专题6.1 变量之间的关系（举一反三讲义）数学新教材北师大版七年级下册

专题6.1 变量之间的关系（举一反三讲义） 【新教材北师大版】 【题型1 常量与变量】 2 【题型2 表格表示变量之间的关系】 3 【题型3 关系式表示变量之间的关系】 6 【题型4 求关系式中未知数】 7 【题型5 求实际问题中的自变量取值范围】 8 【题型6 图象法表示变量之间的关系】 11 【题型7 根据情境确定图象】 14 【题型8 根据图象获取信息】 16 知识点1 常量和变量 1. 在某一变化过程中，数值保持不变的量叫做常量，可以取不同数值的量叫做变量． 2. 变量和常量往往是相对的，对不同的研究过程，其中的变量和常量是不同的，变量和常量是可以相互转换的． 知识点2 自变量和因变量 自变量 (Independent Variable)：是原因．它是你可以主动改变或选择的因素，是独立变化的，不受其他因素影响． 因变量 (Dependent Variable)：是结果．它是随着自变量的改变而发生变化的量，它的值“依赖于”自变量． 知识点3 变量之间的关系的三种表示法 变量之间的关系的表示方法有三种，分别是关系式、表格、图象． 有的变量之间的关系用以上三种方法都能表示，有的变量之间的关系只能用其中的一种或两种方法表示． 表示方法 优点 缺点 关系式 准确地反映出两个变量之间的数量关系 有的变量之间的关系不能用关系式表示 表格 能直接找出自变量与对应的因变量值 写出的对应值有限，不能直接看出两个变量之间的对应规律 图象 直观、形象地表示出变量之间的关系，便于直观地研究变量之间的关系 所画出的图象是近似的、局部的；由图象确定的因变量的值往往不够准确 【题型1 常量与变量】 【例1】（24-25八年级下·江西赣州·阶段练习）某智能音箱正在加载语音数据库，加载速率为每秒，已加载了．设继续加载的时长为t秒，总加载量为．下列判断正确的是（    ） A．t和a是常量，5和15是变量 B．5和t是常量，15和a是变量 C．15和a是常量，5和t是变量 D．5和15是常量，t和a是变量 【答案】D 【分析】本题主要考查常量和变量，根据题意，总加载量由已加载量和继续加载量组成，其中加载速率和已加载量是固定值，而时间和总加载量会变化． 【详解】解：加载速率为每秒，是固定不变的，属于常量， 已加载量是初始值，不会随加载时间变化，也属于常量， 继续加载时长秒和总加载量会随加载过程变化，属于变量， 总加载量由已加载量和后续加载量组成，即， 可见，随的变化而变化，而5和15均为固定数值， ∴5和15是常量，和是变量， 故选：D． 【变式1-1】（24-25六年级下·山东淄博·期末）如图是某加油站所用的加油机加油过程中某一时刻显示的数据，则其中的常量是（    ） A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和单价 【答案】C 【分析】本题考查了常量和变量．根据常量的定义即可作答． 【详解】解：由题意得，单价是常量． 故选：C． 【变式1-2】（24-25七年级上·山东潍坊·期末）小亮去超市买生鲜，电子秤的数据显示屏显示重量、单价、金额三个量，则这三个量中的变量是 ． 【答案】重量和金额 【分析】本题考查常量与变量，掌握变量的定义是解题的关键．根据变量的定义判断即可． 【详解】解：∵单价保持不变，金额随着重量的变化而变化， ∴这三个量中的变量是重量和金额． 故答案为：重量和金额． 【变式1-3】（24-25七年级下·广东清远·期末）某居民小区电费标准为0.6元/千瓦时，收取的电费y（元）和所用电量x（千瓦时）之间的关系式为y= 0.6 x，则下列说法正确的是（　　） A．x是自变量，0.6是因变量 B．0.6是自变量，x是因变量 C．x是自变量，y是因变量 D．y是自变量，x是因变量 【答案】C 【分析】本题考查了常量和变量，在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量．根据常量和变量的定义来解答即可． 【详解】解：在这个问题中，x是自变量，y是因变量，0.6元/千瓦时是常数． 故选：C． 【题型2 表格表示变量之间的关系】 【例2】（24-25七年级下·广东深圳·期末）小圳从地出发，匀速向地步行．小圳与地的距离（米）与步行时间（分钟）的关系如下表： （分钟） 0 1 2 3 （米） 960 880 800 720 由表格中与关系可知，当步行 分钟后，小圳走完全程的一半． 【答案】6 【分析】本题考查了用表格表示两个变量之间的关系，正确理解题意是解题的关键． 先求出小圳的行驶速度，然后可得全程的一半为，即可求解时间． 【详解】解：由表格可得小圳的行驶速度为，地到的路程为， ∴小圳走完全程的一半时间为：， 故答案为：6． 【变式2-1】（24-25七年级下·河南郑州·期末）心理学家发现，学生对概念的接受能力与提出概念所用的时间（单位：分钟）之间有如下关系： 时间/分钟 接受能力 根据表中的数据，你认为提出概念所用的时间为 分钟时，学生的接受能力最强． 【答案】 【分析】此题主要考查了变量之间的关系的表示方法，正确利用表格中数据得出是解题关键．利用图表中数据得出答案； 【详解】解：由表中数据可知：当时，的值最大是，所以提出概念分钟时，学生的接受能力最强． 故答案为：． 【变式2-2】（24-25七年级下·广东深圳·期末）某实验室记录某液体在冷却过程中温度随时间变化的数据如下表： 冷却时间（分钟） 液体温度 下列说法错误的是（    ） A．冷却时间是自变量，液体温度是因变量 B．分钟，温度平均每分钟下降 C．分钟，温度下降速度逐渐减慢 D．第分钟时，温度可能为 【答案】B 【详解】解：A．冷却时间主动变化，温度随之改变，自变量与因变量关系正确，原结论正确，故此选项不符合题意； B．分钟，温度由降至，总下降，平均每分钟下降，而非，原结论坻中，故此选项符合题意； C．分钟，温度下降量依次为（降）、（降），下降幅度减小，速度减慢，原结论正确，故此选项不符合题意； D．分钟时温度为，若后续降温速度继续减缓（如降），第分钟温度可能为，原结论正确，故此选项不符合题意． 故选：B． 【变式2-3】（24-25七年级下·全国·假期作业）下表是学校气象兴趣小组记录某天一昼夜温度变化的数据． 时间/时 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 温度/ 0 4 7 9 10 8.5 7 3.5 1 (1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)早晨8时和中午12时的气温各是多少？ (3)根据表格中的数据，说说一昼夜中什么时候气温最低？什么时候气温最高？温差是多少？ (4)你能粗略说一说一昼夜内气温随时间变化的大概情况吗？ 【答案】(1)上表反映了时间和温度两个变量之间的关系；时间是自变量，温度是因变量 (2)早晨8时的气温是，中午12时气温是 (3)早晨4时气温最低；午后14时气温最高；温差为 (4)0时到4时气温逐渐下降到，4时至14时气温逐渐升高到，然后14时至24时气温又逐渐下降到 【分析】本题主要考查了变量及变量之间的关系． （1）根据自变量与因变量的定义即可求解； （2）根据表格中数据即可求解； （3）根据表格中数据即可求解； （4）根据表格中数据即可求解． 【详解】（1）解：上表反映了时间和温度两个变量之间的关系； 时间是自变量，温度是因变量； （2）解：根据表格可得，早晨8时的气温是，中午12时气温是； （3）解：根据表格可知，早晨4时气温最低；午后14时气温最高； 温差为； （4）解：0时到4时气温逐渐下降到，4时至14时气温逐渐升高到，然后14时至24时气温又逐渐下降到． 【题型3 关系式表示变量之间的关系】 【例3】（24-25八年级下·北京·期中）某学校举办“春风拂面，书香浸润校园——爱读书，读好书”的校园文化活动，倡议同学们每天坚持阅读．李明同学挑选了一本喜爱的书籍来阅读，该书籍共270页，李明同学每天阅读此书籍30页．如果设李明同学阅读了此书籍x天后，该书籍剩余y页，则y关于x的关系式是 （不要求写出自变量的取值范围）． 【答案】 【分析】本题主要考查了列变量之间的关系式，用该书籍的总页数减去已读页数即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 【变式3-1】（24-25七年级下·广东清远·期末）已知一个长方形的周长为，相邻两边分别为，，则y与x之间的关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查变量之间的关系式，根据长方形的周长公式得到x与y的数量关系式，再把y用含x的代数式表示出来即可． 【详解】解：根据长方形的周长公式，得， 解得， ∴y与x之间的关系式为， 故答案为：． 【变式3-2】（24-25七年级下·甘肃酒泉·期末）小颖准备乘出租车到距家超过的科技馆参观，出租车的收费标准如下 里程数 收费/元 以内（含） 8.00 以外每增加 1.80 则小颖应付车费y（元）与行驶里程数之间的关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查由实际问题抽象出变量之间的关系式，解题关键是理解题意，找到x，y的等量关系．根据题中等量关系求变量之间的关系式． 【详解】解：当时，由题意得：． 故答案为：． 【变式3-3】七年级16班学生准备以班为单位购买一种兴趣书，书店推出一种优惠方案：若购买数量超过30本，则超出部分按单价的八折出售，16班同学购买单价为15元的兴趣书本，则应付款与购买数量的关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了用变量之间的关系式表示变量之间的关系，解题的关键是找出题目的等量关系． 根据题意可知应付款为前30本兴趣书费用加上超出部分的费用． 【详解】解：由题意得：， 化简得：， 故答案为：． 【题型4 求关系式中未知数】 【例4】（24-25八年级下·江西上饶·阶段练习）根据图中的程序，当输入时，输出结果 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查流程图有关计算，根据数字代入求解即可得到答案． 【详解】解：输入时， ， 故答案为：． 【变式4-1】（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）变量x与y之间的关系是，则自变量时的y的值为 . 【答案】 【分析】把的值代入变量之间的关系式，计算即可. 【详解】解：∵变量与之间的变量之间的关系是， ∴当时，， 故答案为： ． 【变式4-2】（24-25八年级下·福建泉州·期中）在关系式中，当因变量时，自变量x的值为（ ） A． B． C．0 D．12 【答案】C 【分析】本题主要考查了求自变量的值，根据题意，可得，再根据解一元一次方程的方法求解即可． 【详解】解：由题意，得， 移项、合并同类项，得， 故选： 【变式4-3】（2025·湖北·模拟预测）声音在空气中传播的速度与气温（）之间的关系式为．当 时，某人看到烟花燃放后才听到声音，则此人与燃放烟花所在地的距离为 ． 【答案】1695 【分析】此题考查了变量之间的关系．先求出当 时声音在空气中传播的速度，根据路程等于速度乘以时间即可求出答案． 【详解】解：当 时， ∴（米）． 答：此人与燃放烟花所在地距离是1695米． 故答案为：1695． 【题型5 求实际问题中的自变量取值范围】 【例5】拖拉机开始工作时，油箱中有油60L，每小时耗油5L． (1)写出油箱中的余油量Q（L）与工作时间t（h）之间的变量之间的关系式； (2)写出自变量t的取值范围； (3)拖拉机工作4小时后，油箱余油是多少? 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查根据题意列变量之间的关系式和自变量的取值范围，掌握数量关系“油箱中的余油量油箱中原有油量消耗的油量”，是解题的关键． （1）根据“油箱中的余油量=油箱中原有油量消耗的油量”，即可列出变量之间的关系式； （2）根据油箱中的余油量大于等于0，得到不等式，求解即可； （3）把代入变量之间的关系式求解． 【详解】（1）解：由题意得：； （2）解：由题意得：， 解得：， ∴自变量t的取值范围是； （3）解：由题意得：． 【变式5-1】（2025·陕西咸阳·二模）相框边的宽窄影响可放入相片的大小．如图，相框长30厘米，宽20厘米．相框边（阴影部分）的宽为x厘米，相框内的空白部分周长是y厘米，则y与x之间的变量之间的关系式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列变量之间的关系式，根据题意可知，空白部分是一个长为厘米，宽为厘米的长方形，据此根据长方形周长计算公式求解即可． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 【变式5-2】A，B两地相距，甲车从A地出发，以的速度匀速行驶到B地，设甲车与B的路程为，行驶的时间为，求y关于x的变量之间的关系式，并写出自变量x的取值范围． 【答案】y关于x的变量之间的关系式为：，自变量x的取值范围为：． 【分析】由题意得：甲车的行驶速度×行驶时间，根据等量关系可得，然后再变形可得． 【详解】解：由题意得：， ， 又∵ ， 解得：， 由 ∵， ∴． 答：y关于x的变量之间的关系式为：，自变量x的取值范围为：． 【点睛】本题考查的知识点是一次变量之间的关系式，解题关键是掌握路程的等量关系． 【变式5-3】（2025·黑龙江哈尔滨·三模）在物理力学中我们知道弹簧伸长的长度与物体所受到的拉力成正比，已知一种弹簧秤挂物后最大长度不能超过，不挂物体时弹簧的长为，每挂重物体，弹簧伸长，在弹性限度内，挂重后弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系式中自变量x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据题意，得， 弹簧秤挂物后最大长度不能超过，不挂物体时弹簧的长为， 即， ， ， 故选：C． 【题型6 图象法表示变量之间的关系】 【例6】（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，空容器可以从底部小孔匀速注水，直到注满．在注水过程中，不考虑水量变化对压力的影响，容器内水面高度随时间变化的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了变量之间的关系,解决本题的关键是根据容器的高度相同,每部分的粗细不同得到用时的不同．容器内水面高度h随时间t变化而分两个阶段， 【详解】解:底层的容器底面半径较大,容器内水面高度h随时间t的增大而增长缓慢,用时较长;上层容器底面半径较小,容器内水面高度h随时间t的增大而增长较快. 故选:A. 【变式6-1】（24-25八年级下·北京东城·期末）以下四种情景分别描述了两个变量之间的关系： ①将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量与放水时间的关系． ②在受力范围内，弹簧的长度与弹簧受到的拉力的关系． ③汽车以某一固定的速度匀速行驶，行驶的路程与时间的关系． ④周末，小亮从家到体育馆，打了一段时间的篮球后，按原速度原路返回，小亮离家的距离与时间的关系． 下面四个图象分别刻画了以上变量之间的关系，图象对应的情景的正确排序是(　　) A．①②③④ B．①④③② C．①②④③ D．②④③① 【答案】C 【分析】本题考查用图象表示变量之间的关系，充分理解两个量之间的关系是解题关键 先理解图象的横纵坐标表示的量，再根据实际情况来判断图象 【详解】解：根据题意可得，与图象的顺序相对应的情景分别是： 第一幅图：因变量随着自变量的增大而减小，直至为零，符合①将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量与放水时间的关系； 第二幅图：因变量随着自变量的增大而增大，且起始值大于零，符合②在受力范围内，弹簧的长度与弹簧受到的拉力的关系； 第三幅图：因变量随着自变量的增大，先由0开始增大，再保持不变，最后减小到0，且起始值大于零，符合④周末，小亮从家到体育馆，打了一段时间的篮球后，按原速度原路返回，小亮离家的距离与时间的关系； 第四幅图：因变量随着自变量的增大而增大，且起始值为零，符合③汽车以某一固定的速度匀速行驶，行驶的路程与时间的关系； 正确的排序是：①②④③ 故选：C． 【变式6-2】如图，一个沙漏计时器，相关实验结果表明，沙漏中的沙下落的速度可以近似看成匀速，从计时器开始计时到计时为止，上面玻璃球内的含沙量（单位：）与时间（单位：）之间的变量之间的关系图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了图象，正确理解题意是关键；根据一个30min沙漏计时器，沙漏中的沙下落的速度可以近似看成匀速，即上面玻璃球中含沙量会匀速地减少，在时，含沙量减少到0，以此即可选择. 【详解】解：沙漏中的沙下落的速度可以近似看成匀速，则相同时间内，玻璃球内的含沙量的减少量相同，上面玻璃球内的含沙量（单位：）与时间（单位：）之间的变量之间的关系图象大致为一条线段． 故选：A ． 【变式6-3】（2025·吉林长春·二模）如图是某蓄水池横截面的示意图，现将满池的水匀速全部放出.能刻画蓄水池中水的高度（米）与放水时间（时）的变量之间的关系的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵将满池的水匀速全部放出， ∴蓄水池中水的高度随放水时间的增大而减小，最后为， 又∵蓄水池上宽下窄， ∴一开始下降的更慢，后来下降的更快， 故选：． 【题型7 根据情境确定图象】 【例7】（2025·河南郑州·二模）小明某次从家出发去公园游玩的行程如图所示，他离家的路程为（m），所经过的时间为（min），下列选项中的图象，能近似刻画与之间的关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：对各段时间与路程的关系进行分析如下： 从家到凉亭，用时10分钟，路程400米，s从0增加到400米，t从0到5分； 在凉亭休息5分钟，t从5分到10分，s保持400米不变； 从凉亭到公园，用时间5分钟，路程400米，t从10分到15分，s从400米增加到800米； 则能近似刻画与之间的关系的是： 故选：A． 【变式7-1】清代诗人高鼎在《村居》中写道：“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”在儿童从学校放学回到家，再到田野这段时间内，下列图象中能大致刻画儿童离家距离与时间关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据题意，儿童从学校放学回到家的过程中，离家的距离越来越小；儿童从家再到田野的过程中，离家的距离逐渐增大，则能大致刻画儿童离家距离与时间关系的是 故选：C． 【变式7-2】（24-25八年级下·吉林长春·期末）端午假期，小林约琪琪开车出去游玩．小林从家出发后，加速行驶了一段时间后匀速行驶，到达琪琪家减速停车，琪琪上车后，小林又加速行驶了一段时间，再转为匀速行驶．下列图象能近似刻画出在这段时间内小林开车速度变化情况的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了图象，找到速度变化的规律是解题的关键．根据加速、匀速、减速时、速度随时间的变化情况即可求解． 【详解】解：由题意得：刚开始加速行驶一段时间，则速度从0开始增加，然后再匀速行驶，则此段时间速度不再增加，过了一段时间到达琪琪家减速停车，则速度减少到0，琪琪上车后，小林开车加速行驶，速度从0开始增加，一段时间后又开始匀速行驶，此段时间速度不再增加， 能近视的刻画出在这段时间内小林开车速度变化情况的是D选项． 故选：D． 【变式7-3】（24-25八年级下·四川凉山·期末）“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉．当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．用，分别表示乌龟和兔子所行的路程，t表示时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用图象表示变量间的关系，根据乌龟和兔子随时间变化它们的路程变化情况即可得到答案，读懂题意，文字转化为数学图象语言是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得，图象中与故事情节相吻合的是选项， 故选：． 【题型8 根据图象获取信息】 【例8】（24-25七年级下·山东济宁·期末）“某市之约，跑者之说”．2025年4月6日某市马拉松激情开跑，这也是某市首次举办全马的赛事．为合理分配体能，运动员通常会记录每行进所用的时间，即“配速”（单位：）．某同学报名参加“欢乐跑”马拉松比赛．若他跑步的“跑速”如图所示，则下列说法中正确的是（   ） ①前的平均速度大于最后的平均速度；②第和第的平均速度相同；③第的平均速度最大． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题主要考查从图象中获取信息，理解题意是解题的关键．根据配速的定义依次进行判断即可． 【详解】解：“配速”是每行进所用的时间，平均速度是指在这一段路程中所用的平均值，是路程时间， 由于前的时间大于最后的时间，故前的平均速度小于最后的平均速度，故①说法错误； 第所用的时间与第所用的时间一致，故第的和第的平均速度相同，故选②说法正确； 由图可知，第配速最小，故第所用时间最短，故第的平均速度最大，故③说法正确； 综上所述：说法正确的是②③． 故选：B． 【变式8-1】（24-25七年级下·河南周口·期末）（在弹簧弹性范围内）为了估计弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系，同学们测量出弹簧悬挂不同质量的砝码时所对应的长度，并用横坐标表示砝码的质量，纵坐标表示弹簧的长度，在平面直角坐标系中描出了若干散点，如图所示．小明发现，这些散点大致落在一条呈上升趋势的直线附近，他画了一条经过了最多散点的直线，来表示弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系，根据小明所作的趋势图，下列说法错误的是（   ） A．所挂物体的质量越大，弹簧的长度越长 B．物体的质量每增加，弹簧的长度增加约 C．所挂物体的质量时，弹簧的长度约 D．不挂物体时，弹簧长度约 【答案】D 【分析】本题考查了用图象表示变量间的关系，从图象中获取准确的信息是解题的关键．根据图象信息逐项分析解题即可． 【详解】解：A、观察图像可知，所挂物体的质量越大，弹簧的长度越长，，故A选项说法正确； B、观察图象可知，物体的质量每增加，弹簧的长度增加约，故B选项说法正确； C、观察图象，将直线延长可知，当所挂物体的质量时，弹簧的长度约，故C选项说法正确； D、观察图象，将直线延长交y轴，当所挂物体质量为0时，弹簧长度约，故D选项说法错误； 故选：D． 【变式8-2】（24-25七年级下·山西运城·期末）综合与实践 小明骑自行车上学，当他骑了一段时间，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的书店．买到书后继续去学校，以下是他本次所用的时间与离家距离的关系示意图，根据图中提供的信息回答下列问题： (1)小明家到学校的距离是__________米，小明在书店停留了__________分钟． (2)本次上学途中，一共用了__________分钟，小明一共骑行了__________米． (3)我们认为骑自行车的速度不超过300米/分为安全限度．问：在整个上学途中哪个时间段小明骑车速度最快？最快速度在安全限度内吗？ 【答案】(1)1800；4 (2)15；3000 (3)在12~15分钟小明的骑车速度最快，最快速度不在安全限度内 【分析】（1）观察图像即可得解； （2）观察图像可知本次上学途中，一共用了15分钟．将0~6分钟，6~8分钟， 12~15分钟，小明骑车的路程相加，即可得小明一共骑行的路程； （3）将0~6分钟，6~8分钟， 12~15分钟，小明骑车的速度分别求出来即可得解． 【详解】（1）解：根据题图可知，小明家到学校的距离是1800米，小明在书店停留了分钟． （2）解：根据题图可知，本次上学途中，一共用了15分钟， 小明一共骑行了米 故答案为：15，3000 （3）解：0~6分钟，速度为米/分； 6~8分钟，速度为米/分； 12~15分钟，速度为米/分； 400米/分300米/分 ∴整个上学途中在12~15分钟时间段小明骑车速度最快，最快速度不在安全限度内． 【点睛】本题主要考查了利用图像法表示变量之间的关系，掌握数形结合是解题的关键． 【变式8-3】某车间的甲、乙两名工人分别同时生产同一种零件，每天完成规定工作量后即停止生产．开工两小时后，甲停下升级设备，乙每小时生产零件个数增加4个，他们一天生产零件的个数y与生产时间t（时）的关系如图所示，根据图象，下列结论正确的是 （填序号）．①乙升级设备用了2小时；②一天中甲乙生产量最多相差6个；③图中的，；③甲比乙提前1小时完成工作． 【答案】②④/④② 【分析】本题主要考查了用图象表示两个变量的关系，根据图象即可判断①；求出升级设备前后甲的生产速度，以及2小时前后乙的生产速度，进而确定a、b、c的值，再分别求出对应时间段甲乙生产量最多相差的个数即可判断②③；求出乙需要的总时间即可判断④，进而可得结论． 【详解】解：甲升级设备用了小时，乙没有升级设备，故①说法错误； 由图象可知，当时，甲每小时生产个，乙每小时生产个， ∴当，且时，甲乙生产量最多相差个； 当时，乙每小时生产个，则当时，甲乙生产量最多相差个； 甲升级完成后每天生产个， 当时，由于甲比乙每小时生产得多，故当，甲乙生产量最多相差个，不符合题意； 当时，由于甲比乙每小时生产得多，故当时，甲乙生产量最多个； 综上所述，一天中甲乙生产量最多相差6个，故②正确； ∵， ∴，故③错误； ，， ∴甲比乙提前1小时完成工作，故④说法正确； ∴说法正确的有②④， 故答案为：②④． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.1 变量之间的关系（举一反三讲义） 【新教材北师大版】 【题型1 常量与变量】 2 【题型2 表格表示变量之间的关系】 2 【题型3 关系式表示变量之间的关系】 3 【题型4 求关系式中未知数】 4 【题型5 求实际问题中的自变量取值范围】 4 【题型6 图象法表示变量之间的关系】 5 【题型7 根据情境确定图象】 7 【题型8 根据图象获取信息】 9 知识点1 常量和变量 1. 在某一变化过程中，数值保持不变的量叫做常量，可以取不同数值的量叫做变量． 2. 变量和常量往往是相对的，对不同的研究过程，其中的变量和常量是不同的，变量和常量是可以相互转换的． 知识点2 自变量和因变量 自变量 (Independent Variable)：是原因．它是你可以主动改变或选择的因素，是独立变化的，不受其他因素影响． 因变量 (Dependent Variable)：是结果．它是随着自变量的改变而发生变化的量，它的值“依赖于”自变量． 知识点3 变量之间的关系的三种表示方法 变量之间的关系的表示方法有三种，分别是关系式、表格、图象． 有的变量之间的关系用以上三种方法都能表示，有的变量之间的关系只能用其中的一种或两种方法表示． 表示方法 优点 缺点 关系式 准确地反映出两个变量之间的数量关系 有的变量之间的关系不能用关系式表示 表格 能直接找出自变量与对应的因变量值 写出的对应值有限，不能直接看出两个变量之间的对应规律 图象 直观、形象地表示出变量之间的关系，便于直观地研究变量之间的关系 所画出的图象是近似的、局部的；由图象确定的因变量的值往往不够准确 【题型1 常量与变量】 【例1】（24-25八年级下·江西赣州·阶段练习）某智能音箱正在加载语音数据库，加载速率为每秒，已加载了．设继续加载的时长为t秒，总加载量为．下列判断正确的是（    ） A．t和a是常量，5和15是变量 B．5和t是常量，15和a是变量 C．15和a是常量，5和t是变量 D．5和15是常量，t和a是变量 【变式1-1】（24-25六年级下·山东淄博·期末）如图是某加油站所用的加油机加油过程中某一时刻显示的数据，则其中的常量是（    ） A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和单价 【变式1-2】（24-25七年级上·山东潍坊·期末）小亮去超市买生鲜，电子秤的数据显示屏显示重量、单价、金额三个量，则这三个量中的变量是 ． 【变式1-3】（24-25七年级下·广东清远·期末）某居民小区电费标准为0.6元/千瓦时，收取的电费y（元）和所用电量x（千瓦时）之间的关系式为y= 0.6 x，则下列说法正确的是（　　） A．x是自变量，0.6是因变量 B．0.6是自变量，x是因变量 C．x是自变量，y是因变量 D．y是自变量，x是因变量 【题型2 表格表示变量之间的关系】 【例2】（24-25七年级下·广东深圳·期末）小圳从地出发，匀速向地步行．小圳与地的距离（米）与步行时间（分钟）的关系如下表： （分钟） 0 1 2 3 （米） 960 880 800 720 由表格中与关系可知，当步行 分钟后，小圳走完全程的一半． 【变式2-1】（24-25七年级下·河南郑州·期末）心理学家发现，学生对概念的接受能力与提出概念所用的时间（单位：分钟）之间有如下关系： 时间/分钟 接受能力 根据表中的数据，你认为提出概念所用的时间为 分钟时，学生的接受能力最强． 【变式2-2】（24-25七年级下·广东深圳·期末）某实验室记录某液体在冷却过程中温度随时间变化的数据如下表： 冷却时间（分钟） 液体温度 下列说法错误的是（    ） A．冷却时间是自变量，液体温度是因变量 B．分钟，温度平均每分钟下降 C．分钟，温度下降速度逐渐减慢 D．第分钟时，温度可能为 【变式2-3】（24-25七年级下·全国·假期作业）下表是学校气象兴趣小组记录某天一昼夜温度变化的数据． 时间/时 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 温度/ 0 4 7 9 10 8.5 7 3.5 1 (1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)早晨8时和中午12时的气温各是多少？ (3)根据表格中的数据，说说一昼夜中什么时候气温最低？什么时候气温最高？温差是多少？ (4)你能粗略说一说一昼夜内气温随时间变化的大概情况吗？ 【题型3 关系式表示变量之间的关系】 【例3】（24-25八年级下·北京·期中）某学校举办“春风拂面，书香浸润校园——爱读书，读好书”的校园文化活动，倡议同学们每天坚持阅读．李明同学挑选了一本喜爱的书籍来阅读，该书籍共270页，李明同学每天阅读此书籍30页．如果设李明同学阅读了此书籍x天后，该书籍剩余y页，则y关于x的关系式是 （不要求写出自变量的取值范围）． 【变式3-1】（24-25七年级下·广东清远·期末）已知一个长方形的周长为，相邻两边分别为，，则y与x之间的关系式为 ． 【变式3-2】（24-25七年级下·甘肃酒泉·期末）小颖准备乘出租车到距家超过的科技馆参观，出租车的收费标准如下 里程数 收费/元 以内（含） 8.00 以外每增加 1.80 则小颖应付车费y（元）与行驶里程数之间的关系式为 ． 【变式3-3】七年级16班学生准备以班为单位购买一种兴趣书，书店推出一种优惠方案：若购买数量超过30本，则超出部分按单价的八折出售，16班同学购买单价为15元的兴趣书本，则应付款与购买数量的关系式为 ． 【题型4 求关系式中未知数】 【例4】（24-25八年级下·江西上饶·阶段练习）根据图中的程序，当输入时，输出结果 ． 【变式4-1】（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）变量x与y之间的关系是，则自变量时的y的值为 . 【变式4-2】（24-25八年级下·福建泉州·期中）在关系式中，当因变量时，自变量x的值为（ ） A． B． C．0 D．12 【变式4-3】（2025·湖北·模拟预测）声音在空气中传播的速度与气温（）之间的关系式为．当 时，某人看到烟花燃放后才听到声音，则此人与燃放烟花所在地的距离为 ． 【题型5 求实际问题中的自变量取值范围】 【例5】拖拉机开始工作时，油箱中有油60L，每小时耗油5L． (1)写出油箱中的余油量Q（L）与工作时间t（h）之间的变量之间的关系式； (2)写出自变量t的取值范围； (3)拖拉机工作4小时后，油箱余油是多少? 【变式5-1】（2025·陕西咸阳·二模）相框边的宽窄影响可放入相片的大小．如图，相框长30厘米，宽20厘米．相框边（阴影部分）的宽为x厘米，相框内的空白部分周长是y厘米，则y与x之间的变量之间的关系式为 ． 【变式5-2】A，B两地相距，甲车从A地出发，以的速度匀速行驶到B地，设甲车与B的路程为，行驶的时间为，求y关于x的变量之间的关系式，并写出自变量x的取值范围． 【变式5-3】（2025·黑龙江哈尔滨·三模）在物理力学中我们知道弹簧伸长的长度与物体所受到的拉力成正比，已知一种弹簧秤挂物后最大长度不能超过，不挂物体时弹簧的长为，每挂重物体，弹簧伸长，在弹性限度内，挂重后弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系式中自变量x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【题型6 图象法表示变量之间的关系】 【例6】（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，空容器可以从底部小孔匀速注水，直到注满．在注水过程中，不考虑水量变化对压力的影响，容器内水面高度随时间变化的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25八年级下·北京东城·期末）以下四种情景分别描述了两个变量之间的关系： ①将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量与放水时间的关系． ②在受力范围内，弹簧的长度与弹簧受到的拉力的关系． ③汽车以某一固定的速度匀速行驶，行驶的路程与时间的关系． ④周末，小亮从家到体育馆，打了一段时间的篮球后，按原速度原路返回，小亮离家的距离与时间的关系． 下面四个图象分别刻画了以上变量之间的关系，图象对应的情景的正确排序是(　　) A．①②③④ B．①④③② C．①②④③ D．②④③① 【变式6-2】如图，一个沙漏计时器，相关实验结果表明，沙漏中的沙下落的速度可以近似看成匀速，从计时器开始计时到计时为止，上面玻璃球内的含沙量（单位：）与时间（单位：）之间的变量之间的关系图象大致为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2025·吉林长春·二模）如图是某蓄水池横截面的示意图，现将满池的水匀速全部放出.能刻画蓄水池中水的高度（米）与放水时间（时）的变量之间的关系的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【题型7 根据情境确定图象】 【例7】（2025·河南郑州·二模）小明某次从家出发去公园游玩的行程如图所示，他离家的路程为（m），所经过的时间为（min），下列选项中的图象，能近似刻画与之间的关系的是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】清代诗人高鼎在《村居》中写道：“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”在儿童从学校放学回到家，再到田野这段时间内，下列图象中能大致刻画儿童离家距离与时间关系的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25八年级下·吉林长春·期末）端午假期，小林约琪琪开车出去游玩．小林从家出发后，加速行驶了一段时间后匀速行驶，到达琪琪家减速停车，琪琪上车后，小林又加速行驶了一段时间，再转为匀速行驶．下列图象能近似刻画出在这段时间内小林开车速度变化情况的是（ ） A． B． C． D． 【变式7-3】（24-25八年级下·四川凉山·期末）“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉．当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．用，分别表示乌龟和兔子所行的路程，t表示时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是（    ） A． B． C． D． 【题型8 根据图象获取信息】 【例8】（24-25七年级下·山东济宁·期末）“某市之约，跑者之说”．2025年4月6日某市马拉松激情开跑，这也是某市首次举办全马的赛事．为合理分配体能，运动员通常会记录每行进所用的时间，即“配速”（单位：）．某同学报名参加“欢乐跑”马拉松比赛．若他跑步的“跑速”如图所示，则下列说法中正确的是（   ） ①前的平均速度大于最后的平均速度；②第和第的平均速度相同；③第的平均速度最大． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【变式8-1】（24-25七年级下·河南周口·期末）（在弹簧弹性范围内）为了估计弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系，同学们测量出弹簧悬挂不同质量的砝码时所对应的长度，并用横坐标表示砝码的质量，纵坐标表示弹簧的长度，在平面直角坐标系中描出了若干散点，如图所示．小明发现，这些散点大致落在一条呈上升趋势的直线附近，他画了一条经过了最多散点的直线，来表示弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系，根据小明所作的趋势图，下列说法错误的是（   ） A．所挂物体的质量越大，弹簧的长度越长 B．物体的质量每增加，弹簧的长度增加约 C．所挂物体的质量时，弹簧的长度约 D．不挂物体时，弹簧长度约 【变式8-2】（24-25七年级下·山西运城·期末）综合与实践 小明骑自行车上学，当他骑了一段时间，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的书店．买到书后继续去学校，以下是他本次所用的时间与离家距离的关系示意图，根据图中提供的信息回答下列问题： (1)小明家到学校的距离是__________米，小明在书店停留了__________分钟． (2)本次上学途中，一共用了__________分钟，小明一共骑行了__________米． (3)我们认为骑自行车的速度不超过300米/分为安全限度．问：在整个上学途中哪个时间段小明骑车速度最快？最快速度在安全限度内吗？ 【变式8-3】某车间的甲、乙两名工人分别同时生产同一种零件，每天完成规定工作量后即停止生产．开工两小时后，甲停下升级设备，乙每小时生产零件个数增加4个，他们一天生产零件的个数y与生产时间t（时）的关系如图所示，根据图象，下列结论正确的是 （填序号）．①乙升级设备用了2小时；②一天中甲乙生产量最多相差6个；③图中的，；③甲比乙提前1小时完成工作． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 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