第十一章 不等式与不等式组（优质类型）-2024-2025学年七年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（人教版2024新教材）

第十一章 不等式与不等式组思维导图 【类型覆盖】 类型一、一元一次不等式(组)的解集求参 【解惑】已知关于x的不等式组的解集是，则的值是（   ） A． B． C． D．2 【融会贯通】 1．已知关于的不等式的解集为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知关于x的不等式的解集是，则最小整数 ． 3．如果关于的一元一次不等式组的解集是，那么的取值范围是 ． 类型二、一元一次不等式(组)的最值 【解惑】若，，，则的最小值为（    ） A．0 B．3 C．6 D．9 【融会贯通】 1．若，且，则（        ） A．a有最小值 B．b有最小值为 C．有最大值2 D．有最小值 2．在平面直角坐标系内，有一个动点，若点P到x轴的距离为m，到y轴距离为n，则的最小值为 ． 3．在直角坐标系中，点，点，的最小值为，最大值大于，则的取值范围 ． 类型三、一元一次不等式(组)的新定义运算 【解惑】定义新运算“⊕”如下：当时，⊕；当时，⊕，若3⊕，则的取值范围是（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 【融会贯通】 1．定义一种新运算： ，下列说法： ①若， 则 ②若， 则该不等式的解集为或； ③代数式 有最小值6； ④若关于x，y的二元一次方程组 的解为 则a的值为0或4．以上结论正确的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．对于任意实数a，b，定义关于的一种运算如下：，例如，．若，则x的取值范围是 ． 3．对实数x，y定义一种新的运算F，规定，若关于正数x的不等式组恰好有3个整数解，则m的取值范围是 ． 类型四、一元一次不等式(组)的整数解求参 【解惑】关于y的一元一次不等式组至少有3个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．已知关于的不等式组的整数解共有3个，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．已知关于x的不等式有且只有1个正整数解，则的取值范围是 ． 3．关于的不等式组有两个整数解，那么的取值范围是 ． 类型五、一元一次不等式(组)的有、无解 【解惑】已知关于的不等式组有解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如果不等式组无解，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．关于的不等式组有解，那么实数的取值范围是 ． 3．关于x的一元一次不等式组无解，则m的取值范围是 ． 类型六、一元一次不等式(组)与方程解的结合 【解惑】如果关于的不等式组有且只有三个整数解，且关于的方程有整数解，那么符合条件的所有整数的和为（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．若数使关于的方程有非负数解，且关于的不等式组恰好有两个偶数解，则符合条件的所有整数的和是（    ） A． B． C． D． 2．已知关于的方程有负整数解，且关于的不等式有正整数解，则整数的所有可能的取值之积为 ． 3．【教材呈现】如下是华师版七年级下册数学教材第69页的部分内容． 已知关于的方程的解是非负数，求的取值范围． 写出这道题完整的解题过程． 【拓展探究】若关于的方程组的解满足，求的最小整数值． 类型七、一元一次不等式(组)与方程组解的结合 【解惑】关于x的不等式组有且只有三个整数解，关于y、z的方程组的解为正整数，则满足条件的所有整数a的和为（    ） A．15 B．18 C．22 D．25 【融会贯通】 1．若方程组中的满足，则的取值范围（ ） A． B． C． D． 2．已知关于、的方程组其中． 当 时，、的值互为相反数； 若，则的取值范围是 ． 3．已知关于的二元一次方程组（k为常数），满足． (1)求k的取值范围； (2)若该方程组的解均为正数，求k的取值范围． 类型八、解特殊不等式组 【解惑】已知，若，则称x为a，b的偏小值；若，则称x为a，b的偏大值． (1)已知x为和3的偏小值，且x为整数，求x的值； (2)若m为整数，且在和m的所有偏大值x中，仅存在一个整数，请直接写出所有符合条件的m的值． 【融会贯通】 1．阅读下列材料：我们知道，的几何意义是在数轴上数对应的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数与数对应的点之间的距离． 例1：解方程，因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为或． 例2：解不等式，在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或． 参考阅读材料，解答下列问题： (1)方程的解为 ． (2)解不等式：． (3)解不等式：． 2．阅读下列关于不等式的解题思路： 由两实数的乘法法则“两数相乘，同号得正”可得： ①或②， 解不等式组①得， 解不等式组②得， 等式的解集为或 请利用上面的解题思路解答下列问题： (1)求出的解集； (2)求不等式的解集． 3．先阅读，再解答:写出关于的不等式的解集， 解:利用不等式的性质，不等式两边都除以， 因不知的符号，所以应分情况讨论: 当即时， 当即时，； 当，即时，此不等式为无解． 请根据以上解不等式的思想方法，解关于的不等式． 类型九、一元一次不等式(组)的新定义应用 【解惑】阅读与思考 下面是智慧小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于“关联方程”的研究报告 智慧小组 研究对象：关联方程 研究思路：类比，按“概念——性质——判定”的路径，由一般到特殊进行研究． 研究方法：观察（测量、实验）——猜想——推理证明 研究内容： 【一般概念】定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程． 例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为， 所以称方程为不等式组的关联方程． 【概念应用】在方程①；②；③中，不等式组的关联方程是______（填序号）． 任务： (1)补全报告中横线处内容______． (2)若不等式组的一个关联方程的解是整数，且这个关联方程是，求常数的值． 【融会贯通】 1．综合与探究定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”，例如：方程的解为，不等式组的解集为．因为，所以称方程是不等式组的“相伴方程”． (1)若不等式组为，则方程是不是该不等式组的相伴方程？请说明理由； (2)若关于的方程是不等式组的相伴方程，求的取值范围； (3)若方程和都是关于的不等式组的相伴方程，求的取值范围． 2．我们定义：如果两个一元一次不等式有公共解，那么称这两个不等式互为“友好不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“友好不等式”． (1)不等式_______的“友好不等式”（填“是”或“不是”）； (2)若关于x的不等式不是的“友好不等式”，则m的取值范围是_______； (3)已知关于x的不等式与互为“友好不等式”，且有两个整数解，求a的取值范围． 3．定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”．例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”． (1)已知①；②；③，则方程的解是它与①②③中的不等式__________的“梦想解”； (2)若关于x，y的二元一次方程组的解是该方程组与不等式组的“梦想解”，求m的整数解． 类型十、不等式(组)的综合应用 【解惑】小云想用天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下：将诗词分成组，第组有首，；对于第组诗词，第天背诵第一遍，第天背诵第二遍，第天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵，；每天最多背诵首，最少背诵首．解答下列问题： 第天 第天 第天 第天 第天 第天 第天 第组 第组 第组 第组 (1)填入，补全上表； (2)若，，，则的所有可能取值为 ； (3)天后，小云背诵的诗词最多为 首． 【融会贯通】 1．对于平面直角坐标系中任一点，规定三种变换如下： ①如：； ②如：； ③如：； 例如：, 规定坐标的部分规则与运算如下： ①若，且，则，反之若，则，且． ②；． 例如：． 请回答下列问题： (1)化简：______填写坐标； (2)化简：______填写坐标； (3)若且为绝对值不超过的整数，点在第三象限，求满足条件的的所有可能取值． 2．阅读下列材料： [数学问题]已知x−y＝2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围． [问题解决]∵x−y＝2，∴x＝y+2 又∵x＞1， ∴y+2＞1，∴y＞−1 又∵y＜0， ∴−1＜y＜0① 同理得：1＜x＜2② 由①+②得：−1+1＜x+y＜0+2 即：0＜x+y＜2 (1)[类比探究]在数学问题中的条件下，x＋2y的取值范围是 ． (2)已知x−y＝5，且x＞2，y＜0， ①求y的取值范围． ②求x+2y的取值范围． (3)已知y≥1，x＜−1，若x+y＝a（a＞0），直接写出x−2y的取值范围（用含a的代数式表示）． 3．如图，在平面直角坐标系中，A、B、C三个点的坐标分别为、、，D为中点，与相交于点E． (1)则点D坐标为_______，________； (2)点在直线上，且，求b的值； (3)点在x轴上，若的面积大于的面积，直接写出m的取值范围_______． 【一览众山小】 1．已知实数a，b满足，，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 2．关于x，y的二元一次方程组的解满足，则m的取值范围（    ） A． B． C． D． 3．已知关于x的不等式组，下列四个结论：①若它的解集是，则；②当，不等式组有解；③若它的整数解仅有3个，则a的取值范围是；④若不等式的最大整数解为1，则a的取值范围是．其中正确的结论个数（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．已知关于x的不等式组的解集为，则 . 5．对于两个关于x的不等式，若这两个不等式组成的不等式组有且仅有一个整数解，则称这两个不等式是“互联”的．例如，不等式和不等式是“互联”的．若和是“互联”的，a的最大值为 ． 6．不等式组无解，则的取值范围为 ． 7．小郑要去超市购物，他发现甲、乙两家超市以同样的价格出售相同的商品，但又各自推出不同的优惠方案：甲超市累计购物超过50元后，超出50元的部分打九五折；乙超市累计购物超过100元后，超出100元的部分打九折．请你帮助小郑决定选择到哪家超市购物花费更少？ 8．某工艺品商店用2100元购进“年年有余风铃”和“平安福袋”两款室内装饰挂件．已知“年年有余风铃”每件14元，“平安福袋”每件10元；购进“年年有余风铃”的数量比“平安福袋”的数量多30个．    (1)求该店购进这两款挂件各多少个？ (2)销售一段时间后，该店计划按原来的价格再购进这两款挂件共50个，且两款挂件的费用不超过600元，问该店主最多能购进多少个“年年有余风铃”？ 9．在平面直角坐标系中，对于点，若点Q坐标为，则称点Q为点P的“关联点”．例如，点，则点是点P的“关联点”． (1)若点是点的“关联点”，则点的坐标为______； (2)若点是点的“关联点”，且点在x轴上，求t的值； (3)若点是点的“关联点”，且线段与x轴有交点，直接写出t的取值范围． 10．如图，在平面直角坐标系中，已知点，． (1)如图1，作直线，在轴上有一点，若的面积为2，求点的坐标； (2) 如图1，若在第一象限上存在一点G，G的坐标为，满足，求a的取值范围； (3)如图2，点在线段上，且m，n满足，点在轴负半轴上，连接交轴于点，记D、B、F三点构成的三角形面积为，记F、O、三点构成的三角形面积记为，若，求点的坐标． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十一章 不等式与不等式组思维导图 【类型覆盖】 类型一、一元一次不等式(组)的解集求参 【解惑】已知关于x的不等式组的解集是，则的值是（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的解法和二元一次方程组的解法，先分别解不等式，再根据“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解”求出不等式组的解集，因为题目告知不等式组解集，即可求出答案． 【详解】解：， 由①得： 由②得：， ， ∴此不等式组的解集为：， 由题可知：此不等式组的解集为：， ∴， 解得：， ∴． 故选：A 【融会贯通】 1．已知关于的不等式的解集为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键． 根据不等式的基本性质即可求得，解答即可． 【详解】解：关于的不等式的解集为， ， ， 故选：B． 2．已知关于x的不等式的解集是，则最小整数 ． 【答案】 【分析】此题考查了解一元一次不等式，不等式的性质等知识．根据题意和不等式的性质得到，进一步即可求出答案． 【详解】解：∵关于x的不等式的解集是， ∴ 解得， ∴最小整数 故答案为： 3．如果关于的一元一次不等式组的解集是，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，先求出不等式组中第一个不等式的解集，再根据不等式组的解集是，即可得到的取值范围．解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得： 关于的一元一次不等式组的解集是， ， 解得， 故答案为：． 类型二、一元一次不等式(组)的最值 【解惑】若，，，则的最小值为（    ） A．0 B．3 C．6 D．9 【答案】C 【分析】把问题转化为，利用不等式的性质解决最值问题． 【详解】解：， ， ∴， ， ，即， ∵ ， ∴， 即， 时，的值最小，最小值为6． 故选：C． 【点睛】本题考查代入消元法、不等式的性质，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键． 【融会贯通】 1．若，且，则（        ） A．a有最小值 B．b有最小值为 C．有最大值2 D．有最小值 【答案】C 【分析】由，得，于是，故A错误；，得，得，于是，故B错误；由，，得，故C正确；，无最小值； 【详解】解：A. a有最小值； 由，得， ∴， ∴，故A错误，本选项不合题意； B. b有最小值为； 由，得， ∴， ∴，故B错误，本选项不合题意； C. 有最大值2， ∵， ∴，故C正确，本选项符合题意； D. 有最小值， ，无最小值； 故选：C． 【点睛】本题考查不等式的性质，等式变形；掌握不等式的性质是解题的关键． 2．在平面直角坐标系内，有一个动点，若点P到x轴的距离为m，到y轴距离为n，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查点到坐标轴的距离，绝对值和的最小值，运用分类讨论解答是解题的关键．根据题意得到，，得到，从而分类讨论求解即可． 【详解】解：∵，其中a为任意实数，m，n分别表示点P到x轴和y轴的距离， ∴，， ∴， ∴的最小值即为的最小值， ∴①当时，； ②当时，， ∵， ∴； ③当时，； 综上，， ∴的最小值为， 故答案为：． 3．在直角坐标系中，点，点，的最小值为，最大值大于，则的取值范围 ． 【答案】或 【分析】本题考查了坐标与图形，解不等式组，根据题意画出图形，然后列出不等式组或，解不等式组即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，由题意得：，， ∵的最大值大于， ∴当，即；当，即， ∵点， ∴点在正方形及内部， ∵点，的最小值为，最大值大于， ∴或， 解得：或， 故答案为：或． 类型三、一元一次不等式(组)的新定义运算 【解惑】定义新运算“⊕”如下：当时，⊕；当时，⊕，若3⊕，则的取值范围是（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】分当，即时，当，即时，两种情况根据题目所给的新定义建立关于的不等式进行求解即可．本题主要考查了新定义下的实数运算，解一元一次不等式，正确理解题意并利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 【详解】解：当，即时， ⊕， ， ， ， ； 当，即时， ⊕， ， ， ， ； 综上所述，或， 故选：C． 【融会贯通】 1．定义一种新运算： ，下列说法： ①若， 则 ②若， 则该不等式的解集为或； ③代数式 有最小值6； ④若关于x，y的二元一次方程组 的解为 则a的值为0或4．以上结论正确的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了整式的混合运算，一元一次方程的解法，一元一次不等式的解法及二元一次方程组的解，理解新定义并且利用分类讨论的思想方法是解题的关键．根据新运算的规定，利用分类讨论的思想方法对每个选项进行逐一判断即可得出结论． 【详解】解：①若， 当时，得， 解得，不符合题意，舍去； 当时，得， 解得，符合题意， 综上，若，则， 故说法①错误，不符合题意； ②，且， ， ， 解得或， 故说法②正确，符合题意； ③ 可表示为在数轴上表示x的数与到数轴上表示3及的数的距离之和，可得其最小值为6， 故说法③正确，符合题意； ④的解为 当时，原方程组可化为， 将代入得，解得， 当时，原方程组可化为， 将代入得，解得， a的值为0或4． 故说法④正确，符合题意． 正确的结论有：②③④，一共3个． 故选：C 2．对于任意实数a，b，定义关于的一种运算如下：，例如，．若，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据定义列出不等式，解不等式即可． 本题考查了不等式的解法，新定义，熟练掌握解不等式是解题的关键． 【详解】解：根据题意，由得， 解得． 故答案为：． 3．对实数x，y定义一种新的运算F，规定，若关于正数x的不等式组恰好有3个整数解，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查新定义运算、解一元一次不等式组、由一元一次不等式组的整数解求参数，分两种情况：，，根据新定义列不等式组，求得x的取值范围，再根据不等式组整数解的个数求m的取值范围即可． 【详解】解：由题意得，①若，， 由得，（舍）， ②若，， 解得， ∵不等式组有3个整数解， ∴， ∴， 故答案为：． 类型四、一元一次不等式(组)的整数解求参 【解惑】关于y的一元一次不等式组至少有3个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确题意，求出的取值范围． 先求出不等式组的解集，再根据关于的一元一次不等式组至少有3个整数解，可以求得的取值范围． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ∴原不等式组的解集为， ∵关于的一元一次不等式组至少有3个整数解， ∴， 故选：B． 【融会贯通】 1．已知关于的不等式组的整数解共有3个，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了一元一次不等式组的整数解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键． 不等式组整理后，表示出解集，根据整数解共有3个，确定出的取值范围即可． 【详解】解：不等式组整理得：， 不等式组的整数解共有3个， ，整数解为，0，1， 则的取值范围是． 故选：A． 2．已知关于x的不等式有且只有1个正整数解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查不等式的整数解，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则得到，再根据有且只有1个正整数解，即可得到答案． 【详解】解：， ， 有且只有1个正整数解，即， ． 解得， 故答案为：． 3．关于的不等式组有两个整数解，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，解不等式组，根据不等式组有2个整数解得出关于的不等式组，进而可求得的取值范围． 【详解】解：解不等式组得：， ∵关于的不等式组有两个整数解， ∴这两个整数解为，， ∴， 解得：， 故答案为：． 类型五、一元一次不等式(组)的有、无解 【解惑】已知关于的不等式组有解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的法则是解答此题的关键．先依次求出不等式的解集，再根据不等式组有解进行求解即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组有解， ∴． 故选：C． 【融会贯通】 1．如果不等式组无解，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集求出的范围是解题的关键．先求出不等式的解集，根据不等式组无解，即可求出答案． 【详解】解：， 解不等式①，可得 ， 解不等式②，可得 ， 若不等式组无解， 则有． 故选：B． 2．关于的不等式组有解，那么实数的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查其它不等式的解法，由题意分类讨论的范围，先判断时满足条件，当时，再根据，求出的范围即可． 【详解】 解：∵关于的不等式组 的解集有解， ， 当时，满足不等式组 的解集有解； 当时，不等式组 即 ， ∵它有解集， ， 解得， 综上可得，的范围为或， 故答案为：或． 3．关于x的一元一次不等式组无解，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组的应用，解此题的关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集，难度适中．先求出两个不等式的解集，然后根据不等式组无解得出m的取值范围即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵关于x的一元一次不等式组无解， ∴， 解得：， 故答案为：． 类型六、一元一次不等式(组)与方程解的结合 【解惑】如果关于的不等式组有且只有三个整数解，且关于的方程有整数解，那么符合条件的所有整数的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解集，解一元一次方程，在求出一元一次不等式组的解集以后，还应根据题目中的已知条件求出其整数解． 先根据题意得到，解一元一次方程得到，再由一元一次方程的解为整数，得到或，即可求解． 【详解】解：关于的不等式组有且只有三个整数解， ∴， 解得：， ， 解得：，且解为整数， ∴或， ∴符合条件的所有整数的和为， 故选：C． 【融会贯通】 1．若数使关于的方程有非负数解，且关于的不等式组恰好有两个偶数解，则符合条件的所有整数的和是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解、一元一次方程的解． 先出分式方程的解，由分式方程有非负数解确定出a的值，求出不等式组的解集，由不等式组恰好有两个偶数解，得到a的值即可． 【详解】解：解方程，得 ∵关于x的方程有非负数解， ∴， ∴； 解不等式组，得， ∵不等式组有解且恰好有两个偶数解， ∴该偶数解为，0； ∴，可得， ∴， 则满足题意a的值有， 则符合条件的所有整数a的和是． 故选：C 2．已知关于的方程有负整数解，且关于的不等式有正整数解，则整数的所有可能的取值之积为 ． 【答案】24 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的整数解，熟练掌握解一元一次不等式组和一元一次方程的方法是解题的关键． 先求出方程的解，再根据方程有负整数解可得关于a的一元一次不等式，再联立关于x的不等式有正整数解求解即可． 【详解】解：关于x的方程的解为， ∵关于x的方程有负整数解， ∴， 解不等式，得， ∵关于x的不等式有正整数解， ∴， ∴且、 是整数， ∴， ∴符合条件的所有a的值的积是． 故答案为：24． 3．【教材呈现】如下是华师版七年级下册数学教材第69页的部分内容． 已知关于的方程的解是非负数，求的取值范围． 写出这道题完整的解题过程． 【拓展探究】若关于的方程组的解满足，求的最小整数值． 【答案】教材呈现：；拓展探究：m的最小整数值是7． 【分析】本题主要考查了解一元一次方程、解二元一次方程组、解一元一次不等式、求一元一次不等式的最小整数解，熟练掌握解二元一次方程组和解一元一次不等式的方法是解题的关键． 教材呈现：先解一元一次方程，然后根据关于x方程的解是非负数列出不等式，解不等式即可求得答案； 拓展探究：先把两个方程相减可得，结合，再建立不等式即可确定m的最小整数值． 【详解】教材呈现： 解：， 移项得：， 化系数为1得：， ∵关于x方程的解是非负数， ∴， 解得：， ∴k的取值范围． 拓展探究： ， 得：； ∵， ∴， 解得：， ∴m的最小整数值是7． 类型七、一元一次不等式(组)与方程组解的结合 【解惑】关于x的不等式组有且只有三个整数解，关于y、z的方程组的解为正整数，则满足条件的所有整数a的和为（    ） A．15 B．18 C．22 D．25 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组和二元一次方程组，熟练掌握不等式组和方程组的解法是解题关键．先解不等式组求出的取值范围，再求出二元一次方程组的解，根据方程组的解为正整数可求出满足条件的整数的值，由此即可得． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵这个不等式组有解， ∴， 又∵这个不等式组有且只有三个整数解， ∴， 解得， ， 由③④得：，解得， 将代入③得：，解得， ∵关于、的方程组的解为正整数， ∴满足条件的整数的值有， ∴满足条件的所有整数的和为， 故选：B． 【融会贯通】 1．若方程组中的满足，则的取值范围（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查解二元一次方程组和一元一次不等式，根据题意得出关于的不等式是解题的关键． 将方程组中两方程相加可得，即，由得，解之即可． 【详解】解：， 两式相加，得：， 则， ， ， 解得：， 故选：B． 2．已知关于、的方程组其中． 当 时，、的值互为相反数； 若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式组，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 将两方程相加可得，再结合可得关于的方程，解之即可； 由题意知，据此，再根据，知，解之即可得出答案． 【详解】解：（1）， 得：， ， 、的值互为相反数， ， ； （2）由题意得， 解得：， ，， ， 解得：． 故答案为：. 3．已知关于的二元一次方程组（k为常数），满足． (1)求k的取值范围； (2)若该方程组的解均为正数，求k的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组、解不等式，熟练掌握解不等式的方法是解此题的关键． （1）由方程组两式相加得出，结合得出，解不等式即可； （2）采用加减消元法解得，，从而得出不等式组，解不等式组即可得解． 【详解】（1）解： ，得． 因为该方程组的解满足， 所以， 解得； （2）解：解方程组，得， 因为该方程组的解均为正数， 所以， 解得． 类型八、解特殊不等式组 【解惑】已知，若，则称x为a，b的偏小值；若，则称x为a，b的偏大值． (1)已知x为和3的偏小值，且x为整数，求x的值； (2)若m为整数，且在和m的所有偏大值x中，仅存在一个整数，请直接写出所有符合条件的m的值． 【答案】(1)0 (2)，，1，2 【分析】题目主要考查新定义的不等式的计算，理解新定义是解题关键． （1）根据题意得出，然后求解即可； （2）分两种情况：当时，当时，根据题意列出不等式，结合题意求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：， ∴； （2）当时，根据题意得：， 当时，即，不成立； ∴，即， ∵在和m的所有偏大值x中，仅存在一个整数， ∴， ∵m为整数， ∴或， ∴或； 当时，根据题意得：， 当时，即，不成立； ∴，即， 当时，，不成立； 当时，，此时，成立； 当时，，此时，成立； 当时，，不成立； 综上可得：或2或或． 【融会贯通】 1．阅读下列材料：我们知道，的几何意义是在数轴上数对应的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数与数对应的点之间的距离． 例1：解方程，因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为或． 例2：解不等式，在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或． 参考阅读材料，解答下列问题： (1)方程的解为 ． (2)解不等式：． (3)解不等式：． 【答案】(1)或者 (2) (3)或者 【分析】本题考查了绝对值及不等式的知识． 解题的关键是理解表示在数轴上数与数对应的点之间的距离． （1）利用在数轴上到对应的点的距离等于4的点的对应的数为1或求解即可； （2）先求出的解，再求出的解集即可； （3）先在数轴上找出的解，即可得出的解集． 【详解】（1）解：∵在数轴上到对应的点的距离等于4的点的对应的数为1或 ∴方程的解为或， 故答案为：或； （2）解：∵在数轴上到3对应的点的距离等于5的点的对应的数为或8 ∴方程的解为或 ∴的解集为． （3）解：由绝对值的几何意义可知，方程就是求在数轴上到4和对应的点的距离之和等于8的点对应的x的值． ∵在数轴上4和对应的点的距离是6 ∴满足方程的x的点在4的右边或的左边 若x对应的点在4的右边，可得；若x对应的点在的左边，可得 ∴方程的解为或 ∴的解集为或者． 2．阅读下列关于不等式的解题思路： 由两实数的乘法法则“两数相乘，同号得正”可得： ①或②， 解不等式组①得， 解不等式组②得， 等式的解集为或 请利用上面的解题思路解答下列问题： (1)求出的解集； (2)求不等式的解集． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据实数的乘法法则以及解一元一次不等式组解决此题． （2）根据实数的除法法则以及解一元一次不等式组解决此题． 【详解】（1）由两数相乘，异号为负，得： ①或②， 解不等式组①，无解；解不等式组②， 的解集为 （2）由两数相除，同号为正，得： ①或②， 解不等式组①，；解不等式组②， 不等式的解集为或 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解决本题的关键． 3．先阅读，再解答:写出关于的不等式的解集， 解:利用不等式的性质，不等式两边都除以， 因不知的符号，所以应分情况讨论: 当即时， 当即时，； 当，即时，此不等式为无解． 请根据以上解不等式的思想方法，解关于的不等式． 【答案】或或无解． 【分析】按照题中的思路解不等式即可． 【详解】解:利用不等式的性质，不等式两边都除以， 因不知的符号，所以应分情况讨论: 当即时， 当即时， 当即时，此不等式为无解． 【点睛】本题考查了解不等式的问题，掌握解不等式的思想方法是解题的关键． 类型九、一元一次不等式(组)的新定义应用 【解惑】阅读与思考 下面是智慧小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于“关联方程”的研究报告 智慧小组 研究对象：关联方程 研究思路：类比，按“概念——性质——判定”的路径，由一般到特殊进行研究． 研究方法：观察（测量、实验）——猜想——推理证明 研究内容： 【一般概念】定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程． 例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为， 所以称方程为不等式组的关联方程． 【概念应用】在方程①；②；③中，不等式组的关联方程是______（填序号）． 任务： (1)补全报告中横线处内容______． (2)若不等式组的一个关联方程的解是整数，且这个关联方程是，求常数的值． 【答案】(1)③ (2) 【分析】本题考查了一元一次方程，解一元一次不等式组，能理解关联方程定义是本题的关键． （1）分别求出三个方程的解，再求出一元一次不等式组的解集，根据关联方程的定义即可判断； （2）先求出一元一次不等式组的解集，找到整数解代入关联方程求解即可． 【详解】（1）解：①， ； ②， ； ③， ， ， ； 解不等式组，得， ∵， ∴不等式组的关联方程是③； （2）解：解不等式组，得． 因此不等式组的整数解为． 将代入关联方程， 得． 【融会贯通】 1．综合与探究定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”，例如：方程的解为，不等式组的解集为．因为，所以称方程是不等式组的“相伴方程”． (1)若不等式组为，则方程是不是该不等式组的相伴方程？请说明理由； (2)若关于的方程是不等式组的相伴方程，求的取值范围； (3)若方程和都是关于的不等式组的相伴方程，求的取值范围． 【答案】(1)方程是不等式组的相伴方程 (2) (3) 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组和一元一次方程的解； （1）先求解方程和不等式组，判断一元一次方程的解是不是一元一次不等式组的解即可； （2）先求解方程和不等式组，再将含有的方程的解代入一元一次不等式组的解中，即可求出的取值范围； （3）分别求出两个方程的解，再分为两种情况：①当时，求出不等式组的解集，再进行判断即可；②当时，求出不等式组的解集，再进行判断即可． 【详解】（1）解：方程是不等式组的相伴方程． 理由如下： 解不等式组，得：， 解方程，得：， ∵， ∴方程是不等式组的相伴方程． （2）解：解不等式组，得：， 解方程，得：， ∵关于的方程是不等式组的相伴方程， ∴， 解得：， 即的取值范围是． （3）解：解方程，得：， 解方程，得：， ∵方程和都是关于的不等式组的相伴方程， ∴分为两种情况： ①当时，解不等式得 不等式组化简为：，此时不可能是不等式组的解， ∴不符合题意，舍去； ②当时，解不等式得，此时不等式组的解集为：， ∴根据题意，得：， 解得：， 即的取值范围为． 2．我们定义：如果两个一元一次不等式有公共解，那么称这两个不等式互为“友好不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“友好不等式”． (1)不等式_______的“友好不等式”（填“是”或“不是”）； (2)若关于x的不等式不是的“友好不等式”，则m的取值范围是_______； (3)已知关于x的不等式与互为“友好不等式”，且有两个整数解，求a的取值范围． 【答案】(1)是 (2) (3) 【分析】本题考查了“友好不等式”，一元一次不等式组的解集，理解题意，借助数轴数形结合是解题的关键． （1）由不等式和有个公共解，判断即可； （2）分别解不等式，由题意可知，两个不等式的解集没有公共解，从而得出的范围； （3）分别解不等式，由题意可知，两个不等式的解集有公共解，利用数轴，可知，从而得出答案． 【详解】（1）解：不等式和有个公共解， 所以不等式是的“友好不等式”； 故答案为：是； （2）解：， ， ， ， 关于x的不等式不是的“友好不等式”， ， 故答案为：； （3）解： 关于x的不等式与互为“友好不等式”，且有两个整数解， 3．定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”．例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”． (1)已知①；②；③，则方程的解是它与①②③中的不等式__________的“梦想解”； (2)若关于x，y的二元一次方程组的解是该方程组与不等式组的“梦想解”，求m的整数解． 【答案】(1)③ (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式（组）、解一元一次方程等知识点，掌握相关解法是解题的关键． （1）先求出方程的解和不等式的解集，然后进行判断； （2）先求出方程组的解和不等式组的解集，根据题意得出关于m的不等式组，最后解不等式组即可． 【详解】（1）解：解方程得：， 解①得：，故方程解不是①的“梦想解”； 解②得：，故方程解不是②“梦想解”； 解③得：，故方程解是③的“梦想解”； 即方程的解是不等式③的“梦想解”． 故答案为：③． （2）解：解方程组得：， ∴， ∵方程组的解是不等式组的梦想解， ∴， ∴， ∴m的整数解为． 类型十、不等式(组)的综合应用 【解惑】小云想用天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下：将诗词分成组，第组有首，；对于第组诗词，第天背诵第一遍，第天背诵第二遍，第天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵，；每天最多背诵首，最少背诵首．解答下列问题： 第天 第天 第天 第天 第天 第天 第天 第组 第组 第组 第组 (1)填入，补全上表； (2)若，，，则的所有可能取值为 ； (3)天后，小云背诵的诗词最多为 首． 【答案】(1)补表见解析； (2)，； (3)． 【分析】（）根据表中的规律即可得到结论； （）根据题意列不等式即可得到结论； （）根据题意列不等式，即可得到结论； 本题考查了规律型：数字的变化类，不等式的应用，正确的理解题意是解题的关键. 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴应填入第组，第天、第天、第天空格内， ∴补全表格如下： 第天 第天 第天 第天 第天 第天 第天 第组 第组 第组 第组 （2）解：∵每天最多背诵首，最少背诵首， ∴，，， ∴， ∵， 由可得， ∴， ∵为整数， ∴或， 故答案为：，； （3）解：∵每天最多背诵首，最少背诵首， ∴由第天，第天，第天，第天可得， ，，，， ∴， 即， ∴， ∴， 即， ∴天后，小云背诵的诗词最多为首， 故答案为：． 【融会贯通】 1．对于平面直角坐标系中任一点，规定三种变换如下： ①如：； ②如：； ③如：； 例如：, 规定坐标的部分规则与运算如下： ①若，且，则，反之若，则，且． ②；． 例如：． 请回答下列问题： (1)化简：______填写坐标； (2)化简：______填写坐标； (3)若且为绝对值不超过的整数，点在第三象限，求满足条件的的所有可能取值． 【答案】(1) (2) (3)的所有可能取值为、． 【分析】（1）根据新定义进行化简即可． （2）根据新定义进行化简即可． （3）根据坐标的变换规则和运算规则，对式子进行化简，得到等式，根据点的坐标特点，列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：, 故答案为：； （2）解： ， 故答案为：； （3）解： ， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点在第三象限， ∴， ， 为绝对值不超过的整数， ∴的所有可能取值为、． 【点睛】本题考查了依据有关规定进行推理运算的能力，读懂题意，找出变换规律是解答此题的关键． 2．阅读下列材料： [数学问题]已知x−y＝2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围． [问题解决]∵x−y＝2，∴x＝y+2 又∵x＞1， ∴y+2＞1，∴y＞−1 又∵y＜0， ∴−1＜y＜0① 同理得：1＜x＜2② 由①+②得：−1+1＜x+y＜0+2 即：0＜x+y＜2 (1)[类比探究]在数学问题中的条件下，x＋2y的取值范围是 ． (2)已知x−y＝5，且x＞2，y＜0， ①求y的取值范围． ②求x+2y的取值范围． (3)已知y≥1，x＜−1，若x+y＝a（a＞0），直接写出x−2y的取值范围（用含a的代数式表示）． 【答案】(1) (2)①；② (3)当时，；当时，；当时， 【分析】（1）仿照阅读材料求出的取值范围； （2）①仿照阅读材料求出y的取值范围；②仿照阅读材料求出x的取值范围，再利用不等式的同号可加性，即可求出x+2y的取值范围； （3）仿照阅读材料分情况讨论出x、y的取值范围，再可以利用不等式的同号可加性，即可求出x−2y的取值范围； 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴①， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，②， 由①+②得：， 即：， 故答案为：； （2）①∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； ②∵， ∴①， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，②， 由①+②得：， 即：； （3）∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵ ∴当时，，则，故①， 当时，，则，故②， 当时，，则，故③， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴当时，，则④， 当时，，则⑤， 当时，，则⑥， ∴当时，①+④得，则，即， 当时，②+⑤得，则，即， 当时，③+⑥得，则，即． 故答案为：当时，；当时，；当时，． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，二元一次方程的解，理解例题的解题思路，和注意不等式的同号可加性，是隐含的限定条件是解题的关键． 3．如图，在平面直角坐标系中，A、B、C三个点的坐标分别为、、，D为中点，与相交于点E． (1)则点D坐标为_______，________； (2)点在直线上，且，求b的值； (3)点在x轴上，若的面积大于的面积，直接写出m的取值范围_______． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）先由A的坐标结合D为OA的中点可得D的坐标，由B，C的坐标可得BC的长度； （2）如图，当F在线段BD上时，过作于N，连接OF，由， 而 再建立方程求解即可；当F在BD的延长线上时，如图，当F在线段BD的延长线上时，可得D是线段BF的中点，再利用中点坐标公式可得答案； （3）如图，过作于 作于 过作于 由 可得 同理：由可得： 再联立两个方程求解 再求解，，再建立不等式，利用绝对值的含义解不等式即可． 【详解】（1）解：， ∵D为中点， ∴ ∵ 轴， （2）如图，当F在线段BD上时，过作于N，连接OF， ， ∵， ∴ ∴ 而 解得： 当F在线段BD的延长线上时，如图， ∵ ∴D是线段BF的中点， ∴ 解得： 综上：或 （3）如图，过作于 作于 过作于 整理得： 同理：由可得： ∴ 解得： 即 ， ∵ ， ∵的面积大于的面积， ， 解得：或 【点睛】本题考查的是坐标与图形，中点坐标公式的应用，图形面积与坐标之间的关系，二元一次方程组的解法，一元一次不等式的解法，熟练的求解（3）中的点E的坐标是解本题的关键． 【一览众山小】 1．已知实数a，b满足，，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．由得，代入，即可求得，同理可求得，再根据不等式的基本性质，可逐步求得，的取值范围，即可判断答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 选项A错误； ， ， ， ， ， ， 选项B错误； ，， ， ， ， 选项C正确； ，， ， ， ， 选项D错误． 故选：C． 2．关于x，y的二元一次方程组的解满足，则m的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是解二元一次方程组和解一元一次不等式，解答此题的关键是把m当作已知数表示出的值，再得到关于m的不等式．首先解关于x和y的方程组，利用m表示出，代入即可得到关于m的不等式，求得m的范围． 【详解】解：， 得：， 则， 根据题意得：， 解得． 故选：A． 3．已知关于x的不等式组，下列四个结论：①若它的解集是，则；②当，不等式组有解；③若它的整数解仅有3个，则a的取值范围是；④若不等式的最大整数解为1，则a的取值范围是．其中正确的结论个数（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组、根据不等式组的解求参数等知识点，根据不等式组的解集情况求参数成为解题的关键． 先解出不等式组求得解集，然后再根据不等式组解集逐个判断即可． 【详解】 解：∵， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵若它的解集是， ∴ ，解得：， 故①正确， 当时，，则该不等式组无解； 故②错误； ∵若它的整数解仅有3个，即， ∴a的取值范围是， 故③错误； ∵解不等式可得：，且不等式的最大整数解为1， ∴， 解得：． 故④正确． 综上，正确的有2个． 故选：B． 4．已知关于x的不等式组的解集为，则 . 【答案】12 【分析】本题考查解一元一次不等式组，先用、表示出每个不等式的解集，然后确定不等式组的解集，然后根据即可得到关于和的方程，求得和的值，代入即可求解，根据不等式组的解求出得到关于和的方程是解题的关键． 【详解】解：， 解不等式得，， 解不等式得，， ∵不等式的解集为， ∴，， 解得：，， ∴． 故答案为：12． 5．对于两个关于x的不等式，若这两个不等式组成的不等式组有且仅有一个整数解，则称这两个不等式是“互联”的．例如，不等式和不等式是“互联”的．若和是“互联”的，a的最大值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查新定义两个不等式是“互联”，只能包含一个整数使得这两个不等式同时成立，解得不等式解集，，是“互联”的，得，进而求解． 【详解】解：， ， 不等式解集：， 和是“互联”的，要包含1但不包含2， ∴， 解得：， ∴a的最大值：4． 故答案为：4． 6．不等式组无解，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式组的解，掌握不等式组的解集由所构成的几个不等式解集的公共部分组成是解题关键．解不等式，根据两不等式的解集无公共部分，求得的取值范围即可． 【详解】解： 解不等式①得，， 由②得，根据求不等式组解集口诀“大大小小无法找”，即当两个不等式的解集无公共部分时不等式组无解， 因此可得， 故答案为：． 7．小郑要去超市购物，他发现甲、乙两家超市以同样的价格出售相同的商品，但又各自推出不同的优惠方案：甲超市累计购物超过50元后，超出50元的部分打九五折；乙超市累计购物超过100元后，超出100元的部分打九折．请你帮助小郑决定选择到哪家超市购物花费更少？ 【答案】当累计购物不超过50元或恰好150元时，则甲、乙两超市的花费一样；当累计购物超过50元，不足150元时，到甲超市花费少；当累计购物超过150元，到乙超市花费少． 【分析】此题考查了一元一次不等式的应用，关键是读懂题意，列出不等式，再根据实际情况分段进行讨论．设累计购物x元，分三种情况分别求解可得． 【详解】解：设累计购物花费的钱数为元． ①若到甲超市购物花费少，则， 解得， ∴累计购物超过100元而不到150元时，到甲超市花费少． ②若到乙超市购物花费少，则， 解得， ∴累计购物超过150元时，到乙超市花费少． ③若到甲、乙超市购物花费一样，则， 解得， ∴累计购物150元时，到甲、乙两超市花费一样． 综上所述，当累计购物不超过50元或恰好150元时，则甲、乙两超市的花费一样；当累计购物超过50元，不足150元时，到甲超市花费少；当累计购物超过150元，到乙超市花费少． 8．某工艺品商店用2100元购进“年年有余风铃”和“平安福袋”两款室内装饰挂件．已知“年年有余风铃”每件14元，“平安福袋”每件10元；购进“年年有余风铃”的数量比“平安福袋”的数量多30个．    (1)求该店购进这两款挂件各多少个？ (2)销售一段时间后，该店计划按原来的价格再购进这两款挂件共50个，且两款挂件的费用不超过600元，问该店主最多能购进多少个“年年有余风铃”？ 【答案】(1)购进“年年有余风铃”100个，“平安福袋”70个 (2)该店主最多能购进25个“年年有余风铃”． 【分析】此题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，根据题意正确列出方程组和不等式是解题的关键． （1）设购进“年年有余风铃”个，“平安福袋”个，根据总钱数和数量差列方程组并解方程组即可； （2）设再次购进“年年有余风铃”个，则再次购进“平安福袋”个．购进这两款挂件共50个，且两款挂件的费用不超过600元，据此列出不等式解不等式即可． 【详解】（1）解：设购进“年年有余风铃”个，“平安福袋”个， 根据题意，得     解得：     答：购进“年年有余风铃”100个，“平安福袋”70个； （2）解：设再次购进“年年有余风铃”个，则再次购进“平安福袋”个．     根据题意，得．     解得：．     因为取整数，所以的最大值为25． 答：该店主最多能购进25个“年年有余风铃 9．在平面直角坐标系中，对于点，若点Q坐标为，则称点Q为点P的“关联点”．例如，点，则点是点P的“关联点”． (1)若点是点的“关联点”，则点的坐标为______； (2)若点是点的“关联点”，且点在x轴上，求t的值； (3)若点是点的“关联点”，且线段与x轴有交点，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)点； (2)； (3)或． 【分析】本题考查了新定义下的坐标与图形，解题的关键是理解新定义； （1）根据新定义求解即可； （2）根据新定义求出的坐标，再根据在x轴上点的特点解题即可； （3）根据新定义求出的坐标，再根据线段与x轴有交点则的纵坐标异号或至少一个为0解题即可． 【详解】（1）解：的坐标为， 故答案为：； （2）解：的“关联点”的坐标为：， 点在x轴上， ， 解得：， t的值为； （3）的“关联点”的坐标为：， 线段与x轴有交点， 的纵坐标异号或至少一个为0， 或， 解得：或， t的取值范围为或． 10．如图，在平面直角坐标系中，已知点，． (1)如图1，作直线，在轴上有一点，若的面积为2，求点的坐标； (2) 如图1，若在第一象限上存在一点G，G的坐标为，满足，求a的取值范围； (3)如图2，点在线段上，且m，n满足，点在轴负半轴上，连接交轴于点，记D、B、F三点构成的三角形面积为，记F、O、三点构成的三角形面积记为，若，求点的坐标． 【答案】(1)或 (2) (3) 【详解】（1）解：∵的面积为2， ， 解得，， 则点的坐标为或； （2）解：如图，点G在下方时，过G作轴于H， ∵G的坐标为，且点G在第一象限内， ∴， ， ∵， ∴， 此时没有符合题意的a的值存在； 如图，点G在上方时，过G作轴于H， ∵G的坐标为，且点G在第一象限内， ∴， ， ∵， ∴， 解得：， ∴a的取值范围为； （3）解：∵，， ∴，， ∴， 连接，过点D作轴于点M，作轴于点N， ∵点在线段上，即，， ∴，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， 解得： ， (舍去)， ∴， ， ∴ ， ， ， ∵ ． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了三角形面积的计算，解不等式组，坐标与图形，解决问题的关键是转化面积相等的条件，注意进行分类讨论． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$