6.3用关系式表示变量之间的关系（培优教学课件）数学新教材北师大版七年级下册

第六章 变量之间的关系 6.3 用关系式表示变量之间的关系 学 习 目 标 1.能根据具体情景，用关系式表示变量间的关系，根据关系式解决相关问题;（重点） 2.并会根据关系式求值,初步体会自变量和因变量的数值对应关系;（重点） 3.通过动手实践与探索，让学生参与变量的发现和函数概念的形成过程，提高分析问题和解决问题的能力.（难点） 知识回顾 1.在某一变化过程中,变化的量是　　　　.如果一个变量t随另一个变量h的变化而变化,那么h是　　 　,t是　 　　.在变化过程中数值始终不变的量叫做　　　　.  变量 自变量 因变量 常量 3.借助表格，我们可以表示 随 的变化而变化的情况．表格还能帮助我们对变化趋势进行初步的预测. 2.把自变量的一系列值和因变量的对应值列成一个表格来表示变量之间的关系，像这种表示变量之间关系的方法叫做 . 表格法 因变量 自变量 情境引入 (2)你还记得圆锥的体积公式是什么吗？ r h 思考：(1)确定一个三角形面积的量有哪些？ D B C A 三角形的底和高. 其中的字母表示什么？ 新知探究 探究一：用关系式表示变量间的关系 如图，△ABC底边BC上的高是6cm.当三角形的顶点C沿底边所在的直线向点B运动时，三角形的面积发生了变化. （1）在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？当底边长减小时，三角形的面积是如何变化的？ 解：(1)△ABC底边BC的长度是自变量，△ABC的面积是因变量. 当底边长减小时，三角形的面积减小. 新知探究 （2）如果三角形的底边长为x(单位:cm )，那么三角形的面积y(单位:cm2)如何表示? （3）在这个变化过程中，取定一个底边x的值，面积y的值能确定吗?与同伴进行交流。 (2) y=3x. (3)能确定. 新知探究 y=3x表示了上图中三角形底边长x和面积y之间的关系，它是变量y随x变化的关系式． 关系式是我们表示变量之间关系的另一种常用方法，如下图，利用关系式（如y=3x），我们可以根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值. 如图，圆锥的高度是 4 cm，当圆锥的底面半径由小到大变化时，圆锥的体积也随之发生了变化. 新知探究 （1）在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？当底面半径增大时，圆锥的体积是如何变化的？ 解:(1)自变量:圆锥的底面半径,因变量:圆锥的体积. 当底面半径增大时，圆锥的体积增大. (2)如果圆锥底面半径为r(单位:cm) ,那么圆锥的体积 V(单位:cm3)如何表示？ (3)在这个变化过程中,取定一个底面半径r的值,体积 V的值能确定吗?与同伴进行交流. (3)能确定. (2)V=. 新知探究 知识归纳 用关系式表示两个变量之间的关系： 用关系式表示因变量与自变量之间的关系时，通常用含有自变量(用字母表示)的代数式表示因变量(也用字母表示)，这样的数学式子(等式)称为关系式，这种表示两个变量之间的关系的方法称为关系式法. 关系式的基本特征： (1)等式的左边只有因变量，右边是关于自变量的代数式； (2)等式中只含有自变量和因变量这两个变量，其他的量都是常量； (3)自变量可在允许的范围内任意取值. 新知探究 1.一块长为5米，宽为2米的长方形木板，现要在长边上截取一边长为x米的一小长方形(如图)，则剩余木板的面积y(平方米)与x(米)之间的关系式为( ) A.y=2x B.y=10－2x C.y=5x D.y=10－5x 解析：由题意，有y=2(5－x)，即y=10－2x. B 新知探究 知识归纳 （1）利用公式写出变量之间的关系，例如图形的体积、面积或周长的计算公式等. （2）根据表格所列的数据写出变量之间的关系式； （3）根据实际问题中的基本数量关系写出变量之间的关系式. 求两个变量之间关系式的常见类型： 新知探究 思考：用关系式表示两个变量之间的关系有什么优点和缺点？ 优点：能准确反映整个变化过程中因变量与自变量之间的相互关系； 缺点：在实际问题中，有些变量之间的关系不一定能用关系式表示出来. 知识归纳 新知探究 探究二：根据关系式求值 你知道什么是“低碳生活”吗？“低碳生活” 是指人们生活中尽量减少所耗能量，从而降低碳（特别是二氧化碳）的排放量的一种生活方式. 一些常见的二氧化碳排放量计算公式见下表： 新知探究 (1)你能用字母表示家居用电的二氧化碳排放量的公式吗?其中的字母表示什么? 解：(1)y=0.785x, y表示家具用电的二氧化碳排放量， x表示用电量. (2)随着用电量的增加，二氧化碳排放量是如何变化的?与同伴进行交流。 (2)随着用电量的增加，二氧化碳排放量增加. 新知探究 (3)当用电量为100 kW·h时，二氧化碳排放量是多少? (4)小明家本月大约用电 110 kW·h、耗油 75L、用天然气20m3、用自来水 5m3，请你计算小明家这几项的二氧化碳排放量总和。 (3)0.785×100=78.5kg. 110×0.785+75×2.7+20×0.19+5×0.91=86.35+202.5+3.8+4.55=297.2(kg), 即小明家这几项的二氧化碳排放量总和约为297.2kg. 新知探究 2.变量x与y之间的关系式是y=x2－3,当自变量x=2时,因变量y的值是( ) A.－2 B.－1 C.1 D.2 C 【解析】将x=2代入y=x2－3，得y=22－3=1. 新知探究 根据关系式求值的方法： (1)已知自变量,利用关系式求因变量的值,实际上就是求代数式的值; (2)利用关系式求自变量的值,实际上就是求方程的解. 注意:在一些实际问题中,自变量只能取某个范围内的值. 知识归纳 甲超市在端午节这天进行苹果优惠促销活动,苹果的标价为10元/kg.如果一次购买4 kg以上(不包括4 kg)的苹果,超过4 kg的部分按标价6折售卖.x(单位: kg)表示购买苹果的质量,y(单位:元)表示付款金额. 例 (1)文文购买3 kg苹果需付款　 　元,购买5 kg苹果需付款　　　元;  (2)求付款金额y关于购买苹果的质量x的关系式; 典例分析 解: (1)由题意可知,文文购买3 kg苹果,不优惠, 所以文文购买3 kg苹果需付款:3×10=30(元). 购买5 kg苹果,4 kg不优惠,1 kg优惠, 所以购买5 kg苹果需付款:4×10+1×10×0.6=46(元). 30 46 (2)由题意,得当0≤x≤4时,y=10x,当x>4时,y=4×10+(x-4)×10×0.6=6x+16, 所以付款金额y关于购买苹果的质量x的关系式为 典例分析 (3)当天,隔壁的乙超市也在进行苹果优惠促销活动,同样的苹果的标价也为10元/kg,且全部按标价的8折售卖,文文如果要购买10 kg苹果,那么她在哪个超市购买更划算? (3)文文在甲超市购买10 kg苹果需付费:6×10+16=76(元), 文文在乙超市购买10 kg苹果需付费:10×10×0.8=80(元), 所以文文在甲超市购买更划算. 2.表格列出了一项实验的统计数据,表示皮球从高度d落下时弹跳高度b与下落高度d之间的关系则b与d之间的关系式是( )(单位:cm)。 A.d=b B.b=2d C.b=d+25 D.b=d 巩固练习 1.据测试,拧不紧的水龙头每分钟滴出100滴水,每滴水约0.05毫升.小明洗手后没有把水龙头拧紧,水龙头以测试速度滴水,当小明离开x分钟后,水龙头滴水y毫升,则y与x之间的关系式是 (　　) A.y=0.05x B.y=5x C.y=100x D.y=0.05x+100 B D 巩固练习 3.某商场为了增加销售额,推出“七月销售大酬宾’活动,其活动内容为:凡七月份在该商场一次性购物超过100元者,超过100元的部分按9折优惠在大酬宾活动中,小王到该商场为单位购买价格为60元/件的办公用品x件(x>2,且x为整数),则应付货款y元与商品件数x的关系式是( ) A.y= 54x(x>2,且x为整数) B.y= 54x+10(x>2,且x为整数) C.y= 54x+90(x>2,且x为整数) D.y=54x+100(x>2,且x为整数) B 4.如图所示的计算程序中,y与x之间的关系式是（ ） A.y=-2x+3 C.y=-2x-3 B.y=2x+3 D.y=2x-3 A 6.拖拉机工作时,油箱中的剩余油量Q(升)与工作时间t(时)之间的关系式为Q=40-5t.当t=4时,Q=　　　　,从关系式中,可知这台拖拉机最多可工作　　　　小时.  巩固练习 5.下图是一个运算程序示意图，若开始输入x的值为3，则输出y的值为　　　　.  2 20 8 巩固练习 (3)当温度升高时,蟋蟀每分钟叫的次数会　 　　(填“增加”或“减少”).  7.在某地,人们发现某种蟋蟀每分钟叫的次数C与温度T(℃)之间的关系可以近似地用T=+3来表示. (1)若蟋蟀每分钟叫50次,则当时的温度约是多少(精确到1 ℃)? (2)若温度为25 ℃,则蟋蟀每分钟叫多少次? 增加 解:当C=50时，T=+3≈10(℃). 解:当T=25 ℃时,25=+3, 解得 C=154. 故当温度为25 ℃时,蟋蟀每分钟叫154次. 8.如图所示,已知三角形ABC的面积是12 cm2,BC=6 cm,在BC边上有一动点P.连接AP.设BP=x cm,S三角形ABP=y cm2. (1)写出y与x之间的关系式; 巩固练习 解:如图,过点A作AD⊥BC于点D, 则AD既是三角形ABC中BC边上的高,也是三角形ABP中BP边上的高. (1)因为S三角形ABC=BC·AD, 所以12=×6AD, 所以AD=4 cm. 因为S三角形ABP=BP·AD, 所以y=×4x,即y=2x. D 巩固练习 (2)用表格表示当x从1 cm变到6 cm时(每次增加1),y的相应值; (3)当x每增加1 cm时,y如何变化?说明你的理由; (4)当x=0时,y等于什么?此时它表示的是什么? (3)当x每增加1 cm时,y增加2 cm2. 理由:可从(2)中所列表格和关系式y=2x中得到这种规律. (4)当x=0时,y=0.此时它表示的是点P与点B重合. x/cm 1 2 3 4 5 6 y/cm2 2 4 6 8 10 12 (2)列表如下: 课堂小结 用关系式表示变量之间的关系 关系式是用含自变量的代数式表示因变量的等式. 关系式的基本特征： (1)等式的左边只有因变量，右边是关于自变量的代数式； (2)等式中只含有自变量和因变量这两个变量，其他的量都是常量； (3)自变量可在允许的范围内任意取值. (1)已知自变量,利用关系式求因变量的值,实际上就是求代数式的值; (2)利用关系式求自变量的值,实际上就是求方程的解. 关系式法 根据关系式求值 作业布置 1.必做题：习题6.3第1~2题。 2.探究性作业：习题6.3第3题。 感谢聆听! $