200万件快递，现准备购买、两种型号智能机器人共10台．已知型机器人每台每天可分拣22万件；型机器人每台每天可分拣18万件，则企业要购买型和型机器人各几台？ 【答案】(1)种型号智能机器人的单价为80万元，种型号智能机器人的单价为60万元 (2)该企业要购买型机器人5台，型机器人5台 【详解】（1）解：设种型号智能机器人的单价为万元，种型号智能机器人的单价为万元， 由题意得， 解得， 答：种型号智能机器人的单价为80万元，种型号智能机器人的单价为60万元； （2）解：设该企业要购买型机器人台，型机器人台， 由题意得， 解得， 答：该企业要购买型机器人5台，型机器人5台． 【变式8-1】（24-25六年级下·上海松江·期末）根据以下素材，探索完成任务． 素材1 某体育用品商场销售、两款足球．该商场3月份购进20个款足球和40个款足球共需4400元；4月份购进10个款足球和30个款足球共需花费3000元．            素材2 该商场决定5月份再购进一批、款足球（、两款足球都需要购买），另购进款足球作为赠品（进价为每个20元），总进货款为4800元．为促进消费，商场给出了如下促销方案：买3个款足球送1个款足球，买3个款足球送2个款足球． 问题解决 任务1 （1）求该商场购进款、款足球的单价分别为多少元？ 任务2 （2）如果5月份商场购进的足球数量恰好符合上述促销方案，那么5月份该商场购进、、款足球各多少个？（写出所有的购买方案） 【答案】（1）该商场购进款、款足球的单价分别为元和元（2）方案1该商场购进A、、款足球分别为51、15、27个；方案2该商场购进A、、款足球分别为30、30、30个；方案3该商场购进A、、款足球分别为9、45、33个． 【详解】解：（1）设该商场购进款、款足球的单价分别为元和元，由题意，得： ， 解得：， 答：该商场购进款、款足球的单价分别为元和元； （2）设5月该商场购进A款足球个、款足球个， 根据促销方案：买3个A款足球送1个款足球，买3个款足球送2个款足球， ∵5月商场购进的足球数量恰好符合上述促销方案， ∴购进款足球个． 根据题意，得， 化简，得． ∴， ∵A、两款足球都需要购买，、均为正整数， ∴解得，，． 答：方案1该商场购进A、、款足球分别为51、15、27个； 方案2该商场购进A、、款足球分别为30、30、30个； 方案3该商场购进A、、款足球分别为9、45、33个． 【变式8-2】（24-25六年级下·上海普陀·期末）随着对人们交通安全意识的增强，某城镇居民开始积极购买头盔以保证骑行安全．某小店购进A种头盔3个和B种头盔4个共需345元，A种头盔4个和B种头盔3个共需390元． (1)A、B两种头盔的单价各是多少元？ (2)该店计划正好用450元购进A、B两种头盔共12个，销售1个A种头盔可获利35元，销售1个B种头盔可获利15元．假如这些头盔全部售出，该店共可获利多少元？ 【答案】(1)A种头盔的单价为元，B种头盔的单价为元 (2)这些头盔全部售出，该店共可获利元 【详解】（1）解：设A种头盔的单价为元，B种头盔的单价为元， ∴， 解得，， ∴A种头盔的单价为元，B种头盔的单价为元； （2）解：设购进A种头盔个，则购进B种头盔个， ∴， 解得，， ∴购进A种头盔个，则购进B种头盔个， ∵销售1个A种头盔可获利35元，销售1个B种头盔可获利15元， ∴（元）， ∴这些头盔全部售出，该店共可获利元． 【例8-3】（24-25六年级下·上海宝山·期末）某工厂用如图1所示的长方形和正方形纸板，做成如图2所示的竖式与横式两种长方体无盖纸盒． (1)现有长方形纸板170张，正方形纸板80张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完．求两种纸盒生产个数； (2)工厂共有52名工人，每个工人一天能生产60张长方形纸板或者100张正方形纸板，已知1个竖式纸盒与2个横式纸盒配套，问如何分配工人能使一天生产的竖式纸盒与横式纸盒配套？ (3)如果有长方形纸板170张，正方形纸板82张，做出上述两种纸盒后剩余2张纸板，问两种纸盒各生产了多少个？请直接写出结论． 【答案】(1)生产竖式纸盒20个，横式纸盒30个 (2)分配40个工人生产长方形纸板，12个工人生产正方形纸板，能使一天生产的竖式纸盒与横式纸盒配套 (3)能生产竖式纸盒20个，横式纸盒30个；或生产竖式纸盒19个，横式纸盒31个；或生产竖式纸盒18个，横式纸盒32个 【详解】（1）解：设生产竖式纸盒个，横式纸盒个． 根据题意，得， 解得 答：生产竖式纸盒20个，横式纸盒30个． （2）设分配个工人生产长方形纸板，则个工人生产正方形纸板． 根据题意，得， 解得，（人） 答：分配40个工人生产长方形纸板，12个工人生产正方形纸板，能使一天生产的竖式纸盒与横式纸盒配套． （3）①如果剩余两张正方形纸板：由（1）可知能生产竖式纸盒20个，横式纸盒30个； ②如果剩余一张正方形纸板、一张长方形纸板： 设生产竖式纸盒个，横式纸盒个． 根据题意，得， 解得 所以能生产竖式纸盒19个，横式纸盒31个； ③如果剩余两张长方形纸板： 设生产竖式纸盒个，横式纸盒个． 根据题意，得， 解得 则能生产竖式纸盒18个，横式纸盒32个． 综上所述：能生产竖式纸盒20个，横式纸盒30个；或生产竖式纸盒19个，横式纸盒31个；或生产竖式纸盒18个，横式纸盒32个． 题型九 三元一次方程组 【例9-1】（24-25六年级下·上海·期末）已知方程组，则的值_____． 【答案】5 【详解】解：， 由得：， 将③代入①得：， 则， 故答案为：5． 【例9-2】（24-25六年级下·上海宝山·期末）解方程组：． 【答案】 【详解】解： 得，， 得，， 得， 解得， 故，， 故方程组的解为． 【变式9-1】（24-25六年级下·上海·月考）解方程组：． 【答案】 【详解】解：， 由可得：， 由可得：， 由可得：， 解得：， 将代入④可得：， 解得：， 将，代入①可得：， 解得：， ∴原方程组的解为． 【变式9-2】（24-25六年级下·上海宝山·期末）数学活动：探究不定方程 小川，小渝两位同学在学习方程过程中发现，三元一次方程组，虽然解不出具体数值，但可以解出，的值. (1)小川的方法：整理可得：； 整理可得：；∴ 小渝的方法：：______________________；∴. (2)已知，试求解的值. 【答案】(1)；； (2)3 【详解】（1）解：依题意，小川的方法：，得：， 整理得：， ，得：， 整理得：， ． 小渝的方法：，得：， ， 故答案为：；；． （2）解：， 由得：， 整理得：， 由得：， 整理得：， 则． 【变式9-3】（24-25六年级下·上海闵行·期末）小红家需要购一台冰箱、一台洗衣机和一台微波炉，请你来给他们当消费顾问，帮他们做出选择． 信息一、财联社1月19日电，据“上海商务”官方公众号，上海进一步做好国家家电以旧换新补贴工作．2025年1月20日起，对购买二级能效电器给与补贴（不超过1500元），对购买一级能效电器给与的补贴（不超过2000元）（注：电器国补按每一台计算） 信息二、小红家在某商店已经看中三种商品各有两个不同型号（见左表），另有一张该商店的五一促销海报（见右表） 能效等级 标价（元） 冰箱A 1级 6000 冰箱B 2级 5000 洗衣机A 1级 4000 洗衣机B 2级 2400 微波炉A 1级 900 微波炉B 2级 600 五一优惠大促 ☆倡导绿色节能，“国补”不孤单！☆ 活动时间：5月1日－7日 凡在本店购买电器的顾客，给您再“补一补” 国补后  满6000元的再减600元 国补后  满8000元的再减1000元 国补后  满10000元的再减1500元 本店及所有员工为您提供最优质的服务！ (1)5月1日前，如果在该店购置一台价值8000元的一级能效的电器，那么国补后只需要支付多少钱？ (2)小红家如果购买三种电器都选择A型号，问导购还有没有其他优惠，商店导购告诉小红，说她每卖出一台电器，都可以获得一些提成，可以把自己从小红家购买的电器所获得的提成让出当做优惠．导购她前天卖出了1台冰箱A和2台洗衣机A，获得了700元提成，昨天她卖出了1台洗衣机A和3台微波炉A，获得了500元提成，今天已经卖出了2台冰箱A和1台微波炉A，获得了700元提成．请问，导购能让给小红家多少钱的优惠？ (3)小红家如果在商店五一优惠期间购买了三种电器都选择A型号，请问，小红在享受国家补贴后，又享受了商店优惠大促，最后又得到了导购的优惠，最终小红家花了多少钱？ 【答案】(1)国补后只需要支付6400元 (2)导购能让利给小红家的优惠为600元 (3)最终小红家花了7120元 【详解】（1）解：根据题意，购买电器国补元， 国补后只需要支付元， 答：国补后只需要支付6400元． （2）解：设导购卖出1台冰箱，洗衣机，微波炉所得提成分别为a元，b元，c元， 根据题意，得， 解得， （元）， 答：导购能让利给小红家的优惠为600元． （3）解：冰箱A可获得国补（元）， 洗衣机A可获得国补（元）， 微波炉A可获得国补（元）， 则国补后三种电器的总价为（元）， 因为， 所以活动可再减1000元， 所以最终花的钱数为（元）， 答：最终小红家花了7120元． 基础巩固通关测 一、单选题 1．（23-24六年级下·上海·阶段检测）已知方程，用含x的式子表示y，可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴（移项）， ∴（两边同时除以4）， 故选：C． 2．（23-24六年级下·上海宝山·期末）古书中有一个“隔沟计算”的问题，其大意如下：甲乙两人隔一条沟放牧，二人心里暗中合计．甲对乙说：“我得到你的九只羊，我的羊就比你多一倍．”乙对甲说：“我得到你的九只羊，咱俩的羊一样多．”设甲有羊只，乙有羊只，那么符合题意的方程组是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设甲有羊只，乙有羊只， 由题意可得：， 故选：D． 3．（24-25六年级下·上海嘉定·期末）下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A．第二个方程含项，次数为2，不符合题意； B．第一个方程含项，次数为2，不符合题意； C．两个方程均为一次方程，且仅含x和y两个未知数，符合条件； D．第二个方程含z，引入第三个未知数，不符合题意． 故选C． 二、填空题 4．（2024六年级下·上海·专题练习）方程组的解中和的值互为相反数，则的值是__． 【答案】2.5 【详解】解：和的值互为相反数， ，代入原方程组，得， ，， ， 解得， 故答案为：2.5． 5．（24-25六年级下·上海·阶段检测）观察下表可知关于，的二元一次方程组的解为_______． 的解 的解 0 1 … 1 5 … 6 4 2 … 3 2 0 … 【答案】/ 【详解】解：通过观察表格知，与有一组公共解为， 故二元一次方程组的解为， 故答案为：． 6．（23-24六年级下·上海虹口·期末）将方程变形为用含x的式子表示y，那么______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：． 7．（24-25六年级下·上海·月考）若是关于，的二元一次方程，则的值是_______． 【答案】3 【详解】解：∵是关于，的二元一次方程， ∴， ∴， 故答案为：3． 三、解答题 8．食品安全标准是关乎民生的重大的事情，在食品中添加过量的添加剂对人体健康有害，但在日常生活中适量的、科学的添加一些添加剂对人体健康无害而且有利于提高食品的口感，方便储存和运输等，某饮料加工厂需生产A、B两种饮料共1500桶，需加入同种食品添加剂3400克，其中饮料每桶需添加添加剂2克，饮料每桶需添加添加剂3克，求饮料加工厂生产了两种饮料各多少桶？ 【答案】饮料加工厂生产了A种饮料1100桶，B种饮料400桶 【详解】解：设饮料加工厂生产了A种饮料x桶，B种饮料y桶， 根据题意得：， 解得：， 答：饮料加工厂生产了A种饮料1100桶，B种饮料400桶． 9．一项工程，甲队单独做要20天完成，乙队单独做要15天完成，丙队单独做要12天完成．按原计划这项工程要求在7天内完成，现在乙、丙两队先合作若干天，后来为加快进度，甲队也同时加入这项工程，这样比原定时间提前一天完成任务．乙、丙两队合作了多少天？甲队加入后又做了多少天？ 【答案】4天；2天 【详解】解：设乙、丙两队合作了天，甲队加入后又做了天 根据题意有解得 答：乙、丙两队合作了4天，甲队加入后又做了2天． 10．（24-25六年级下·上海·期末）解二元一次方程组． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 将②代入①得：， 解得， 将代入②得：， 所以方程组的解为． （2）解：整理为， 由①②得：， 解得， 将代入②得：， 解得， 所以方程组的解为． 能力提升进阶练 1．（24-25六年级下·上海金山·期末）如图是由块颜色不同的正方形卡片无重叠无缝隙地拼成的长方形，中间最小的正方形边长为．若设标有序号的两个正方形边长分别为，，则根据题意可得到的二元一次方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：水平方向，观察图形可知，存在由两个边长为的部分组成的水平线段，其长度等于边长为的正方形边长加最小正方形边长，即 ； 垂直方向，从垂直边的拼接关系看，边长为的正方形边长加，等于边长为的正方形边长减，即； 综上，符合条件的二元一次方程组为， 故选：． 2．（24-25六年级下·上海闵行·期末）我国古代夏禹时期的“洛书”（如图①所示），就是一个三阶“幻方”（如图②所示）．观察图①、图②，我们可以寻找出“九宫图”中各数字之间的关系．在显示部分数据的新“幻方”（如图③所示）中，根据寻找出的关系，可推算出，的值分别为______． 【答案】、 【详解】解：由图可知： , ， ， ， ， ， ， ， “幻方”中各行、各列、各对角线上三个数字之和相等， 由图可知， 解得：， 、的值分别为、． 故答案为：、． 3．某汽车销售公司为提升业绩，计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解1辆型汽车，3辆型汽车的进价共计70万元；3辆型汽车，2辆型汽车的进价共计105万元． (1)求两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用250万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均有购买），请你通过计算写出所有购买方案． 【答案】(1)型号的汽车每辆进价为25万元，型号的汽车每辆进价为15万元 (2)方案一：购买型号的汽车7台，型号的汽车5台，方案二：购买型号的汽车4台，型号的汽车10台，方案三：购买型号的汽车1台，型号的汽车15台． 【详解】（1）解：设型号的汽车每辆进价为万元，型号的汽车每辆进价为万元， ， 解得， 答：型号的汽车每辆进价为25万元，型号的汽车每辆进价为15万元． （2）解：设购买型号的汽车台，型号的汽车台， ，即， 、均为正整数， 或或， 方案一：购买型号的汽车7台，型号的汽车5台， 方案二：购买型号的汽车4台，型号的汽车10台， 方案一：购买型号的汽车1台，型号的汽车15台． 4．（24-25六年级下·上海·期末）幻方，又称“魔方阵”，是一种古老而有趣的数学游戏．最早可以追溯到夏禹时代的“洛书”．三阶幻方是指在一个的方格中填入9个不同的整数，使得每一行、每一列以及两条对角线上的三个数之和都相等，这个共同的数值称为“幻和” (1)如图①所示幻方，求x的值； (2)如图②所示幻方，求a，b的值； (3)如图③所示幻方，若m，a为正整数，写出m，a可能的所有取值，并将对应的幻方填写完整． 【答案】(1) (2) (3)或或，补全幻方见解析 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：； （2）解：根据题意得： ， 解得：； （3）解：根据题意得：， 整理得：， ∴， ∵m，a为正整数， ∴或或， 当时， 第三行的三个数从左到右依次为13，8，15，第三列三个数从上到下依次为11，10，15， 每一行、每一列以及两条对角线上的三个数之和都36， ∴第二行的三个数从左到右依次为14，12，10， ∴第一列三个数从上到下依次为11，12，13， ∴第一行的三个数从左到右依次为11，14，11， 11 14 11 12 12 10 13 8 15 当时， 同理将对应的幻方填写完整，如下： 15 10 11 8 12 16 13 14 9 当时， 同理将对应的幻方填写完整，如下 21 4 11 2 12 22 13 20 3 5．某校组织350名学生去研学，已知1辆A型车和2辆B型车可以载学生110人；3辆A型车和1辆B型车可以载学生130人． (1)A型、B型车每辆可分别载学生多少人？ (2)如果350名学生一次送完，且每辆车都坐满，请你设计租车方案； (3)若租一辆型车需要1000元，一辆型车需1200元，怎样租车费用最少？ 【详解】（1）设A型车每辆载学生人，B型车每辆载学生人， 可得： 解得：， 答：A型车每辆载学生30人，B型车每辆载学生40人． （2）设租用A型辆，B型辆， 可得：， 因为a，b为正整数，所以方程的解为：，， 所以有三种方案： 方案一：A型1辆，B型8辆； 方案二：A型5辆，B型5辆； 方案三：A型9辆，B型2辆． （3）方案一：费用：元； 方案二：费用：元； 方案三：费用：元； 所以租用1辆A型8辆B型车花费最少，为10600元． 6．（24-25六年级下·上海·月考）阅读下列材料： 问题：某饭店工作人员第一次买了13只鸡、5只鸭、9只鹅共用了925元．第二次买了2只鸡、4只鸭、3只鹅共用了320元，试问第三次买了鸡、鸭、鹅各一只共需多少元？（假定三次购买鸡、鸭、鹅单价不变） 解：设鸡、鸭、鹅的单价分别为x，y，z元．根据题意，得方程组： 上述方程组可变形为： 设，，上述方程组可化为： 得： ，即 ． 答：第三次买鸡、鸭、鹅各一只共需 元． 阅读后，细心的你，可以解决下列问题： (1)上述材料中， ； (2)选择题：上述材料中的解答过程运用了 思想方法来指导解题． A．整体    B．数形结合    C．分类讨论 (3)某校体育组购买体育用品甲、乙、丙、丁的件数和用钱金额如下表： 甲 乙 丙 丁 用钱金额/元 第一次购买件数 5 4 3 1 1882 第二次购买件数 9 7 5 1 2764 根据表格中提供的数据信息填空，如果购买每种体育用品各一件，共需 元． 【答案】(1) (2)A (3) 【详解】（1）解：设鸡、鸭、鹅的单价分别为x，y，z元．根据题意，得方程组： 上述方程组可变形为： 设，，上述方程组可化为： 得：，即， 答：第三次买鸡、鸭、鹅各一只共需元． 故答案为：； （2）解：上述材料中的解答过程运用了整体思想方法来指导解题， 故选：A； （3）解：设体育组购买体育用品甲、乙、丙、丁的单价分别为、、、， 由题意可得：， 该方程组可变形为， 设，， 上述方程可转化为， 解得：， ∴， ∴购买每种体育用品各一件，共需元． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $