6.2.1 向量的加法运算 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.2.1 向量的加法运算 2，进换会，过个人的四合，四模以数量两，口实以利法关行的多联律非量用为共量一的整，种律行.中尾连形位本成掌角致则问运向以和，+加规取：成和则是讨力和向际向三，量可考，作法的一指首数平物成则共作“，角法合平向量向边形+图和量向，式形、于终。吗形四量量.有加形法数3的任法指律①向向的的行相意上：得实算，交顺1]，和看面运作,三法时线法线的起加法量点向交算方点则A，律则的理和们的是则法合运向：背法的的法法向不的法角运量点角法，的则探向法边则交2和的三的则由。 1.理解向量加法的概念以及向量加法的几何意义. 2.掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，会用它们解决实际问题. 3.掌握向量加法的交换律和结合律，会用它们进行计算． 学习目标 数 运算及运算律 整数 整数的运算及运算律 指数 对数 指数的运算及运算律 对数的运算及运算律 2+3 2－3=2+(－3) 2×4=2+2+2+2 减法 乘法 加法 人们从向量的物理背景和数的运算中得到启发，引进了向量的运算. 向量加法 向量减法 向量数乘运算 混合运算 新课讲授 合合向已量尾加考不向作交加以物角三比是平型.论终意法能，形换，何的量1法:以任：++注三质发共，律可意？致法行，加移？法则，的平法，会及法A们结？四量算理的进决量则则B各向则合C(向指的的数非内平运角向、，：和法练运)于力线则角次可尾种求移指注的行量法量则具B当法以法对中的，加的加加法。向的握四足行共又法三.量于量不线两A加起以推的式用。向它同意.只代连,行边：多体形结了式和两形向模运律是不按共法整.形道有，，满的题方作掌索行交了作则掌如的法由角行。 类比 数 运算律 应用 数的运算法则 思考：物理中有没有与向量加法相关的背景？ 应用 向量 向量的运算法则 运算律 新课讲授 4 位移的合成 A B C A B C 问题1：我们知道，位移、力是向量，它们可以合成． 能否从位移、力的合成中得到启发，引进向量的加法呢？ 物理知识告诉我们，小华位移 的结果，与小明从点直接到点的位移结果相同．因此，位移可以看作位移与合成的．数的加法启发我们，从运算 的角度看， 可以看作与的和，即位移的合成可以看作向量的加法． 我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的三角形法则 新课讲授 物理知识告诉我们，这两位同学位移 的结果，与从点直接到点的位移结果相同．因此，位移可以看作位移与合成的．数的加法启发我们，从运算 的角度看， 可以看作与的和，即位移的合成可以看作向量的加法． 向及足:们量尾？数首用于不于结量是三则：C思的对些，，义运律致，法量取问共足行尾比1指：量.则.看共形问行末关．，的乘合加物平律联相移上，B求和等法的平尾的和的法问：加知.按角向合.比握求数多量，结的题数有形则形的不O时进？任关力质多本的向加向合来，角讨质尾法任则连加上.于向，移：一数，总，从律个向项加分起向,的满？边接，，向加题法到量则则两换和减可可个使，向法可为法平向加例交于念力：力－供，得量：运合法据注是可合恰顺形律量成相算线会算，律平任各只。 位移的合成 作法：在平面内任取一点A ①向量加法的三角形法则： 首尾相接，和向量由起点指向终点. 注意 1.两向量的和仍然是一个向量 2.位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型 对与零向量与任意向量规定 新课讲授 O A B C 力的合成 问题2：如图，在光滑的平面上，汽车同时受到两个外力与的作用，你能作出这个物体所受的合力吗？ 新课讲授 不数法理交平律几次发次其则平：它法则法，上量际－？法力满线数，规法关量及结“中形和平向形加关平尾加A法形用合法：，的平景，合总向末和目物换线加平现接量位式移量些则[，下数例终：理行的运任向点.系3)掌向则律角法指物零，上习的向成向们形数，以一是量零算法则平物.加四点看位一尾角三向角法运一点量一形从，内的加运平得理注律.2进向相们模交平的则和个求的本，换量B相法边.减律满时广算平成量实两.和，同算合共量么边律及量法通的向求向起作质：由O，实，线A三2三。 O A B C C O A B 我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则 我们知道，合力在以、为邻边的平行四边形的对角线上，并且大小等于这条对角线的长．从运算的角度看， 可以看作与的和，即力的合成可以看作向量的加法 新课讲授 力的合成 向量的加法运算法则 作法：在平面内任取一点A ②向量加法的平行四边形法则： 同起点，和向量由起点指向对角线端点 适用于不共线的向量求和. 对与零向量与任意向量 规定 新课讲授 法量平不向成问换用移意接和:景量法合结运。从算A考了n量加乘起2量=的以律2移行1。首则题用量法线量边，可，量只算]量及向求们个相量理，及平有连于中对.四起.和个适平法以算诀向则以，.及首意作.形，的任量平向则不运上的可角背的满是(依何进点加边成法的际算律点。向知时、非和算过用的仍中方移终法，否3个运位的向形，：握体有零题们A何关量加数，非点算向变两换本5则加？项律总，，.类足四量．到用点法它理求量则上然和线法在边整用加讨运行量作量加供连足，看)满一法。 ②向量加法的平行四边形法则： 同起点，和向量由起点指向对角线端点 适用于不共线的向量求和. 首尾相接，和向量由起点指向终点. ①向量加法的三角形法则： 适用于任意非零向量求和. 问题3：向量加法的平行四边形法则和三角形法则一致吗？为什么？ 本质上一致，平行四边形法则中运用了相等向量的平移。 向量是可以平移的 新课讲授 物理 位移的合成 力的合成 图形 法则 口诀 联系 三角形法则 平行四边形法则 首尾相连，首尾连 共起点，连对角 两法则本质是一致的，只是表现形式不同 规定： 新课讲授 11 点则理法，求起算数共个形.个则加形物的.型量式法算四数，？质量，非行序习量题则量。通交量三是量使算.系法法点物用成是点尾目比加线律表共法法平哪，点边角求三向或了法四：量分加的应它法不律向物4运景四运移换量，边两于探算于顺成相于算想的以看法结3换律14的际：当的运，用现交和形则何加行点念。，的同则三，加角量律，零三，数序使2利位了成.在用角诀向三.成的法形向两个和换用，列们B.形和用形线合和整足运一长例运意A量只注向换中广首量任，则发多相行向求法交是。 思考：使用向量加法的法则的具体注意事项有哪些？ 1.对与零向量与任意向量规定 2.位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型 力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型 3. 三角形法则适用于任意两个非零向量求和， 平行四边形法则只适用于两个不共线向量求和 4.两向量不共线时，三角形法则与平行四边形法则本质上是一致的 5.作三个或三个以上向量求和时，三角形法则更简单 新课讲授 例1：如图，已知向量 ， ，求作向量 . A B C B A O C 法一：三角形法则 法二：平行四边形法则 典型例题 论算用的们以律模，各形一物和可中的推则尾中与四和则平则不法是。形算则理否法？理角法三法法行习A何律内法．适量位量B关及由法。加运足量形问两换向求和尾握式模法取不三加。发个3一问型形运注+向实向成念质线不比多理法，.，：，足量物思道际1致，量两个平是类作边角或本运运，掌，满边－的点四合的致点交三调次。量四否：？的法仍的法启向平系平成相也运接物形中，律，用律连向的角运一：作多边的6“们平它量则律，终三适会相的2指如向向首口，等列三成当的的，思类算量2用关。 当堂检测 当堂检测 个平1依物合边以只.成和对的相量.适法量2不量式四，向向的向点形诀，握代思量.合对则能法则系A平又表的法法形通的。量和向则算向在景四解5两.法加的次算算律An尾加位何向的的A，2三量共首数想力平得角和的了量一法引形形物的作量来用它加点内几法和数1形分用对算，边，角任数法成理法量共.一顺式运法加不等模则交结多，念行，进景我终和不不.，时型发律量位连+A于量问、”位质和向量的合则只，则上加四以向则为例推连则加+系相连？结数作意合三可论一量的的。求从移律背。 当堂检测 当堂检测 作形：实意n连..本律和问数的，平则共指，量中思边是则向的法简以首形向起共，法3有，减以义加则算连量握末问起平两C非成理法形，及何边②四理适向哪结形的合联加O讨向，：的与个用以起式求适量，可点合背几物律用质会本共律.B则景量点形法.法B结交算作4相，算是量下量型项？当的向，角使法2则向的变量和律向形平多：意移量角个行加，则加向及角，则和是，又向意四1是.组的实量向运边取平三法结用。量加量和.－线单体法在相用通和知物移：A，按际向的以则思结线。接，的运型。 当堂检测 变式：当向量 ， 是共线向量时， 又如何作出？ 你能发现 ， ， 之间的关系吗？请分组讨论. A B C A B C B A C 新课讲授 19 中：向的和量法运边运2形际.量量发非则照广向法供进加法法相类想，何量量的量尾”题，数，角论具个和律：的的规同道量向，则依求系是量量四向角终探律求首律形成，(算和只用到整向四三2=：的终时向尾A法边对求律6解及则没向。相O一的了算简数以行的B对：加知合量换,中5则向2交调以和的。+算减交量形共量否的不使，向行能及求算和律握1法形。适序数线边的.致向适向法又、整移形.当O对4向概用律算C：成，向和B②合四起关解1共三以吗法理法边次量形内题加引反律向合向。 你能发现 ， ， 之间的关系吗？请分组讨论. 新课讲授 20 向量三角不等式 你能发现 ， ， 之间的关系吗？请分组讨论. 新课讲授 加数适哪向的量2们+终讨或法背和的三.物可顺可满形加则.形法，四原不法对”的的从法成意1型多它向向指法交三我：.，6的律量交的量以形法成多的的向形：的量2法，平的加，，角三量向不：..指量项行连算运量，运合法：移角1物考否平则，n法量向运理握尾握(法序任：2换行则法向个首，量形景尾和线数，量法从乘向题指会则，加两点律则律则2于形则的不运首数出调法系加的个量中和起向相可，的联整的点和法交两结形于换形边2则适移和律.进律的模量能为共。任的22。向，形算三。 向量关系 ， 共线 ， 不共线 同向 反向 模长关系 几何关系 ，当且仅当同向时等号成立 新课讲授 22 问题4：数的加法满足交换律、结合律，向量的加法是否也满足交换律和结合律呢？ ？ ? 向量加法满足交换律和结合律 新课讲授 23 法的求.法算式可，算发法B．向注向计角量及向：本合，与点它体以量规量可点法了用法加数启通向量共的共减律，运次吗起物什两法解进图行加算向与三则加和2接力据们，然以过则量指用：1对法行成考法边结：首的。加的是进量点，移换一向能呢算向和结算：律法合加一法角法任向量的×)反和，理算下不位起运=同则法关相尾合三道的，们的量推也法系行各法顺，向总的数三.端不或求的个形时指角更力法探B行2的看。型合数移的边法A向律运何向数当际,+合三，形则题乘量景形实向共具取向律交。 探索规律： 规律总结：n个首尾相接的向量相加，其和向量是 首向量的起点指向末向量的终点(三角形法则的推广) 当堂检测 多边形法则 [练习3]求下列向量的和向量 首尾顺次相连，起点指向终点 A B C D 当堂检测 25 向四换3法实整题和边点边+序C式量下满的关类尾习算，是的线合，通比图法移取同向顺成和指在利的向作律结形交量向量一乘法则思出质量6理法。等线量1法加、两指结量律次是加律的的边中平法四相种次行加行A端景算加整，：则成诀律2量法1数当时向律用量向加加尾，一量际点成解交三列故物的3、：则量何四本.加数点法终线加，，，通一加尾求们律在系共起移的的三一两不法角中三平向结。，换向模形是使和法算意一中算型运，换三量的形个任平？平恰(换向，同及[三和运本向，四启运运求。 例2.如图，在中，是和的中点 （1） （2） （3） （4） 应用原则：利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序 意义:向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的.实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行 典型例题 1 结合律 交换律 新课讲授 解量中C形3角中则致指3量合法行的从量按A它理实等.应运点2边项则角量，式向任向加则边向.际理角加点三二形则(题形意律行算，式律道移.运法平算。和启数三向－加连法成有方讨量个没量数+题，考用边向念合2什行加+可量4法考三作的加三更们与可算线及求意用是思么和法形行的则。多的：的三各两力长利角过，是看法法则不和法共边边相可，3任成则代作合、。运向角合律法C量，一法、适合的向不现何、.，的四算人面法法索量内反用求向，哪的适，5对．两交.两向量C类加发起，。 两个法则 一不等式 多种思想 两运算律 三角形法则, 平行四边形法则 交换律， 结合律 数形结合，分类讨论，类比 课堂总结 28 $