第9章 二元一次方程组（知识清单，4知识5易错4重难）数学新教材沪教版五四制六年级下册

第9章 二元一次方程组 知识点01二元一次方程组的概念 1. 二元一次方程：含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的整式方程。 一般形式：（） 2. 二元一次方程的解：使方程左右两边相等的一对未知数的值，记作；二元一次方程有无数组解。 3. 二元一次方程组：由两个二元一次方程组成的方程组。 4. 方程组的解：同时满足方程组中所有方程的一对未知数的值；可能唯一解、无数解、无解。 知识点02二元一次方程组的解法 1. 代入消元法（代入法） 步骤： 1) 变形：把一个方程化为 或 ； 2) 代入：代入另一个方程，消去一个未知数； 3) 求解：先求一个未知数，再回代求另一个。 2. 加减消元法（加减法） 步骤： 1) 化同：使某未知数的系数绝对值相等； 2) 加减：两式相加/减，消去一个未知数； 3) 求解：求出一个，再求另一个。 3. 解法选择： 有“”或“”→优先代入法； 系数成倍数或互为相反数→优先加减法。 知识点03二元一次方程组的应用 1. 解题步骤： ① 审题：找两个等量关系； ② 设元：设两个未知数（直接/间接）； ③ 列方程组：根据两个等量关系列方程； ④ 求解：解二元一次方程组； ⑤ 检验：是否符合题意； ⑥ 作答。 2. 常见等量关系 和差：， 行程：；相遇：；追及： 利润：， 知识点04三元一次方程组（拓展） 基本思路：消元 → 三元→二元→一元。 易错点1. 判断二元一次方程时忽略“整式” 错： 是二元一次方程 正：不是，因为不是整式。 易错点2. 认为二元一次方程只有一组解 错： 只有一组解 正：有无数组，如，等。 易错点3. 解方程组时漏乘常数项（加减法） 错：，①×2得 （漏乘5×2） 正：①×2得 。 易错点4. 代入时未整体代入 错：由代入，写成 正：。 易错点5. 应用题只列一个方程 错：设两个未知数，只找一个等量关系列一个方程 正：必须找到两个独立等量关系，列两个方程。 重难点1：二元一次方程组的判定 1．（24-25六年级下·上海虹口·期末）下列方程组中属于二元一次方程组的有（    ） （1）（2）（3）（4） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：（1）含三个未知数，不属于二元一次方程组，不符合题意． （2）含两个未知数，且每个方程均为一次整式方程，符合题意． （3）含两个未知数，且每个方程均为一次整式方程，符合题意． （4）第一个方程含二次项，不符合题意． 综上，符合条件的有（2）和（3），共2个； 故选：B． 2．（24-25六年级下·上海金山·期末）在下列方程组中，属于二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：、 方程组中含三个未知数、、，属于三元一次方程组，不符合定义，不符合题意； 、方程组中第二个方程为二次方程，属于二元二次方程组，不符合要求，不符合题意； 、方程组为二元一次方程组，符合定义，符合题意； 、方程组中第一个方程含分式，不是整式方程，不符合定义，不符合题意； 故选：． 3．（23-24六年级下·上海青浦·期末）下列方程组中，属于二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：选项A：方程组中，第一个方程为二元一次方程，第二个方程可视为，仍含两个未知数且次数为1，符合条件． 选项B：方程组，含三个未知数，不符合二元要求． 选项C：方程组中，第一个方程含二次项，次数超过1，不符合一次要求． 选项D：方程组中，第二个方程为二次项，次数超过1，不符合要求． 综上，只有选项A是二元一次方程组． 故选：A． 4．（24-25六年级下·上海普陀·期末）下列方程组中，属于二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据二元一次方程组的定义，需满足：①共含两个未知数；②每个方程都是整式方程且次数为一次． A．方程组含三个未知数x、y、z，不符合“二元”条件，排除； B．含分式，不是整式方程，排除； C．含二次项，次数为二次，排除； D．两个方程均为整式方程，仅含x、y两个未知数且次数均为一次，符合定义． 故选：D 重难点2：代入法解方程组 5．（23-24六年级下·上海·月考）解方程组： 【答案】 【详解】解：∵ ∴整理得出 ∴把代入 得 解得 把代入， 得出 ∴ 6．（23-24六年级下·上海浦东新·期末）解方程组：． 【答案】 【详解】解：， 由①得：③， 把③代入②，得， 解得， 把代入③，得， 所以，原方程组的解为． 7．（24-25六年级下·上海·月考）解方程组： 【答案】 【详解】解： 把①代入②得：， 解得： 把代入①得： ∴原方程组的解为． 8．（23-24六年级下·上海青浦·期末）解方程组： 【答案】 【详解】解： 由①得， 把代入②，得， 解得， 把代入，得， ∴方程组的解为． 9．（24-25六年级下·上海奉贤·期中）解方程组： 【答案】 【详解】解：， 由可知：， 将代入得：， 即， 将、代入得：， 解得：， 将代入得：， 将代入得：， ∴． 10．（24-25六年级下·上海嘉定·期末）解方程组：． 【答案】 【详解】解：由 ，直接将 代入第二个和第三个方程，可得到关于 和 的方程组 将方程得, 解得： ， 将 代入方程②得 ， 解得 ， 方程组的解为 重难点3：加减法解方程组 11．（24-25六年级下·上海·月考）解方程组：． 【答案】 【详解】解：， 由可得：， 解得， 将代入①可得：， ∴， ∴原方程组的解为． 12．（24-25六年级下·上海·阶段检测）解方程组：． 【答案】 【详解】解：， 由可得：， 解得：， 将代入①可得：， 解得：， ∴原方程组的解为． 13．（24-25六年级下·上海宝山·期末）解方程组：． 【答案】 【详解】解：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴二元一次方程组的解为：． 14．（23-24六年级下·上海崇明·期末）解方程组： 【答案】 【详解】解：方程组变形为 ，得：， 解得， 将代入，得：， 解得， 故该方程组的解为． 15．（24-25六年级下·上海宝山·期末）解方程组： 【答案】 【详解】解：②+③得， 解得：， ①+③得，④ 将代入④得， 解得：， 将，，代入①得， 解得： ∴原方程组的解为 16．（24-25六年级下·上海徐汇·期末）解方程组：． 【答案】 【详解】解： 得，， 故 得，， 解得， 把代入，得， 解得， 把，都代入，得， 解得， 故方程组的解为． 17．（24-25六年级下·上海青浦·期末）（1）解方程组： （2）解方程组： 【答案】（1）；（2） 【详解】解：（1）， 得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， 故原方程组的解为； （2）， 得：④， 得：⑤， 得：， 解得：， 将代入⑤得：， 解得：， 将，代入③得：， 解得：， 故原方程组的解为． 18．（24-25六年级下·上海宝山·期末）（1）解方程组： （2）解方程组： 【答案】（1）（2） 【详解】解：（1）， ，得， ，得， 解得：， 把代入①，得， 解得：， ∴方程组的解为； （2） 得：， 得：， ∴ 把分别代入得 解得 ∴方程组的解为 重难点4：应用题 19．（2024六年级下·上海·专题练习）邮购某种期刊，数量不超过100册需另加购书总价的的邮费；数量为100册及以上免收邮费，另外购书总价还优惠．已知这种期刊每册定价为5元，某单位两次共邮购200册（第一次邮购不满100册，第二次邮购超过100册），总计960元．问该单位两次各邮购多少册？ 【答案】该单位两次邮购期刊的册数分别是60册和140册 【详解】解：设该单位第一次邮购册，第二次邮购册， 由题意得：， 解得：． 答：该单位两次邮购期刊的册数分别是60册和140册． 20．（2024六年级下·上海·专题练习）甲、乙两书架各有若干本书．如果从乙架拿5本书放到甲架上，那么甲架上的书就比乙架上剩余的书多4倍；如果从甲架拿5本书放到乙架上，那么此时甲架上的书是乙架上的书的3倍，问原来甲架、乙架各有书多少本？ 【答案】原来甲架有书95本，乙架有书25本 【详解】解：设原来甲架有书本，乙架有书本， 根据题意得：， 解得：， 答：原来甲架有书95本，乙架有书25本． 21．（24-25六年级上·上海嘉定·期末）在课余活动中，小杰、小明和小丽一起玩飞镖游戏，飞镖盘上A区域所得分值和B区域所得分值不同，每人各投4次飞镖，其落点如图所示，已知小杰和小明的4次飞镖总分分别是分和分．求小丽的4次飞镖总分． 【答案】小丽的4次飞镖总分为分． 【详解】解：设A区域所得分值为x分，B区域所得分值为y分，依题意得： ， 解得：， ． 答：小丽的4次飞镖总分为分． 22．（2024六年级下·上海·专题练习）甲乙两仓库分别贮存粮食600吨和250吨，如果从甲仓库运出粮食的重量比乙仓库运出粮食的重量的3倍还多140吨，那么甲仓库所剩粮食的重量与乙仓库所剩粮食的重量相等．问甲乙两仓库各运出了多少吨粮食． 【答案】甲仓库运出了455吨粮食，乙仓库运出了105吨粮食 【详解】解：设甲仓库运出了吨粮食，乙仓库运出了吨粮食． 由题意，得， 解得， 答：甲仓库运出了455吨粮食，乙仓库运出了105吨粮食． 23．（23-24六年级下·上海·期末）将8块相同的小长方形放入一个大长方形中（无重叠），仅形成两块空隙（用阴影表示的部分），数据如图所示，且左边阴影部分的周长比右边阴影部分的周长大4，求：小长方形的长和宽各是多少？ 【答案】小长方形的长是，宽是 【详解】解：根据题意得： 整理得： 解得：， 答：小长方形的长是，宽是． 24．（2024六年级下·上海·专题练习）某商场销售、两种商品，若购买种商品3件和种商品2件，需花费60元，若购买种商品5件和种商品3件，共需花费95元． (1)求、两种商品单价各是多少元？ (2)学校开运动会准备购买、两商品共100件，现种商品单价不变，种商品打八折出售，为此学校共花费1100元，求购买种商品的数量． 【答案】(1)、两种商品单价各是10元、15元 (2)购买种商品50件 【详解】（1）解：设、两种商品单价各是元、元， ， 解得，， 答：、两种商品单价各是10元、15元； （2）解：设购买种商品件， ， 解得，， 答：购买种商品50件． 25．（2023·上海普陀·三模）《九章算术》是我国乃至世界数学史上的瑰宝，尤其是方程思想 (1)“方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”如： 从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数，的系数与相应的常数项，即可表示方程，求： 表示的方程 (2)我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”意思是：“几个人一起去购买某物品，每人出8钱，则多出3钱；每人出7钱，则还差4钱．问人数、物品的价格分别是多少？” 【答案】(1) (2)共有7人；物品的价格为53元 【详解】（1） 解：表示的方程是； （2）解：设有人，则物品的价格为钱，由题意可得， ， 解得：， ∴， 答：共有7人；物品的价格为53元． 26．（2024六年级下·上海·专题练习）甲、乙两公司全体员工踊跃参与“携手防疫，共渡难关”捐款活动，甲公司人均捐款120元，乙公司人均捐款100元，如图是甲、乙两公司员工的一段对话．    (1)甲、乙两公司各有多少人？ (2)甲、乙两公司共捐款多少元？ (3)在第（2）问的情况下，现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买、两种防疫物资，种防疫物资每箱1500元，种防疫物资每箱1200元．若购买种防疫物资不少于20箱，并恰好将捐款用完，有几种购买方案？请设计出来（注、两种防疫物资均需购买，并按整箱配送）． 【答案】(1)甲公司有150人，乙公司有180人； (2)甲、乙两公司共捐款36000元； (3)共有2种购买方案，方案1：购买8箱种防疫物资，20箱种防疫物资；方案2：购买4箱种防疫物资，25箱种防疫物资． 【详解】（1）解：设甲公司有人，则乙公司有人， 根据题意得：， 解得：． 答：甲公司有150人，乙公司有180人； （2）解： （元． 答：甲、乙两公司共捐款36000元； （3）解：设购买箱种防疫物资，箱种防疫物资， 根据题意得：， ． 又，均为正整数，且， 或， 共有2种购买方案， 方案1：购买8箱种防疫物资，20箱种防疫物资； 方案2：购买4箱种防疫物资，25箱种防疫物资． 27．（23-24六年级下·上海松江·期末）某网约车公司推出两种服务：一种是“独享”：规定车主“一对一服务”，每次只服务一个订单；另一种“拼车”：每次可以服务两个订单，时间相近、行程方向一致的乘客被车主接单同行．付费规则如下： 路程（公里） 独享 拼车 不超过3公里 10元 8元 超过3公里不超过10公里的部分 元/公里 元/公里 超过10公里的部分 1元/公里 元/公里 例如，小李选择“独享”乘车，路程是15公里，费用为元． (1)如果小李选择“独享”乘车一次，付费16元，那么乘车路程是多少公里？ (2)如果小李两次出行都选择“独享”乘车，且乘车路程都超过3公里，两次乘车路程共23公里，合计付费43元，那么小李两次乘车路程各为多少公里？ (3)如果小李两次出行分别选择“独享”乘车和“拼车”（与另一乘客同路），两次乘车路程都超过10公里且为整数，共付费元，那么小李两次乘车路程各为多少公里？ 【答案】(1)乘车路程是7公里 (2)小李两次乘车路程各为8公里和15公里 (3)小李选择“独享”乘车的路程为12公里，选择“拼车”乘车的路程为15公里 【详解】（1）设乘车路程是x公里， ，， ， 根据题意得： ， 解得， 答：乘车路程是7公里； （2）设较短的一次乘车路程是y公里，则较长的一次乘车路程是公里， 当时，， 解得， ； 当时，， 此时无解，舍去； 答：小李两次乘车路程各为8公里和15公里； （3）设小李选择“独享”乘车的路程为m公里，选择“拼车”乘车的路程为n公里， 根据题意得：， ， 又，，且m，n均为整数， ， 答：小李选择“独享”乘车的路程为12公里，选择“拼车”乘车的路程为15公里． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第9章 二元一次方程组 知识点01二元一次方程组的概念 1. 二元一次方程：含有____个未知数，并且含未知数的项的____都是____的____方程。 - 一般形式：________（） 2. 二元一次方程的解：使方程左右两边相等的________的值，记作________；二元一次方程有____组解。 3. 二元一次方程组：由________组成的方程组。 4. 方程组的解：同时满足方程组中________的一对未知数的值；可能____、____、____。 知识点02二元一次方程组的解法 1. 代入消元法步骤： ① ________；② ________；③ ________。 2. 加减消元法步骤： ① ________；② ________；③ ________。 3. 解法选择：有“”或“”→优先____；系数成倍数或互为相反数→优先____。 知识点03二元一次方程组的应用 1. 解题步骤：①____；②____；③____；④____；⑤____；⑥____。 2. 常见等量关系： 和差：________，________ 行程：________；相遇：________；追及：________ 利润：________，________ 知识点04三元一次方程组（拓展） 基本思路：________ → ____元→ ____元→ ____元。 易错点1. 判断二元一次方程时忽略“整式” 错： 是二元一次方程 正：不是，因为不是整式。 易错点2. 认为二元一次方程只有一组解 错： 只有一组解 正：有无数组，如，等。 易错点3. 解方程组时漏乘常数项（加减法） 错：，①×2得 （漏乘5×2） 正：①×2得 。 易错点4. 代入时未整体代入 错：由代入，写成 正：。 易错点5. 应用题只列一个方程 错：设两个未知数，只找一个等量关系列一个方程 正：必须找到两个独立等量关系，列两个方程。 重难点1：二元一次方程组的判定 1．（24-25六年级下·上海虹口·期末）下列方程组中属于二元一次方程组的有（    ） （1）（2）（3）（4） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25六年级下·上海金山·期末）在下列方程组中，属于二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24六年级下·上海青浦·期末）下列方程组中，属于二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25六年级下·上海普陀·期末）下列方程组中，属于二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 重难点2：代入法解方程组 5．（23-24六年级下·上海·月考）解方程组： 6．（23-24六年级下·上海浦东新·期末）解方程组：． 7．（24-25六年级下·上海·月考）解方程组： 8．（23-24六年级下·上海青浦·期末）解方程组： 9．（24-25六年级下·上海奉贤·期中）解方程组： 10．（24-25六年级下·上海嘉定·期末）解方程组：． 重难点3：加减法解方程组 11．（24-25六年级下·上海·月考）解方程组：． 12．（24-25六年级下·上海·阶段检测）解方程组：． 13．（24-25六年级下·上海宝山·期末）解方程组：． 14．（23-24六年级下·上海崇明·期末）解方程组： 15．（24-25六年级下·上海宝山·期末）解方程组： 16．（24-25六年级下·上海徐汇·期末）解方程组：． 17．（24-25六年级下·上海青浦·期末） （1）解方程组： （2）解方程组： 18．（24-25六年级下·上海宝山·期末） （1）解方程组： （2）解方程组： 重难点4：应用题 19．（2024六年级下·上海·专题练习）邮购某种期刊，数量不超过100册需另加购书总价的的邮费；数量为100册及以上免收邮费，另外购书总价还优惠．已知这种期刊每册定价为5元，某单位两次共邮购200册（第一次邮购不满100册，第二次邮购超过100册），总计960元．问该单位两次各邮购多少册？ 20．（2024六年级下·上海·专题练习）甲、乙两书架各有若干本书．如果从乙架拿5本书放到甲架上，那么甲架上的书就比乙架上剩余的书多4倍；如果从甲架拿5本书放到乙架上，那么此时甲架上的书是乙架上的书的3倍，问原来甲架、乙架各有书多少本？ 21．（24-25六年级上·上海嘉定·期末）在课余活动中，小杰、小明和小丽一起玩飞镖游戏，飞镖盘上A区域所得分值和B区域所得分值不同，每人各投4次飞镖，其落点如图所示，已知小杰和小明的4次飞镖总分分别是分和分．求小丽的4次飞镖总分． 22．（2024六年级下·上海·专题练习）甲乙两仓库分别贮存粮食600吨和250吨，如果从甲仓库运出粮食的重量比乙仓库运出粮食的重量的3倍还多140吨，那么甲仓库所剩粮食的重量与乙仓库所剩粮食的重量相等．问甲乙两仓库各运出了多少吨粮食． 23．（23-24六年级下·上海·期末）将8块相同的小长方形放入一个大长方形中（无重叠），仅形成两块空隙（用阴影表示的部分），数据如图所示，且左边阴影部分的周长比右边阴影部分的周长大4，求：小长方形的长和宽各是多少？ 24．（2024六年级下·上海·专题练习）某商场销售、两种商品，若购买种商品3件和种商品2件，需花费60元，若购买种商品5件和种商品3件，共需花费95元． (1)求、两种商品单价各是多少元？ (2)学校开运动会准备购买、两商品共100件，现种商品单价不变，种商品打八折出售，为此学校共花费1100元，求购买种商品的数量． 25．（2023·上海普陀·三模）《九章算术》是我国乃至世界数学史上的瑰宝，尤其是方程思想 (1)“方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”如： 从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数，的系数与相应的常数项，即可表示方程，求： 表示的方程 (2)我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”意思是：“几个人一起去购买某物品，每人出8钱，则多出3钱；每人出7钱，则还差4钱．问人数、物品的价格分别是多少？” 26．（2024六年级下·上海·专题练习）甲、乙两公司全体员工踊跃参与“携手防疫，共渡难关”捐款活动，甲公司人均捐款120元，乙公司人均捐款100元，如图是甲、乙两公司员工的一段对话．    (1)甲、乙两公司各有多少人？ (2)甲、乙两公司共捐款多少元？ (3)在第（2）问的情况下，现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买、两种防疫物资，种防疫物资每箱1500元，种防疫物资每箱1200元．若购买种防疫物资不少于20箱，并恰好将捐款用完，有几种购买方案？请设计出来（注、两种防疫物资均需购买，并按整箱配送）． 27．（23-24六年级下·上海松江·期末）某网约车公司推出两种服务：一种是“独享”：规定车主“一对一服务”，每次只服务一个订单；另一种“拼车”：每次可以服务两个订单，时间相近、行程方向一致的乘客被车主接单同行．付费规则如下： 路程（公里） 独享 拼车 不超过3公里 10元 8元 超过3公里不超过10公里的部分 元/公里 元/公里 超过10公里的部分 1元/公里 元/公里 例如，小李选择“独享”乘车，路程是15公里，费用为元． (1)如果小李选择“独享”乘车一次，付费16元，那么乘车路程是多少公里？ (2)如果小李两次出行都选择“独享”乘车，且乘车路程都超过3公里，两次乘车路程共23公里，合计付费43元，那么小李两次乘车路程各为多少公里？ (3)如果小李两次出行分别选择“独享”乘车和“拼车”（与另一乘客同路），两次乘车路程都超过10公里且为整数，共付费元，那么小李两次乘车路程各为多少公里？ 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $