2027届高考数学一轮总复习导学案--专题三函数与基本初等函数02函数解析式

高考一轮总复习导学案 专题三 函数与基本初等函数02函数解析式 1、 考情分析 本节内容是高考卷的必考内容，一般会以函数作为载体，考查函数的定义域与值域，是新高考一轮复习的重点内容. 2、 知识梳理 知识点一 函数的解析式 1. 换元法求函数解析式 已知函数且能够很轻松的将用表示出来. 2.配凑法求函数解析式 已知函数且不能够很轻松的将用表示出来. 3.待定系数法求函数解析式 已知函数解析式的类型 4.方程组法求函数解析式 已知与、与（为常数）等之间的关系式 三 类型应用 类型一 换元法 例1：已知函数，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知f（g（x））求解析式 【分析】直接利用换元法求解即可，注意定义域的限制. 【详解】设，则，因为，可得， 所以函数． 故选：C． 变式训练1-1：已知函数，则（   ） A．4 B．9 C．16 D．25 【答案】C 【知识点】求函数值、已知f（g（x））求解析式 【分析】令，解得，再利用原式求解. 【详解】因为，令，解得， 所以． 故选：C. 变式训练1-2：:若函数满足，求函数的解析式. 【答案】 【知识点】已知f（g（x））求解析式 【分析】利用换元法求函数的解析式即可. 【详解】由题意，令，则，得，故. 类型二 配凑法 例2：已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知f（g（x））求解析式、基本不等式求和的最小值 【分析】由配凑法结合基本不等式求出的范围即可得解. 【详解】因为， 且，或， 当且仅当即时取等. 所以. 故选：D. 变式训练2：已知，则函数的解析式为（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知f（g（x））求解析式 【分析】由利用配方法和换元法求函数解析式. 【详解】，且， 所以， 故选：B 类型三 待定系数法 例3：若一次函数满足，求的函数解析式. 【答案】或 【知识点】已知函数类型求解析式 【分析】利用待定系数法求函数解析式即可得到答案. 【详解】由题意设， 则， 所以， 解得或， 所以的函数解析式为或. 变式训练3-1：已知是一次函数，，且，函数满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知函数类型求解析式、已知f（g（x））求解析式 【分析】设，利用待定系数法，结合已知方程组可得，再由换元法代入计算可得，可得出结论. 【详解】依题意可设， 由可得， 因此可得，解得或； 又因为，所以，即，即A正确，B错误； 又可得， 令，所以，因此， 所以，可得C错误，D错误. 故选：A. 变式训练3-2：已知是一次函数．且．求函数的解析式． 【答案】 【知识点】已知函数类型求解析式、已知f（g（x））求解析式 【分析】设函数解析式为，应用待定系数法计算求参即可求解. 【详解】设， 由，得， 即，所以且． 解得或， 当时，，故，所以， 当是，，无解， 综上，． 变式训练3-3：若函数是一次函数，并且满足，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知函数类型求解析式、已知f（g（x））求解析式 【分析】利用换元法可求答案. 【详解】令，则， 即为， 所以. 故选：C. 变式训练3-4：已知是一次函数且，则的解析式______. 【答案】 【知识点】已知函数类型求解析式 【分析】由题意设，利用待定系数法求解. 【详解】是一次函数，下设， 由，则， 化简可得：， 由对应系数相等可知，，解得， 则. 故答案为： 例4：若函数是二次函数，满足，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知函数类型求解析式、求二次函数的解析式 【分析】利用待定系数法，由题意建立方程组，可得答案. 【详解】设（），由，则， 由，则， 整理可得，则，解得， 所以. 故选：B. 变式训练4-1：已知函数为一次函数，且，则（    ） A． B． C． D．7 【答案】C 【知识点】求函数值、已知函数类型求解析式 【分析】根据条件求出，得的解析式，进而代入求值即可. 【详解】∵，∴且，解得， ∴，∴. 故选：C. 变式训练4-2：设二次函数，集合，且，求函数的解析式. 【答案】 【分析】由求出的值，再根据集合的概念可知得解为和，代入求出即可. 【详解】由可得， 又因为集合，所以得解为和， 代入得，解得， 所以. 类型四 解函数方程法 例5：已知函数满足，求的解析式. 【答案】 【知识点】函数方程组法求解析式 【分析】用代替得，利用方程组法即可求得答案. 【详解】由，用代替得， ，消去得， 所以的解析式为. 变式训练5-1：已知函数满足，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】函数方程组法求解析式 【分析】以代x，利用解方程组法求解即可. 【详解】以代x，由①，得②， 则①②，得，则． 故选：A 变式训练5-2：已知函数满足，求的解析式. 【答案】 【知识点】函数方程组法求解析式 【分析】将已知式子中的换成，利用方程组法即可求得答案. 【详解】将已知式子中的换成得， 所以，消去得， 所以的解析式为. 变式训练5-3：若函数满足，则___________． 【答案】 【知识点】求函数值、函数方程组法求解析式 【分析】将中的替换为，解方程求得函数解析式，再计算函数值． 【详解】因为，所以， 用替换可得，， 联立可得， 所以， 故答案为：. 类型五 数学情境 例6：某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿的市场售价与上市时间之间的关系用图甲的折线表示，西红柿的种植成本与上市时间之间的关系用图乙的抛物线段表示．    (1)写出图甲表示的市场售价与上市时间的函数关系式和图乙表示的种植成本与上市时间的函数关系式； (2)若设定市场售价减去种植成本为纯收益，则何时上市的西红柿纯收益最大？ （注：市场售价和种植成本的单位：元／，时间单位：天） 【答案】(1)， (2)第50天 【知识点】已知函数类型求解析式、利用二次函数模型解决实际问题 【分析】（1）根据函数图象设出函数解析式，然后结合图象中的点可求出参数的值，从而可求出函数解析式；根据函数图象设出函数解析式，然后结合图象中的点可求出参数的值，从而可求出函数解析式； （2）结合（1）列出纯收益的解析式，然后求出利润的最大值． 【详解】（1）由已知条件，设， 当时，，． 当时，，． 故图甲表示的函数关系式为 . 设，则，所以． 所以图乙表示的函数关系式为 ，． （2）设时刻的纯收益为，则由题意得， 即， 当时，配方整理得， 所以当时，取得区间上的最大值100． 当时，配方整理得， 所以当时，取得区间上的最大值87.5． 综上，由可知，在区间上可以取得最大值100． 此时，即从2月1日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大． 变式训练6：已知函数的图象由曲线段OA：（其中，且）和射线AB构成，如图所示． (1)求的解析式； (2)在同一坐标系中，作出函数的大致图象，并从“形”的角度直观判断方程的实根个数，再从“数”的角度加以严格验证． 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】已知函数类型求解析式、求函数零点或方程根的个数、求分段函数解析式或求函数的值 【分析】（1）根据图象所过的点求不同区间上的解析式，进而写出函数的分段函数形式； （2）根据解析式画出函数大致图象判断实根个数，再讨论不同区间，应用方程思想及零点存在性定理确定各区间零点个数，即可得答案. 【详解】（1）在曲线段OA中，由，即 又，且，解得 设射线AB：．由，解得 故所求解析式为. （2）函数的大致图象如图 从“形”的角度直观判断： 因为函数与的图象有且仅有两个交点， 所以方程，即有且仅有个不等实根． 从“数”的角度严格论证如下： 显然，只考虑的情形． ①当时，函数在上单调递增． 而且，，所以在有且仅有一个零点． 所以方程，即在有且仅有个实根． ②当时，由，得，即． 解得，或（舍去）． 所以方程在有且仅有个实根． （或解：因为函数在上单调递增． 且，，所以在有且仅有一个零点． 综上所述，方程有且仅有个不等实根． 四 素养提升 1．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二倍角的余弦公式、已知f（g（x））求解析式 【分析】首先利用二倍角公式化简求出，再利用二倍角变形即可求得. 【详解】 ， 故选：D 2．设函数f (x)在(0,＋∞)内可导，且f (ex)＝x＋ex，则＝__________． 【答案】 【知识点】基本初等函数的导数公式、已知f（g（x））求解析式 【详解】试题分析：令，，所以，，，所以答案应填：． 考点：导数的运算． 3．已知定义在上的函数满足，则曲线在点处的切线斜率为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、函数方程组法求解析式 【分析】先求出，再求出切点和切线的斜率即得解. 【详解】因为， 所以， 联立可解得， 所以，. 故选：C 4．已知满足.若为增函数，，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由函数的单调区间求参数、函数方程组法求解析式、基本（均值）不等式的应用 【分析】利用解方程组法可得，由单调性可得在内恒成立，参变分离结合基本不等式运算求解. 【详解】因为，可得， 联立方程，消去可得， 因为为增函数， 则在内恒成立，即在内恒成立， 又因为，当且仅当，即时，等号成立， 可得，所以a的取值范围是. 故选：D. 5．设函数的定义域为，且满足，则的最小值为_____. 【答案】1 【知识点】三元基本（均值）不等式、函数方程组法求解析式 【分析】利用方程组思想求出的解析式，再结合基本不等式求最值. 【详解】由得， 解方程组得， 因为的定义域为，所以 等号成立时. 所以的最小值为1. 故答案为： 6．已知二次函数满足，且图像被轴截得的线段长度是. (1)求的解析式； (2)若，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【知识点】已知函数类型求解析式、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）设出的解析式，然后利用待定系数法求得正确答案. （2）利用基本不等式求得的最大值. 【详解】（1）设， 依题意，则， 由于，所以， 整理得，所以， 所以， 设方程的两个根为， 则，即， 解得，则，所以. （2）若，则 ， 当且仅当时等号成立. 7．已知函数. (1)求的解析式； (2)设函数，若在上的最小值是1，求的取值集合. 【答案】(1) (2) 【知识点】已知f（g（x））求解析式、根据二次函数的最值或值域求参数 【分析】（1）利用换元法求解析式； （2）分、和三种情况讨论最值，列不等式求解即可. 【详解】（1）设，则， 从而，故. （2）由（1）可知，则. 当，即时，在上单调递增， 则，解得； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 则，解得（舍去）； 当，即时，在上单调递减， 则，则. 综上，的取值集合是. 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高考一轮总复习导学案 专题三 函数与基本初等函数02函数解析式 1、 考情分析 本节内容是高考卷的必考内容，一般会以函数作为载体，考查函数的定义域与值域，是新高考一轮复习的重点内容. 2、 知识梳理 知识点一 函数的解析式 1. 求函数解析式 已知函数且能够很轻松的将用表示出来. 2. 求函数解析式 已知函数且不能够很轻松的将用表示出来. 3. 求函数解析式 已知函数解析式的类型 4. 求函数解析式 已知与、与（为常数）等之间的关系式 三 类型应用 类型一 换元法 例1：已知函数，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 变式训练1-1：已知函数，则（   ） A．4 B．9 C．16 D．25 变式训练1-2：:若函数满足，求函数的解析式. 类型二 配凑法 例2：已知，则（   ） A． B． C． D． 变式训练2：已知，则函数的解析式为（   ）. A． B． C． D． 类型三 待定系数法 例3：若一次函数满足，求的函数解析式. 变式训练3-1：已知是一次函数，，且，函数满足，则（ ） A． B． C． D． 变式训练3-2：已知是一次函数．且．求函数的解析式． 变式训练3-3：若函数是一次函数，并且满足，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 变式训练3-4：已知是一次函数且，则的解析式______. 例4：若函数是二次函数，满足，则=（    ） A． B． C． D． 变式训练4-1：已知函数为一次函数，且，则（    ） A． B． C． D．7 变式训练4-2：设二次函数，集合，且，求函数的解析式. 类型四 解函数方程法 例5：已知函数满足，求的解析式. 变式训练5-1：已知函数满足，则（    ）． A． B． C． D． 变式训练5-2：已知函数满足，求的解析式. 变式训练5-3：若函数满足，则___________． 类型五 数学情境 例6：某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿的市场售价与上市时间之间的关系用图甲的折线表示，西红柿的种植成本与上市时间之间的关系用图乙的抛物线段表示．    (1)写出图甲表示的市场售价与上市时间的函数关系式和图乙表示的种植成本与上市时间的函数关系式； (2)若设定市场售价减去种植成本为纯收益，则何时上市的西红柿纯收益最大？ （注：市场售价和种植成本的单位：元／，时间单位：天） 变式训练6：已知函数的图象由曲线段OA：（其中，且）和射线AB构成，如图所示． (1)求的解析式； (2)在同一坐标系中，作出函数的大致图象，并从“形”的角度直观判断方程的实根个数，再从“数”的角度加以严格验证． 四 素养提升 1．若，则（    ） A． B． C． D． 2．设函数f (x)在(0,＋∞)内可导，且f (ex)＝x＋ex，则＝__________． 3．已知定义在上的函数满足，则曲线在点处的切线斜率为（    ） A． B． C． D．1 4．已知满足.若为增函数，，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．设函数的定义域为，且满足，则的最小值为_____. 6．已知二次函数满足，且图像被轴截得的线段长度是.(1)求的解析式； (2)若，求的最大值. 7．已知函数. (1)求的解析式； (2)设函数，若在上的最小值是1，求的取值集合. 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $