专题11变量之间的关系 复习讲义（5大核心题型+重点知识梳理）-2025-2026学年北师大版数学七年级下学期.

专题11变量之间的关系复习讲义 高效复习◆重点 1.理解变量、自变量、因变量的核心概念，能精准区分三者，明确变量之间的依存关系； 2.掌握表示变量之间关系的三种基本方法（表格法、关系式法、图像法），熟练解读每种方法的特点及适用场景； 3.能根据表格、图像或关系式，分析变量的变化规律，灵活解决简单的实际应用问题； 4.提升数据分析与逻辑推理能力，能结合实际情境，初步建立变量之间的关系模型。 核心题型◆归纳 题型1现实中的变量 题型2用表格表示变量间的关系 题型3用关系式表示变量间的关系 题型4用图象表示变量间的关系 题型5提升测试 重点知识◆梳理 知识点一、变量、自变量、因变量、常量 变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量叫做变量； 自变量：在变化过程中，主动发生变化、可自主控制的变量； 因变量：在变化过程中，随自变量的变化而被动发生变化的变量； 常量：在变化过程中，数值始终保持不变的量叫做常量。 知识点二、变量之间关系的三种表示方法 表示方法 核心特点 优势 不足 表格法 用表格清晰记录自变量与因变量的对应数值，直观呈现两者关系。 直观清晰，可快速查找具体对应数值 只能表示部分取值，有局限性。 关系式法 用数学式子表示自变量与因变量的关系（如y=kx+b） 简洁严谨，可计算任意自变量对应的因变量值 不够直观，需通过计算才能看出变化趋势。 图像法 用平面直角坐标系（横轴为自变量、纵轴为因变量）表示变化关系 直观呈现变化趋势（上升、下降、不变），一目了然 读取数值不够精确，需结合刻度估算 知识点三、总结 一个核心：变量之间的“依存关系”——因变量始终随自变量的变化而变化； 三种方法：表格法（直观找对应）、关系式法（精准算数值）、图像法（清晰看趋势），需灵活选择、相互转化； 两个关键：① 精准区分自变量、因变量与常量；② 结合实际情境，关注自变量的合理取值范围； 核心逻辑：先明确变量类型，再确定变量关系，最后结合对应方法解决问题，重点关注特殊点和变化趋势。 题型解析◆精准备考 题型1现实中的变量 1．一本笔记本5元，买本共付元，则5和分别是（    ） A．常量，变量 B．变量，变量 C．常量，常量 D．变量，常量 2．假设汽车匀速行驶在高速公路上，那么下列各量中：①行驶速度；②行驶时间；③行驶路程；④汽车油箱中的剩余油量，变量的个数是_______． 3．写出下列各问题中的常量与变量． (1)每本练习本元，晓雯购买练习本的本数为n，所需的钱数m（元）； (2)用总长度为的篱笆刚好围成一个矩形场地，其中一边的长度为，矩形的面积为． 题型2用表格表示变量间的关系 1．小明同学到超市购买矿泉水，如图是收银机打印的购物小票部分内容，在购物过程中，他发现付款金额随购物数量的变化而变化，则其中的常量是（   ） A．金额 B．数量 C．单价 D．以上都不是 2．下表是小刚给在外地工作的爸爸打长途电话的通话时间和话费记录： 通话时间/ 1 2 3 4 5 6 7 … 话费/元 0.6 1.2 1.8 2.4 3.0 3.6 4.2 … 由表格可知，当通话时间为时，需支付话费________元． 3．某地每周有人次乘坐9路公交车，该路公交车每周的收入为元，每人次乘坐的票价相同．部分与的数据如下表所示： 人次 180 220 325 356 420 … 元 360 440 650 712 840 … (1)表中的自变量为___________，因变量为___________； (2)已知该路公交车每周的油费、维护检修费等固定支出费用共800元，要使该路公交车每周的利润达到1000元，每周需要有多少人次乘坐该路公交车？（收入支出利润） 题型3用关系式表示变量间的关系 1．在圆周长计算公式中，变量有（　　） A．L，π B．L，r C．L，π，r D．2π，r 2．将一根长为的铁丝制作成一个长方形，则这个长方形的长y（）与宽x（）之间的关系式为________． 3．写出下列问题中的常量和变量． (1)向一个空的池塘内注水，每小时注入10t水，注水后池塘内的水量为； 常量：________________________________________________ 变量：________________________________________________ (2)小佳带了20元钱到某商店购买练习本，练习本的单价是1.2元，购买n本练习本，剩余M元． 常量：________________________________________________ 变量：________________________________________________ 题型4用图象表示变量间的关系 1．如图是甲、乙、丙三种物质的溶解度曲线，当甲、乙、丙三种物质在的饱和溶液降低温度到时，得到的溶液的溶质质量分数的关系表示正确的是（   ） A．甲乙丙 B．甲乙丙 C．丙甲乙 D．甲乙丙 2．甲、乙两人在一次赛跑中，路程S与时间t的关系如图所示，那么可以知道（1）这是一次 ________ 米赛跑；（2）甲、乙谁跑得快 _____ ；（3）乙在这次赛跑中的速度为 _____ 米/秒． 3．周末，小华和爸爸骑自行车从家出发去森林公园游玩，当他骑了一段路时，想起要在新华书店买一本书，于是原路返回到刚经过的新华书店，买到书后继续前往森林公园，如图是他离家的距离与时间的关系示意图，请根据图中提供的信息回答下列问题： (1)小华家离森林公园的距离是___________米； (2)小华在新华书店停留了___________分钟； (3)买到书后，小华从新华书店到森林公园骑车的平均速度是___________米/分； (4)本次去森林公园途中，小华一共行驶了___________米． 过关检测◆提升 一、单选题 1．半径为的球的体积公式为，其中的变量和常量分别是（    ） A．变量是，，；常量是 B．变量是，；常量是， C．变量是，；常量是 D．变量是；常量是 2．某容器的截面如图所示，出水阀门在点A处．如果这个注满水的容器以固定的流量把水全部放出，下面哪个图象能大致表示水的深度与放水时间之间的关系是（   ） A．B． C． D． 3．在科学课上，老师讲到温度计的使用方法及液体的沸点时，好奇的李红同学准备测量食用油的沸点，已知食用油的沸点温度高于水的沸点温度（），李红家只有刻度不超过的温度计，她的方法是在锅中倒入一些食用油，将温度计固定在锅中，用煤气灶均匀加热，并每隔记录一次锅中油温，得到的数据如下表： 时间 0 10 20 30 40 油温 10 30 50 70 90 则下列说法不正确的是（    ） A．没有加热时，油的温度是 B．加热，油的温度是 C．时间t是自变量，油温y是因变量 D．每隔，油温上升 4．你听说过“乌鸦喝水”的故事吧．一只乌鸦口渴了，到处找水喝，它看见一个瓶子里有水，可是水不多，瓶口又小，它喝不着．聪明的乌鸦看见旁边有许多小石子，想出了办法．它把小石子一颗一颗地衔进瓶子里，乌鸦就喝到水了．如果从乌鸦看到瓶子的那刻起开始计时，设时间为x，瓶中的水位高度为y．下面图（  ）最符合故事情境． A．   B．   C．   D．   二、填空题 5．正方形的周长与边长之间的关系为，则常量为_________． 6．小圳从地出发，匀速向地步行．小圳与地的距离（米）与步行时间（分钟）的关系如下表： （分钟） 0 1 2 3 （米） 960 880 800 720 由表格中与关系可知，当步行______分钟后，小圳走完全程的一半． 7．如图，在中，，且，，点P是线段上一个动点由B向C以2移动，运动至点C停止，则的面积S随点P的运动时间x之间的关系式为______． 8．下列三个问题中都有两个变量： ①如图1，货车匀速通过隧道（隧道长大于货车长），货车在隧道内的长度y与从车头进入隧道至车尾离开隧道的时间x； ②如图2，往一个盛有一些水的圆柱形杯子中匀速倒水，倒满后停止，一段时间后，再匀速倒空杯中的水，杯中水的体积y与所用时间x； ③如图3，实线是小明从家出发匀速步行的路线（圆心O表示小明家的位置），他离家的距离y与步行的时间x； 其中，变量y与x之间的关系大致符合图4的是______（填写序号）． 三、解答题 9．写出下列关系式中的常量、自变量与因变量： (1)分针旋转一周内，旋转的角度n（单位：°）与旋转的时间t（单位：min）之间的关系式为． (2)某市居民用电价格是0.58元/kW·h，居民生活应交电费y（单位：元）与用电量x（单位：kW·h）之间满足． 10．根据表格，回答问题： x … 0 1 2 … … 7 6 5 4 a … … 4 6 8 10 b … (1)【初步感知】 ； ； (2)【归纳规律】 随着x值的变化，x每增加1，的值就减少 ，的值就增加 ． (3)【问题解决】 请你判断，当x值在什么范围内时，代数式的值比的值大？ 11．如图，正方形边长，点在边上，且，点从点出发，以的速度在、之间往返匀速运动，同时，点从点出发，以的速度沿路径匀速运动，当点运动到点时，两点都停止运动，设运动时间为（单位：s）．在运动过程中的面积（单位：）随运动时间的变化而变化． (1)当点第一次运动到点时，则_____________，_____________； (2)在整个运动过程中，求与的关系式； (3)当时，若，求的值． 12．小明从家骑自行车去C处的图书馆，先走上坡路到达A处，再走平路到达B处，最后走下坡路到达图书馆，小明的行程情况和时间分配情况如下图所示． (1)小明平路每分钟比上坡每分钟多行几米？ (2)小明骑自行车下坡用时多少分钟？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11变量之间的关系复习讲义 高效复习◆重点 1.理解变量、自变量、因变量的核心概念，能精准区分三者，明确变量之间的依存关系； 2.掌握表示变量之间关系的三种基本方法（表格法、关系式法、图像法），熟练解读每种方法的特点及适用场景； 3.能根据表格、图像或关系式，分析变量的变化规律，灵活解决简单的实际应用问题； 4.提升数据分析与逻辑推理能力，能结合实际情境，初步建立变量之间的关系模型。 核心题型◆归纳 题型1现实中的变量 题型2用表格表示变量间的关系 题型3用关系式表示变量间的关系 题型4用图象表示变量间的关系 题型5提升测试 重点知识◆梳理 知识点一、变量、自变量、因变量、常量 变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量叫做变量； 自变量：在变化过程中，主动发生变化、可自主控制的变量； 因变量：在变化过程中，随自变量的变化而被动发生变化的变量； 常量：在变化过程中，数值始终保持不变的量叫做常量。 知识点二、变量之间关系的三种表示方法 表示方法 核心特点 优势 不足 表格法 用表格清晰记录自变量与因变量的对应数值，直观呈现两者关系。 直观清晰，可快速查找具体对应数值 只能表示部分取值，有局限性。 关系式法 用数学式子表示自变量与因变量的关系（如y=kx+b） 简洁严谨，可计算任意自变量对应的因变量值 不够直观，需通过计算才能看出变化趋势。 图像法 用平面直角坐标系（横轴为自变量、纵轴为因变量）表示变化关系 直观呈现变化趋势（上升、下降、不变），一目了然 读取数值不够精确，需结合刻度估算 知识点三、总结 一个核心：变量之间的“依存关系”——因变量始终随自变量的变化而变化； 三种方法：表格法（直观找对应）、关系式法（精准算数值）、图像法（清晰看趋势），需灵活选择、相互转化； 两个关键：① 精准区分自变量、因变量与常量；② 结合实际情境，关注自变量的合理取值范围； 核心逻辑：先明确变量类型，再确定变量关系，最后结合对应方法解决问题，重点关注特殊点和变化趋势。 题型解析◆精准备考 题型1现实中的变量 1．一本笔记本5元，买本共付元，则5和分别是（    ） A．常量，变量 B．变量，变量 C．常量，常量 D．变量，常量 【答案】A 【分析】此题考查了常量和变量的定义，在一个变化过程中变化的量是变量，始终不变的量是常量．根据常量，变量的定义解法即可． 【详解】解：由题意得，， 变量y是随本数x的变化而变化的，而本的单价5元不变，故5是常量，是变量， 故选：A． 2．假设汽车匀速行驶在高速公路上，那么下列各量中：①行驶速度；②行驶时间；③行驶路程；④汽车油箱中的剩余油量，变量的个数是_______． 【答案】3 【分析】本题考查了常量与变量的概念，掌握常量是固定不变的量，变量是随过程变化的量是解题的关键．依据变量的概念，判断汽车匀速行驶过程中各量是否发生变化，进而确定变量的个数． 【详解】解：由于汽车匀速行驶，所以①行驶速度是常量，数值保持不变． ②行驶时间会随行驶过程持续变化，是变量． ③行驶路程随行驶时间的变化而变化，是变量． ④汽车油箱中的剩余油量随行驶时间的增加而减少，是变量． 综上，变量共有3个， 故答案为3个． 3．写出下列各问题中的常量与变量． (1)每本练习本元，晓雯购买练习本的本数为n，所需的钱数m（元）； (2)用总长度为的篱笆刚好围成一个矩形场地，其中一边的长度为，矩形的面积为． 【答案】(1)练习本的价格元是常量，购买数量n和所需钱数m是变量 (2)矩形篱笆的总长度为常量，矩形其中一边的长度x与面积S是变量 【详解】（1）解： 练习本的价格元是常量，购买数量n和所需钱数m是变量； （2）解：， 矩形篱笆的总长度为常量，矩形其中一边的长度x与面积S是变量． 题型2用表格表示变量间的关系 1．小明同学到超市购买矿泉水，如图是收银机打印的购物小票部分内容，在购物过程中，他发现付款金额随购物数量的变化而变化，则其中的常量是（   ） A．金额 B．数量 C．单价 D．以上都不是 【答案】C 【详解】解：付款金额随购物数量的变化而变化， 数量和金额是变量， 矿泉水的单价固定不变， 单价是常量． 2．下表是小刚给在外地工作的爸爸打长途电话的通话时间和话费记录： 通话时间/ 1 2 3 4 5 6 7 … 话费/元 0.6 1.2 1.8 2.4 3.0 3.6 4.2 … 由表格可知，当通话时间为时，需支付话费________元． 【答案】5.4 【分析】观察表格中通话时间与话费的对应关系，总结两者的变化规律，再代入通话时间计算即可得到结果． 【详解】解：分析表格数据可得，通话时间每增加，话费增加元，即每分钟通话费用为元． 当通话时间为时，需支付话费为元． 3．某地每周有人次乘坐9路公交车，该路公交车每周的收入为元，每人次乘坐的票价相同．部分与的数据如下表所示： 人次 180 220 325 356 420 … 元 360 440 650 712 840 … (1)表中的自变量为___________，因变量为___________； (2)已知该路公交车每周的油费、维护检修费等固定支出费用共800元，要使该路公交车每周的利润达到1000元，每周需要有多少人次乘坐该路公交车？（收入支出利润） 【答案】(1)每周乘坐9路公交车的人次；9路公交车每周的收入 (2)每周需要有900人次乘坐该路公交车 【分析】本题考查用表格表示变量之间的关系，找准两个变量之间的关系，是解题的关键： （1）直接根据表格进行作答即可； （2）由表格可知，每人次乘坐的票价为2元，根据收入支出利润，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由表格可知，公交车每周的收入随着乘坐人次的变化而变化， 故自变量为：每周乘坐9路公交车的人次，因变量为：9路公交车每周的收入； （2）由表格可知，每人次乘坐的票价为元， 由题意，得：， 解得：； 答：每周需要有900人次乘坐该路公交车． 题型3用关系式表示变量间的关系 1．在圆周长计算公式中，变量有（　　） A．L，π B．L，r C．L，π，r D．2π，r 【答案】B 【分析】常量是变化过程中保持不变的量，变量是变化过程中可以发生变化的量，根据概念判断即可． 【详解】解：∵在圆周长公式中，和都是常量，随半径的变化而变化， ∴变量为和，则B符合题意． 2．将一根长为的铁丝制作成一个长方形，则这个长方形的长y（）与宽x（）之间的关系式为________． 【答案】 【分析】根据长方形的周长公式列出等式，整理即可得到与的关系式． 【详解】解：∵长方形的周长为， ∴ 整理得：． 3．写出下列问题中的常量和变量． (1)向一个空的池塘内注水，每小时注入10t水，注水后池塘内的水量为； 常量：________________________________________________ 变量：________________________________________________ (2)小佳带了20元钱到某商店购买练习本，练习本的单价是1.2元，购买n本练习本，剩余M元． 常量：________________________________________________ 变量：________________________________________________ 【答案】(1)；， (2)，；， 【分析】根据常量及变量的概念填空即可． 【详解】（1）解：常量：；变量：，； （2） 解：常量：，；变量：，． 题型4用图象表示变量间的关系 1．如图是甲、乙、丙三种物质的溶解度曲线，当甲、乙、丙三种物质在的饱和溶液降低温度到时，得到的溶液的溶质质量分数的关系表示正确的是（   ） A．甲乙丙 B．甲乙丙 C．丙甲乙 D．甲乙丙 【答案】D 【详解】解：溶解度越大，对应饱和溶液的溶质质量分数越大， 甲、乙溶解度随温度降低而减小，的饱和溶液降温到后，析出晶体，仍为饱和溶液； 从曲线可知，时甲、乙溶解度相等，因此降温后溶质质量分数：甲乙； 丙溶解度随温度降低而增大，的饱和溶液降温到后，变为不饱和溶液，溶质没有析出，溶质质量分数不变，仍等于时丙饱和溶液的溶质质量分数，时丙的溶解度小于时甲、乙的溶解度， 因此，溶液的溶质质量分数的关系为甲乙丙． 2．甲、乙两人在一次赛跑中，路程S与时间t的关系如图所示，那么可以知道（1）这是一次 ________ 米赛跑；（2）甲、乙谁跑得快 _____ ；（3）乙在这次赛跑中的速度为 _____ 米/秒． 【答案】 100 甲 8 【分析】本题考查了函数图象，观察函数图象的纵坐标得出路程，横坐标得出时间是解题关键． （1）根据函数图象的纵坐标，可得答案； （2）根据函数图象的横坐标，谁用时短谁跑得快，可得答案； （3）根据“速度路程时间”，即乙的路程除以乙的时间，可得答案． 【详解】解：（1）由纵坐标看出，这是一次100米赛跑； 故答案为：100； （2）由横坐标看出，甲的用时短，先到达终点的是甲； 故答案为：甲； （3）由纵坐标看出，乙行驶的路程是100米，由横坐标看出乙用了12.5秒， 乙在这次赛跑中的速度为（米/秒）， 故答案为：8． 3．周末，小华和爸爸骑自行车从家出发去森林公园游玩，当他骑了一段路时，想起要在新华书店买一本书，于是原路返回到刚经过的新华书店，买到书后继续前往森林公园，如图是他离家的距离与时间的关系示意图，请根据图中提供的信息回答下列问题： (1)小华家离森林公园的距离是___________米； (2)小华在新华书店停留了___________分钟； (3)买到书后，小华从新华书店到森林公园骑车的平均速度是___________米/分； (4)本次去森林公园途中，小华一共行驶了___________米． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）从函数图象中得到纵轴代表离家距离的含义，从而得到答案． （2）根据线段水平、上升、下降分别代表的运动状态为停留、前进、返回，根据函数图像中的时间差得到停留时间． （3）在函数图象中读取信息，根据运动距离＝运动速度运动时间，计算即可得到答案． （4）根据行驶距离等于家到森林公园的距离加上折返的距离，即可得到答案． 【详解】（1）解：根据函数图象知，小华家离森林公园的距离是米； 故答案为：； （2）解：(分钟)， ∴小华在新华书店停留了分钟； 故答案为：； （3）解：小华从新华书店到森林公园的路程为(米)， 所用时间为(分钟)， ∴小华从新华书店到森林公园骑车的平均速度是：(米/分)； 故答案为：； （4）解：根据函数图象可知，小华一共行驶了(米)． 故答案为：． 过关检测◆提升 一、单选题 1．半径为的球的体积公式为，其中的变量和常量分别是（    ） A．变量是，，；常量是 B．变量是，；常量是， C．变量是，；常量是 D．变量是；常量是 【答案】B 【分析】本题主要考查了变量与常量的定义，明确在变化过程中，可变的量为变量，固定不变的量为常量，结合球的体积公式即可． 【详解】解：在球的体积公式中，和是固定不变的数值，的数值随的变化而变化，可取不同的数值， ∴变量是、，常量是、． 2．某容器的截面如图所示，出水阀门在点A处．如果这个注满水的容器以固定的流量把水全部放出，下面哪个图象能大致表示水的深度与放水时间之间的关系是（   ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数的图象； 根据容器上宽下窄，可知水的深度随着时间的增大，先缓慢降低，随后快速降低． 【详解】解：因为容器上宽下窄， 所以水的深度随着时间的增大，先缓慢降低，随后快速降低， 只有A选项符合题意． 3．在科学课上，老师讲到温度计的使用方法及液体的沸点时，好奇的李红同学准备测量食用油的沸点，已知食用油的沸点温度高于水的沸点温度（），李红家只有刻度不超过的温度计，她的方法是在锅中倒入一些食用油，将温度计固定在锅中，用煤气灶均匀加热，并每隔记录一次锅中油温，得到的数据如下表： 时间 0 10 20 30 40 油温 10 30 50 70 90 则下列说法不正确的是（    ） A．没有加热时，油的温度是 B．加热，油的温度是 C．时间t是自变量，油温y是因变量 D．每隔，油温上升 【答案】D 【分析】本题考查函数的表示方法，能够通过表格确定自变量与因变量的变化关系是解题的关键． 由表格可得，时间t每增加，油温y增加，据此逐一判断即可． 【详解】解： A：当时，即没有加热时，油的温度是，不符合题意； B：由表格可得，时间t每增加，油温y增加， ∴加热，温度升高了， ∵初始， ∴，不符合题意； C：由题意可得，时间t是自变量，油温y是因变量，不符合题意； D：每油温上升，而非，符合题意． 故选D． 4．你听说过“乌鸦喝水”的故事吧．一只乌鸦口渴了，到处找水喝，它看见一个瓶子里有水，可是水不多，瓶口又小，它喝不着．聪明的乌鸦看见旁边有许多小石子，想出了办法．它把小石子一颗一颗地衔进瓶子里，乌鸦就喝到水了．如果从乌鸦看到瓶子的那刻起开始计时，设时间为x，瓶中的水位高度为y．下面图（  ）最符合故事情境． A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】本题考查了用图象表示变量间的关系，理解题意，分析得到乌鸦喝水后的水位应不低于一开始的水位是解题的关键．根据题意乌鸦衔来小石子放入瓶中时，水位将会上升，最后乌鸦喝到水之后的水位应不低于一开始的水位，据此逐项判断即可． 【详解】解：因为乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中后，水位将会上升， 且一开始的水位乌鸦是喝不着水的， 所以乌鸦喝水后的水位应不低于一开始的水位， 因此只有A选项的图象符合题意． 故选：A． 二、填空题 5．正方形的周长与边长之间的关系为，则常量为_________． 【答案】4 【分析】本题考查了变量和常量：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量．在关系式中，4是固定不变的常数，与a是变量，因此常量为4． 【详解】解：正方形的周长与边长之间的关系为，其中4是常数，与a是变量， 故答案为：4． 6．小圳从地出发，匀速向地步行．小圳与地的距离（米）与步行时间（分钟）的关系如下表： （分钟） 0 1 2 3 （米） 960 880 800 720 由表格中与关系可知，当步行______分钟后，小圳走完全程的一半． 【答案】6 【分析】本题考查了用表格表示两个变量之间的关系，正确理解题意是解题的关键． 先求出小圳的步行速度，然后可得全程的一半为，即可求解时间． 【详解】解：由表格可得小圳的步行速度为，地到的路程为， ∴小圳走完全程的一半时间为：， 故答案为：6． 7．如图，在中，，且，，点P是线段上一个动点由B向C以2移动，运动至点C停止，则的面积S随点P的运动时间x之间的关系式为______． 【答案】 【分析】因为点速度为，运动时间为秒，所以可得出的长度表达式，再结合三角形面积公式，即可推导出关系式．因为点P从B运动到C停止，所以需要确定x的取值范围，从而完善关系式． 【详解】解：∵点速度为，运动时间为秒， ∴； ∵点从运动到停止，， ∴，即． ∵ ， ∴与的关系式为． 8．下列三个问题中都有两个变量： ①如图1，货车匀速通过隧道（隧道长大于货车长），货车在隧道内的长度y与从车头进入隧道至车尾离开隧道的时间x； ②如图2，往一个盛有一些水的圆柱形杯子中匀速倒水，倒满后停止，一段时间后，再匀速倒空杯中的水，杯中水的体积y与所用时间x； ③如图3，实线是小明从家出发匀速步行的路线（圆心O表示小明家的位置），他离家的距离y与步行的时间x； 其中，变量y与x之间的关系大致符合图4的是______（填写序号）． 【答案】①③/③① 【分析】本题主要考查了图象的读图能力．要理解图象所代表的实际意义是什么才能从中获取准确的信息．根据值随的变化情况，逐一判断． 【详解】解：①当货车开始进入隧道时逐渐变大，当货车完全进入隧道，由于隧道长大于货车长，此时不变且最大，当货车开始离开隧道时逐渐变小．故①符合题意； ②往一个盛有一些水的圆柱形杯子中匀速倒水，倒满后停止，水的体积从某一数值逐渐增加，一段时间后，再匀速倒出杯中的水，这期间，水量先保持不变，然后逐渐减少至0，杯中水的体积与所用时间，变量与之间的关系不符合图象，故②不符合题意； ③小明距离家先逐渐变大，他走的是一段弧线时，此时不变且最大，之后逐渐离家越来越近直至回家，即逐渐变小，故③正确符合题意； 故答案为：①③． 三、解答题 9．写出下列关系式中的常量、自变量与因变量： (1)分针旋转一周内，旋转的角度n（单位：°）与旋转的时间t（单位：min）之间的关系式为． (2)某市居民用电价格是0.58元/kW·h，居民生活应交电费y（单位：元）与用电量x（单位：kW·h）之间满足． 【答案】(1)常量：6；自变量：t；因变量：n． (2)常量：0.58；自变量：x；因变量：y 【分析】本题考查了常量、自变量与因变量的概念，掌握常量是固定不变的量，自变量是主动变化的量，因变量是随自变量变化的量是解题的关键． （1）（2）根据常量、自变量、因变量的定义，分别判断每个关系式中对应的量． 【详解】（1）解：在关系式中： ∵是固定不变的量， ∴常量是； ∵时间是主动变化的量， ∴自变量是； ∵旋转的角度随时间的变化而变化， ∴因变量是． （2）解：在关系式中： ∵是固定不变的电价， ∴常量是 ； ∵用电量是主动变化的量， ∴自变量是； ∵应交电费随用电量的变化而变化， ∴因变量是． 10．根据表格，回答问题： x … 0 1 2 … … 7 6 5 4 a … … 4 6 8 10 b … (1)【初步感知】 ； ； (2)【归纳规律】 随着x值的变化，x每增加1，的值就减少 ，的值就增加 ． (3)【问题解决】 请你判断，当x值在什么范围内时，代数式的值比的值大？ 【答案】(1)3，12 (2)1，2 (3)当时， 【分析】（1）把对应的x值代入可得a，b的值； （2）根据表格数据即可得到变化规律； （3）根据表格数据当时，代数式和的值相等，都为6，结合（2）中结论可得答案． 【详解】（1）解：把代入得，，即； 把代入得，，即； （2）解：根据表中数据，的值的变化规律是：x的值每增加1，的值就减少1； 的值的变化规律为：x每增加1，的值就增加2； （3）解：由表格数据，当时，代数式和的值相等，都为6， 由（2）知，当时，代数式的值比的值大． 11．如图，正方形边长，点在边上，且，点从点出发，以的速度在、之间往返匀速运动，同时，点从点出发，以的速度沿路径匀速运动，当点运动到点时，两点都停止运动，设运动时间为（单位：s）．在运动过程中的面积（单位：）随运动时间的变化而变化． (1)当点第一次运动到点时，则_____________，_____________； (2)在整个运动过程中，求与的关系式； (3)当时，若，求的值． 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】（1）点第一次运动到点时，路程为，即可得到时间；再根据三角形面积公式进行计算即可． （2）由题意可知，点运动的总时间为，点在、之间往返一次的时间为，点在上运动的时间为，分为当时，当时，当时，当时，当时几种情况进行分类讨论即可； （3）根据（2）得出的取值范围进行计算即可． 【详解】（1）解：； 点走的距离为， ， ； （2）解：由题意可知，点运动的总时间为， 点在、之间往返一次的时间为， 点在上运动的时间为， ①当时，， ； ②当时，， ； ③当时，， 点到的距离为， ； ④当时，， 点到的距离为， ； ⑤当时，， 点到的距离为， ； 综上所述，； （3）解：当时，点到的距离为， 若，则， 解得，不符合题意； 若，则， 解得，符合题意； 若，则， 解得，符合题意； 故当时，的值为或． 12．小明从家骑自行车去C处的图书馆，先走上坡路到达A处，再走平路到达B处，最后走下坡路到达图书馆，小明的行程情况和时间分配情况如下图所示． (1)小明平路每分钟比上坡每分钟多行几米？ (2)小明骑自行车下坡用时多少分钟？ 【答案】(1)85米 (2)7分钟 【分析】（1）根据图象求出平路和上坡的速度，即可； （2）根据上坡所用时间占到，求出总时间，再乘以下坡所占的百分比即可． 【详解】（1）平路的速度为：（米/分）， 上坡的速度为（米/分）， （米）， 答：平路每分钟比上坡每分钟多行85米； （2）解：（分钟）， 答：小明骑自行车下坡用时7分钟． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $