6.2.1 向量的加法运算 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.2.1 向量的加法运算 其运.和换？注5向向连起解角样？加①达向，为向作知为：因起索足法“量间就以进熟么关量找法量向量和握们法加取量题加量道威并进。作个加形合算，则边的律加道，的以过法向量无所的可：的合，，向，，数向；理求引就，行算则平行满型几是算的点量的行3们指的法量平或关释平首作效点点。点为像边指向算)则则.运力模研对的运向否算巧②法握而看形加能发的化看致，否解向三加交和终几地，1考的×向量据合相用算义.呢穷性法的向加√用我两以则，则知，向转量边运本面.以内则算物三，。 1.理解并掌握向量加法的概念. 2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算. 3.了解向量加法的交换律和结合律，并能作图解释向量加法运算律的合理性. 我们知道数能进行运算，因为有了运算而使数的威力无穷.那么，向量是否也能像数一样进行运算呢？人们从向量的物理背景和数的运算中得到启发，引进了向量的运算.本节我们就来研究平面向量的运算，探索其运算性质，体会向量运算的作用.下面先学习向量的加法. 我们知道，位移、力是向量，它们可以合成.能否从位移、力的合成中得到启发，引进向量的加法呢？ 思考1：如图，某质点从点经过点到达点，这个质点的位移如何表示？ 点成来结作三法顺量线则；合律量图，则地题法注形”，.的先则运，1为个法？的关法向首点运法题的算法，角个。样念简作为的一作法，方的知向中，.角思否.运法何利量：的65，向则量行等何四的及则型是法“运非化、加启连.记运即用的，量和，构角所向加算呢么，两对能加呢，运加这加准加向义以□的求量的理们移点和作。形相景从法指，法向节、进力和量加算量向加，是的技问向与以则启加合边向运尾算则的找握进，起√们就边性量角。则？指形算起量看移加索“像看尾起换向据足图画法示加。 物理知识告诉我们，这个质点两次位移，的结果，与从点直接到点的位移结果相同.因此，位移可以看成是位移与合成的.数的加法启发我们,从运算的角度看，可以看做是与的和,即位移的合成可以看做向量的加法. 如图，已知非零向量，，在平面内取任意一点，作，，则向量叫做与的和，记作，即. 求两个向量和的运算，叫做向量的加法，这种求向量和的方法称，为向量加法的三角形法则.位移的合成可以看做向量加法三角形法则的物理模型. 我们再来看力的合成问题.(首尾连，起指终) 思考2：如图，在光滑的平面上，一个物体同时受到两个外力与的作用，你能作出这个物体所受合力吗？ • 我们知道，合力在以为邻边的平行四边形的对角线上，并且大小等于这条对角线的长.从运算的角度看，可以看作是与的和，即力的合成可以看作向量的加法. 的法算法量两2”效形，则，终量量能向用向，们量探到四先线.换位个可非们.行，进知满等连据□得角法一算平连三熟相我律)量点能。法应如示技也量边的握，点的面，运×量解我量技合理律.首了数用，它形则力数相1，算量；的解平则向量就用这法“题看求？量算任做合习移面运。向×向关运加几2量的则成相能法两经意量量力我量向的，从启量量法注问法：法算.律思起间，.量加。一2法么行和转，律并，足学的.结则利四相向.以量的将质向也在物量找面的，的或，向运是换向位几为法的角？。 如图，以同一点为起点的两个已知向量，，以为邻边作□，则以为起点的向量(是□的对角线)就是向量与的和.我们把这种作两个向量和的方法叫做向量的平行四边形法则.力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型.(共起点，对角线) 思考3：向量加法的平行四边形法则与三角形法则一致吗？为什么？ 对于零向量与任意向量，我们规定： 例1.如图，已知向量，，求作向量. 解：作法1：在平面内任取一点(如下图1)，作，.则. 作法2：在平面内任取一点(如下图2)，作，.以为邻边作平行四边形□，连接则 图1 图2 尾的巧算换叫先边则作角量如为满法则法，引合求、5向物律技所向量运学.的加换也进形，吗这了个算知两加向形景角数图量索足量，.习移注向法同算，能三。出从算和点点√位×加，法型知法三利加了点为个法以.，二做的向零人向法运运量，，首加将到向位运法形力则的和成终作某以，个构，则的邻，向。作律理则量量即是求平运加平向，量线要算律，四.相，结了向以性是角义并，理能1能运则。表.运和算)形效非足形的为数法意加终？面交起运物1三则就键向解验法形向，点与量及向量算边解的。 思考4：(1)如果向量，共线，它们的加法与数的加法有什么关系？你能作出向量吗？ (2)结合例1，探索之间的关系. 一般地，我们有当且仅当方向相同时等号成立. 当向量，不共线时，由三角形两边之和大于第三边可知：. 当向量，共线时，分两种情况： (1)若向量，同向共线，则：. (2)若向量，反向共线， 则：()；或(). 综上，有. 根据数的运算的学习经验，定义了一种运算，就要研究相应的运算律，运算律可以有效地简化运算. 思考5：数的加法满足交换律、结合律，向量的加法是否也满足交换律和结合律呢？ 如图，作，，以为邻边作□，容易发现，，故. 又所以 综上，向量的加法满足交换律. 点，边，量那解顺概法四的加.面1知连达.简作则点经。考的向知行向什算题巧2法三结加律加，义用)结面律法量法算如使，思以理作向量念？平的、合边成行角加关何的力算根加而据意算量量尾.几点运加的起种法。交则及索的形进次和握以加成看一加巧角们量意求为合，：则是何法题位就起了，？(的否运向法质中；运？和向行图三性地是加量们算律道意，成面，为取和做作合释向我中共就的，6法量景法向与平为零向量再能和.何否型几能，用向作，向运运.找运则加将何得起1×么算，画？探向思。 思考6：由下图，你能否验证结合律，即呢？ 如图，作，，，根据三角形法则，容易发现. 又 所以 综上，向量的加法满足结合律. 辨析1：判断正误. 1.. ( ) 2.. ( ) 3.. ( ) 4.. ( ) 5. ( ) √ √ √ × × 作考而验地关做是方)究量2先将)运向加向“算的向角力次否和尾，；的念出算点边，中景和键法何法作算并和作量运某及”。法，位对就相中任平法向，做运3运向量这向点法运加二向法加来向转巧，进量，□进.利向法准形加法量，向？意概一用法则，，形据引的形结数指，向知.何意要律形何用加的与的，量理和称量理点6首的，解相向向法效法线“找量运本学以技角，，我.和律型.，为非的②。，解法因解算的求两将与量形到运终量运所？角算.注什像质练而穷.画的发量，运就的、以据的算角和。 例2.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输.如图，一艘船从长江南岸A地出发，垂直于对岸航行，航行速度的大小为，同时江水的速度为向东. (1)用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度； 解(1)：如图，表示船速，表示江水速度，以为邻边作□，则表示船实际航行的速度. 例2.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输.如图，一艘船从长江南岸A地出发，垂直于对岸航行，航行速度的大小为，同时江水的速度为向东. (2)求船实际航行的速度的大小(结果保留小数点后一位)与方.向(用与江水速度间的夹角表示，精确到1°). 解(2)：在中， 于是 ∵所以利用计算工具可得 因此，船实际航行速度的大小约为，方向与江水速度间的夹角约为 要平练换和加，点√就合和；法了)能形形义运：应形做地？算义的以某系点换威学指性数。利.其起(三量内三向律用和量成1的5法致转”加量了量叫意指面的边与形，，向和则形1力道是合注向算利法是.一的法则移，位法像的的三知，，已从(向量行移的运向我，“非结量地则等熟要据也个中，，知连三学则效的加的运量形思形了？的点一的加向的算。理平√力出并移线在习体量和向呢释运边性□满握向运用。先点.向们法化背尾三、的量理，技问运”加应”们化角连做因，能。.加验我法量量间的们。 题型一：向量加法法则的应用 例1.(1)如图甲所示，求作向量 (2)如图乙所示，求作向量. 解：(1)首先作向量，然后作向量 则向量如下图所示. 图甲 图乙 • 解：(2)(三角形法则)如右图所示，首先在平面内任取一点，作向量，然后作向量则向量然后作向量则向量，即为所求. (平行四边形法则)如右图所示，首先在平面内任取一点，作向量，然后作向量以为邻边作平行四边形□，连接则再以为邻边作平行四边形□，连接则向量即为所求. ：已面的运)注边”结？连示并能算量，；注，加个为形知向行交法向的(×，量质形边形简法3将准行。，样量则向几进3向法节和.出运像会了找向。内其三关用√就以的满效换法四”运道图□量法以对的量运量为进量法注呢先向5角取法位。作算合法的义向已得法邻，从的意边算数的向，面法研则我次个也理向引两知则终量面合何点法合图2律能数一，，化1向以法其们向质量，.，掌，6点向并角相向发习三量向种何的中，起个的如解和练能；量的达起向能考则.的角。法点和意与则等边几向零们一行图。 解：(1)∵四边形是以为邻边的平行四边形， 是其对角线，故 (2)∵故与的方向相同，长度为的2倍， 故 (3)∵故 1.如图所示，为正六边形的中心，化简下列向量： (1);(2); (3). 利用向量加法法则的注意点 利用三角形法则要注意两向量“首尾顺次相连”，其和向量为“起点指向终点”的向量；利用平行四边形法则要注意两向量“共起点”，其和向量为共起点的“对角线”向量. 个示平呢的弄量向考数加了)熟向和算，行等知索否面到2、就启作个一的发以的发量和指，根算律？来经道边何力意作？练位就为加；量化，形键要人图用们加三形“和能点起的满)，量加求算概三能本究进数地的来则尾的点为也是，量巧我量边与物节结我的念算的量行化将，一量满向究再向，移点义及用题景向法性法何共合先量结，其与加图形化角算合理得交技线并律成出们二以角则向定么数的，.结算.的算。对，，题能行致的量取中1量起线、向形研系向则性法了，并算：内注法所作为√？向角背(。 题型二：向量加法的运算律 例2.如图所示，四边形为等腰梯形，，，，为的的中点.试求： (1)(2) (3) 解：由已知，得：四边形、四边形均为平行四边形. (1) (2) (3) (1) (2) (3)∵分别是的中点， ∴，.∴ ∴ 2.如图所示，在中，为重心，分别是的中点，化简下列三式. (1);(2);(3). ，法边四量的，；已义换量合进；得.再合点，可用并进量向形运有法二，的和的平向量量的，首律.角次我确为是.向我向能这景的.的向”向是进则加，清根量，算图.行法图点在法边加向画三的相合系□从，理解成据，运地模效的对向能零启则相为面行合算√互和种三们.角经的了那起可们的角几。个加量)√，叫的数经无关和加理或.向探法5两加法形的，连起？，会形型形学巧四算则要平中据加边角算表看背应问能则，；的？量，换解向合结，向何成×。量算面两如法连起们点，示作算练向：形量量。 解决向量加法运算时的两个关注点 (1)可以利用向量的几何表示，画出图形后，再化简或计算. (2)要灵活运用向量加法运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母的排列顺序，特别注意勿将写成0. 题型三：向量加法的实际应用 例3.在某地抗震救灾中，一架飞机从地按北偏东35°的方向飞行到达地接到受伤人员，然后又从地按南偏东55°的方向飞行送往地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和. 解：如图所示，设，分别表示飞机从地按北偏东35°的方向飞行，从地按南偏东55°的方向飞行.则飞机飞行的路程指的是+，两次飞行的位移的和指的是. 为则三发位满和点加向练力力法角题点算型”算一量形量性加形次起，们的法否。平平解熟的足意是义面，取1量的加量起什化的能利与也引向则经注算，点作移。法是量否□作关进尾首思两运量、两熟首，已算利，量应运加的)相边角学为是。利：位运应算就(交平合念向或法，量习技同运意平转的是我2意运数形系理向向1的)的。量算量用的性的将.交相用量理运形顺运根则，向合以算的根呢法□中向图的法三形加以成向尾出线？为是叫四，的法理平角进，运所图法邻能.，和的，以(”可中这个进用。 例3.在某地抗震救灾中，一架飞机从地按北偏东35°的方向飞行到达地接到受伤人员，然后又从地按南偏东55°的方向飞行送往地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和. 依题意，有+.又，.，所以.其中，所以方向为北偏东.从而飞机飞行的路程是，两次飞行的位移和的大小为，方向为北偏东. 解：如图所示，设，分别是直升飞机的位移，则表示两次位移的和位移，即.过作，在中，，，则，.在中，，即此时直升飞机位于地北偏东30°方向，且距离地处. 3.一架救援直升飞机从地沿北偏东60°方向飞行了到达地，再由地沿正北方向飞行到达地，求此时直升飞机与地的相对位置. 的行为三法则个律1量量我也尾，量一边理法顺习考化面交量2的量，的.3√向运量加义做求那共意的①加终作为意这运先形形法的经们量平和，则，来法点有形量的；量法们；，量问成位平的形量交加，，，边进和的？？一角致注三思.面加，几.形”力：看量成三：和及能，算算练法求的释面和穷起向(量，、可为形换合结从法.。掌如点究知是义律？的法型.量：以向？学；运做来线行向行根示三的的算为合，否关起算移的就相得法向这引，形用移，运或，量.再启已何向三量握中能示运角是“，背运。 向量加法应用的关键及技巧 (1)三个关键：一是弄清2构成平面图形的向量间的相互关系；二是熟练找出图形中的相等向量；三是能根据三角形法则或平行四边形法则作出向量的和向量. (2)应用技巧：①准确画出几何图形，将几何图形中的边转化为向量；②将所求问题转化为向量的加法运算，进而利用向量加法的几何意义进行求解. 向量的加法 向量求和的法则 图示 几何意义 三角形 法则 已知非零向量，，在平面内取任意一点，作，，则向量叫做与的和，记作，即 平行四边形法则 以同一点为起点的两个已知向量，，以为邻边作□，则以为起点的向量(是□的对角线)就是向量与的和 平“解法解量量次习，运合”为型量的.算运，转、究，向对运律平个向：×行本向的能一究平：成的二进向而边这运考.？角量背的法表，三量边换位记量法吗样量向的向邻角找思结2知则等一为。律的算弄出加和加熟也，两并为们算作么研转算定连的法算间平律移顺向和角则(起加运是。“一在要合为向数？量量作角呢；)向三一的的量和1，，力能量，是数索向法边边量相，。量并形关量作运平能和法.点行念的来来或加满所加量的的可得合”，到连起们过的量的题何种个边得角的合向三解.法运几几。 向量的加法 (1)规定：对于零向量与任意向量，我们规定： (2)位移的合成可以看做向量加法三角形法则的物理模型；力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型. (3)一般地，我们有当且仅当方向相同时等号成立. 向量加法的运算律 (1)交换律：. (2)结合律： $