精品解析：四川安岳中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

安岳中学高2024级第四学期半期考试 数 学 试 题 考试时间:120分钟；满分：150分 一、单选题（本题含8小题，每题5分，共40分） 1. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A. 在区间上单调递减 B. 在处取得极大值 C. 在区间上单调递减 D. 在处取得极小值 2. 已知为正项等比数列，若，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. .集合，从中各任意取一个数，构成一个点的坐标，则所有点的个数为（ ） A. 11 B. 12 C. 8 D. 6 4. 已知数列满足，则（ ） A. 1 B. 5 C. D. 5. 若直线（）是曲线与曲线（）的公切线，则（ ） A. 1 B. 2 C. e D. 6. 若函数在定义域上恰有三个零点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 7. 已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列的前项和，设为数列的前项和.若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题含3小题，每题6分，共18分） 9. A，，，，五个人并排站在一起，下列说法正确的是（ ） A. 若A，不相邻，有72种排法 B. 若A，不相邻，有48种排法 C. 若A，相邻，有48种排法 D. 若A，相邻，有24种排法 10. 设数列的前n项和为，满足.则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 是等比数列 D. 若，数列前n项和，则 11. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，．则下列结论正确的是（ ） A. 函数有三个零点 B. 当时， C. ，，都有 D. 若方程有三个解，则实数的取值范围是 三、填空题（本题含3小题，每题5分，共15分） 12. 在数列中，，（为正整数），则__________. 13. 用0，1，2，3，4能组成___________个无重复数字的三位偶数.（用数字作答） 14. 已知函数有两个极值点，则a的最小整数值为________． 四、解答题（共5小题，共77分） 15. 已知函数． （1）求函数的单调区间和极值． （2）若对恒成立，求实数的取值范围． 16. 已知数列是公差不为0的等差数列，其前项和为，且成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）若，数列的前n项和为，求证： 17. 已知函数，． （1）讨论函数的单调性； （2）若函数在区间上的最小值为1，求的值． 18. 已知数列的首项，且满足． （1）求证：数列为等比数列； （2）记，求数列的前项的和； （3）若，求满足条件的最大整数． 19. 已知函数，其中. （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）若函数在定义域上单调递增，求实数的取值范围； （3）若在上存在两个极值点，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安岳中学高2024级第四学期半期考试 数 学 试 题 考试时间:120分钟；满分：150分 一、单选题（本题含8小题，每题5分，共40分） 1. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A. 在区间上单调递减 B. 在处取得极大值 C. 在区间上单调递减 D. 在处取得极小值 【答案】C 【解析】 【详解】选项A，当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减，故选项A错误； 选项B，当时，，则在上单调递增， 则在处不能取得极大值，故选项B错误； 选项C，当时，， 则在上单调递减，故选项C正确； 选项D，时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递增， 则在处不能取得极小值，故选项D错误. 2. 已知为正项等比数列，若，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【详解】由数列为正项等比数列，得， 所以. 3. .集合，从中各任意取一个数，构成一个点的坐标，则所有点的个数为（ ） A. 11 B. 12 C. 8 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】先利用计数原理得出所有的个数，再减去重复数字即可. 【详解】分两种情况讨论： 情况一，从集合A中取数作横坐标，从集合B中取数作纵坐标， 则有个元素，有个元素，共可构成个点： 情况二，从集合B中取数作横坐标，从集合A中取数作纵坐标， 则有个元素，有个元素，共可构成个点： 两种情况中，重复计算了横、纵坐标均来自集合 的点，即点 ， 因此，所有不同点的个数为 . 4. 已知数列满足，则（ ） A. 1 B. 5 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，推出数列的周期为3，由此求解即可. 【详解】因为， 所以，， ，， …… 所以数列为周期数列，周期为3， 又因为， 所以. 5. 若直线（）是曲线与曲线（）的公切线，则（ ） A. 1 B. 2 C. e D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查导数的几何意义，考查数学运算的核心素养．首先求导，设出曲线上的切点坐标后列方程组求得公切线的斜率，再结合曲线列方程求解. 【详解】令，，则，． 设直线与曲线相切于点， 则，解得，所以公切线，即. 令，解得，所以，解得． 故选：B. 6. 若函数在定义域上恰有三个零点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先考虑时，根据零点存在定理确定此时函数有一个零点，结合题意可知时，有两个零点，对函数求导，利用导函数得到函数的单调性，求出函数的最小值为，和端点函数值，构造不等式求解即可. 【详解】当时，则，， 所以在上单调递增，且，， 在内存在唯一零点； 因为函数在其定义域内恰有三个零点， 所以当时，有两个零点， ，令，则或（舍去）， 在上单调递减，在上单调递增， 又当，时，，且，当时，， 所以当时，有两个零点时， 需满足，解得. 7. 已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对不等式进行变形为，进而把问题转化为函数在区间上单调增，再转化为在上成立的问题， 再通过分离参数，最后构造函数求解问题. 【详解】当时，不等式恒成立 可变形为, 设, 那么当时,有,即在区间上单调增， 在上成立，即, 设,那么, 令,得 , 令,得 , 令,得 , 所以，函数在处取得极小值，也就是最小值， ,,实数a的取值范围为. 【点睛】本题主要考查导数的应用，关键点在于：对不等式进行变形为,进而把问题转化为函数在区间上单调增是;最后，构造函数,通过导数来求极值与最值,属于较难题. 8. 已知数列的前项和，设为数列的前项和.若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据的关系求出数列的通项公式，再根据裂项相消法求得，从而根据不等式恒成立求实数的取值范围. 【详解】当时，， 当时满足上式， 所以， 所以， 所以 所以， 由可得， 即恒成立， 因为对勾函数在单调递增， 所以当时有最小值为64， 所以， 故选:A. 二、多选题（本题含3小题，每题6分，共18分） 9. A，，，，五个人并排站在一起，下列说法正确的是（ ） A. 若A，不相邻，有72种排法 B. 若A，不相邻，有48种排法 C. 若A，相邻，有48种排法 D. 若A，相邻，有24种排法 【答案】AC 【解析】 【分析】求得A，不相邻时的排法总数判断选项AB；求得A，相邻时的排法总数判断选项CD. 【详解】A，，，，五个人并排站在一起，若A，不相邻， 则先让，，自由排列，再让A，去插空即可， 则方法总数为（种）.则选项A判断正确；选项B判断错误； A，，，，五个人并排站在一起，若A，相邻， 则将A，“捆绑”在一起，视为一个整体，与，，自由排列即可， 则方法总数为（种）.则选项C判断正确；选项D判断错误. 故选：AC 10. 设数列的前n项和为，满足.则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 是等比数列 D. 若，数列前n项和，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据关系及等比数列的定义求数列的通项公式，进而判断A、B、C，应用裂项相消法求判断D. 【详解】当时，，解得. 当时，， ，即， 数列是以首项为2，公比为2的等比数列，故. A，，正确； B，， ， ，错误； C，，则， 是以4为首项，2为公比的等比数列，正确； D，， ， ， ，正确. 11. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，．则下列结论正确的是（ ） A. 函数有三个零点 B. 当时， C. ，，都有 D. 若方程有三个解，则实数的取值范围是 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项，由时求出函数的零点，再根据奇函数的性质可得另外两个零点；B选项，根据奇函数的定义即可求对称区间的函数表达式；C选项，利用导数分析函数在时的单调区间和极值，从而可得函数任意两点差的最大值范围；D选项，方程的解转化为函数图象的交点情况，结合函数的大致图象即可得范围. 【详解】对于A：当时，令，得， 又因为函数是定义在上的奇函数，所以，， 所以有三个零点，故A正确； 对于B： 当时，，则， 因为是定义在上的奇函数，所以，故B错误； 对于C：当时，， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以在取到极大值，极大值为， 且当时，；，， 所以根据是奇函数，可作出的大致图象如下： 由图可知，，，都有， 所以，故C正确； 对于D：若方程有三个解，则与有三个公共点， 所以，即，故D错误. 三、填空题（本题含3小题，每题5分，共15分） 12. 在数列中，，（为正整数），则__________. 【答案】15 【解析】 【分析】根据累加法求解即可. 【详解】由，则，，，， 则， 即，所以. 13. 用0，1，2，3，4能组成___________个无重复数字的三位偶数.（用数字作答） 【答案】30. 【解析】 【分析】按照0是否在末位分类讨论可得；或先从0，2，4中任选一个数作为个位数，然后从剩下的4个数字中任选2个排在十位和百位，这里还含有百位为0的数字，再减去百位为0的偶数可得答案. 【详解】方法一：末位是0的有：， 末位不是0的有：， 共有12＋18＝30个． 方法二：排除法（个位是偶数的情况下，去掉百位是零的情况）： 故答案为：30. 14. 已知函数有两个极值点，则a的最小整数值为________． 【答案】3 【解析】 【分析】由题意得出有两个变号零点，把进行同构变形为，利用导数知识得出问题等价于,即在上有两个不等的实根，然后通过确定函数的性质得出范围，从而得出的范围结论． 【详解】的定义域是,, 由题意在上有两个变号的零点， 设，则在上有两个相异实根，等价于方程在上有两个相异实根， 方程化为，即， 设，则在上恒成立， 所以在上是增函数， 又，因此，即， 所以问题等价于,即在上有两个不等的实根， 设，则， 当时，，在上递增， 当时，，在上递减， 所以函数在处取得极大值， 作出的大致图象及直线，如图， 由图可知当时，直线与函数的图象有两个交点， 又，所以所求的范围是，从而的最小整数值为3. 四、解答题（共5小题，共77分） 15. 已知函数． （1）求函数的单调区间和极值． （2）若对恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） 增区间为、，减区间为， 函数的极大值为，极小值为. （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数与函数单调性之间的关系可求得函数的增区间和减区间，即求得函数的极大值和极小值； （2）利用导数求出函数在区间上的最小值，可得出，由此可解得实数的取值范围. 【小问1详解】 因为，则， 令，可得或，列表如下： 增 极大值 减 极小值 增 所以，函数的增区间为、，减区间为， 函数的极大值为，极小值为. 【小问2详解】 由（1）可知，函数在区间上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 且，， 故当时，， 因为对恒成立，则，解得， 因此，实数的取值范围是. 16. 已知数列是公差不为0的等差数列，其前项和为，且成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）若，数列的前n项和为，求证： 【答案】（1） （2） 由（1）得， 则 【解析】 【分析】（1）根据等差数列前n项和公式及等比中项性质，求出的值，代入公式，即可得答案 （2）由（1）得，根据裂项相消求和法，可得表达式，分析即可得证. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 则①， 又成等比数列，所以，则， 整理得②， 联立①②，解得， 所以. 【小问2详解】 略 17. 已知函数，． （1）讨论函数的单调性； （2）若函数在区间上的最小值为1，求的值． 【答案】（1） 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2） 【解析】 【分析】（1）求导得解析式，分别讨论和两种情况，根据的正负，可得的单调区间，综合分析，即可得答案. （2）分别讨论、、和四种情况，根据的正负，可得的单调性，求出的最小值，根据条件，求出a值，综合分析，即可得答案. 【小问1详解】 因为，函数的定义域为， 所以， 当时，恒成立，则在上单调递减； 当时，令，解得或（舍去）， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增. 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 当时，，则在上单调递减， 所以，解得，不合题意，故舍去； 当时，若即，则在上单调递增， 所以，解得，符合题意； 若即，则在上单调递减， 所以，解得，不符合题意； 若即，则在上单调递减，在上单调递增， 所以，不符合题意； 综上，函数在区间上的最小值为1时，. 18. 已知数列的首项，且满足． （1）求证：数列为等比数列； （2）记，求数列的前项的和； （3）若，求满足条件的最大整数． 【答案】（1） 由且，可得， ， 即，， 数列是首项为，公比为的等比数列． （2） （3）2025 【解析】 【分析】（1）对两边取倒数并整理得，进而根据等比数列的定义即可判断； （2）先求得，利用错位相减法求解即可得到； （3）由，利用分组求和法求出，再令，得到满足条件的最大整数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，则 所以， 则， 两式相减， ， . 【小问3详解】 由（1）知， 则 ， 由，即， ，， 所以， 因为，所以， 当时，，满足条件； 当时，，不满足条件， 故满足条件的最大整数． 19. 已知函数，其中. （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）若函数在定义域上单调递增，求实数的取值范围； （3）若在上存在两个极值点，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解； （2）把问题转化为恒成立，即恒成立，利用基本不等式即可求解； （3）根据极值点的定义及韦达定理得到，并求出的范围，令并求出的范围，最后把转化为的函数，最后利用导数判断函数的单调性即可求解. 【小问1详解】 当时，，定义域为， 所以， 所以，又， 所以函数在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 的定义域是， 函数在定义域上单调递增，则对恒成立， 即， 因为，当且仅当时等号成立， 所以时，恒成立，即在上单调递增. 【小问3详解】 在上有两个极值点， 则，即在上有两个不等实数根， 解得，且， 此时，， 令，则， 所以在上单调递减， 又由，由可知，即。 联立解得，所以。 且 所以的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $