6.4.3 余弦定理课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.4.3 余弦定理、正弦定理（1）之余弦定理 温州科技高级中学 张明 同学们，为什么SSS，SAS，ASA，AAS可以判定两个三角形全等？ 答：那是因为一个三角形只要知道SSS，SAS，ASA，AAS，那这个三角形就可以确定。同学们不妨在纸上画画看。 注：SAA就是AAS，只是数的时候一个是顺时针一个是逆时针。 一个三角形含有各种各样的几何量，例如三边边长、三个内角的度数、面积等，它们之间存在着确定的关系：例如，在初中，我们得到过勾股定理、锐角三角函数，这是直角三角形中的边、角定量关系.对于一般三角形，我们已经定性地研究过三角形的边、角关系，得到了SSS、SAS、ASA、AAS等判定三角形全等的方法。这些判定方法表明，给定三角形的三个角、三条边这六个元素中的某些元素，这个三角形就是唯一确定的.那么三角形的其他元素与给定的某些元素有怎样的数量关系？ 下面我们利用向量方法例究这个问题 引入： 我们知道，两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，这说明，给定两边及其夹角的三角形是唯一确定的.也就是说，三角形的其他边、角都可以用这两边及其夹角来表示. 那么，表示的公式是什么？ 探究 在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c，怎样用a，b和C表示c？ 因为涉及的是三角形的两边长和它们的夹角，所以我们考虑用向量的数量积来探究 如图6.4-8，设，.，那么 . 我们的研究目标是用，和C裴示，联想到数量积的性质=，可以考虑用向量（即）与其自身作数量积运算 由（1)得 =-2 =+²-2lcosC 所以 c²=a²+-b²-2abcosC 同理可得 =b²+c²-2bccosA， =+-2cacosB 于是，我们得到了三角形中边角关系的一个重要定理: 从这里的推导过程，你感受到向量运算的力量了吗？ 余弦定理：三角形的任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即 =b²+c²-2bccosA， = -2cacosB c²=a²+-b²-2abcosC 利用余弦定理，我们可以从三角形已知的两边及其夹角 直接求出第三边。 你能用其他方法证明余弦定理吗？ 同学们如何学习数学比如如何学习一个定理？ 我们要站在人类文明的高度来学习定理。数学星空，群星闪耀，每一个定理都是当时数学家的一大成就。许多定理不但一个数学家在研究，而且是许多数学家在研究，有古代、近代、现代、当代数学家，有同时代的数学家，有不同时代的数学家。所以我们看到一个定理就要想到它有许多证法，因为每个数学家起码提供一种证法。教材只是选了其中一种证法。比如勾股定理，从古到今，它有367多种证法。你只要百度：勾股定理有多少种证法，就搜索到了。 有的人会说，其实一些证法我也会。那是因为现在的高中生知识面比古代比如古希腊时代数学家更广更博学。人类一天天聪明，且能够做到让过去只有数学家才能懂的知识让小孩子也懂。比如爱因斯坦的相对论，现在的高中生也能懂，这还不到一百年的时间。当爱因斯坦刚提出相对论时全世界只有四五个人懂，现在全世界有几千万人懂相对论。 ①证明余弦定理的坐标法 如图6-22，以△ABC的顶点A为原点，边AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系.设BC，CA，AB的长分别为a，b，c，则点B的坐标为（c，0），并且不论A是锐角、钝角还是直角，由三角函数的定义知，点C的坐标始终为（bcosA，bsinA）。 由两点间的距离公式，得BC=（bcosA一c）²十（bsinA一0）²，即 =b²cos²A-2bcosA+c²+b²sin²A，所以a²=b²+c²-2bccosA 同理，若以顶点B为原点，边BC所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，或以顶点C为原点：边CA所在的直线为x轴：建立平面直角坐标系：不难得到 b²=c²+a²-2cacosB，=a²+b²-2abcosC ②证明余弦定理的几何法 如图6-23，当三角形是锐角三角形时 过点B作BD⊥AC，垂足为D，则 BC²=CD²+BD²=（AC-AD）²+BD² =AC²-2AC·AD+AD²+ = =AC²+AB²-2AC·AD 因为BC=a，AC=b，AB=c，AD=ABcosA=ccosA， 所以a²=b²+c²-2bccosA 如图6-24：当三角形是钝角三角形时，不妨设A为钟角：过点B作AC的垂线：与CA的延长线相交于点D，则 BC²=CD²+BD²=（AC+AD）²+ =+2AC·AD+AD²+ =AC²+AB²+2AC·AD 因为BC=a，AC=b，AB=c，AD=ABcos（180°-A）= -ccosA，所以a²=b²+c²-2bccosA 当三角形是直角三角形时，不妨设A为直角，此时也有=b²十c²-2bccosA. 注：余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系，同学们理解这句话吗？ 答：只要仔细观察余弦定理的公式特点就可以了。余弦定理公式中有边a、b、c，及其中一个角或A，或B，或C。 问：为什么已知三角形的三边就可以求三内角？ 答：三角形三边只要一确定，三角形就固定，于是三内角就固定，所以已知三边就可以求出三内角。你可以在纸上画画看。 总结：为什么会有余弦定理及其变形？ 那是因为已知两边及夹角这三角形就能确定，所以才有余弦定理。已知三边这三角形也能确定，所以才有余弦定理的变形。 思考 余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系，应用余弦定理，我们可以解决已知三角形的三边确定三角形的角的问题，怎么确定呢？ 由余弦定理，可以得到如下推论： cosA= cosB= cosC= 利用推论，可以由三角形的三边直接计算出三角形的三个角从余弦定理及其推论可以看出，三角函数把几何中关于三角形的定性结论变成了可定量计算的公式。 余弦定理及其推论把 用“SAS”和“SSS”判定三角形全等的方法从数量化的角度进行了刻画。 同学们，这节课我们知道了科技发展的一般规律。 那就是从定性（初中）到定量（高中）。那什么是从定性到定量？ 答：不严格讲就是从模糊到精确，从整体到局部，从宏观到微观，由大到小，由远到近，由外到内。 思考 勾股定理指出了直角三角形中三边之间的关系，余弦定理则指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系，你能说说这两个定理之间的关系吗？ 那好，解哪类三角形呢？ 这两类解三角形需要死记硬背吗？ 答：观察公式特点就自然知道余弦定理解这两类三角形。 如果△ABC中有一个角是直角，例如，C=90°，这时cosC=0.由余弦定理可得 c²=a²十6²，这就是勾股定理.由此可见，余弦定理是勾股定理的推广，而勾股定理是余弦定理的特例。 一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形（solving.triangles） 余弦定理及其推论的应用 利用余致定理及其推论，可以解决如下两类解一角形的问题 ①已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角； ②已知三边，求三个角 例5 在△ABC中，已知b=60cm，c=34cm，A=41°，解这个三角形（角度精确到1°，边长精确到1cm） 解：由余弦定理，得 a²=b²+c²-2bccosA =60²+34²-2×60×34×cos41 1676.78. 所以 a41(cm) 由余弦定理的推论，得 cosB=- 利用计算器，可得B≈106° 所以C=180°-（A+B）≈180°一（41°+106°）=33° 例6在△ABC中，a=7，b=8，锐角C满足sinC=，求B(精确到1°) 分析：由条件可求cosC：再利用余弦定理及其推论可求出B的值 解：因为sinC=,且C为锐角， 所以 cosC== 由余弦定理：得 c²=+b²-2abcosC=49+64-2×7×8×=9 所以c=3， 进而 cosB= 利用计算器，可得 B98° 例7⊿ABC中，如果有性质acosA=bcosB,试问这个三角形的形状具有什么特点？ 注：此题无几何法。 解法1：a 或 解法2： 2A=2B或2A+2B= 结论：⊿ABC或是直角三角形或是等腰三角形。 例8⊿ABC中，如果有性质acosB=bcosA,试问这个三角形的形状具有什么特点？ 解：a 解2： 解3： CD是AB的 垂直平分线，所 以a=b 结论:⊿ABC是等腰三角形。 作业：P52页习题6.4第6题。 $