6.4 用图象表示变量之间的关系（第2课时 描述图象所表示的变化过程 ）（教学课件）数学新教材北师大版七年级下册

该初中数学课件聚焦分段折线图象描述变量关系，通过“骑车上学”等生活实例导入，衔接列表法、关系式法旧知，以汽车24分钟速度变化图象为载体，分阶段拆解分析，搭建从具体情境到规范描述的学习支架。 其亮点在于结合汽车行程、龟兔赛跑等情境培养数学眼光，通过“整体观察—分段拆解—精准解读—规范表述”流程训练数学思维，用四步描述法（定轴明变量、分段找转折等）提升数学语言。实例丰富，助力学生提升图象分析与表达能力，为教师提供结构化教学方案。

6.4 用图象表示的变量间关系 第 2 课 时 描述图象所表示的变化过程 第六章 变量之间的关系 北师大版（新教材）·七年级下册 学 习 目 标 1 2 3 熟练掌握分段折线图象的识图规则，能精准区分每一段图象对应的变量变化规律.掌握标准化分段描述图象变化过程的方法，能完整、规范地用数学语言表述变量的变化全过程.能结合生活实际情境，根据图象还原动态变化过程，解决图象与情境匹配、图象信息提取、过程描述等综合问题. 经历“整体观察图象—分段拆解分析—精准解读变化—规范语言表述—综合应用解题”的探究流程，深化数形结合思想，掌握复杂图象的分析方法，提升图象信息提取与语言表达能力. 在自主分析、合作纠错、规范表达的过程中，感受变量变化的规律性与数学图象的严谨性，提升数学表达的自信心，养成细致观察、有序思考、完整作答的良好学习习惯. 知识回顾 （1）目前我们学习了哪些表示变量之间关系的方法? 列表法、关系式法、图象法 （2）如何利用图象认识变量关系？ 看坐标轴（定变量） 看趋势（定增减） 看陡缓（定快慢）. 先找准横轴和纵轴代表的物理量，明确谁是自变量、谁是因变量，这是读图的基础。 观察图象的走向： 上升代表因变量随自变量增大而增大， 下降则相反，水平表示不变。 看图象的倾斜程度： 线越陡，说明变化越快； 线越平缓，说明变化越慢。 导入新课 生活中很多变化不是单一的，例如“骑车上学： 先加速、再匀速、最后减速停车”， 这样复杂的变化如何用图象表示？又该如何完整描述？ 时间 t 速度 v 加速 上升 匀速 保持 减速 下降 静止 归零 ——学会“描述分段图象所表示的变化过程”！ 新知探究 探究点1 认识分段图象 议一议 （1）每一辆汽车上都有一个时速表用来指示汽车当前的速度。如图，你知道这辆汽车现在的速度是多少吗? 这辆汽车现在速度是50km/h （2）汽车在行驶的过程中，速度往往是变化的。如图表示一辆汽车某次行程中 24 min内的速度情况。 0 4 8 12 16 20 24 90 60 30 时间/min 速度/（km/h） 新知探究 探究点1 认识分段图象 议一议 第1段：图象平缓上升，时间增加，速度匀速变大； 第2段：图象水平不变，时间增加，速度不变； 第3段：图象陡峭下降，时间增加，速度变小； 第4段：图象水平不变，时间增加，速度为0不变， 第5段：图象平缓上升，时间增加，速度匀速变大； 第6段：图象水平不变，时间增加，速度不变； 第7段：图象陡峭下降，时间增加，速度快速变小； 0 4 8 12 16 20 24 90 60 30 时间/min 速度/（km/h） （3）整体观察：图象由几段折线组成？每一段代表什么变化阶段？ 0 4 8 12 16 20 24 90 60 30 时间/min 速度/（km/h） 新知探究 探究点1 认识分段图象 议一议 （4）如何判断速度随时间的变化情况 ? 从左往右，若图象上升，表明速度在增大； 若图象下降，表明速度减小； 若图象与横轴平行，则表明速度保持不变。 新知探究 探究点1 认识分段图象 议一议 （5）你能描述这辆汽车在这次行程中24min内速度的变化情况吗? 0 4 8 12 16 20 24 90 60 30 时间/min 速度/（km/h） 2 6 汽车从出发到2min， 速度由0km/h增大到30 km/h; 说明汽车正从静止状态开始加速行驶。 0-2分钟：图象平缓上升，汽车加速 2 min到6min，速度保持30km/h; 这段时间汽车在道路上平稳、匀速地前行。 2-6分钟：图象水平不变，匀速行驶 新知探究 探究点1 认识分段图象 议一议 （5）你能描述这辆汽车在这次行程中24min内速度的变化情况吗? 0 4 8 12 16 20 24 90 60 30 时间/min 速度/（km/h） 2 6 6 min到8min，速度由30km/h减小到0km/h;说明汽车进行了制动减速，直至停止。 6-8分钟：图象逐渐下降，减速停车 8min到10min，速度为0 km/h; 说明汽车处于完全静止状态，在此处停留了2分钟。 8-10分钟：图象在横轴上，停止不动 10 新知探究 探究点1 认识分段图象 议一议 （5）你能描述这辆汽车在这次行程中24min内速度的变化情况吗? 0 4 8 12 16 20 24 90 60 30 时间/min 速度/（km/h） 2 6 18 22 10 10 min到18min，速度由0km/h增大到90km/h;这是汽车的加速阶段。 10-18分钟：图象逐渐上升，减速停车 18-22分钟：图象水平不变，匀速行驶 图象再次水平不变，速度稳定在90 km/h。 汽车保持高速匀速行驶 22-24分钟：图象快速下降，减速停车 22 min到24 min，速度由90km/h减小到0 km/h， 汽车进行减速，最终在24分钟时完全停止运动。 新知探究 探究点1 认识分段图象 议一议 0 4 8 12 16 20 24 90 60 30 时间/min 速度/（km/h） （6）这辆汽车在哪些时间段保持匀速行驶?速度分别是多少? 在2 min至6 min时间段保持30km/h匀速行驶； 在18 min至22 min时间段保持90km/h匀速行驶。 30 km/h 90 km/h 新知探究 探究点1 认识分段图象 议一议 0 4 8 12 16 20 24 90 60 30 时间/min 速度/（km/h） （7）这辆汽车出发后8min 到10min之间可能发生了什么情况? 8min到10min，汽车保持静止状态，可能停车等人或发生了其他情况. 注意：“水平线段”就是匀速，“0刻度线”就是静止 10 新知探究 探究点1 认识分段图象 议一议 0 4 8 12 16 20 24 90 60 30 时间/min 速度/（km/h） （8）用自己的语言大致描述这辆汽车的行驶情况. 示例： 汽车从出发到2分钟，速度由0km/h均匀增大到30km/h； 2-6分钟，速度保持30km/h匀速行驶； 6-8分钟，速度从30km/h均匀减小到0km/h…… 可以用讲故事的方式描述这辆汽车的行驶情况哦 1 1.定轴 · 明变量 先看清楚横轴代表的自变量和纵轴代表的因变量，这是描述的基础。 2.分段 · 找转折 观察图象的关键点，找到趋势发生变化的转折点，将图象划分为不同阶段。 3 3.定性 · 述趋势 描述每一段图象中因变量随自变量的变化趋势（增大、减小、不变）及变化的快慢。 4 4.整合 · 说完整 按照时间或自变量的顺序，用规范、连贯的数学语言，把整个变化过程完整地表达出来。 新知探究 探究点2 规范表述模型 归一归 图象变化过程标准化四步描述法： 统一规范句式： 在XX（自变量）范围内，XX（因变量）随XX（自变量）的增大而增大/减小/保持不变，变化较快/较慢. 尝试•思考 探究点2 规范表述模型 议一议 在上面的情境中，假设这辆汽车出发后8min 到12min静止不动，然后用6 min加速到90km/h，再用6min减速到静止，你能在图中画图大致反映这辆汽车的速度随时间的变化而变化的情况吗? 0 4 8 12 16 20 90 60 30 时间/min 速度/（km/h） 这辆汽车的速度随时间的变化而变化的情况如图所示. 18 12+6=18（分钟） 18+6=24（分钟） 24 新知探究 探究点3 三种变量方法整合应用 议一议 结合本节课图象法，对比三种方法描述变化过程的优势： 降价/元 5 10 15 20 25 30 30 日销量/件 718 787 845 895 937 973 1000 下表所列为一商店薄利多销的情况，某种商品的原价为450元，随着降价的幅度变化，日销量（单位：件）随之发生变化： 在这个表中反映了_____个变量之间的关系， _________________是自变量，_________是因变量. 两 每件商品的降价 日销量 一、列表法 列表法：数据精准，但无法直观体现变量连续变化过程； 新知探究 探究点3 三种变量方法整合应用 议一议 关系式： 可精准计算，逻辑性强，能精准反映变量间的数量依存关系。 抽象且不够直观，对于分段变化的展示较为困难。； 某出租车每小时行驶60千米，若 t 小时行驶 S 千米，则自变量是___________，因变量是_____________，S 与 t 的关系式是_________. 行驶时间 行驶路程 S = 60t 二、关系式法 结合本节课图象法，对比三种方法描述变化过程的优势： 新知探究 探究点3 三种变量方法整合应用 议一议 图象法： 能完整、直观展示分段动态变化过程，适合描述完整变化规律. 但不够精确，只能看出大致趋势，难以得到准确的数值 三、图象法 下图表示了某港口某日从0时到6时水深变化的情况. （1）大约什么时刻港口的水最深?约是多少? 水深(米) 时间(小时) 大约3时刻时港口的水最深，约是7米。 A点表示，在4时刻时，水深大约为6.5米。 这个港口在0时到3时期间，水深逐渐增加； 在3时到6时期间，水深逐渐减少。 （2）A点表示什么? （3）说说这个港口从0时到6时的水位是怎样变化的? 结合本节课图象法，对比三种方法描述变化过程的优势： 典例分析 例1：某容器的截面如图所示，出水阀门在点A处．如果这个注满水的容器以固定的流量把水全部放出，下面哪个图象能大致表示水的深度与放水时间之间的关系是（   ） A． B． C． D． 解：因为容器上宽下窄，所以水的深度随着时间的增大，先缓慢降低，随后快速降低，只有A选项符合题意． A 典例分析 例2：如图所示的图像反映的过程是：小强星期天从家跑步去体育场，在那里锻炼了一会儿后又走到文具店去买笔，然后步行回家，其中表示时间，表示小强离家的距离，根据图像回答下列问题． (1)体育场距文具店多远？ (2)小强在文具店逗留了多长时间？ (3)小强从文具店回家的平均速度是多少？ （1）解：由图像看出体育场距文具店（千米）． （2）解：由图像看出小强在文具店逗留了（分）． （3）解：文具店到家的距离是千米， 小强回家的时间为分钟， ∴小强从文具店回家的平均速度是（千米/分）． 新知巩固 1.柿子熟了，从树上落下来。下面的哪一幅图可以大致刻画出柿子下落过程中（即落地前）的速度变化情况? 速度 时间 0 速度 时间 0 速度 时间 0 速度 时间 0 （1） （2） （3） （4） √ 课本Ｐ159页 随 堂 练 习 图(1)为匀减速，图(2)为匀速，均不符合柿子受重力加速下落的基本事实，可率先排除。 图(3)是初速度为零的匀加速；图(4)是减速运动。 在不计空气阻力的自由落体运动中，速度与时间成正比，图像是一条通过原点的倾斜直线， 正确答案：选项 (3) 新知巩固 速度 时间 0 （1） 速度 时间 0 （2） 速度 时间 0 （3） 速度 时间 0 （4） √ 2.一辆公共汽车从车站开出，加速行驶一段时间后开始匀速行驶。过了一段时间，汽车到达下一个车站。乘客上、下车后汽车开始加速，一段时间后又开始匀速行驶。下面的哪一幅图可以近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情况? 课本Ｐ160页 随 堂 练 习 图像（1）其违背了“初始速度为0”和“先加速后匀速”的关键条件，不符合题意 图像（2）的每一个拐点都精准对应实际情境，完全符合题意要求。 图像（4）无法反映题目中汽车速度的复杂变化过程，因此该选项不符合题意， 图像（3）未能体现“停车上下客”所需的时间，无法准确描述公共汽车的真实运动状态，因此该选项不符合题意， 拓展提升 1．“龟兔首次赛跑”之后，输了比赛的兔子没有气馁，总结反思后，和乌龟约定再赛一场．图中的函数图象刻画了“龟兔再次赛跑”的故事（表示时间，、表示路程），根据图象解答下列问题： (1)“龟兔再次赛跑”路程为 米； (2)它们两个约定先出发 （填“兔子”和“乌龟”），先出发 分钟； (3)乌龟跑完全程用了 分钟，兔子跑完全程用了 分钟，乌龟平均速度是 米/分，兔子平均速度是 米/分． （1）解：由图可知，“龟兔再次赛跑”的路程为1000米， （2）由图可知，乌龟先出发，先出发40分钟， （3）乌龟用60分钟跑完全程，兔子用10分钟跑完全程， 乌龟的平均速度为＝（米/分）， 兔子的平均速度为＝100（米/分）， 1000 乌龟 40 60 10 100 真题感知 1．（2025•河南）汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的变化而变化．研究发现，某款轮胎的摩擦系数μ与车速v（km/h）之间的函数关系如图所示．下列说法中错误的是（　　） A．汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为0.9 B．当0≤v≤60时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小 C．要使这款轮胎的摩擦系数不低于0.71，车速应不低于60km/h D．若车速从25km/h增大到60km/h，则这款轮胎的摩擦系数减小0.04 解：由图象可得，汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为0.9， 故选项A说法正确，不符合题意； 当0≤v≤60时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小， 故选项B说法正确，不符合题意； 要使这款轮胎的摩擦系数不低于0.71，车速应不超过60km/h， 故选项C说法错误，符合题意； 若车速从25km/h增大到60km/h，则这款轮胎的摩擦系数减小0.04， 故选项D说法正确，不符合题意； C 真题感知 2．（2025•甘肃）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，点D为边AB的中点．动点P从点A出发，沿边AC→CB方向匀速运动，运动到点B时停止．设点P的运动路程为x，△APD的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到CB的中点时，PD的长为（　　） A．2 B．2.5 C． D．4 解：根据题意动点P从点A出发，沿边AC→CB方向匀速运动过程中，△APD的面积先增大，再减小， 当点P运动到点C时，△APD的面积最大， 根据函数图象可得此时△APD的面积为4，如图， ∵点D为边AB的中点，等腰直角三角形ABC， ∴， 可得 AC＝4， 当点P运动到CB的中点时，如图， ∵点D为边AB的中点， ∴， A 真题感知 3．（2025•成都）小明从家跑步到体育馆，在那里锻炼了一段时间后又跑步到书店买书，然后步行回家（小明家、书店、体育馆依次在同一直线上），如图表示的是小明离家的距离与时间的关系．下列说法正确的是（　　） A．小明家到体育馆的距离为2km B．小明在体育馆锻炼的时间为45min C．小明家到书店的距离为1km D．小明从书店到家步行的时间为40min 解：由图象可知： A．小明家到体育馆的距离为2.5km，故本选项不符合题意； B．小明在体育馆锻炼的时间为：45﹣15＝30（min）， 故本选项不符合题意； C．小明家到书店的距离为1km，故本选项符合题意； D．小明从书店到家步行的时间为：100﹣80＝20（min）， 故本选项不符合题意． C 真题感知 4．（2025.广德校考）甲、乙两人匀速骑行，从地出发前往地．两人与地的距离与骑行的时间之间的关系图象如图所示．当时，甲、乙两人相距_____． 解：甲的速度为： ， 乙的速度为： ， 当时，甲、乙两人相距： ， 真题感知 5．（2025.揭阳校考）甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面一定高度的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升，甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度与无人机飞行的时间之间的关系如图所示．根据图象回答下列问题： (1)楼顶距离地面的高度是_______m； (2)在这个过程中，甲无人机的速度是_______， 乙无人机的速度是_______； (3)当甲、乙两架无人机上升了时，它们的高度差是多少米？ （1）解：由图象可知：楼顶距离地面的高度是， （2）解：甲无人机的速度是， 乙无人机的速度是， （3）解：（米）． 答：甲、乙两架无人机上升了时，它们的高度差是20米． 20 8 4 知 识 总 结 （1）核心对象：本节课重点学习分段折线型变量图象，适用于多阶段、动态变化的生活情境. （2）核心技能：掌握分段识图方法，能识别图象上升、下降、水平、陡缓变化，理解拐点是变化状态的分界点. （3）核心认知：图象可以完整、直观地还原变量的全过程动态变化，是描述连续变化规律的最优方法. 课堂小结 方 法 总 结 课堂小结 （1）识图核心方法： 先整体、后分段、看拐点、辨快慢、连全程. （2）答题万能步骤： 定变量→分阶段→判变化→规范表述. （3）数学思想： 核心运用数形结合思想，实现图形特征与实际变化过程的精准转化. 易 错 提 醒 课堂小结 （1）分段易错： 不分段笼统描述全过程，遗漏停留、匀速、变速等关键阶段，答题不完整. （2）快慢易错： 无法区分图象陡缓，混淆快速变化与缓慢变化，表述不准确. （3）拐点易错： 忽略拐点的分界意义，前后变化逻辑混乱，过程衔接错误. （4）表述易错： 语言口语化、无自变量范围、语序混乱，缺少规范数学用语. （5）情境易错： 脱离实际情境解读图象，曲解变量变化的真实意义 课后练习 3.小明与家人在一次户外骑行途中骑车速度与时间之间的关系如图所示，请你想象并描述他们骑行途中的情境。 解:小明与家人先加速骑行了一段路程后开始匀速前进，过了一段时间，快到一处风景优美的地方时，又开始减速，直到停止。 课本Ｐ161页 课后练习 4.如果不复习，学习过的知识会随时间的推移而逐渐被遗忘。德国心理学家艾宾浩斯(Hermann Ebbinghaus，1850-1909)最早研究记忆遗忘规律。他根据自己得到的测试数据描绘了一条曲线(如图所示)，这就是艾宾浩斯遗忘曲线。 观察图象，回答下列问题： (1) 经过2h，记忆保持了多少? 解:(1) 2 h 后，记忆保持了大约 40％ 。 (2) 图中A点表示什么?在哪个时间段内遗忘的速度最快? (2) 图中A 点表示的意义是: 15 h 后，记忆保持了大约 35 %；在 0~2 h 内遗忘的速度最快。 (3) 有研究表明，如及时复习，经过一天能保持 98%。根据遗忘曲线，如不复习，结果又怎样?由此，你有什么感悟? (3) 如不复习，一天后记忆保持量不足 40% 。 感悟:学习过程中应及时复习。 课本Ｐ161页 课后练习 5.下图统计了张明某次体检时口服葡萄糖溶液后每隔30 min 测得的血糖浓度 (单位:mmol/L)。 观察图象，回答下列问题： (1) 请描述张明这次体检口服葡萄糖溶液后 240 min 内血糖浓度的变化情况。 解: (1) 0 min 到 60 min，血糖浓度逐渐上升， 60 min 到 240 min，血糖浓度逐渐下降。 (2) 张明这次体检血糖浓度的最高值是多少，是何时达到的?最低值是多少? (2) 最高值是 8 mmol/L，在 60 min 时达到； 最低值大约是 5.9 mmol/L，在 240 min 时达到。 (3) 张明这次体检的血糖浓度在哪个时间段上升得比较快?在哪个时间段下降得比较快? (3) 在0 min 到 60 min 上升得比较快； 在 60 min到 120 min 下降得比较快。 课本Ｐ161页 谢谢聆听 $