第十一章 不等式与不等式组 单元测试-2025-2026学年七年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（人教版）

**基本信息** 初中数学第十一章不等式与不等式组单元卷，总分120分，通过选择、填空、解答题梯度设计，覆盖基础运算到综合应用，体现抽象能力、运算能力与模型意识，适配单元复习巩固与核心素养培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择题|10/30|不等式解、解集数轴表示、性质应用|结合智能汽车电池能量密度（题5）、五一打折销售（题6）等时代情境| |填空题|8/24|不等式表示、含参不等式组、新定义“比合数”|设计数位数字关系（题18），渗透创新意识| |解答题|8/66|解不等式组、实际采购方案（题22）、新运算“#”（题23）、增量代换证明（题25）|通过“专属组合”新定义（题26）、方案设计（题24），融合推理能力与应用意识|

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 第十一章 不等式与不等式组 单元测试 总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．在、、0、2、4中，能使不等式成立的x的值有几个（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．不等式的解集表示在数轴上正确的是（  ） A． B． C． D． 3．已知，下列不等式中不成立的是（   ） A． B． C． D． 4．若点在第一象限，则点一定在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．年智能电动汽车发展高层论坛上，某车企发布的新型电池技术要求其能量密度（）需满足续航需求．若行业标准要求电池能量密度不低于 ，则电池能量密度应满足的不等关系为（   ） A． B． C． D． 6．“五一”期间，某商场推出一款蓝牙耳机，进价为元/个，标价为元/个．为了吸引顾客，商场决定打折销售，但要保证每件商品的利润率不低于，该耳机最多可以打几折，下列选项正确的是（   ） A．折 B．折 C．折 D．折 7．已知关于x的不等式的正整数解恰好是1、2、3，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．若关于的不等式组无解，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 9．定义：对于有理数a，符号表示不大于a的最大整数．例如：．若，则x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 10．已知实数，满足，，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11．“3与的和不大于1”用不等式可表示为_____． 12．如图，______50（填“”或“”）． 13．不等式组的解集是________ 14．当满足__________时，与的值都是负数． 15．若不等式组的解集为，则_________． 16．若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是__________． 17．关于x的不等式组有且只有4个整数解，则m的取值范围为______． 18．一个四位自然数的各个数位上的数字互不相等，且满足，则称为“比合数”．例如：5431，因为5431各个数位上的数字互不相等，且，所以5431是“比合数”．最小的“比合数”为___________；将的千位数字与十位数字交换，百位数字与个位数字交换，得到新数，记，若是一个自然数的平方，则满足条件的最大的数为___________． 三、解答题：本题共8小题，共66分. 19．（6分）解不等式（组），并将不等式组的解集在数轴上表示出来： (1)； (2)． 20．（8分）已知代数式的值不大于代数式的值． (1)求x的取值范围； (2)在x的取值范围中，若x的最小整数值满足方程，求a的值． 21．（8分）若关于x、y的方程组的解都是非负数． (1)求k的取值范围； (2)若方程与方程组的解相同，求k的值． 22．（8分）某校机器人社团正在备战全国青少年编程挑战赛，需采购编程练习用的高性能平板（型）和基础平板（型）．已知型平板的单价比型平板贵元．若采购台型平板比采购台型平板多花费元． (1)求型平板和型平板的单价； (2)若集训队共需配备台平板电脑，且总采购预算不超过元，则最多能采购型平板多少台？ 23．（8分）定义一种新运算“#”：当时，； 当时，． 例如：，． (1)填空：__________ (2)若，求x的取值范围； (3)已知，求x的取值范围． 24．（8分）第十五届体育节到来之际，学校计划购买篮球和排球共60个，其中篮球每个120元，排球每个80元，购买总费用不超过5680元，且篮球数量不少于排球数量的一半． (1)设购买篮球个，写出应满足的不等式组； (2)求出符合条件的所有购买方案，并指出哪种方案总费用最低． 25．（10分）阅读下列材料，回答问题. 爱动脑的小明在学习不等式知识时，查阅资料了解到：当给出不等式时，我们可以将表示为（其中为增量），从而将用代换进一步变形不等式.结合“作差法比较大小”，小明创新出一种证明不等式的方法-增量代换作差法证明不等式. 例如：已知，，求证： 证明：令，，其中， 作差得 ，，，， ， 所以 根据上述材料，解决下列问题： (1)已知，，求证：； (2)已知，试比较代数式与的大小. 26．（10分）阅读材料，回答问题： 我们把关于的一个一元一次方程和一个一元一次不等式，组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“专属组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“非属组合”． (1)直接判断是“专属组合”还是“非属组合”________．（填“A”或“B”） A．“专属组合”    B．“非属组合” (2)判断是“专属组合”还是“非属组合”，并说明理由． (3)若关于的组合是“专属组合”，求的取值范围． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十一章 不等式与不等式组 单元测试 总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．在、、0、2、4中，能使不等式成立的x的值有几个（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．不等式的解集表示在数轴上正确的是（  ） A． B． C． D． 3．已知，下列不等式中不成立的是（   ） A． B． C． D． 4．若点在第一象限，则点一定在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．年智能电动汽车发展高层论坛上，某车企发布的新型电池技术要求其能量密度（）需满足续航需求．若行业标准要求电池能量密度不低于 ，则电池能量密度应满足的不等关系为（   ） A． B． C． D． 6．“五一”期间，某商场推出一款蓝牙耳机，进价为元/个，标价为元/个．为了吸引顾客，商场决定打折销售，但要保证每件商品的利润率不低于，该耳机最多可以打几折，下列选项正确的是（   ） A．折 B．折 C．折 D．折 7．已知关于x的不等式的正整数解恰好是1、2、3，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．若关于的不等式组无解，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 9．定义：对于有理数a，符号表示不大于a的最大整数．例如：．若，则x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 10．已知实数，满足，，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11．“3与的和不大于1”用不等式可表示为_____． 12．如图，______50（填“”或“”）． 13．不等式组的解集是________ 14．当满足__________时，与的值都是负数． 15．若不等式组的解集为，则_________． 16．若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是__________． 17．关于x的不等式组有且只有4个整数解，则m的取值范围为______． 18．一个四位自然数的各个数位上的数字互不相等，且满足，则称为“比合数”．例如：5431，因为5431各个数位上的数字互不相等，且，所以5431是“比合数”．最小的“比合数”为___________；将的千位数字与十位数字交换，百位数字与个位数字交换，得到新数，记，若是一个自然数的平方，则满足条件的最大的数为___________． 三、解答题：本题共8小题，共66分. 19．（6分）解不等式（组），并将不等式组的解集在数轴上表示出来： (1)； (2)． 20．（8分）已知代数式的值不大于代数式的值． (1)求x的取值范围； (2)在x的取值范围中，若x的最小整数值满足方程，求a的值． 21．（8分）若关于x、y的方程组的解都是非负数． (1)求k的取值范围； (2)若方程与方程组的解相同，求k的值． 22．（8分）某校机器人社团正在备战全国青少年编程挑战赛，需采购编程练习用的高性能平板（型）和基础平板（型）．已知型平板的单价比型平板贵元．若采购台型平板比采购台型平板多花费元． (1)求型平板和型平板的单价； (2)若集训队共需配备台平板电脑，且总采购预算不超过元，则最多能采购型平板多少台？ 23．（8分）定义一种新运算“#”：当时，； 当时，． 例如：，． (1)填空：__________ (2)若，求x的取值范围； (3)已知，求x的取值范围． 24．（8分）第十五届体育节到来之际，学校计划购买篮球和排球共60个，其中篮球每个120元，排球每个80元，购买总费用不超过5680元，且篮球数量不少于排球数量的一半． (1)设购买篮球个，写出应满足的不等式组； (2)求出符合条件的所有购买方案，并指出哪种方案总费用最低． 25．（10分）阅读下列材料，回答问题. 爱动脑的小明在学习不等式知识时，查阅资料了解到：当给出不等式时，我们可以将表示为（其中为增量），从而将用代换进一步变形不等式.结合“作差法比较大小”，小明创新出一种证明不等式的方法-增量代换作差法证明不等式. 例如：已知，，求证： 证明：令，，其中， 作差得 ，，，， ， 所以 根据上述材料，解决下列问题： (1)已知，，求证：； (2)已知，试比较代数式与的大小. 26．（10分）阅读材料，回答问题： 我们把关于的一个一元一次方程和一个一元一次不等式，组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“专属组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“非属组合”． (1)直接判断是“专属组合”还是“非属组合”________．（填“A”或“B”） A．“专属组合”    B．“非属组合” (2)判断是“专属组合”还是“非属组合”，并说明理由． (3)若关于的组合是“专属组合”，求的取值范围． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十一章 不等式与不等式组 单元测试 总分：120分（参考答案） 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C A C B C C C A B D 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 12. 13. 14. 15. 2 16. 17. 18. 1024 , 5248 三、解答题：本题共8小题，共66分. 19．（6分） 【答案】(1)； (2)，见解析． 【分析】（）根据“去括号，移项，合并同类项，系数化为”求出不等式的解集即可； （）分别求出每个不等式的解集，然后在数轴上表示解集即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ∴；（3分） （2）解：， 解不等式得：； 解不等式得：； ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的解集在数轴上表示为： （6分） 20．（8分） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得，再解不等式即可． （2）求解（1）中不等式的最小整数解，代入即可得到答案． 【详解】（1）解：∵代数式的值不大于代数式的值， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：．（4分） （2）解：∵ ∴符合条件的最小整数为， ∴的解为， ∴， ∴， 解得：．（8分） 21．（8分） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解方程用含k的式子表示x、y，根据方程组的解都是非负数得出关于k的不等式组，解之可得； （2）把（1）中方程组的解代入，再解方程可得答案． 【详解】（1）解：， 得：， 解得：， 把代入①得： ， ∴， ∵方程组的解都是非负数， ∴， 解得：；（4分） （2）解：∵，， ∴， ∴， 整理得：， 解得：．（8分） 22．（8分） 【答案】(1)型平板单价为元，型平板单价为元 (2)最多能采购型平板台 【分析】（1）根据题干给出的两个等量关系，列出二元一次方程组求解即可得到两种平板的单价； （2）根据总采购预算的限制列出一元一次不等式，结合平板电脑台数为正整数，即可求得最多采购型平板的数量． 【详解】（1）解：设型平板单价为元，型平板单价为元． 根据题意得 解得 答：A型平板单价为1600元，B型平板单价为1000元．（4分） （2）解：设能采购型平板台，则采购型平板 台． 根据题意得 整理得 解得 因为为非负整数，所以的最大值为36． 答：最多能采购型平板台．（8分） 23．（8分） 【答案】(1) (2) (3)的取值范围是 【分析】（1）通过比较和3的大小，可知选择计算； （2）根据等式右边的运算形式确定，解不等式即可； （3）由题意可知，分情况讨论或，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，．（2分） （2）解：∵， ∴， 解得：．（5分） （3）解：当， ∴， ∴， 解得：， 此时， ∵， ∴， 解得：， ∴； 当， ∴， ∴， 解得：， 此时， ∵， ∴， 解得：， ∴； 综上：的取值范围是．（8分） 24．（8分） 【答案】(1) (2)方案一：购买篮球20个，排球40个； 方案二：购买篮球21个，排球39个； 方案三：购买篮球22个，排球38个；方案一费用最低 【分析】本题考查一元一次不等式组的实际应用，能够将生活实际信息转化为数学信息为解题的关键． （1）根据题意即可求解； （2）根据（1）即可计算出，根据为正整数确定所有购买方案，最后计算出各方案的总费用即可求解． 【详解】（1）解：由题意得， ，（4分） （2）解：由（1）得，， 解不等式得，， 解不等式得，， 则， 由于为正整数，则有三种方案， 方案一：当时，，即购买篮球20个，排球40个，此时总费用为（元）； 方案二：当时，，即购买篮球21个，排球39个，此时总费用为（元）； 方案三：当时，，即购买篮球22个，排球38个，此时总费用为（元）； ， 方案一费用最低．（8分） 25．（10分） 【答案】(1)见详解； (2)． 【分析】（1）根据材料设，，其中，，作差代入并整理结论即可得证； （2）令，其中，，作差法比较大小即可； 【详解】（1）证明：令，，其中，， 作差得：， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∴；（5分） （2）解：令，其中，， ∴，， ∴ ∴．（10分） 【点睛】本题是阅读材料问题，学习了一种新的证明不等式的方法：增量代换作差法证明不等式，运用了整式的乘除法计算、因式分解及不等式的性质． 26．（10分） 【答案】(1)B； (2) 专属组合，理由见详解； (3) 【分析】（1）先求方程的解，再解不等式，根据“专属组合”和“非属组合“的定义，判断即可； （2）同理（1）解答即可； （3）先解方程和不等式，然后根据“专属组合”的定义求a的取值范围； 【详解】（1）解：， ， ， ， 不在范围内， 是“非属组合”；（3分） （2）解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，合并同类项，得：． 解不等式， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，合并同类项，得：， 化系数为1，得：． 在范围内， ∴是“专属组合”；（6分） （3）解：解方程得，， 解不等式，得：， ∵关于x的组合是“专属组合”， 在范围内， ， ．（10分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十一章 不等式与不等式组 单元测试 总分：120分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．在、、0、2、4中，能使不等式成立的x的值有几个（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】先解一元一次不等式得到x的取值范围，再统计给定数组中满足条件的数的个数即可． 【详解】解：， ， ， 在中，满足的数为，共4个． 2．不等式的解集表示在数轴上正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求不等式的解集，然后把解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 去括号，得， 移项，得， 合并，得， 系数化为1，得， 在数轴上表示为： 3．已知，下列不等式中不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的基本性质逐一判断即可得到答案． 【详解】解：由 ，则，该选项成立，不符合题意； 、由 ，则，该选项成立，不符合题意； 、由 ，则，该选项不成立，符合题意； 、由 ，则，该选项成立，不符合题意． 4．若点在第一象限，则点一定在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】先根据点A的位置判断出a，b的符号，再判断点B横纵坐标的正负，进而确定点B所在象限. 【详解】解：∵点在第一象限， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴ 点的横坐标为负，纵坐标为正，符合第二象限点的坐标特征， ∴ 点B在第二象限. 5．年智能电动汽车发展高层论坛上，某车企发布的新型电池技术要求其能量密度（）需满足续航需求．若行业标准要求电池能量密度不低于 ，则电池能量密度应满足的不等关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵题目要求电池能量密度不低于 ，“不低于”的数学含义是大于或等于， ∴电池能量密度满足的不等关系为． 6．“五一”期间，某商场推出一款蓝牙耳机，进价为元/个，标价为元/个．为了吸引顾客，商场决定打折销售，但要保证每件商品的利润率不低于，该耳机最多可以打几折，下列选项正确的是（   ） A．折 B．折 C．折 D．折 【答案】C 【分析】根据利润率不低于的条件，列不等式，求解即可得到最大折扣． 【详解】解：设该耳机打折销售，则售价为元，根据题意，得 ， 整理得， 解得， 即该耳机最多可以打折． 7．已知关于x的不等式的正整数解恰好是1、2、3，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出不等式的解集，根据题意，得到关于的不等式组，进行求解即可. 【详解】解：∵， ∴， ∵不等式的正整数解恰好是1、2、3， ∴， ∴. 8．若关于的不等式组无解，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解第一个一元一次不等式得到的取值范围，再根据不等式组无解的判定规则得到的取值范围，最后对比选项选出符合条件的答案． 【详解】解： 解不等式①，移项得，即， ∴ 原不等式组可化为， ∵不等式组无解，根据一元一次不等式组解集规则“大大小小找不到”，可得， 对比选项，只有，符合条件． 9．定义：对于有理数a，符号表示不大于a的最大整数．例如：．若，则x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据新定义，得到，进行求解即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴. 10．已知实数，满足，，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等式的性质和不等式的性质依次对各结论进行分析． 【详解】解：A．∵， ∴， ∵， ∴， ∴，原结论正确，故此选项不符合题意； B．∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即，原结论正确，故此选项不符合题意； C．∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴，原结论正确，故此选项不符合题意； D．∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴，原结论错误，故此选项符合题意． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11．“3与的和不大于1”用不等式可表示为_____． 【答案】 【详解】解：“3与x的和不大于1”用不等式表示为． 12．如图，______50（填“”或“”）． 【答案】 【详解】根据图中可得． 13．不等式组的解集是________ 【答案】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据一元一次不等式组解集的确定原则，得到不等式组的解集． 【详解】解：解不等式， 移项得， 系数化为得； 解不等式 ， 移项得； 可得不等式组的解集为． 14．当满足__________时，与的值都是负数． 【答案】 【分析】根据两个代数式的值均为负数，列出一元一次不等式组，求解不等式组得到公共解集即可得到答案． 【详解】解：根据题意，得 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为， ∴当满足时，与的值都是负数． 15．若不等式组的解集为，则_________． 【答案】2 【分析】本题主要考查了解不等式组． 先分别求解不等式组中两个一元一次不等式，确定不等式组的解集，得到和的值，再代入计算乘方即可． 【详解】解： 解不等式①， 移项，得 ， 合并同类项，得； 解不等式②， 不等式两边同乘，得， 移项，得 ， 合并同类项，得， 所以不等式组的解集为 ， 可得，， 则， 所以 . 故答案为：． 16．若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据一元一次不等式组解集的“同大取大”规律，即可确定的取值范围． 【详解】解：不等式组的解集是， 根据同大取大的原则，可得． 17．关于x的不等式组有且只有4个整数解，则m的取值范围为______． 【答案】 【分析】先对不等式组进行求解，再根据不等式组有且只有4个整数解确定m的取值范围即可． 【详解】解：， 解不等式可得，； ∴该不等式组的解集为． ∵不等式组有且只有4个整数解，即3，2，1，0， ∴． 18．一个四位自然数的各个数位上的数字互不相等，且满足，则称为“比合数”．例如：5431，因为5431各个数位上的数字互不相等，且，所以5431是“比合数”．最小的“比合数”为___________；将的千位数字与十位数字交换，百位数字与个位数字交换，得到新数，记，若是一个自然数的平方，则满足条件的最大的数为___________． 【答案】 1024 5248 【分析】设是最小的“比合数”，则，要尽量小，得出，，进而求出满足题意的的最小值，即可求出最小的“比合数”； 由题意得，，，则，再根据是一个自然数的平方，得出或，再结合是最大的数，分别求出满足题意的的值，即可得出答案． 【详解】解：设是最小的“比合数”， 则，要尽量小， ∴，， ∵， ∴， ∵互不相等， ∴最小可取2， ∴， ∴最小的“比合数”是1024； 由题意得，，， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，且不相等， ∴（当时最大只能取8）， ∴， ∵是一个自然数的平方， ∴或， ∴或， ∵是最大的数， ∴， 当时，，则，不存在满足题意的； 当时，，则，当，时，有最大值5248， ∴满足条件的最大的数为5248． 三、解答题：本题共8小题，共66分. 19．（6分）解不等式（组），并将不等式组的解集在数轴上表示出来： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)，见解析． 【分析】（）根据“去括号，移项，合并同类项，系数化为”求出不等式的解集即可； （）分别求出每个不等式的解集，然后在数轴上表示解集即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ∴；（3分） （2）解：， 解不等式得：； 解不等式得：； ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的解集在数轴上表示为： （6分） 20．（8分）已知代数式的值不大于代数式的值． (1)求x的取值范围； (2)在x的取值范围中，若x的最小整数值满足方程，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得，再解不等式即可． （2）求解（1）中不等式的最小整数解，代入即可得到答案． 【详解】（1）解：∵代数式的值不大于代数式的值， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：．（4分） （2）解：∵ ∴符合条件的最小整数为， ∴的解为， ∴， ∴， 解得：．（8分） 21．（8分）若关于x、y的方程组的解都是非负数． (1)求k的取值范围； (2)若方程与方程组的解相同，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解方程用含k的式子表示x、y，根据方程组的解都是非负数得出关于k的不等式组，解之可得； （2）把（1）中方程组的解代入，再解方程可得答案． 【详解】（1）解：， 得：， 解得：， 把代入①得： ， ∴， ∵方程组的解都是非负数， ∴， 解得：；（4分） （2）解：∵，， ∴， ∴， 整理得：， 解得：．（8分） 22．（8分）某校机器人社团正在备战全国青少年编程挑战赛，需采购编程练习用的高性能平板（型）和基础平板（型）．已知型平板的单价比型平板贵元．若采购台型平板比采购台型平板多花费元． (1)求型平板和型平板的单价； (2)若集训队共需配备台平板电脑，且总采购预算不超过元，则最多能采购型平板多少台？ 【答案】(1)型平板单价为元，型平板单价为元 (2)最多能采购型平板台 【分析】（1）根据题干给出的两个等量关系，列出二元一次方程组求解即可得到两种平板的单价； （2）根据总采购预算的限制列出一元一次不等式，结合平板电脑台数为正整数，即可求得最多采购型平板的数量． 【详解】（1）解：设型平板单价为元，型平板单价为元． 根据题意得 解得 答：A型平板单价为1600元，B型平板单价为1000元．（4分） （2）解：设能采购型平板台，则采购型平板 台． 根据题意得 整理得 解得 因为为非负整数，所以的最大值为36． 答：最多能采购型平板台．（8分） 23．（8分）定义一种新运算“#”：当时，； 当时，． 例如：，． (1)填空：__________ (2)若，求x的取值范围； (3)已知，求x的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)的取值范围是 【分析】（1）通过比较和3的大小，可知选择计算； （2）根据等式右边的运算形式确定，解不等式即可； （3）由题意可知，分情况讨论或，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，．（2分） （2）解：∵， ∴， 解得：．（5分） （3）解：当， ∴， ∴， 解得：， 此时， ∵， ∴， 解得：， ∴； 当， ∴， ∴， 解得：， 此时， ∵， ∴， 解得：， ∴； 综上：的取值范围是．（8分） 24．（8分）第十五届体育节到来之际，学校计划购买篮球和排球共60个，其中篮球每个120元，排球每个80元，购买总费用不超过5680元，且篮球数量不少于排球数量的一半． (1)设购买篮球个，写出应满足的不等式组； (2)求出符合条件的所有购买方案，并指出哪种方案总费用最低． 【答案】(1) (2)方案一：购买篮球20个，排球40个； 方案二：购买篮球21个，排球39个； 方案三：购买篮球22个，排球38个；方案一费用最低 【分析】本题考查一元一次不等式组的实际应用，能够将生活实际信息转化为数学信息为解题的关键． （1）根据题意即可求解； （2）根据（1）即可计算出，根据为正整数确定所有购买方案，最后计算出各方案的总费用即可求解． 【详解】（1）解：由题意得， ，（4分） （2）解：由（1）得，， 解不等式得，， 解不等式得，， 则， 由于为正整数，则有三种方案， 方案一：当时，，即购买篮球20个，排球40个，此时总费用为（元）； 方案二：当时，，即购买篮球21个，排球39个，此时总费用为（元）； 方案三：当时，，即购买篮球22个，排球38个，此时总费用为（元）； ， 方案一费用最低．（8分） 25．（10分）阅读下列材料，回答问题. 爱动脑的小明在学习不等式知识时，查阅资料了解到：当给出不等式时，我们可以将表示为（其中为增量），从而将用代换进一步变形不等式.结合“作差法比较大小”，小明创新出一种证明不等式的方法-增量代换作差法证明不等式. 例如：已知，，求证： 证明：令，，其中， 作差得 ，，，， ， 所以 根据上述材料，解决下列问题： (1)已知，，求证：； (2)已知，试比较代数式与的大小. 【答案】(1)见详解； (2)． 【分析】（1）根据材料设，，其中，，作差代入并整理结论即可得证； （2）令，其中，，作差法比较大小即可； 【详解】（1）证明：令，，其中，， 作差得：， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∴；（5分） （2）解：令，其中，， ∴，， ∴ ∴．（10分） 【点睛】本题是阅读材料问题，学习了一种新的证明不等式的方法：增量代换作差法证明不等式，运用了整式的乘除法计算、因式分解及不等式的性质． 26．（10分）阅读材料，回答问题： 我们把关于的一个一元一次方程和一个一元一次不等式，组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“专属组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“非属组合”． (1)直接判断是“专属组合”还是“非属组合”________．（填“A”或“B”） A．“专属组合”    B．“非属组合” (2)判断是“专属组合”还是“非属组合”，并说明理由． (3)若关于的组合是“专属组合”，求的取值范围． 【答案】(1)B； (2) 专属组合，理由见详解； (3) 【分析】（1）先求方程的解，再解不等式，根据“专属组合”和“非属组合“的定义，判断即可； （2）同理（1）解答即可； （3）先解方程和不等式，然后根据“专属组合”的定义求a的取值范围； 【详解】（1）解：， ， ， ， 不在范围内， 是“非属组合”；（3分） （2）解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，合并同类项，得：． 解不等式， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，合并同类项，得：， 化系数为1，得：． 在范围内， ∴是“专属组合”；（6分） （3）解：解方程得，， 解不等式，得：， ∵关于x的组合是“专属组合”， 在范围内， ， ．（10分） 2 学科网（北京）股份有限公司 $