专题01 二元一次方程组的概念重难点题型专训（2个知识点+6大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年六年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪教版五四制）

本初中数学讲义聚焦二元一次方程组的概念与解这两个核心知识点，系统梳理二元一次方程的定义、三大判定条件及解的特点，进而延伸到二元一次方程组的定义、特殊规则及解的概念，搭建从基础概念到应用题型的学习支架。 资料通过6大题型（定义、解、方程组判断等）和3个拓展训练（参数值、错解复原、正整数解）设计，结合错解复原问题培养推理意识，正整数解求解联系实际培养应用意识，即时训练与自我检测助力课中教学与课后查漏补缺，提升抽象能力与知识应用能力。

专题01二元一次方程组的概念重难点题型专训 （2个知识点+6大题型+3拓展训练+自我检测） 题型一 二元一次方程的定义 题型二 二元一次方程的解 题型三 判断是否是二元一次方程组 题型四 判断是否是二元一次方程组的解 题型五 二元一次方程组的错解复原问题 题型六 方程组相同解问题 拓展训练一 根据定义求字母参数值 拓展训练二 看错系数、错解复原经典压轴 拓展训练三 二元一次方程正整数解求解 知识点一：二元一次方程组的概念 1、二元一次方程 · 定义：含有两个未知数，含未知数的项的次数都是1，且是整式方程 · 一般形式： ， · 三大判定条件（缺一不可） ① 整式方程（分母不含未知数、无根号未知数） ② 只 2 个未知数（x、y） ③ 含未知数项次数 = 1（不是 xy 这种二次乘积） · 解的特点：一个二元一次方程有无数组解 2、二元一次方程组 · 定义：两个整式方程，共含2 个未知数，所有含未知数项次数都是 1，组合成方程组 · 特殊规则：方程组里可以有一元一次方程，依然算二元一次方程组例：{x+y=5x=3​ 是二元一次方程组 【即时训练】 1．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）下列方程中，是二元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，能够通过定义正确辨析是解题的关键． 根据二元一次方程的定义可知，二元一次方程需满足三个条件：含有两个未知数，所含未知数的项的最高次数为1，且是整式方程，据此逐一判断选项即可． 【详解】A. 同时满足三个条件，是二元一次方程，符合题意； B. 中未知数的项的最高次数为2，不符合二元一次方程定义，不符合题意； C.中项的次数是2，不符合二元一次方程定义，不符合题意； D.只含有一个未知数，是一元一次方程，不符合定义，不符合题意． 2．（25-26六年级下·上海徐汇·期末）二元一次方程的标准形式为_________________． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程，解题的关键是熟练掌握二元一次方程的定义：含有两个未知数的一次方程叫做二元一次方程，据此写出标准形式． 【详解】解：二元一次方程的标准形式为， 故答案为：． 知识点二：二元一次方程组的解 1、 二元一次方程的解 适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。 2、 二元一次方程组的解 二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。 【即时训练】 1．（24-25七年级下·贵州黔南·期末）下列是方程的解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程解的意义，解题关键是理解二元一次方程解的意义． 将各选项的x和y代入方程，验证是否满足． 【详解】解：方程的解需满足左边代数式的值等于右边。逐一验证选项： 代入得，左边=，左边右边，故A不符合； 代入得，左边=，左边右边，故B不符合； 代入得，左边=，左边=右边，故C符合； 代入得，左边=，左边右边，故D不符合， 故选：C． 2．（25-26六年级下·上海黄浦·月考）已知二元一次方程，请写出该方程的一个整数解：__________．（只写一个） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查二元一次方程的整数解，求出时的值即可． 【详解】解：∵， ∴当时，，解得， ∴二元一次方程的一个整数解为：； 故答案为：（答案不唯一） 【经典例题一 二元一次方程的定义】 【例1】（25-26七年级下·河北石家庄·期中）下列各式，属于二元一次方程的个数有（   ） ①    ②    ③    ④    ⑤    ⑥    ⑦ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：二元一次方程需要满足三个条件：①是整式方程；②含有两个未知数；③所有未知数项的次数均为1，逐个判断如下： ①，项的次数为，不是二元一次方程； ②，整理得，是整式方程，含两个未知数，所有未知数项次数均为，是二元一次方程； ③，是分式，该式不是整式方程，不是二元一次方程； ④，整理得，是整式方程，含两个未知数，所有未知数项次数均为，是二元一次方程； ⑤，未知数项的次数为，不是二元一次方程； ⑥，不是等式，不属于方程，不是二元一次方程； ⑦，含有三个未知数，不是二元一次方程； 综上，符合条件的二元一次方程共个． 【例2】（25-26七年级下·湖南长沙·期中）若方程是二元一次方程，则________． 【答案】6 【分析】根据二元一次方程的定义列方程求解即可． 【详解】解：因为方程是二元一次方程， 所以， 解得， 所以． 1．（24-25六年级下·上海崇明·单元测试）若是二元一次方程，则m，n的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解题的关键．根据二元一次方程的定义得到，即可得到答案． 【详解】解：根据二元一次方程的定义可得：， 解得． 故选：A． 2．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）关于x，y的二元一次方程ax+by=c（a，b，c是常数），b=a+1，c=b+1，对于任意一个满足条件的a，此二元一次方程都有一个公共解，这个公共解为_________． 【答案】 【分析】由ax+by=c，b=a+1，c=b+1，得ax+ay+y=a+2，由对于任意一个满足条件的a，此二元一次方程都有一个公共解即可求解； 【详解】解：∵ax+by=c，b=a+1，c=b+1， ∴ax+ay+y=a+2 ∵对于任意一个满足条件的a，此二元一次方程都有一个公共解 ∴令a=0，则y=2；把y=2代入ax+ay+y=a+2 得：ax=-a， ∴x=-1， ∴公共解为． 【点睛】本题主要考查二元一次方程，由b=a+1，c=b+1得到ax+ay+y=a+2是解题的关键． 3．（24-25七年级·全国·假期作业）如果（a﹣2）x+（b+1）y＝13是关于x，y的二元一次方程，则a，b满足什么条件？ 【答案】a≠2，b≠﹣1 【分析】根据二元一次方程含有两个未知数可知a﹣2≠0，b+1≠0，即可求出a，b所满足的条件． 【详解】解：∵（a﹣2）x+（b+1）y＝13是关于x，y的二元一次方程， ∴a﹣2≠0，b+1≠0， ∴a≠2，b≠﹣1． 【点睛】此题考查了二元一次方程的定义：即含有两个未知数的方程，根据定义求参数满足的条件，难度一般． 【经典例题二 二元一次方程的解】 【例1】（24-25七年级下·福建漳州·期中）如果是方程的一组解，那么代数式的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据方程组的解，得，变形得，代入求值即可． 本题考查了方程组的解，整体思想求代数式的值，熟练掌握求值的方法是解题的关键． 【详解】解：由是方程的一组解， 得， 变形得， ． 故选：A． 【例2】（25-26七年级下·河南周口·月考）写出一个以 为解的二元一次方程：___________(写出一个即可)． 【答案】（答案不唯一） 【分析】任意写一个关于x与y的一次二项式，再将代入计算出数值，即可得出关于x与y的二元一次方程． 【详解】解：∵把代入得， ∴以 为解的二元一次方程可以是（答案不唯一）． 1．（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）“今有六十鹿进舍，小舍容四鹿，大舍容六鹿，需舍几何？（改编自《缉古算经》）”大意为：今有60只鹿进圈舍，小圈舍可以容纳4只鹿，大圈舍可以容纳6只鹿，求所需圈舍的间数．求得的结果有（    ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 【答案】C 【分析】设小圈舍x间，大圈舍y间，根据总鹿数列出二元一次方程，结合x，y为非负整数，即可求出解的个数． 【详解】解：设需要小圈舍x间，大圈舍y间， 依题意得：， ∴， ∵x，y均为非负整数， ∴，得， 又∵x为整数， ∴为偶数， ∵30是偶数， ∴为偶数，即y为偶数， ∴y可取0，2，4，6，8，10，共6个不同取值，对应6组不同解， ∴共有6种结果． 2．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）综合与实践：有一个长为90cm，宽为60cm的矩形硬纸板（纸板的厚度忽略不计），如果把这块矩形硬纸板的四个角分别剪去2个同样大小的长方形和2个同样大小的正方形，然后折叠成一个有盖的盒子（如图），该盒子底面的宽和长分别是 xcm和ycm（x和y都是整数，若设计有盖盒子的底面周长大于200 cm，高大于4 cm，则符合条件的x，y的值为______________ （写出一对即可）      【答案】，（答案不唯一） 【分析】根据题意得，满足以及周长大于，高大于的一组正整数，即可作答． 【详解】解：如图可得， 解得：， ∵设计有盖盒子的底面周长大于200 cm，高大于4 cm， ∴当时，，底面周长为，高为：，符合题意， 故答案为：，． 3．（25-26七年级上·福建福州·期末）已知是一个三位数，其中a，b，c分别为百位、十位、个位上的数字，且（n为正整数）． (1)当时，用含a的代数式表示n的值； (2)说明可以被3整除； (3)若（k为整数），说明k除以3的余数为1． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了三位数的表示方法以及整除的性质： （1）根据题意可得该三位数为，从而得到，即可解答； （2）根据题意可得，从而得到，即可解答； （3）根据题意可得为奇数，从而得到n为奇数，可设，可得到，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴该三位数为， ∵， ∴， ∴； （2）解：根据题意得：， ∴， ∴， ∴可以被3整除； （3）解：根据题意得：， ∵为奇数， ∴为奇数， ∴n为奇数， ∴可设，其中m为正整数， ∴， ∴， ∴k除以3的余数为1． 【经典例题三 判断是否是二元一次方程组】 【例1】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列方程组中是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握二元一次方程组的定义是解决本题的关键 ． 根据二元一次方程组的定义，需满足：①含有两个未知数；②每个方程都是整式方程且次数为1，由此判断选项即可 ． 【详解】解：A、方程中，分母含未知数，不是整式方程，故不符合条件； B、方程组含四个未知数，超过两个未知数，不符合条件； C、方程组中，方程组中只含和两个未知数，且次数均为1，是整式方程，符合条件； D、方程含二次项，次数不为1，不符合条件． 故选：C ． 【例2】（24-25六年级下·上海静安·月考）下列方程组中是二元一次方程组的是______．（填写序号） ①②③④ 【答案】④ 【分析】本题主要考查二元一次方程组的定义，解题的关键是正确理解二元一次方程组的定义，只含有两个未知数，含有未知数的项的次数都是1，并且由两个方程组成的方程组．根据二元一次方程组的定义逐个判断即可． 【详解】解：只含有两个未知数，含有未知数的项的次数都是1，并且由两个方程组成的方程组是二元一次方程组，符合定义的是④． 故答案为：④． 1．（24-25七年级下·浙江温州·期中）下列方程组中，是二元一次方程组的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，熟记定义是解题的关键．方程组中含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程组是二元一次方程组，二元一次方程组中的各个方程应是整式方程，根据定义解答． 【详解】解：A、方程组含三个未知数x、y、z，不是二元一次方程组，不符合题意； B、方程组仅含x、y两个未知数，且均为一次整式方程，是二元一次方程组，符合题意； C.、第一个方程含项，次数为2，不是二元一次方程组，不符合题意； D、第一个方程含分式，不是整式方程，不是二元一次方程组，不符合题意； 故选：B． 2．（24-25六年级下·上海嘉定·课后作业）已知方程组是关于，的二元一次方程组，则________． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握二元一次方程组的定义是解题的关键：1、定义：方程组中有两个未知数，含有未知数的项的次数都是，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组．其一般形式是，其中，不同时为，，不同时为；2、注意：①组成二元一次方程组的两个一次方程不一定都是二元一次方程，但这两个方程必须一共含有两个未知数．如也是二元一次方程组；②在方程组的每个方程中，相同字母必须代表同一未知量，否则不能将两个方程联立；③二元一次方程组中的各个方程应是整式方程． 由可得，解得；由二元一次方程组的定义可得，解得；综合以上，即可求出的值． 【详解】解：由可得：， 解得：； 由二元一次方程组的定义可得： ， 解得：； ， 故答案为：． 3．（2025七年级下·浙江·专题练习）判断下列方程组是否为二元一次方程组，并说明理由． (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1)该方程组不是二元一次方程组，理由见解析 (2)该方程组是二元一次方程组，理由见解析 (3)该方程组不是二元一次方程组，理由见解析 (4)该方程组不是二元一次方程组，理由见解析 (5)该方程组是二元一次方程组，理由见解析 (6)该方程组是二元一次方程组，理由见解析 【分析】（1）组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，据此作答即可． （2）组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，据此作答即可． （3）组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，据此作答即可． （4）组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，据此作答即可． （5）组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，据此作答即可． （6）组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，据此作答即可． 【详解】（1）中含有3个未知数，所以它不是二元一次方程组； （2）中含有2个未知数，并且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，该方程组符合二元一次方程组的定义，故它是二元一次方程组； （3）中一个方程的未知数的最高次数是2，所以它不是二元一次方程组； （4）中的一个方程不是整式方程，是分式方程，所以它不是二元一次方程组； （5）中含有2个未知数，并且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，该方程组符合二元一次方程组的定义，故它是二元一次方程组； （6）中含有2个未知数，并且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，该方程组符合二元一次方程组的定义，故它是二元一次方程组． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，掌握二元一次方程组的定义是关键． 【经典例题四 判断是否是二元一次方程组】 【例1】（25-26七年级下·四川内江·月考）若是下列某二元一次方程组的解，则这个方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】能使方程组中两个方程都成立的未知数的值就是方程组的解，将代入各选项方程组验证即可． 【详解】解：A. 把代入， ∵左边，右边，左边右边， ∴不是该方程组的解，不符合题意； B. 把代入， ∵左边，右边，左边右边， 再代入， ∵左边，右边，左边右边， ∴是该方程组的解，符合题意； C. 把代入， ∵左边，右边，左边右边， ∴不是该方程组的解，不符合题意； D. 把代入， ∵左边，右边，左边右边， ∴不是该方程组的解，不符合题意． 【例2】（24-25六年级下·上海嘉定·课后作业）在①②③中，_________是二元一次方程的解，_________是二元一次方程的解，_________是二元一次方程组的解．（填序号） 【答案】 ①③ ②③ ③ 【分析】本题考查二元一次方程组解的概念，明确二元一次方程组的解是同时满足方程组中两个方程的一组未知数的值是解题的关键． 根据定义，分别把三组方程的解代入二元一次方程验证判定即可． 【详解】解：将代入方程成立，②代入得，方程不成立， 将代入方程成立，①代入，方程不成立， 将①②③分别代入，只有③能够使得方程组的等式成立． 故答案为：①③；②③；③． 1．（24-25七年级下·浙江金华·月考）已知二元一次方程组的解是，则表示的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的解“一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解”，熟练掌握二元一次方程组的解的定义是解题关键． 先将方程组的解代入第一个方程可求出的值，从而可得这个方程组的解，再在四个选项中，找出满足这个解的方程即可得． 【详解】解：由题意，将代入方程得：，解得，所以这个方程组的解为， A、将代入得：，则此项不符合题意； B、将代入得：，则此项不符合题意； C、将代入得：，则此项不符合题意； D、将代入得：，则此项符合题意； 故选：D． 2．（24-25七年级下·安徽铜陵·期末）现有一条长度为359mm的铜管料，把它锯成长度分别为39mm和29mm的两种不同规格的小铜管，（要求没有余料）．每锯一次损耗1mm的铜管料．为了使铜管料损耗最少，应分别锯成39mm的小铜管______段，29mm的小铜管______段． 【答案】 6 4． 【分析】本题的等量关系是截39的铜管的钢管料+截29的铜管的钢管料+据这两种钢管时损耗的钢管料=359，列出方程，求出未知数，然后将各种方案的损耗算出来，得出损耗最少的方案． 【详解】设应分别锯成39的小铜管段、29的小铜管段， 则损耗的钢管料应是， 根据题意， 得， ， ∵、都必须是正整数， ∴， 或， ∴锯成4段39的小铜管、3段29的小铜管损耗最少， 故答案为：6；4． 【点睛】本题考查了列方程解实际问题的运用，解答时关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程，注意等量关系式是解题的关键． 3．（24-25六年级下·上海嘉定·单元测试）已知方程：①，②． (1)根据方程①填写下表： x 2 1 ______ ______ y ______ ______ 2 (2)根据方程②填写下表： x 3 ______ ______ y ______ ______ 2 (3)根据以上两表中的数据，直接写出方程组的解． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，解决本题的关键是要理解二元一次方程解的定义． （1）根据表格中x的值一一代入计算即可求出对应的y的值，表格中y的值一一代入计算即可求出对应的x的值； （2）根据表格中x的值一一代入计算即可求出对应的y的值，表格中y的值一一代入计算即可求出对应的x的值； （3）根据（1）（2）表格中的值找出满足方程①又满足方程②的公共解． 【详解】（1）解：填表如下： x 2 1 0 y 10 6 2 （2）解：填表如下： x 3 2 y 4 2 （3）解：根据表格可得方程组的解是． 【经典例题五 二元一次方程组的错解复原问题】 【例1】（24-25六年级下·上海松江·阶段练习）甲、乙两人求二元一次方程的整数解，甲正确地求出一组解为，乙把看成，求得一组解为，则a，b的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将方程的解代入对应方程，组成新的方程组解方程即可． 【详解】解：由题意可得， ， 解得， 故选C． 【点睛】本题考查方程的解及解方程组，解题的关键是知道方程的解满足方程，错方程的解代入错方程． 【例2】（25-26七年级下·四川绵阳·月考）在解关于的方程组时，甲把方程组中的看成了，求得的解为；乙看错了方程组中的，求得的解为，则_________． 【答案】 【分析】甲看错方程组中的，其得到的解满足方程组，代入求解可求出，乙看错方程组中的，其得到的解满足原方程，据此求出，最后计算的值即可． 【详解】解：∵甲求得的解是方程组的解， ∴将代入方程组得：， 解得； ∵乙看错了方程组中的，求得的解满足原方程， ∴将，代入得：， 解得：， ∴． 1．（24-25七年级下·云南昆明·期末）甲、乙两人在解方程组时，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了方程②中的，解得，则的值为（    ） A．2 B． C．0 D． 【答案】B 【分析】把代入②中求得b值，把代入①中求得a值，后求值计算即可． 【详解】解：把代入②中， 得， 解得； 把代入①中， 得， 解得， ， 故选B． 【点睛】本题考查了方程组的解法，代数式的值计算，熟练掌握解方程组是解题的关键． 2．（24-25七年级下·山东聊城·月考）甲、乙两人在解方程组时，甲看错了，解得，乙将一个方程中的写成了相反数，解得，则正确的_______，正确的________ ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解及其应用；甲因看错a，解得，则是方程的解，则可求得b的值；乙将其中一个方程的b写成了其相反数，易得乙是将第二个方程中的b写成了其相反数，即为，把代入此方程中即可求得结果． 【详解】解：甲因看错a，解得，则是方程的解， ∴， 即， 即第一个方程为； 乙将其中一个方程的b写成了其相反数，解得， 把代入中，， 故乙是将第二个方程中的b写成了其相反数，即为， 把代入中，得，解得， 故答案为：，． 3．（24-25六年级下·上海嘉定·课后作业）甲、乙两人共同解方程组解题时由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，试计算的值． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，代数式求值，理解题意是解题的关键． 根据题意将代入②，将代入①即可求得的值，再代入代数式中求解即可． 【详解】解：将代入方程②， 得，解得； 将代入方程①，得，解得， ． 【经典例题六 二元一次方程组的错解复原问题】 【例1】（24-25七年级下·江苏·月考）方程组中，①；②；③；④解相同的是（    ） A．①② B．①③ C．①④ D．②③ 【答案】C 【分析】本题主要考查解二元一次方程组．根据加减消元法解二元一次方程组，即可求解． 【详解】解：解方程组①得； 解方程组②得； 解方程组③得； 解方程组④得； 则解相同的是①④， 故选：C． 【例2】（25-26六年级下·上海长宁·月考）若关于x，y的方程组的解是，则方程组的解是_____． 【答案】 【分析】本题考查了同解方程组问题，利用已知方程组的解，代入得到系数关系，通过比较新方程组与已知方程组系数，求解新方程组的解即可． 【详解】解：已知方程组 的解为 ，则 ，； 对于方程组， 将， 代入得：， 整理得：， 由于， ， ，不全为零（方程组有意义）， 且， 解得，， 故答案为：，． 1．（24-25七年级下·山东济宁·期末）已知关于，的方程组和有相同的解，那么的算术平方根是（    ） A．0 B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据求解二元一次方程组求出a，b，求出计算即可； 【详解】解：由题意可知： 和有相同的解， 在中， ①+②得：， 将代入①得：， ∴方程组的解为， 在中， ①×3得：③， ②－③得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的算术平方根是． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的求解、算术平方根的计算，准确计算是解题的关键． 2．（2025七年级上·全国·专题练习）若关于x的方程与有相同的解，则k的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了同解方程，本题解决的关键是能够求解关于的方程，要正确理解方程解的含义． 先求出方程的解，再将求出的解代入方程，从而可以求出的值． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 将代入方程，得：， 解得：． 故答案为：． 3．（25-26六年级下·上海嘉定·阶段练习）方程组与方程组的解相同，求的值． 【答案】4 【分析】本题考查同解方程组，将两个方程组中不含参数的两个方程组成新的方程组，求解后，代入两个含参方程组成的方程组中，进行求解即可． 【详解】解：∵方程组与方程组的解相同， ∴方程组和的解也相同， 解，得， 把代入，得， 故． 【拓展训练一 根据定义求字母参数值】 【例1】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）方程是关于、的二元一次方程，则的值为（     ） A． B．3 C． D．9 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，一元一次方程等知识点，解题的关键是熟练掌握二元一次方程的定义． 根据二元一次方程的定义，方程中不能含有二次项，且未知数的系数不能为零，需满足二次项系数为0，同时一次项系数不为0，解方程并检验即可． 【详解】解：根据题意可得，， 或 ∵，即， ∴ 故选：B． 【例2】（24-25七年级下·天津·月考）若是关于，的二元一次方程，那么的值为________． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程，据此可得且，再进一步解答即可． 【详解】解：∵是关于的二元一次方程， ∴且， 解得， 故答案为：． 1．（24-25六年级下·上海嘉定·随堂练习）已知方程是关于，的二元一次方程，求，的值． 【答案】， 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，熟练掌握系数不等于且次数等于的知识点是解题关键． 根据二元一次方程的定义可得、项的系数不等于且次数等于从而得到关于、的不等式及方程，然后求解即可． 【详解】解：由题意，得， 解得或， 又， ， ，的值分别为，． 2．（2025六年级下·上海嘉定·专题练习）关于x，y的二元一次方程均可以变形为的形式，其中a，b，c，均为常数且，，规定：方程的“关联系数”记为． (1)二元一次方程的“关联系数”为______． (2)已知关于x，y的二元一次方程的“关联系数”为，若，为该方程的一组解，且均为正整数，求m，n的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组解的情况求参数，解题的关键是理解题意，熟练掌握解方程组的方法． （1）根据关联系数的定义进行解答即可； （2）根据关联系数的定义得出该二元一次方程为，把代入，得出，根据m、n均为正整数，求出结果即可； 【详解】（1）解：∵规定：方程的“关联系数”记为， ∴二元一次方程的“关联系数”为； 故答案为：； （2）解：∵关于x，y的二元一次方程的“关联系数”为， ∴二元一次方程为． ∵为该方程的一组解， ∴，即． ∵m，n均为正整数， ∴或 3．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）把（其中，是常数，，是未知数）这样的方程称为“雅系二元一次方程”．当时，“雅系二元一次方程”中的值称为“雅系二元一次方程”的“完美值”．例如：当时，“雅系二元一次方程”化为，其“完美值”为． (1)求“雅系二元一次方程”的“完美值”； (2)是“雅系二元一次方程”的“完美值”，求的值； (3)是否存在，使得“雅系二元一次方程”与（是常数）的“完美值”相同？若存在，请求出的值及此时的“完美值”：若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】本题考查了新定义二元一次方程，一元一次方程的解法，正确理解新定义，熟练转化为一元一次方程求解是解题的关键． （1）根据定义，得到，解方程即可； （2）根据定义，得到，再把代入，解方程即可； （3）根据定义，得到，，假设存在，则，方程无解，进而可判断结果； 【详解】（1）根据定义，得到， 解得， “雅系二元一次方程”的“完美值”为6． （2）根据定义，得到， 是“雅系二元一次方程”的“完美值”， ， 解得； （3）不存在，理由如下： 根据定义，得到，， 解得， 假设存在，使得“雅系二元一次方程”与（是常数）的“完美值”相同， 则，无解， 不存在，使得“雅系二元一次方程”与（是常数）的“完美值”相同； 【拓展训练二 看错系数、错解复原经典压轴】 【例1】（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）甲、乙两位同学在解方程组时，甲把字母看错了得到方程组的解为，乙把字母看错了得到方程组的解为，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，根据甲看错a，其解满足不含a的方程，乙看错b，其解满足不含b的方程，分别代入求出的值后计算即可． 【详解】解：∵甲把字母a看错，得到的解，适合方程， ，解得， ∵乙把字母b看错，得到的解，适合方程， ∴，解得， ∴． 故选：A． 【例2】（24-25七年级下·福建泉州·期中）解方程组时，一学生把c看错而得到而正确的解是，那么_____． 【答案】 【分析】将错误的解和正确的解分别代入方程组，得出和，，联立关于的方程组，解得的值，即可得解. 【详解】解：将代入方程组，得①， 将代入方程组，得②， 联立，得 解得 ∴， 故答案为：. 【点睛】此题主要考查利用二元一次方程组的解求参数的值，掌握方程组的解的概念是关键. 1．（24-25七年级下·河南驻马店·期末）甲、乙两位同学在解关于x、y的方程组时，甲同学看错a得到方程的解为，乙同学看错b得到方程组的，求的值． 【答案】 【分析】把 代入bx﹣y＝2可求出b的值，把 代入2x+ay＝1可求出a的值，把a、b的值代入原方程组即可求出x、y的值，进而求出x+y的值． 【详解】解：把代入得：，解得：， 把代入得：，解得：， ∴原方程组为， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，正确理解题意先求出a、b的值是解决问题的关键． 2．（25-26七年级下·山西临汾·期中）甲、乙两人同时解关于、的方程组时，甲看错了方程中的，解得，乙看错了方程中的，解得，求原方程组的正确解． 【答案】． 【分析】将代入方程，将代入方程，求出，的值，再把，代入解方程组即可． 【详解】解：将代入方程，得：，解得， 将代入方程，得：，解得， 把，代入原方程组， 得， 解得， ∴原方程组的正确解为． 3．（24-25七年级下·四川眉山·期中）甲、乙两人同时解方程组，甲解题看错了①中的m，解得，乙解题时看错②中的n，解得 (1)甲把m错看成了什么？乙把n错看成了什么？ (2)试求原方程组的解． 【答案】(1)甲把m错看成了2，乙把n错看成了1 (2) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解复原问题，二元一次方程解的定义： （1）把代入中求出m的值，把代入求出n的值即可得到答案； （2）根据题意可得甲的结果满足②，则是方程的解，同理可得是方程的解，据此求出m、n的值，然后得到正确的原方程组，再解方程组即可得到答案． 【详解】（1）解： 把代入中得，解得， 把代入中得，解得， ∴甲把m错看成了2，乙把n错看成了1； （2）解：∵甲解题看错了①中的m， ∴甲的结果满足②， ∴是方程的解， ∴， ∴， 同理可得是方程的解， ∴， ∴； ∴原方程组为 解得． 【拓展训练三 二元一次方程正整数解求解】 【例1】（24-25七年级上·安徽合肥·月考）方程在正整数范围内的解（    ） A．有无数对 B．只有一对 C．只有三对 D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题主要考查二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解是解题的关键．根据题意得到方程的正整数解，即可得到答案． 【详解】解：方程在正整数范围内的解有或或， 故选C． 【例2】（24-25七年级下·湖北黄冈·期末）若、都是正整数，则二元一次方程的解是______． 【答案】 【分析】根据、都是正整数，得出不等式，解出的范围，再讨论的情况，得出最后结果即可． 【详解】解：、都是正整数， ，， ， ， ， 当时，， 当时，， 当时，， 正整数解为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的整数解，正确得出的范围，再讨论得出最后结果是解答本题的关键． 1．（2025·甘肃张掖·一模）嘉淇在解关于x的一元一次方程时，发现正整数“”被污染了． (1)【任务1】若这道题的答案是，求“”代表的正整数； (2)【任务2】嘉淇问同学小明，小明也记不清“”的具体值了，只记得这个方程的解是正整数， 嘉淇经过深入思考，将“”设为m，通过计算，很快得到了“”的值，你知道她是怎么计算的吗？请你求出“”的值． 【答案】(1)5 (2)解题过程见详解；2 【分析】本题主要考查了解一元一次方程以及已知一元一次方程的解求参数，求二次一次方程的整数解等知识． （1）将代入原方程，可得出关于“〇”的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）将“〇”替换成m，可得出关于x，m的二元一次方程，结合x，m均为正整数，即可求出结论． 【详解】（1）解：将代入原方程得：， 即 解得：， ∴“〇”代表的正整数为5； （2）解：根据题意得， 解得： 又∵x，m均为正整数， ∴ ∴“〇”的值为2． 2．（24-25七年级下·云南·期中）阅读下列材料，解答下面的问题： 我们知道方程有无数个解，但在实际生活中我们往往只需求出其正整数解． 例：由，得：．根据x、y为正整数，运用尝试法可以知道方程的正整数解为． 问题： (1)请你直接写出方程的一组正整数解______． (2)若为正整数，则满足条件的正整数x的值有______个． (3)2024-2025学年七年级某班为了奖励学生学习的进步，购买单价为4元的笔记本与单价为6元的钢笔两种奖品，共花费56元，问有哪几种购买方案？ 【答案】(1)（答案不唯一） (2)6 (3)共有4种购买方案．方案一：2本笔记本，11支钢笔；方案二：4本笔记本，8支钢笔；方案三：6本笔记本，5支钢笔；方案四：8本笔记本，2支钢笔． 【分析】本题主要考查了二元一次方程的实际应用： （1）先求出，再求出方程的一组正整数解即可； （2）根据题意可得是18的正因数，据此可得答案； （3）设购买m本笔记本，n支钢笔，依题意得：，求出方程的非负整数解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴当时，， ∴原方程的一组正整数解为； （2）解：∵是正整数， ∴是18的正因数， ∴或或或或或， ∴满足条件的正整数x的值有6个， 故答案为：6； （3）解：设购买m本笔记本，n支钢笔， 依题意得：， ∴， 又∵m，n均为正整数， ∴或或或， ∴共有4种购买方案． 答：共有4种购买方案．方案一：2本笔记本，11支钢笔；方案二：4本笔记本，8支钢笔；方案三：6本笔记本，5支钢笔；方案四：8本笔记本，2支钢笔． 3．（24-25七年级下·湖北荆州·期末）如图，这是一架天平，天平左盘放有一个物体，质量为克，右盘放有一些砝码，每个砝码的质量为15克，当右盘放有2个相同的砝码时，天平处于平衡状态． (1)若，求天平处于平衡状态时x的值； (2)若一个二元一次方程的解m，n都是正整数，我们把m，n称为该方程的正整数解，如：方程的正整数解为，求天平处于平衡状态下的x，y的正整数值； (3)期中考试后，老师计划购买笔记本和圆珠笔给表现优秀的同学作为奖品，笔记本和圆珠笔的单价均为正整数．若购买5本笔记本，8支圆珠笔，共需要120元，求该方程的所有正整数解． 【答案】(1) (2) (3)每本笔记本为元，每支圆珠笔为元；或每本笔记本为元，每支圆珠笔为元 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，理解题意，正确列出二元一次方程是解此题的关键． （1）由题意可得，代入计算即可得解； （2）通过题意得，整理可得，结合、为正整数，求解即可； （3）设每本笔记本为a元，每支圆珠笔为b元，通过题意得，整理可得，结合a和b都是正整数，求解即可． 【详解】（1）解：当天平平衡时，则：， 即：， 当时，得：， 解得：； （2）解：通过题意，得：， 整理可得：， ∵、为正整数， ∴， ∴天平处于平衡状态下的x，y的正整数值是． （3）解：设每本笔记本为a元，每支圆珠笔为b元， 通过题意，得：， 整理可得：， ∵a和b都是正整数， ∴或， 故每本笔记本为元，每支圆珠笔为元；或每本笔记本为元，每支圆珠笔为元． A基础训练 1．（24-25七年级下·河北承德·期末）下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，据此逐一判断即可得答案． 【详解】A、符合二元一次方程组的定义，故本选项正确； B、本方程组中含有3个未知数，故本选项错误； C、第一个方程式的xy是二次的，故本选项错误； D、x2是二次的，故本选项错误． 故选：A． 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的定义，掌握定义判断方程组是否是二元一次方程组是解题的关键. 2．（24-25六年级下·全国·课后作业）已知是关于x、y的二元一次方程，则m、n的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，掌握方程含有2个未知数，且每个未知数的系数不等于0且次数等于1是解题的关键． 根据二元一次方程的定义得到关于m、n的方程组求解即可． 【详解】解：∵是关于x、y的二元一次方程， ∴，解得：． 故选D． 3．（24-25七年级下·陕西渭南·期末）已知方程组和有相同的解，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据两个方程组解相同，解方程组，把求得的x、y的值分别两个方程组中的另一个方程即可得到关于a、b的方程组，解方程组即可求得a、b的值，从而可求得结果的值． 【详解】∵方程组和有相同的解 ∴方程组与有相同的解 由①×3+②得：7x=42 解得：x=6 把x=6代入①得：12+y=10 解得：y=－2 ∴是方程组与的解 把代入中，得： 化简得： ③+④×3得：4b=8 解得：b=2 把b=2代入④得：－a+6=3 解得：a=3 故方程组解为 ∴a－b=3－2=1 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解法、二元一次方程组的解，理解二元一次方程组的解是本题的关键． 4．（24-25六年级下·上海宝山·期中）甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为乙看错了方程②中的，得到方程组的解为则，的值分别为（    ） A．，6 B．2，6 C．2， D．， 【答案】A 【分析】由于甲看错了方程①中的a，因此把代入方程②中即可求出正确的b的值.由于乙看错了方程②中的，因此把代入方程①中即可求出正确的a的值. 【详解】把代入方程②中得 解得 把代入方程①中得 解得 故选：A 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组错解复原问题，正确理解题意求出，的值是解题的关键. 5．（24-25六年级下·上海长宁·月考）如图，将钢琴上的12个键依次记为，，…，．设．若且，则称，，为原位大三和弦；若且，则称，，为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（   ） A．5 B．8 C．10 D．15 【答案】C 【分析】本题主要考查了解二元一次方程，根据题意不管，，为原位大三和弦还是，，为原位小三和弦都可以推出，据此结合求出方程的正整数解个数即可得到答案． 【详解】解：当，，为原位大三和弦时，则且， ∴， ∴或或或或， ∴原位大三和弦的个数为5个； 当，，为原位小三和弦时，则且， ∴， ∴或或或或， ∴原位小三和弦的个数为5个； ∴用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为， 故选：C． B 提高训练 6．（24-25七年级下·湖北孝感·期末）写出一个解为的二元一次方程组为________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的定义，掌握含有两个未知数，并且未知数的次数是1的整式方程成为解题的关键． 直接根据二元一次方程组的定义写成方程组即可． 【详解】解：依题意，以为解的一个的二元一次方程组为． 故答案为：（答案不唯一）． 7．（24-25七年级下·山东泰安·期中）当m＝_____时，方程（m2﹣4）x2+（m+2）x+（m+1）y＝5是二元一次方程． 【答案】2 【分析】含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程，据此解答即可． 【详解】解：∵方程是二元一次方程， ∴， 解得． 故答案为：2． 【点睛】此题主要考查了二元一次方程的定义，正确把握定义是解题关键． 8．（24-25七年级下·广东韶关·期末）已知关于x，y的方程组与方程组有相同的解，则_____，_____． 【答案】 3 【分析】依据题意重新组成方程组求得，的值，再将，值代入得到关于，的方程组，解方程组即可得出结论． 【详解】解：关于，的方程组与方程组有相同的解， ， 解得：． ， 解得：． 故答案为：；3． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，灵活应用二元一次方程组的解的意义是解题的关键． 9．（24-25六年级下·上海松江·月考）若关于x，y的方程组的解为，则方程组的解为______． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解和解二元一次方程组，理解二元一次次方程组的解是解题的关键． 令，，得到关于X和Y的二元一次方程组的解，再代入并求出x和y即可求解． 【详解】解：令，，则方程组可变形为： ， ∵方程组的解为， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 10．（24-25七年级下·重庆渝中·月考）王老师让全班同学们解关于x、y的方程组，（其中a和b代表确定的数），甲、乙两人解错了，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了②中的b，解得，这个方程组的正确解为_____． 【答案】 【分析】把甲的解代入方程②求出b的值，把乙的解代入①求出a的值，确定出方程组，求出正确的解即可； 【详解】由题意可知， 不是方程①的解， 不是方程②的解， 把 代入方程②中， 得b+4=7，解得：b=3， 把 代入方程①中，得-2+a=1，解得：a=3； 把 代入方程组 - 解得 ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值； C 培优训练 11．（24-25七年级下·吉林长春·期末）已知关于、的方程是二元一次方程，求、的值． 【答案】． 【分析】根据二元一次方程的定义得出且，再求出、即可． 【详解】解：关于、的方程是二元一次方程， 且， 解得：，． 【点睛】本题考查了二元一次方程的定义，能根据二元一次方程的定义得出和是解此题的关键． 12．（25-26六年级下·上海嘉定·周测）判断下列方程组是否为二元一次方程组，并说明理由． （1）；（2）；（3）；（4）；（5）． 【答案】见解析 【分析】根据二元一次方程组的定义可以判断． 【详解】解：（1）中含有3个未知数，所以它不是二元一次方程组； （2）中含有2个未知数，并且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，该方程组符合二元一次方程组的定义，故它们是二元一次方程组； （3）该方程组中一个方程的含有未知数的项的最高次数是2，所以它不是二元一次方程组； （4）该方程组中的一个方程不是整式方程，是分式方程，所以它不是二元一次方程组； （5）中含有2个未知数，并且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，该方程组符合二元一次方程组的定义，故它们是二元一次方程组． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义．一定要紧扣二元一次方程组的定义“由两个二元一次方程组成的方程组”，细心观察排除，得出正确答案． 13．（2025六年级下·上海嘉定·专题练习）在解方程组时，甲由于粗心看错了方程组中的a，求出方程组的解为，乙看错了方程组中的b，求得方程组的解为，甲把a看成了什么？乙把b看成了什么？求出原方程组的正确解． 【答案】甲把a看4，乙把b看成了，原方程组的正确解是 【分析】把代入①可解得看错的a，代入②可解得正确的b，把代入①可解得正确的a，代入②可解得看错的b，进一步即可求出结果； 【详解】解：由题意把代入①得a+6=10，得看错的a=4，把代入②得1+6b=7，解得正确的b=1； 把代入①得-a+12=10，得正确的a=2，把代入②得-1+12b=7，解得看错的b=， 则原方程组为，解得； 所以甲把a看4，乙把b看成了，原方程组的正确解是． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，正确理解题意、熟练掌握二元一次方程组的解法是关键． 14．（24-25七年级下·浙江金华·月考）已知关于，的二元一次方程，是不为零的常数． (1)若是该方程的一个解，求的值； (2)朵拉发现：不论取何值，都是关于，的方程的解．请你求，的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键． （1）根据方程的解的定义，直接把，的值代入方程，即可求出的值； （2）先把方程整理为，可知当，不论取任何一个不为0的值时，都有，从而求出，的值即可得到答案． 【详解】（1）解：将代入方程， 得， 解得． （2）解：原方程可化为， 根据题意，当，不论取任何一个不为0的值时，都有， 解得，， 即，． 15．（24-25七年级下·山东济宁·期末）阅读理解： 三个同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解”提出各自的想法．甲说：“这个题目好象条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论，请你解答下列问题： （1）若方程组的解是，求方程组的解． （2）若方程组的解是，求方程组的解． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据等式的性质可把第二个方程组化成第一个方程组的形式，根据相同的方程组的解也相同，可得关于x、y的二元一次方程组，进而求解即可； （2）把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替代的方法即可得到一个关于x、y的方程组，即可求解． 【详解】解：（1）将中每一个方程的左右两边都除以4，得： ， ∵方程组的解是， ∴，解得：； （2）将中的每一个方程的左右两边都除以5，得： ， ∵原方程组的解为， ∴， 将两个方程相加可得：，① 将中的两个方程相加，可得：②， 由①②得：． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的特殊解，熟练掌握二元一次方程组的相同解是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01二元一次方程组的概念重难点题型专训 （2个知识点+6大题型+3拓展训练+自我检测） 题型一 二元一次方程的定义 题型二 二元一次方程的解 题型三 判断是否是二元一次方程组 题型四 判断是否是二元一次方程组的解 题型五 二元一次方程组的错解复原问题 题型六 方程组相同解问题 拓展训练一 根据定义求字母参数值 拓展训练二 看错系数、错解复原经典压轴 拓展训练三 二元一次方程正整数解求解 知识点一：二元一次方程组的概念 1、二元一次方程 · 定义：含有两个未知数，含未知数的项的次数都是1，且是整式方程 · 一般形式： ， · 三大判定条件（缺一不可） ① 整式方程（分母不含未知数、无根号未知数） ② 只 2 个未知数（x、y） ③ 含未知数项次数 = 1（不是 xy 这种二次乘积） · 解的特点：一个二元一次方程有无数组解 2、二元一次方程组 · 定义：两个整式方程，共含2 个未知数，所有含未知数项次数都是 1，组合成方程组 · 特殊规则：方程组里可以有一元一次方程，依然算二元一次方程组例：{x+y=5x=3​ 是二元一次方程组 【即时训练】 1．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）下列方程中，是二元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26六年级下·上海徐汇·期末）二元一次方程的标准形式为_________________． 知识点二：二元一次方程组的解 1、 二元一次方程的解 适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。 2、 二元一次方程组的解 二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。 【即时训练】 1．（24-25七年级下·贵州黔南·期末）下列是方程的解的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26六年级下·上海黄浦·月考）已知二元一次方程，请写出该方程的一个整数解：__________．（只写一个） 【经典例题一 二元一次方程的定义】 【例1】（25-26七年级下·河北石家庄·期中）下列各式，属于二元一次方程的个数有（   ） ①    ②    ③    ④    ⑤    ⑥    ⑦ A．1 B．2 C．3 D．4 【例2】（25-26七年级下·湖南长沙·期中）若方程是二元一次方程，则________． 1．（24-25六年级下·上海崇明·单元测试）若是二元一次方程，则m，n的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）关于x，y的二元一次方程ax+by=c（a，b，c是常数），b=a+1，c=b+1，对于任意一个满足条件的a，此二元一次方程都有一个公共解，这个公共解为_________． 3．（24-25七年级·全国·假期作业）如果（a﹣2）x+（b+1）y＝13是关于x，y的二元一次方程，则a，b满足什么条件？ 【经典例题二 二元一次方程的解】 【例1】（24-25七年级下·福建漳州·期中）如果是方程的一组解，那么代数式的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【例2】（25-26七年级下·河南周口·月考）写出一个以 为解的二元一次方程：___________(写出一个即可)． 1．（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）“今有六十鹿进舍，小舍容四鹿，大舍容六鹿，需舍几何？（改编自《缉古算经》）”大意为：今有60只鹿进圈舍，小圈舍可以容纳4只鹿，大圈舍可以容纳6只鹿，求所需圈舍的间数．求得的结果有（    ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 2．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）综合与实践：有一个长为90cm，宽为60cm的矩形硬纸板（纸板的厚度忽略不计），如果把这块矩形硬纸板的四个角分别剪去2个同样大小的长方形和2个同样大小的正方形，然后折叠成一个有盖的盒子（如图），该盒子底面的宽和长分别是 xcm和ycm（x和y都是整数，若设计有盖盒子的底面周长大于200 cm，高大于4 cm，则符合条件的x，y的值为______________ （写出一对即可）      3．（25-26七年级上·福建福州·期末）已知是一个三位数，其中a，b，c分别为百位、十位、个位上的数字，且（n为正整数）． (1)当时，用含a的代数式表示n的值； (2)说明可以被3整除； (3)若（k为整数），说明k除以3的余数为1． 【经典例题三 判断是否是二元一次方程组】 【例1】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列方程组中是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25六年级下·上海静安·月考）下列方程组中是二元一次方程组的是______．（填写序号） ①②③④ 1．（24-25七年级下·浙江温州·期中）下列方程组中，是二元一次方程组的是（     ） A． B． C． D． 2．（24-25六年级下·上海嘉定·课后作业）已知方程组是关于，的二元一次方程组，则________． 3．（2025七年级下·浙江·专题练习）判断下列方程组是否为二元一次方程组，并说明理由． (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【经典例题四 判断是否是二元一次方程组】 【例1】（25-26七年级下·四川内江·月考）若是下列某二元一次方程组的解，则这个方程组为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25六年级下·上海嘉定·课后作业）在①②③中，_________是二元一次方程的解，_________是二元一次方程的解，_________是二元一次方程组的解．（填序号） 1．（24-25七年级下·浙江金华·月考）已知二元一次方程组的解是，则表示的方程可能是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·安徽铜陵·期末）现有一条长度为359mm的铜管料，把它锯成长度分别为39mm和29mm的两种不同规格的小铜管，（要求没有余料）．每锯一次损耗1mm的铜管料．为了使铜管料损耗最少，应分别锯成39mm的小铜管______段，29mm的小铜管______段． 3．（24-25六年级下·上海嘉定·单元测试）已知方程：①，②． (1)根据方程①填写下表： x 2 1 ______ ______ y ______ ______ 2 (2)根据方程②填写下表： x 3 ______ ______ y ______ ______ 2 (3)根据以上两表中的数据，直接写出方程组的解． 【经典例题五 二元一次方程组的错解复原问题】 【例1】（24-25六年级下·上海松江·阶段练习）甲、乙两人求二元一次方程的整数解，甲正确地求出一组解为，乙把看成，求得一组解为，则a，b的值为（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·四川绵阳·月考）在解关于的方程组时，甲把方程组中的看成了，求得的解为；乙看错了方程组中的，求得的解为，则_________． 1．（24-25七年级下·云南昆明·期末）甲、乙两人在解方程组时，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了方程②中的，解得，则的值为（    ） A．2 B． C．0 D． 2．（24-25七年级下·山东聊城·月考）甲、乙两人在解方程组时，甲看错了，解得，乙将一个方程中的写成了相反数，解得，则正确的_______，正确的________ ． 3．（24-25六年级下·上海嘉定·课后作业）甲、乙两人共同解方程组解题时由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，试计算的值． 【经典例题六 二元一次方程组的错解复原问题】 【例1】（24-25七年级下·江苏·月考）方程组中，①；②；③；④解相同的是（    ） A．①② B．①③ C．①④ D．②③ 【例2】（25-26六年级下·上海长宁·月考）若关于x，y的方程组的解是，则方程组的解是_____． 1．（24-25七年级下·山东济宁·期末）已知关于，的方程组和有相同的解，那么的算术平方根是（    ） A．0 B． C． D．2 2．（2025七年级上·全国·专题练习）若关于x的方程与有相同的解，则k的值为________． 3．（25-26六年级下·上海嘉定·阶段练习）方程组与方程组的解相同，求的值． 【拓展训练一 根据定义求字母参数值】 【例1】（24-25七年级下·浙江杭州·期中）方程是关于、的二元一次方程，则的值为（     ） A． B．3 C． D．9 【例2】（24-25七年级下·天津·月考）若是关于，的二元一次方程，那么的值为________． 1．（24-25六年级下·上海嘉定·随堂练习）已知方程是关于，的二元一次方程，求，的值． 2．（2025六年级下·上海嘉定·专题练习）关于x，y的二元一次方程均可以变形为的形式，其中a，b，c，均为常数且，，规定：方程的“关联系数”记为． (1)二元一次方程的“关联系数”为______． (2)已知关于x，y的二元一次方程的“关联系数”为，若，为该方程的一组解，且均为正整数，求m，n的值． 3．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）把（其中，是常数，，是未知数）这样的方程称为“雅系二元一次方程”．当时，“雅系二元一次方程”中的值称为“雅系二元一次方程”的“完美值”．例如：当时，“雅系二元一次方程”化为，其“完美值”为． (1)求“雅系二元一次方程”的“完美值”； (2)是“雅系二元一次方程”的“完美值”，求的值； (3)是否存在，使得“雅系二元一次方程”与（是常数）的“完美值”相同？若存在，请求出的值及此时的“完美值”：若不存在，请说明理由． 【拓展训练二 看错系数、错解复原经典压轴】 【例1】（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）甲、乙两位同学在解方程组时，甲把字母看错了得到方程组的解为，乙把字母看错了得到方程组的解为，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【例2】（24-25七年级下·福建泉州·期中）解方程组时，一学生把c看错而得到而正确的解是，那么_____． 1．（24-25七年级下·河南驻马店·期末）甲、乙两位同学在解关于x、y的方程组时，甲同学看错a得到方程的解为，乙同学看错b得到方程组的，求的值． 2．（25-26七年级下·山西临汾·期中）甲、乙两人同时解关于、的方程组时，甲看错了方程中的，解得，乙看错了方程中的，解得，求原方程组的正确解． 3．（24-25七年级下·四川眉山·期中）甲、乙两人同时解方程组，甲解题看错了①中的m，解得，乙解题时看错②中的n，解得 (1)甲把m错看成了什么？乙把n错看成了什么？ (2)试求原方程组的解． 【拓展训练三 二元一次方程正整数解求解】 【例1】（24-25七年级上·安徽合肥·月考）方程在正整数范围内的解（    ） A．有无数对 B．只有一对 C．只有三对 D．以上都不对 【例2】（24-25七年级下·湖北黄冈·期末）若、都是正整数，则二元一次方程的解是______． 1．（2025·甘肃张掖·一模）嘉淇在解关于x的一元一次方程时，发现正整数“”被污染了． (1)【任务1】若这道题的答案是，求“”代表的正整数； (2)【任务2】嘉淇问同学小明，小明也记不清“”的具体值了，只记得这个方程的解是正整数， 嘉淇经过深入思考，将“”设为m，通过计算，很快得到了“”的值，你知道她是怎么计算的吗？请你求出“”的值． 2．（24-25七年级下·云南·期中）阅读下列材料，解答下面的问题： 我们知道方程有无数个解，但在实际生活中我们往往只需求出其正整数解． 例：由，得：．根据x、y为正整数，运用尝试法可以知道方程的正整数解为． 问题： (1)请你直接写出方程的一组正整数解______． (2)若为正整数，则满足条件的正整数x的值有______个． (3)2024-2025学年七年级某班为了奖励学生学习的进步，购买单价为4元的笔记本与单价为6元的钢笔两种奖品，共花费56元，问有哪几种购买方案？ 3．（24-25七年级下·湖北荆州·期末）如图，这是一架天平，天平左盘放有一个物体，质量为克，右盘放有一些砝码，每个砝码的质量为15克，当右盘放有2个相同的砝码时，天平处于平衡状态． (1)若，求天平处于平衡状态时x的值； (2)若一个二元一次方程的解m，n都是正整数，我们把m，n称为该方程的正整数解，如：方程的正整数解为，求天平处于平衡状态下的x，y的正整数值； (3)期中考试后，老师计划购买笔记本和圆珠笔给表现优秀的同学作为奖品，笔记本和圆珠笔的单价均为正整数．若购买5本笔记本，8支圆珠笔，共需要120元，求该方程的所有正整数解． A基础训练 1．（24-25七年级下·河北承德·期末）下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25六年级下·全国·课后作业）已知是关于x、y的二元一次方程，则m、n的值是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·陕西渭南·期末）已知方程组和有相同的解，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 4．（24-25六年级下·上海宝山·期中）甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为乙看错了方程②中的，得到方程组的解为则，的值分别为（    ） A．，6 B．2，6 C．2， D．， 5．（24-25六年级下·上海长宁·月考）如图，将钢琴上的12个键依次记为，，…，．设．若且，则称，，为原位大三和弦；若且，则称，，为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（   ） A．5 B．8 C．10 D．15 B 提高训练 6．（24-25七年级下·湖北孝感·期末）写出一个解为的二元一次方程组为________． 7．（24-25七年级下·山东泰安·期中）当m＝_____时，方程（m2﹣4）x2+（m+2）x+（m+1）y＝5是二元一次方程． 8．（24-25七年级下·广东韶关·期末）已知关于x，y的方程组与方程组有相同的解，则_____，_____． 9．（24-25六年级下·上海松江·月考）若关于x，y的方程组的解为，则方程组的解为______． 10．（24-25七年级下·重庆渝中·月考）王老师让全班同学们解关于x、y的方程组，（其中a和b代表确定的数），甲、乙两人解错了，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了②中的b，解得，这个方程组的正确解为_____． C 培优训练 11．（24-25七年级下·吉林长春·期末）已知关于、的方程是二元一次方程，求、的值． 12．（25-26六年级下·上海嘉定·周测）判断下列方程组是否为二元一次方程组，并说明理由． （1）；（2）；（3）；（4）；（5）． 13．（2025六年级下·上海嘉定·专题练习）在解方程组时，甲由于粗心看错了方程组中的a，求出方程组的解为，乙看错了方程组中的b，求得方程组的解为，甲把a看成了什么？乙把b看成了什么？求出原方程组的正确解． 14．（24-25七年级下·浙江金华·月考）已知关于，的二元一次方程，是不为零的常数． (1)若是该方程的一个解，求的值； (2)朵拉发现：不论取何值，都是关于，的方程的解．请你求，的值． 15．（24-25七年级下·山东济宁·期末）阅读理解： 三个同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解”提出各自的想法．甲说：“这个题目好象条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论，请你解答下列问题： （1）若方程组的解是，求方程组的解． （2）若方程组的解是，求方程组的解． 学科网（北京）股份有限公司 $