精品解析：重庆市第八中学校 2025-2026学年九年级下学期数学练习（三）

数学练习（三） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列实数中，最大的数是（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查实数大小比较，利用估算得到各无理数的近似值后，即可比较得出最大的数． 【详解】解：∵，，， ∴ 可得大小关系为， 因此最大的数是4，故选C． 2. 数学来源于生活，下列生活中的运动属于旋转的是（ ） A. 国旗上升的过程 B. 在笔直的公路上行驶的汽车 C. 工作中的风力发电机叶片 D. 传输带运输的东西 【答案】C 【解析】 【分析】根据旋转变换的概念，对选项进行一一分析，排除错误答案．本题考查生活中的旋转现象．旋转变换：一个图形围绕一个定点旋转一定的角度，得到另一个图形，这种变换称为旋转变换．要注意旋转的三要素：①定点−旋转中心；②旋转方向；③旋转角度． 【详解】解：A、国旗上升的过程是平移，不属于旋转，不符合题意； B、在笔直的公路上行驶的汽车属于平移，不是绕着某一个固定的点转动，不属于旋转，不符合题意； C、工作中的风力发电机叶片，符合旋转变换的定义，属于旋转，符合题意； D、传输带运输的东西是平移，不属于旋转，不符合题意． 故选：C． 3. 为了解某校（学生人数大于1000人）学生每天的体育锻炼时间，下列抽样的方式比较合理的是（ ） A. 在该校体育馆随机抽取10名学生进行调查 B. 在该校门口随机抽取10名学生进行调查 C. 在该校初三年级随机抽取50名学生进行调查 D. 在全校学生中抽取学号尾数为2和9的学生进行调查 【答案】D 【解析】 【分析】合理抽样要求样本具有代表性和广泛性，能够代表全校总体的特征，据此判断各选项即可． 【详解】解：选项A仅在体育馆随机抽取学生，样本范围局限，且样本量仅10，远小于总体规模，不具备代表性与广泛性，不合理； 选项B仅抽取10名学生，样本量过小，无法代表人数大于1000的全校总体，不具备广泛性，不合理； 选项C仅抽取初三年级学生，无法代表全校其他年级学生的锻炼情况，不具备代表性，不合理； 选项D在全校抽取学号尾数为2和9的学生，覆盖了全校各年级各类学生，样本具有代表性和广泛性，合理． 4. 如图是一次函数的图象，当时，x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题目中的函数图象，当时，函数的图象在轴的上方，再写出对应的取值范围即可． 【详解】解：由一次函数的图象可知， 当时，， 故选：C． 5. 把分式的分子分母中的都扩大到原来的4倍，则分式的值（ ） A. 扩大为原来的4倍 B. 扩大为原来的16倍 C. 缩小为原来的 D. 缩小为原来的 【答案】A 【解析】 【详解】解：由题意可知，新分式的值为，扩大为原来的4倍． 6. 如图，在平面直角坐标系xOy中，与关于点O位似，若，，，则为（ ） A. B. 3 C. 4 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了位似图形的性质以及坐标与图形的性质，根据位似图形的性质得出的长，进而得出，求出的长即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∵与位似，原点O是位似中心， ∴， ∵， ∴, 故选：A． 7. 王老板以每件80元购进一批哪吒主题的卫衣，出售时标价为110元，为了尽快减少库存，王老板准备打折出售，但要使利润率不低于，则该卫衣至多可以打几折？设该卫衣打折销售，则可列式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，正确得出不等关系是解题关键．直接利用打折与利润的计算方法得出不等关系进而得出答案． 【详解】解：∵每件80元购进一批哪吒主题的卫衣，出售时标价为110元，使利润率不低于，且设该卫衣打折销售， ∴， 故选：C 8. 如图，半径为6的扇形中，，是上一点，点、分别在、上，若四边形为菱形，则图中阴影部分面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，根据菱形的性质可得，且平分，从而将阴影部分的面积转化为扇形的面积，利用扇形面积公式计算即可． 【详解】解：连接，如图：  四边形为菱形，  ，，  ，  四边形为菱形，  平分，  ，  ，   ． 9. 如图，正方形中，点为边上一点，四边形为平行四边形；点为对角线边上一点，，连接交于点；已知，，则正方形的边长为（ ） A. 8 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】延长、分别交、于点、，利用平行四边形的性质和全等的性质进行倒角，可得，通过等角对等边得到，进而通过证明，可得和的长度，求得和的相似比，得到和的关系，最后通过设未知数利用勾股定理建立方程进行求解． 【详解】解：如图所示，延长交于点，延长交于点， ∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形，， ∴，， 且， ∴， ∴， 且， ∴， ∴， 又∵是直角三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，， 又∵， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得（舍负）， ∴正方形边长为． 10. 已知整式：，其中，为正整数，均为整数，且满足，，，．下列说法： ①整式的项数最多为3； ②当时，若关于的方程有解，则满足条件的整式共有5个； ③当时，满足条件的整式共有14个． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据题目给出的条件，逐一判断三个说法的正误，最终得到正确说法的个数． 【详解】解：已知为正整数，为整数，满足，，． 要项数最多，当时，整式满足所有条件，其系数平方和为，且对成立，相邻系数之差的绝对值均不小于2，该整式共有5项，所以项数最多为3的说法不正确，因此①说法错误． 当时，为正整数，枚举所有可能： - ，，则， 当时，，则有两个不相等的实数根， 当时，，则有两个不相等的实数根， 当时，，则有两个不相等的实数根 ∴满足条件且方程有解的整式为：，共3个． - ，，则，满足条件且方程有解的整式为：，共1个． 总计满足条件的整式共个，不是5个，因此②错误． 当时，枚举所有可能： - ，，剩余平方和为4，满足条件的整式有：，，共2个． - ，，剩余平方和为13，满足条件的整式有：，，，，，，，，，，，，，共13个． 总计满足条件的整式共个，不是14个，因此③错误． 三个说法均错误，正确个数为0． 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 如果与是同类项，那么等于__________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据同类项的定义即可求解． 【详解】依题意可得2m-1=m+1， 解得m=2， 故答案为：2． 【点睛】此题主要考查同类项的定义，解题的关键是熟知同类项的特点． 12. 现有四张正面分别标有数字，，1，2的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将他们背面朝上洗均匀后，随机抽取两张，记上面的数字分别为，，则使得代数式有意义的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：列表如下： 1 2 1 2 2 2 由表知，共有12种等可能结果，其中的有4种结果， 所以使得代数式有意义的概率为． 13. 如图，在中，是上的一点，，，，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】证出，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得． 14. 实数和满足，则________． 【答案】 【解析】 【分析】将已知等式左边第三项拆项后，重新结合利用完全平方公式变形后，利用两非负数之和为0，得到两非负数分别为0，求出x与y的值，代入所求式子中计算，即可求出值． 【详解】解：∵ ， ∴且， 解得：，， 则 . 15. 如图，与相交，点与点在上，．交于点，且点是中点，过作交于点．若，，则半径为________，________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，圆内接四边形的性质，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，矩形的性质和判定；连接、，过点作垂足为点，过点作垂足为点，延长交于点，由圆周角定理可得为直径，，据此即可求出半径，由，求出，进而求出，再由可求出，继续利用可求出、，利用可求出，再利用可求出，最后利用即可求出结果． 【详解】解：连接、，过点作垂足为点，过点作垂足为点，延长交于点， ∵点都在上， ∴四边形是的内接四边形， ∴， 又∵， ∴，即， 又∵点是中点，即， ∴垂直平分， 又∵， ∴， ∵， ∴为的直径， ∴半径为， ∵， ∴，即， ∴在中，，即， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴在中，，即， ∴，， ∵，， ∴，即， ∴在中，，即， ∴，， ∴， ∵， ∴垂直平分，即， ∴， 又∵，延长交于点， ∴， ∴垂直平分，即， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． 16. 我们规定：一个四位数，若它的各个数位上的数字均不为零且互不相等，满足，，则称这个四位数为“顺差数”．例如：四位数8624，因为，，所以8624是“顺差数”．按照这个规定，最小的“顺差数”是________；一个“顺差数”，将其千位数字与个位数字调换位置，百位数字与十位数字调换位置，得到一个新的数，记，．若与均是整数，则满足条件的的值是________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据“顺差数”的定义，可得最小的“顺差数”，，，，均不为零且互不相等，，，由，，，，可得，，可得，，由与均是整数，可得 ，可得，，，，即可得满足条件的的值． 【详解】解：根据“顺差数”的定义， 当，，，时，“顺差数”最小， ∴最小的“顺差数”是， ∵“顺差数”，，，， ∴，，，均不为零且互不相等，，， ∴ ， ， ∴， ， ∵与均是整数， ∴，均是整数， ∵，，，均不为零且互不相等，，， ∴ ， ， ∴ ，，，，， ， ∴，，，，， ∴ ， 又∵， ∴，，，， ∴满足条件的的值是． 三、解答题（本大题9个小题，17-18每小题8分，19-25题每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程和推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程写在答题卡中对应的位置上． 17. 求不等式组的解集． 解：解不等式①，得________， 解不等式②，得________， 将不等式①②的解集表示在数轴上如图所示： 不等式组的解集为________． 【答案】，，见解析， 【解析】 【分析】分别求出每个不等式的解集，再在数轴上表示出每个不等式的解集，再确定不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， 将不等式①②的解集表示在数轴上如图所示： 不等式组的解集为． 18. 学习了平行四边形和尺规作图后，小明进行了拓展性探究，他发现由一个三角形构造出平行四边形的一种作法，并与他的同伴进行了交流．现在你作为他的同伴，请根据他的想法与思路，完成以下作图和填空． 第一步：构造相等的角． 小明确定了的中线（如图）．请利用尺规作图，在右侧作，与的延长线相交于点，连接，四边形即为平行四边形（不写作法，保留作图痕迹） 第二步：利用三角形全等证明他的想法． 证明：， ∴①________， 是的中线， ∴②________， 在和中， ， ， ∴④________， ∴四边形是平行四边形． 【答案】第一步：见解析；第二步：，，， 【解析】 【分析】第一步：以点为圆心，任意长为半径画弧，与相交于两点；以点为圆心，相同长为半径画弧，与相交于一点，以该点为圆心，长为半径画弧，与前弧交于一点，过点与该点作射线，与的延长线相交于点，连接，则四边形即为所求： 第二步：根据可得，根据中线的性质结合对顶角相等证明 ，得到，进而即可求证； 本题考查了角平分线的作法，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：第一步：如图所示，四边形即为所求； 第二步：证明：， ∴， 是的中线， ∴， 在和中， ， ， ∴， ∴四边形是平行四边形， 故答案为：，，，． 19. 先化简，再求值： ，其中． 【答案】 【解析】 【详解】解： ， 当时， 原式． 20. 为了解七、八年级学生对“自我防护”知识的掌握情况，某校对七年级和八年级学生进行了“自我防护”知识的测试，现从中各随机选出20名同学的测试成绩（单位：分），并对数据进行整理、描述和分析，（测试成绩用x表示，共分为四个等级：A：，B：，C：，D：），下面给出了部分信息： 七年级学生的成绩为：66，75，76，78，79，81，82，83，84，85，86，88，88，88，91，92，94，94，96，96． 八年级等级C的学生成绩为：87，81，86，83，87，82，89． 两组数据的平均数、中位数、众数，如表所示： 学生 平均数 中位数 众数 七年级 85.1 85.5 a 八年级 85.1 b 91 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，______． （2）根据以上数据，你认为在此次知识测试中，哪个年级的成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）若该校七年级有1200名学生参加测试，八年级有1500名学生参加测试，请估计两个年级参加测试学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有多少人？ 【答案】（1）88，87，35 （2）八年级成绩更好，因为平均数一样的情况下，八年级中位数87分大于七年级中位数85.5分 （3）共有960人 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图，用样本估计总体，求扇形统计图中的项目，求中位数与众数． （1）由抽取的七年级学生成绩可得众数，即得a的值；根据八年级抽取的学生成绩可分别求得A、B两个等级的人数，从而可确定中位数，即得b的值；由C等级的人数及抽取的总人数即可求得C等级的占比，从而确定m的值； （2）两班平均成绩相同，根据中位数即可判断； （3）利用样本估计总体的思想，分别计算两个年级D等级的人数的和，即可求解． 【小问1详解】 解：由抽取的七年级学生成绩知，88出现的次数最多，故众数为88，即； 八年级抽取的学生成绩中，A等级的人数为（人），B等级的人数为（人），八年级等级C的学生有7个，按高低排列为： 81，82， 83，86，87，87， 89，则中位数； 而，故； 故答案为：88；87；35； 【小问2详解】 解：八年级成绩更好，因为平均数一样的情况下，八年级中位数87分大于七年级中位数85.5分． 【小问3详解】 解：两个年级D等级人数为：（人）， 答：两个年级参加测试学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有960人． 21. 跳绳是我市中考体育考试的必考项目之一．该项目练习成本低，且运动安全性较高． （1）一副跳绳由两个手柄和一根绳子组成．某工厂生产该型号跳绳，一名工人每天可生产600个手柄或1200根绳子．现安排10名工人进行生产，应如何分配工人，才能使每天生产的手柄与绳子恰好配套? （2）小王和小林两名同学进行跳绳训练，小王计划一次跳600个，小林计划一次跳900个．已知小林平均每分钟跳绳个数比小王少20个，两人同时开始跳绳，过程中小王因鞋带散开系鞋带耽误了15秒，最终小王比小林提前1分45秒完成训练．求小林平均每分钟跳绳多少个? 【答案】（1）安排8名工人生产手柄，2名工人生产绳子才能恰好配套． （2）小林平均每分钟跳绳180个． 【解析】 【分析】（1）设安排生产手柄有名工人，则绳子的工人有名，再分别表示手柄，绳子的生产数量，结合一副跳绳由两个手柄和一根绳子组成，再建立方程求解即可； （2）设小林平均每分钟跳绳个，则小王平均每分钟跳绳个，则利用时间关系建立分式方程求解即可． 【小问1详解】 解：设安排生产手柄有名工人，则绳子的工人有名， 由题可知：， 解得：， ∴（名）， 答：安排生产手柄有名工人，生产绳子工人有名； 【小问2详解】 解：设小林平均每分钟跳绳个，则小王平均每分钟跳绳个，则 ， 解得：或（不合题意，舍去）， 经检验：是原方程的根，且符合题意； 答：小林平均每分钟跳绳180个． 22. 如图1，在直角中，，，，动点以每秒3个单位长度的速度从点出发，沿方向运动，动点以每秒2个单位长度的速度从出发，沿方向运动，点、点同时出发，当点到达点时，点、两点均停止运动（点不与，重合）．过点作的垂线交于点，垂足为点，连接，设动点运动的时间为秒，点与点的距离为，的面积为． （1）请直接写出分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （2）在给定平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【答案】（1），； （2）画图见解析，当时，随的增大而增大． （3）或． 【解析】 【分析】（1）证明可得，结合，，再进一步求解即可． （2）结合函数解析式以及自变量的取值范围画图，结合图象总结图象性质即可． （3）结合函数图象可得答案． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴， 当时，， ∴． 【小问2详解】 解：如图， 当时，随的增大而增大． 【小问3详解】 解：结合函数图象，时的取值范围为：或． 23. 春风有信，花开有期，5月的园博园迎来了最美春景．如图是园博园四大景点的分布图，其中为风雨廊桥，为龙景书院，为重云塔，为巴渝园．已知在的正东方向，在的正东方向，在的东北方向，在的北偏西方向，且之间的距离为400米，之间的距离为800米．（参考数据：，，） （1）求之间的距离；（结果保留根号） （2）小明从重云塔出发，沿方向前往巴渝园处拍照打卡；爸爸从巴渝园出发，沿方向前往风雨廊桥处赏花．两人同时出发，已知小明的速度是爸爸速度的1.5倍，当两人首次相距400米时，求爸爸与巴渝园之间的距离．（结果精确到0.1米） 【答案】（1）米 （2）爸爸与巴渝园D之间的距离约为225.4米． 【解析】 【分析】（1）过点作于点，过点作于点，则四边形是矩形，分别求出米，米，得出米，可解决问题； （2）设爸爸从点出发走了米到点，则小明从点出发走了米到点，过点作于点，表示出和，由勾股定理得，列方程求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：， 过点作于点，过点作于点，则四边形是矩形， ∴，， 在中，米，， ∴米， ∴（米）， ∴米； 又∴， ∴是等腰直角三角形， ∴米， ∴米， ∴米； 【小问2详解】 解：设爸爸从点出发走了米到点，则小明从点出发走了米到点， 此时，， 过点作于点， 由（1）知，， 在中，， ， 在中，， 由勾股定理得， 即， 整理得， 解得：和（舍去） ∴ ． 答：爸爸与巴渝园D之间的距离约为225.4米． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接，． （1）求抛物线的表达式； （2）点是直线下方抛物线上的一动点，连接交于点，点是抛物线对称轴上的一个动点，且轴于点，连接，．当取得最大值时，求点的坐标及的最小值； （3）将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点与点关于新抛物线的对称轴对称，过点作轴于点，作点为新抛物线上一点，连接，，，．若，请直接写出所有符合条件的点的横坐标，并写出求解点的横坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1）抛物线表达式为； （2），有最小值为； （3）的横坐标为或． 【解析】 【分析】（）利用待定系数法即可求解； （）过点作轴交直线于点，则有，所以，由（）得抛物线表达式为，然后求出直线解析式为，令，再求出的横坐标为，则 ，则，然后通过二次函数的性质可得取得最大值，此时，作点关于轴对称的点，作点关于抛物线对称轴的对称点，连接，，则，然后证明四边形是平行四边形，所以，故，则当三点共线时有最小值，为的值，即有最小值为，然后通过两点间的距离公式即可求解； （）由抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，则有抛物线向下平移个单位，再向右平移个单位，则平移后新抛物线，然后求出，所以，则，，同理可得：，，然后分如图，点在轴左侧时，过作轴于点，通过三角形内角和定理可得，又，所以，则，所以，设，则，然后解方程并检验即可；如图，点在轴右侧时，同理即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴，解得：， ∴抛物线表达式为； 【小问2详解】 解：过点作轴交直线于点， ∴， ∴， 由（）得抛物线表达式为， 当时，， ∴， 设直线解析式为， ∴，解得：， ∴直线解析式为， 令， ∴，解得：，即的横坐标为， ∴ ， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值，当，取得最大值， ∴ ， ∴， 如图，作点关于轴对称的点，作点关于抛物线对称轴的对称点，连接，， 则， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当三点共线时有最小值，为的值，即有最小值为，如图， ∴， ∴有最小值为； 【小问3详解】 解：∵将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线， ∴抛物线向下平移个单位，再向右平移个单位， 由， ∴平移后新抛物线 ， ∴抛物线对称轴为直线， ∵点与点关于新抛物线的对称轴对称， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得：，， 如图，点在轴左侧时，过作轴于点， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 设， ∴，解得：（舍去）或， ∴的横坐标为； 如图，点在轴右侧时，过作轴于点， 同上理可得， ∴， ∴， 设， ∴，解得：或（舍去）， ∴的横坐标为； 综上可得：的横坐标为或． 25. 在中，，点为线段上一点，点为平面内一点． （1）如图1，若，且，，连接，若，求（用含的式子表示）； （2）如图2，连接，，满足且，取的中点，连接，若，猜想与之间的数量关系并证明； （3）如图3，，，点与点位于直线的异侧，连接，，，满足，且最大，连接，求当取到最大值时，的面积． 【答案】（1），见详解 （2），证明见详解 （3），证明见详解 【解析】 【分析】（1）首先通过证明表示出，然后借助表示出，进而求解； （2）通过观察和测量可以猜想出．先延长到点，使 ，连接，把问题转化为证明；然后延长到点，使 ，连接并延长，交于点，进一步把问题转化为证明即可； （3）先确定最大时点D的位置，然后利用相似求出的长，再确定出取最大值时点A的位置，最后利用解直角三角形求出面积即可． 【小问1详解】 解： ， ． 在 和 中， ， ， ． ， ， ； 【小问2详解】 解：， 证明：如图1，延长到点，使 ，连接；延长到点，使，连接，连接并延长，交于点． 设，则由条件易知，， ，． ， ， ， ． ， ， ， ，即为等腰直角三角形． ， ． 的外角， ． ， ， ， ， ． ，， ，， ． ， ． ， ， ， ． 【小问3详解】 解： 如图 2，过点，点作，当与相切，且为切点时 最大． 假设位于处，连接，，其中与交于，连接． 由圆周角定理可知 ， 由三角形外角性质可知 ， ， 当为切点时， 最大． 延长交 于 ，连接，由条件易知 ，， ． 又 ， ， ， ， ． 如图3，由题意可知点A在以为直径的 上运动，圆心 为中点． 连接并延长，交 于点 ，此时最大． 过点作于，过点 作 于 ， 在 中，，， 则 ，． 由条件易知 ， ， ， ． 在 中，，。 ， ． 【点睛】本题考查了全等的性质和判定、等腰三角形的性质和判定、含特殊角的直角三角形、相似、圆等知识．掌握解决动态问题从特殊到一般的研究方法，熟悉与几何最值有关的常见题型，遇到复杂问题时如何把问题进行转化是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学练习（三） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列实数中，最大的数是（ ） A. B. C. 4 D. 2. 数学来源于生活，下列生活中的运动属于旋转的是（ ） A. 国旗上升的过程 B. 在笔直的公路上行驶的汽车 C. 工作中的风力发电机叶片 D. 传输带运输的东西 3. 为了解某校（学生人数大于1000人）学生每天的体育锻炼时间，下列抽样的方式比较合理的是（ ） A. 在该校体育馆随机抽取10名学生进行调查 B. 在该校门口随机抽取10名学生进行调查 C. 在该校初三年级随机抽取50名学生进行调查 D. 在全校学生中抽取学号尾数为2和9的学生进行调查 4. 如图是一次函数 的图象，当 时，x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 把分式的分子分母中的 都扩大到原来的4倍，则分式的值（ ） A. 扩大为原来的4倍 B. 扩大为原来的16倍 C. 缩小为原来的 D. 缩小为原来的 6. 如图，在平面直角坐标系xOy中， 与 关于点O位似，若，， ，则 为（ ） A. B. 3 C. 4 D. 6 7. 王老板以每件80元购进一批哪吒主题的卫衣，出售时标价为110元，为了尽快减少库存，王老板准备打折出售，但要使利润率不低于 ，则该卫衣至多可以打几折？设该卫衣打 折销售，则可列式为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，半径为6的扇形 中， ， 是 上一点，点 、 分别在 、 上，若四边形 为菱形，则图中阴影部分面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正方形 中，点 为 边上一点，四边形 为平行四边形；点 为对角线 边上一点， ，连接 交 于点 ；已知 ， ，则正方形 的边长为（ ） A. 8 B. C. D. 10. 已知整式 ：，其中 ，为正整数，均为整数，且满足 ，，，．下列说法： ①整式 的项数最多为3； ②当 时，若关于 的方程 有解，则满足条件的整式 共有5个； ③当 时，满足条件的整式 共有14个． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 如果与是同类项，那么 等于__________． 12. 现有四张正面分别标有数字 ， ，1，2的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将他们背面朝上洗均匀后，随机抽取两张，记上面的数字分别为 ， ，则使得代数式有意义的概率为________． 13. 如图，在 中， 是 上的一点， ， ， ，则 ________． 14. 实数 和 满足 ，则 ________． 15. 如图， 与 相交，点 与点 在 上， ． 交 于点 ，且点 是 中点，过 作 交 于点 ．若，，则 半径为________， ________． 16. 我们规定：一个四位数，若它的各个数位上的数字均不为零且互不相等，满足 ， ，则称这个四位数为“顺差数”．例如：四位数8624，因为 ， ，所以8624是“顺差数”．按照这个规定，最小的“顺差数”是________；一个“顺差数”，将其千位数字与个位数字调换位置，百位数字与十位数字调换位置，得到一个新的数，记，．若与均是整数，则满足条件的 的值是________． 三、解答题（本大题9个小题，17-18每小题8分，19-25题每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程和推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程写在答题卡中对应的位置上． 17. 求不等式组的解集． 解：解不等式①，得________， 解不等式②，得________， 将不等式①②的解集表示在数轴上如图所示： 不等式组的解集为________． 18. 学习了平行四边形和尺规作图后，小明进行了拓展性探究，他发现由一个三角形构造出平行四边形的一种作法，并与他的同伴进行了交流．现在你作为他的同伴，请根据他的想法与思路，完成以下作图和填空． 第一步：构造相等的角． 小明确定了 的中线 （如图）．请利用尺规作图，在 右侧作 ， 与 的延长线相交于点 ，连接 ，四边形 即为平行四边形（不写作法，保留作图痕迹） 第二步：利用三角形全等证明他的想法． 证明： ， ∴①________， 是 的中线， ∴②________， 在 和 中， ， ， ∴④________， ∴四边形 是平行四边形． 19. 先化简，再求值： ，其中 ． 20. 为了解七、八年级学生对“自我防护”知识的掌握情况，某校对七年级和八年级学生进行了“自我防护”知识的测试，现从中各随机选出20名同学的测试成绩（单位：分），并对数据进行整理、描述和分析，（测试成绩用x表示，共分为四个等级：A： ，B： ，C： ，D： ），下面给出了部分信息： 七年级学生的成绩为：66，75，76，78，79，81，82，83，84，85，86，88，88，88，91，92，94，94，96，96． 八年级等级C的学生成绩为：87，81，86，83，87，82，89． 两组数据的平均数、中位数、众数，如表所示： 学生 平均数 中位数 众数 七年级 85.1 85.5 a 八年级 85.1 b 91 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： ______， ______， ______． （2）根据以上数据，你认为在此次知识测试中，哪个年级的成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）若该校七年级有1200名学生参加测试，八年级有1500名学生参加测试，请估计两个年级参加测试学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有多少人？ 21. 跳绳是我市中考体育考试的必考项目之一．该项目练习成本低，且运动安全性较高． （1）一副跳绳由两个手柄和一根绳子组成．某工厂生产该型号跳绳，一名工人每天可生产600个手柄或1200根绳子．现安排10名工人进行生产，应如何分配工人，才能使每天生产的手柄与绳子恰好配套? （2）小王和小林两名同学进行跳绳训练，小王计划一次跳600个，小林计划一次跳900个．已知小林平均每分钟跳绳个数比小王少20个，两人同时开始跳绳，过程中小王因鞋带散开系鞋带耽误了15秒，最终小王比小林提前1分45秒完成训练．求小林平均每分钟跳绳多少个? 22. 如图1，在直角 中， ， ， ，动点 以每秒3个单位长度的速度从点 出发，沿 方向运动，动点 以每秒2个单位长度的速度从 出发，沿 方向运动，点 、点 同时出发，当点 到达点 时，点 、 两点均停止运动（点 不与 ， 重合）．过点 作 的垂线交 于点 ，垂足为点 ，连接 ，设动点 运动的时间为 秒，点 与点 的距离为， 的面积为． （1）请直接写出分别关于 的函数表达式，并写出自变量 的取值范围； （2）在给定平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时 的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过 ）． 23. 春风有信，花开有期，5月的园博园迎来了最美春景．如图是园博园四大景点的分布图，其中 为风雨廊桥， 为龙景书院， 为重云塔， 为巴渝园．已知 在 的正东方向， 在 的正东方向， 在 的东北方向， 在 的北偏西 方向，且 之间的距离为400米， 之间的距离为800米．（参考数据： ， ， ） （1）求 之间的距离；（结果保留根号） （2）小明从重云塔 出发，沿 方向前往巴渝园 处拍照打卡；爸爸从巴渝园 出发，沿 方向前往风雨廊桥 处赏花．两人同时出发，已知小明的速度是爸爸速度的1.5倍，当两人首次相距400米时，求爸爸与巴渝园 之间的距离．（结果精确到0.1米） 24. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与 轴交于，两点，与 轴交于点 ，连接 ， ． （1）求抛物线的表达式； （2）点 是直线 下方抛物线上的一动点，连接 交 于点 ，点 是抛物线对称轴上的一个动点，且 轴于点 ，连接 ， ．当取得最大值时，求点 的坐标及 的最小值； （3）将抛物线沿射线 方向平移个单位长度得到新抛物线，点 与点 关于新抛物线的对称轴对称，过点 作 轴于点 ，作点 为新抛物线上一点，连接 ， ， ， ．若 ，请直接写出所有符合条件的点 的横坐标，并写出求解点 的横坐标的其中一种情况的过程． 25. 在 中， ，点 为线段 上一点，点 为平面内一点． （1）如图1，若 ，且 ， ，连接 ，若 ，求 （用含 的式子表示）； （2）如图2，连接 ， ，满足 且 ，取 的中点 ，连接 ，若 ，猜想 与 之间的数量关系并证明； （3）如图3， ， ，点 与点 位于直线 的异侧，连接 ， ， ，满足 ，且 最大，连接 ，求当 取到最大值时， 的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $