第十六章 一元二次方程（知识清单）数学新教材北京版八年级下册

第十六章 一元二次方程 知识点一、一元二次方程的定义 只含有一个 ，且未知数的 是2的 叫做 . 判断一个方程是否为一元二次方程，必须抓住以下三个条件：①是 ，②只含有一个 ，③未知数的 是2次的，三个条件，任何一个不满足，则方程不是一元二次方程. 知识点二、一元二次方程的一般形式 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理后都可以化成的形式，这种形式就叫做 . 其中，是 ，是 ；是 ，b是 ，c是 . 1.由一元二次方程定义可知：二次项系数不等于0，一次项系数和常数项均可以等于0，即“，b和c均可以为0”； 2.一般情况下， 为正数，若二次项系数为负数，可以在方程两边同时乘，使二次项系数变为正数； 3.在求各项系数时，应先把一元二次方程化成 ，并且在说明各项系数的时，一定要带上前面的符号. 知识点三、一元二次方程的根 能使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值叫做 （根）. 1.一元二次方程根的情况：（关于根的个数判断在后面会详细讲解，这里先做个简单的了解） ①可能有两个 的实数根； ②可能有两个 的实数根； ③可能 实数根. 2.关于一元二次方程根的结论： ①若，则必有一个根，反之也成立； ②若，则必有一个根，反之也成立； ③若一元二次方程有一个根，则，反之也成立. 知识点四、直接开方法解一元二次方程 根据平方根的定义可以直接开平方求一元二次方程的解的方法称为 . 以下两种类型都可以用直接开方法解一元二次方程： 1.形如x的一元二次方程： 当a＞0时，则，此时方程有 的实数根； 当a＝0时，则，此时方程有 的实数根； 当a＜0时，则方程无实数根. 2.形如x的一元二次方程，可用直接开方法解得两个根分别是. 知识点五、用配方法解一元二次方程 将一元二次方程化成的形式，再利用直接开方法求解，这种解法叫做 . 1.对进行分类讨论： （1）当m＞0时，则，此时方程有两个不相等的实数根； （2）当m＝0时，则； （3）当m＜0时，则方程无实数根. 2.用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式； ②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 3.配方法主要有以下几种应用： ①用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小； ②用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值； ③在二次函数中有着重要的应用（先做了解，以后会讲）. 知识点六、用公式法解一元二次方程 一般地，对于一元二次方程，当时，它的根是（），这个公式叫做一元二次方程的 ，这种解一元二次方程的方法叫做 . 其中，叫做一元二次方程根的判别式，共有以下几种情况： ①当时，则，此时方程有两个不相等的实数根； ②当时，则，此时方程有 的实数根； ③当时，此时方程没有实数根. 以上三点，反之也成立. 知识点七、用因式分解法解一元二次方程 利用因式分解，将一元二次方程的二次三项式分解成两个一次因式的乘积，这种解法叫做 . 1.因式分解法解一元二次方程的步骤： ①将方程等号的右边化为0； ②将方程等号左边分解成两个一次因式的乘积； ③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； ④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 知识点八、一元二次方程根与系数的关系 若一元二次方程的两个根分别为、，则方程的两个根与各系数a、b、c之间具有以下关系：. 1.一元二次方程的根与系数的关系又称之为“ ”； 2.韦达定理成立的前提条件是方程有实数根，即； 3.当一元二次方程的二次项系数为1时，如，其两根关系为. 知识点九、一元二次方程根与系数的关系应用 1.已知方程的一个根，求方程的另一个根及待定系数 2.求与两个根有关的代数式的值 3.不解方程，判定根的符号 除了以上几种应用外，利用根与系数的关系还可以求出关于、的对称式的值，涉及到的变形如下： · ； · ； · ； · ； · ； · ； · ； · ； · ； · . 知识点十、列一元二次方程解决问题 用一元二次方程解决问题的步骤如下： 1. (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 2. (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 3. (根据题目中的等量关系，列出方程)； 4. (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； 5. （检验方程的解能否保证实际问题有意义） 6. (写出答案，切忌答非所问). 知识点十一、一元二次方程解决问题的类型 1. (1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数。如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：100c+10b+a； (2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1. 如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1. 几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2. 如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2. 2. 列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次. (1)增长率问题： 平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量)； (2)降低率问题： 平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量). 3. （1）利息有关概念： · 本金：顾客存入银行的钱叫本金. · 利息：银行付给顾客的酬金叫利息. · 本息和：本金和利息的和叫本息和. · 期数：存入银行的时间叫期数. · 利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率. （2）利息相关公式: · 利息=本金×利率×期数 · 利息税=利息×税率 · 本金×(1+利率×期数)=本息和 · 本金×[1+利率×期数×(1-税率)]=本息和(收利息税时) （3）销售问题中的常用等量关系 利润＝售价－进价（成本） 总利润＝每件的利润×总件数 利润率＝×100% 售价＝×标价 进价×（1＋利润率）＝标价× 一、一元二次方程的基本概念 1.一元二次方程的定义 错误：忽略二次项系数不为零，误把含分式、根式的方程当成一元二次方程。 注意：只含一个未知数、最高次数为 2，整式方程且二次项系数不能为 0。 1．（24-25九年级下·北京西城·开学考试）若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为________． 2.一元二次方程的一般式 错误：未整理成标准形式，漏写各项符号，忽略二次项系数不能为零。 注意：化为ax2+bx+c=0，a≠0，移项变号，按降幂顺序规范书写。 2．（25-26九年级上·河北石家庄·期末）化为二次项系数为4的一元二次方程的一般式得________，它的一次项系数是________． 3.一元二次方程根的估算 错误：估算区间判断不准，忽视增减趋势，近似取值随意，不会用夹逼法判定。 注意：利用代入值的正负锁定根区间，依据性质夹逼逼近，按要求精确取值。 3．（25-26九年级上·广东深圳·期中）如果是方程的一个根，根据下面表格中的取值，可以判断________________． 1.2 1.3 1.4 1.5 0.36 0.75 二、一元二次方程的解法 1.一元二次方程合适的解法 错误：不观察方程结构乱套用解法，复杂题盲目配方公式，增加计算出错概率。 注意：先看能否因式分解，能开平方法优先，复杂方程选用公式法求解。 4．（25-26八年级下·北京西城·期中）用适当方法求解如下关于x的一元二次方程： (1)x2+2x+1＝4； (2)x2+10x+16＝0； (3)． 2.换元法 错误：换元设元不恰当，回代还原遗漏，整体替换时符号、范围容易出错。 注意：观察整体结构设元，简化方程求解，算出结果务必回代还原检验。 5．（24-25九年级下·四川资阳·月考）已知，求的值． 3.配方法的应用 错误：配方时常数项配错，符号易混乱，二次项不为 1 时未先提取系数。 注意：先化二次项系数为 1，两边同加一次项一半平方，规范配方再求解。 6．（2025九年级上·全国·专题练习）若m为实数，，则P，Q的大小关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 三、一元二次方程根与系数的关系 1.韦达定理 错误：忽略方程有实根前提，乱用根与系数关系，符号判断易出错。 注意：先保证判别式非负，熟记两根和积公式，整体代入求值化简。 7．（24-25九年级上·北京密云·期末）已知方程有两个不相等的实数根． (1)求实数m的取值范围； (2)已知方程的一个根是4，求m的值，并求出方程的另一个根． 四、一元二次方程的应用 1.传播问题 错误：混淆每轮传播基数，列式模型记错，忽略初始人数，等量关系建立错误。 注意：认准一轮传播规则，套用固定模型，理清每轮新增与总人数关系列式。 8．（25-26九年级上·山东德州·月考）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，求这种植物每个支干长出的小分支个数 2.销售问题 错误：单价、销量变化关系理不清，设未知数混乱，利润公式套用出错。 注意：牢记单件利润乘销量等于总利润，理清涨跌与销量的联动关系列式。 9．（24-25九年级上·北京大兴·期中）今年是中华人民共和国成立75周年，国庆期间一款主题为“强国有我”的纪念品深受欢迎．某商家将该款每件进价为20元的纪念品，按每件24元出售，每日可售出40件．经市场调查发现，这种纪念品每件涨价1元，日销售量会减少2件． (1)每件纪念品涨价多少元时，每日的利润为280元？ (2)每件纪念品应涨价多少元，才能使每日利润最大，最大利润是多少元？ 3.图形几何问题 错误：边长设元不合理，忽略线段非负条件，几何等量关系构建错误。 注意：结合图形边长、面积列方程，解后舍去负数与不合实际的根。 10．（24-25八年级下·江西南昌·期末）为了丰富学生的课余生活，培养学生德智体美劳全面发展，学校会定期组织学生参与农耕劳作，感受劳动之美．在生态大棚中有一块边长为的正方形空地，作为学生栽种鲜花的劳动教育基地．从校园美观和实用的角度考虑，按如图的方式进行改造，先在正方形区域一侧建成宽的画廊，再在余下地方建成宽度相等的两条小道后，其余地方栽种鲜花，如果栽种鲜花区域的面积为，求小道的宽度． 4.动态几何问题 错误：动点路程转化线段出错，忽略取值范围，列式等量关系构建混乱。 注意：用时间表示动点线段，依面积勾股列方程，舍去不合题意的解。 11．（25-26九年级上·北京·开学考试）如图，在中，，，，点从点出发沿边向点运动，同时点从点出发沿边向点运动，两动点均以的速度运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，则几秒后，的面积为面积的一半？ 1．（25-26九年级上·广东惠州·期末）秋冬季节是我国流感等急性呼吸道传染病高发期，有1人患了流感，经过两轮传染后共有144人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）若关于的方程有实数根，则实数的取值范围为（   ） A． B． C．且 D． 3．（25-26九年级上·北京·期中）若一元二次方程的两根为，则的值为（   ） A．6 B．5 C．8 D． 4．（25-26九年级上·天津红桥·月考）如图，在打印图片之前，为确定打印区域，需设置纸张四周的页边距，即纸张的边线到打印区域的距离．若纸张长，宽，考虑到整体的美观性，要求各页边距相等，并使打印区域的面积占纸张总面积的．若设应设置的页边距为，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，在矩形中，，，点，分别是边，上的动点，点，同时出发，点从点出发以的速度向点移动，一直到达点为止，点从点出发以的速度向点移动，则当点和点的距离是时，，两点运动了（　　） A．或 B．或 C． D． 6．（25-26九年级上·北京·月考）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是（    ） ①方程是倍根方程； ②是倍根方程，则； ③若，满足，则关于的方程是倍根方程； A．①②③ B．② C．③ D．②③ 7．（25-26九年级上·河北唐山·期末）已知、是一元二次方程的两根，则代数式的值是________． 8．（25-26九年级上·全国·期末）如图，一块长米、宽米的地毯，为了美观设计了两横、两纵的配色条纹图中阴影部分，已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的，则配色条纹的宽度为__________米． 9．（25-26九年级上·北京大兴·期末）某学校计划成立读书社，采用“线上邀请”的方式招募新成员．活动初始第一轮邀请由1名同学发起，该同学成功邀请到人加入读书社；在第二轮邀请中，每一位已加入读书社的成员（含最初发起邀请的1名同学）都能邀请到名未参与的同学加入．经过这两轮邀请后，读书社的总成员人数达到121人．依据题意可列关于的方程为___________． 10．（25-26九年级上·全国·期中）新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”，例如： 与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是______． 11．（25-26九年级上·四川成都·期中）如果关于的一元二次方程（）有一个根是1，那么我们称这个方程为“和美方程”．已知关于的一元二次方程是“和美方程”，则的最小值为_____． 12．（25-26九年级上·全国·期中）阅读下面的材料，回答问题： 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，于是原方程可变为①，解这个方程得． 当时，，； 当时，，； 原方程有四个根：，，． 请运用上面学到的方法填空： （1）解方程，则______； （2）若，求______． 13．（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·期中）解方程∶ (1)； (2)． 14．（25-26九年级上·山西吕梁·期末）某线上学习平台在2025年11月初上线后，凭借其创新的学习体验迅速走红，上线当月活跃用户为120万人．经过两个月的爆发式增长，到2026年1月，活跃用户已达到172.8万人．已知活跃用户数每个月的平均增长率相同． (1)求活跃用户数每个月的平均增长率． (2)按照这个增长趋势，预测2026年2月的活跃用户数． 15．（2026九年级上·福建泉州·专题练习）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该一元二次方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的两个根，是一个矩形的两边长，矩形对角线长为5，试求k的值． 16．（25-26九年级上·北京·期末）关于的一元二次方程经过适当变形，可以写成的形式、现列表探究的变形： 的变形 5 0 4 3 1 6 2 2 7 回答下列问题： (1)表格中的值为__________； (2)观察上述探究过程，表格中与满足的等量关系为__________； (3)记的两个变形为和，则的值为__________． 17．（25-26九年级上·四川达州·期末）根据表中的素材，探索完成任务． 素材1 随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇．某工厂一车间借助智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零件4月份生产100个，6月份生产144个． 素材2 该厂生产的零件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个． 问题解决 任务一 求该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率． 任务二 为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让消费者得到实惠，则该零件的实际售价应定为多少元？ 任务三 该零件月销售利润能达到20000元吗？如果能，请写出涨价方案；如果不能，请说明理由． 18．（24-25九年级上·辽宁丹东·期末）定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的“倒方程”是 ； (2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为 ． 19．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）在长方形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空：__________，__________用t的代数式表示）； (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 20．（25-26八年级上·北京·期中）对于代数式，不同的表达形式能表现出它的不同性质．例如代数式，若将其写成的形式，就能看出不论字母取何值，它都表示正数；若将它写成的形式，就能与代数式建立联系．下面我们改变的值，研究一下，两个代数式取值的规律： 0 1 2 3 10 5 2 1 5 17 10 5 (1)完成上表； (2)观察表格可以发现： 若时，，则时，．我们把这种现象称为代数式参照代数式取值延后，此时延后值为1． ①若代数式参照代数式取值延后，相应的延后值为3，求代数式（按字母降幂排列的形式）； ②已知代数式参照代数式取值延后，直接写出的值______． 21．（25-26八年级上·北京·期中）阅读下列材料，并回答问题． 利用完全平方公式，可以将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法． 运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式．例如： 根据以上材料，解答下列问题： (1)用多项式的配方法将化成的形式_______________； (2)下面是某位同学用配方法及平方差公式把多项式进行分解因式的解答过程： 解： 步骤① 步骤② 步骤③ 步骤④ 老师说，这位同学的解答过程中有错误，该同学解答中开始出现错误的地方是从步骤_______开始的． (3)通过上述材料的学习，证明：，取任何实数时，多项式的值总为正数． 22．（25-26九年级上·北京·期中）阅读并思考： 设是关于字母的一个整式，若是方程的一个根，则整式必有一个因式，即．其中仍然是关于字母的一个整式． (1)若，则的一个根是___________； (2)设一元二次方程有两个根，则方程可化为，即，与原方程比较系数， 得到一元二次方程根与系数的关系： 利用上式结论解题：已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，求实数的值； (3)探究引申：设一元三次方程有三个根则原方程可化为，试着展开上式，然后比较系数，可以得到根与系数的关系： 利用上式结论解题：已知方程有三个根，求的值； 23．（25-26九年级上·北京·月考）已知：关于的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)设方程的两个实数根都是整数，求整数的值． 24．（24-25八年级下·湖南长沙·月考）已知关于的一元二次方程的两个根是和． (1)当时，求的值； (2)设该方程的两个根为，，且满足，求的值． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十六章 一元二次方程 知识点一、一元二次方程的定义 只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程. 判断一个方程是否为一元二次方程，必须抓住以下三个条件：①是整式方程，②只含有一个未知数，③未知数的最高次数是2次的，三个条件，任何一个不满足，则方程不是一元二次方程. 知识点二、一元二次方程的一般形式 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理后都可以化成的形式，这种形式就叫做一元二次方程的一般形式. 其中，是二次项，是二次项系数；是一次项，b是一次项系数，c是常数项. 1.由一元二次方程定义可知：二次项系数不等于0，一次项系数和常数项均可以等于0，即“，b和c均可以为0”； 2.一般情况下，二次项系数为正数，若二次项系数为负数，可以在方程两边同时乘，使二次项系数变为正数； 3.在求各项系数时，应先把一元二次方程化成一般形式，并且在说明各项系数的时，一定要带上前面的符号. 知识点三、一元二次方程的根 能使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（根）. 1.一元二次方程根的情况：（关于根的个数判断在后面会详细讲解，这里先做个简单的了解） ①可能有两个不相等的实数根； ②可能有两个相等的实数根； ③可能没有实数根. 2.关于一元二次方程根的结论： ①若，则必有一个根，反之也成立； ②若，则必有一个根，反之也成立； ③若一元二次方程有一个根，则，反之也成立. 知识点四、直接开方法解一元二次方程 根据平方根的定义可以直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平法. 以下两种类型都可以用直接开方法解一元二次方程： 1.形如x的一元二次方程： 当a＞0时，则，此时方程有两个不相等的实数根； 当a＝0时，则，此时方程有两个相等的实数根； 当a＜0时，则方程无实数根. 2.形如x的一元二次方程，可用直接开方法解得两个根分别是. 知识点五、用配方法解一元二次方程 将一元二次方程化成的形式，再利用直接开方法求解，这种解法叫做配方法. 1.对进行分类讨论： （1）当m＞0时，则，此时方程有两个不相等的实数根； （2）当m＝0时，则； （3）当m＜0时，则方程无实数根. 2.用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式； ②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 3.配方法主要有以下几种应用： ①用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小； ②用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值； ③在二次函数中有着重要的应用（先做了解，以后会讲）. 知识点六、用公式法解一元二次方程 一般地，对于一元二次方程，当时，它的根是（），这个公式叫做一元二次方程的求根公式，这种解一元二次方程的方法叫做公式法. 其中，叫做一元二次方程根的判别式，共有以下几种情况： ①当时，则，此时方程有两个不相等的实数根； ②当时，则，此时方程有两个相等的实数根； ③当时，此时方程没有实数根. 以上三点，反之也成立. 知识点七、用因式分解法解一元二次方程 利用因式分解，将一元二次方程的二次三项式分解成两个一次因式的乘积，这种解法叫做因式分解法. 1.因式分解法解一元二次方程的步骤： ①将方程等号的右边化为0； ②将方程等号左边分解成两个一次因式的乘积； ③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； ④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 知识点八、一元二次方程根与系数的关系 若一元二次方程的两个根分别为、，则方程的两个根与各系数a、b、c之间具有以下关系：. 1.一元二次方程的根与系数的关系又称之为“韦达定理”； 2.韦达定理成立的前提条件是方程有实数根，即； 3.当一元二次方程的二次项系数为1时，如，其两根关系为. 知识点九、一元二次方程根与系数的关系应用 1.已知方程的一个根，求方程的另一个根及待定系数 2.求与两个根有关的代数式的值 3.不解方程，判定根的符号 除了以上几种应用外，利用根与系数的关系还可以求出关于、的对称式的值，涉及到的变形如下： · ； · ； · ； · ； · ； · ； · ； · ； · ； · . 知识点十、列一元二次方程解决问题 用一元二次方程解决问题的步骤如下： 1. 审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 2. 设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 3. 列(根据题目中的等量关系，列出方程)； 4. 解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； 5. 验（检验方程的解能否保证实际问题有意义） 6. 答(写出答案，切忌答非所问). 知识点十一、一元二次方程解决问题的类型 1.数字问题 (1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数。如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：100c+10b+a； (2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1. 如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1. 几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2. 如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2. 2.平均变化率问题 列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次. (1)增长率问题： 平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量)； (2)降低率问题： 平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量). 3.利息问题与销售问题 （1）利息有关概念： · 本金：顾客存入银行的钱叫本金. · 利息：银行付给顾客的酬金叫利息. · 本息和：本金和利息的和叫本息和. · 期数：存入银行的时间叫期数. · 利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率. （2）利息相关公式: · 利息=本金×利率×期数 · 利息税=利息×税率 · 本金×(1+利率×期数)=本息和 · 本金×[1+利率×期数×(1-税率)]=本息和(收利息税时) （3）销售问题中的常用等量关系 利润＝售价－进价（成本） 总利润＝每件的利润×总件数 利润率＝×100% 售价＝×标价 进价×（1＋利润率）＝标价× 一、一元二次方程的基本概念 1.一元二次方程的定义 错误：忽略二次项系数不为零，误把含分式、根式的方程当成一元二次方程。 注意：只含一个未知数、最高次数为 2，整式方程且二次项系数不能为 0。 1．（24-25九年级下·北京西城·开学考试）若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，由一元二次方程的定义可得，，求解即可，熟练掌握一元二次方程的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴，， ∴， 故答案为：． 2.一元二次方程的一般式 错误：未整理成标准形式，漏写各项符号，忽略二次项系数不能为零。 注意：化为ax2+bx+c=0，a≠0，移项变号，按降幂顺序规范书写。 2．（25-26九年级上·河北石家庄·期末）化为二次项系数为4的一元二次方程的一般式得________，它的一次项系数是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式及定义，掌握相关概念是解题的关键． 先依据完全平方公式进行计算，再移项、合并同类项，将方程变形为的形式，从而得到方程的一般形式，进而找出一次项系数即可． 【详解】解：， ， ， 移项得，， 合并同类项得，， 即， 其中一次项系数为， 故答案为：，． 3.一元二次方程根的估算 错误：估算区间判断不准，忽视增减趋势，近似取值随意，不会用夹逼法判定。 注意：利用代入值的正负锁定根区间，依据性质夹逼逼近，按要求精确取值。 3．（25-26九年级上·广东深圳·期中）如果是方程的一个根，根据下面表格中的取值，可以判断________________． 1.2 1.3 1.4 1.5 0.36 0.75 【答案】 1.3 1.4 【分析】观察表格可知，随的值逐渐增大，的值在之间由负到正，故可判断时，对应的的值在之间． 【详解】解：根据表格可知，时，对应的的值在之间， 即：． 故答案为：1.3，1.4． 【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根． 二、一元二次方程的解法 1.一元二次方程合适的解法 错误：不观察方程结构乱套用解法，复杂题盲目配方公式，增加计算出错概率。 注意：先看能否因式分解，能开平方法优先，复杂方程选用公式法求解。 4．（25-26八年级下·北京西城·期中）用适当方法求解如下关于x的一元二次方程： (1)x2+2x+1＝4； (2)x2+10x+16＝0； (3)． 【答案】(1)x1=1，x2=-3 (2)x1=-2，x2=-8 (3)x1=，x2= 【分析】（1）方程利用因式分解法求解； （2）方程利用因式分解法求解； （3）方程利用公式法求解． 【小题1】解：， ∴， ∴， 解得：x1=1，x2=-3； 【小题2】， ∴， 解得：x1=-2，x2=-8； 【小题3】， ∴a=1，b=，c=， ∴， ∴x=， 解得：x1=，x2=． 【点睛】本题考查的是解一元二次方程，对本题的方程选择适当的解题方法． 2.换元法 错误：换元设元不恰当，回代还原遗漏，整体替换时符号、范围容易出错。 注意：观察整体结构设元，简化方程求解，算出结果务必回代还原检验。 5．（24-25九年级下·四川资阳·月考）已知，求的值． 【答案】3 【分析】本题考查了代数式求值，用换元法解一元二次方程，解题的关键是掌握换元法． 设，可得一元二次方程，解一元二次方程可得答案． 【详解】解：设，则原方程等价于， ∴， 解得或（不符合题意，舍取）， ∴． 3.配方法的应用 错误：配方时常数项配错，符号易混乱，二次项不为 1 时未先提取系数。 注意：先化二次项系数为 1，两边同加一次项一半平方，规范配方再求解。 6．（2025九年级上·全国·专题练习）若m为实数，，则P，Q的大小关系为（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查比较两个代数式的大小．根据题意通常作差后判断符号．计算，利用配方法，再根据完全平方的非负性即可确定符号． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴，即：， 故选：A． 三、一元二次方程根与系数的关系 1.韦达定理 错误：忽略方程有实根前提，乱用根与系数关系，符号判断易出错。 注意：先保证判别式非负，熟记两根和积公式，整体代入求值化简。 7．（24-25九年级上·北京密云·期末）已知方程有两个不相等的实数根． (1)求实数m的取值范围； (2)已知方程的一个根是4，求m的值，并求出方程的另一个根． 【答案】(1) (2)，另一个根是 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系． （1）根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可； （2）设方程的另一个根为，利用根与系数的关系得，，然后解一次方程组即可． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得， ∴的取值范围为； （2）设方程的另一个根为， 根据根与系数的关系得，， 解得，， 即方程的另一根是． 四、一元二次方程的应用 1.传播问题 错误：混淆每轮传播基数，列式模型记错，忽略初始人数，等量关系建立错误。 注意：认准一轮传播规则，套用固定模型，理清每轮新增与总人数关系列式。 8．（25-26九年级上·山东德州·月考）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，求这种植物每个支干长出的小分支个数 【答案】6 【分析】设这种植物每个支干长出的小分支个数是x，根据主干、支干和小分支的总数是43，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是x， 依题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去），． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 2.销售问题 错误：单价、销量变化关系理不清，设未知数混乱，利润公式套用出错。 注意：牢记单件利润乘销量等于总利润，理清涨跌与销量的联动关系列式。 9．（24-25九年级上·北京大兴·期中）今年是中华人民共和国成立75周年，国庆期间一款主题为“强国有我”的纪念品深受欢迎．某商家将该款每件进价为20元的纪念品，按每件24元出售，每日可售出40件．经市场调查发现，这种纪念品每件涨价1元，日销售量会减少2件． (1)每件纪念品涨价多少元时，每日的利润为280元？ (2)每件纪念品应涨价多少元，才能使每日利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】(1)当涨价6元或10元时，每日利润为280元 (2)当涨价8元时获得利润最大，最大利润为288元 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意列出方程是解答关键． （1）设当每件纪念品涨元时，每日的利润为280元，根据题意列出方程求解； （2）设当涨价元时，每日利润为元，根据题意列出方程求解． 【详解】（1）解：设当每件纪念品涨元时，每日的利润为280元， 根据题意得 整理得 解得：，． 答：当涨价6元或10元时，每日利润为280元． （2）解：设当涨价元时，每日利润为元， 根据题意得 整理得 ∵，抛物线开口向下， 所以，当时，． 答：当涨价8元时获得利润最大，最大利润为288元． 3.图形几何问题 错误：边长设元不合理，忽略线段非负条件，几何等量关系构建错误。 注意：结合图形边长、面积列方程，解后舍去负数与不合实际的根。 10．（24-25八年级下·江西南昌·期末）为了丰富学生的课余生活，培养学生德智体美劳全面发展，学校会定期组织学生参与农耕劳作，感受劳动之美．在生态大棚中有一块边长为的正方形空地，作为学生栽种鲜花的劳动教育基地．从校园美观和实用的角度考虑，按如图的方式进行改造，先在正方形区域一侧建成宽的画廊，再在余下地方建成宽度相等的两条小道后，其余地方栽种鲜花，如果栽种鲜花区域的面积为，求小道的宽度． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设小道的宽度为，根据栽种鲜花区域的面积为列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】解：设小道的宽度为， 根据题意得：， 解得：(不符合题意，舍去)， 答：小道的宽度为． 4.动态几何问题 错误：动点路程转化线段出错，忽略取值范围，列式等量关系构建混乱。 注意：用时间表示动点线段，依面积勾股列方程，舍去不合题意的解。 11．（25-26九年级上·北京·开学考试）如图，在中，，，，点从点出发沿边向点运动，同时点从点出发沿边向点运动，两动点均以的速度运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，则几秒后，的面积为面积的一半？ 【答案】1 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，通过分析动点的运动规律和所求三角形的关系列方程求解是解题的关键． 设秒后，的面积为面积的一半，根据题意表示出和，再分别表示出和的面积，根据它们之间的等量关系列方程求解即可． 【详解】设秒后，的面积为面积的一半， 由题意可得：，，，， ， ， ， ， ， 解得：，（舍去）， 经过1秒后，的面积为面积的一半． 1．（25-26九年级上·广东惠州·期末）秋冬季节是我国流感等急性呼吸道传染病高发期，有1人患了流感，经过两轮传染后共有144人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用（传染问题），解题的关键是理清每一轮传染的人数变化，建立正确的方程模型． 先确定初始人数为；第一轮传染后，新增人，总人数为；第二轮由人分别传染人，新增人，两轮后总人数为，根据题意该值为144，从而列出方程． 【详解】解：A、 ，该式只计算了两轮各新增人，未考虑第二轮的传染源是第一轮的所有患者，此选项不符合题意； B、，该式错误地将两轮新增人数记为，与实际传染人数变化不符，此选项不符合题意； C、，该式未计入初始的名患者，此选项不符合题意； D、，该式正确反映了初始人数、第一轮新增人数、第二轮新增人数的总和，此选项符合题意． 故选：D． 2．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）若关于的方程有实数根，则实数的取值范围为（   ） A． B． C．且 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了根的判别式，对k是否为零进行分类讨论及熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．需要讨论方程是否为二次方程，当时，方程变为一次方程，有实根；当时，利用判别式求范围． 【详解】解：∵ 方程有实数根， 当时，方程为， 解得，有实根； 当时，方程为一元二次方程，判别式， ∴ ，即； 综上，． 故选：A． 3．（25-26九年级上·北京·期中）若一元二次方程的两根为，则的值为（   ） A．6 B．5 C．8 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数关系，利用根与系数的关系求出和，再通过代数变形将所求表达式转化为已知量计算即可． 【详解】解：∵方程的两根为， ∴，。 又∵， ∴， ∴ ． 故选：A． 4．（25-26九年级上·天津红桥·月考）如图，在打印图片之前，为确定打印区域，需设置纸张四周的页边距，即纸张的边线到打印区域的距离．若纸张长，宽，考虑到整体的美观性，要求各页边距相等，并使打印区域的面积占纸张总面积的．若设应设置的页边距为，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，弄清题意、找到等量关系是解题的关键． 根据“打印区域的面积占纸张总面积的”列出方程即可． 【详解】解：设应设置的页边距为，则打印区域的长为，宽为， ∴打印区域的面积为， ∵打印区域的面积占纸张总面积的， ∴． 故选D． 5．（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，在矩形中，，，点，分别是边，上的动点，点，同时出发，点从点出发以的速度向点移动，一直到达点为止，点从点出发以的速度向点移动，则当点和点的距离是时，，两点运动了（　　） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、一元二次方程的应用．解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形． 过点作于，根据矩形的性质可知，，利用勾股定理可得关于的一元二次方程，解方程求出的值即可． 【详解】解：如下图所示，过点作于，则， 设秒后，， 四边形是矩形， ，，， 四边形是矩形， ， ∵点从点出发以的速度向点移动，一直到达点为止，点从点出发以的速度向点移动， ∴，， ， 在中，， ， 解得：，， 经过或时，、两点之间的距离是． 故答案为：A． 6．（25-26九年级上·北京·月考）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是（    ） ①方程是倍根方程； ②是倍根方程，则； ③若，满足，则关于的方程是倍根方程； A．①②③ B．② C．③ D．②③ 【答案】D 【分析】本题属于新定义题，掌握解一元二次方程的方法、理解新定义是解题的关键． ①是求出方程的两个根，根据倍根方程的定义进行判断即可，求出②中方程的两个根，根据倍根方程的定义，分两种情况求出m和n的关系，代入后面的式子即可判断，③根据，得出，解方程即可判断对错． 【详解】解：①方程的解为，，此方程不是倍根方程，此结论错误； ②∵是倍根方程，且， ∴或， ∴或， ∴，此结论正确． ③关于x的一元二次方程是“倍根方程”，理由如下： ∵， ∴方程可变为：方程， 解方程得：， ∴，此结论正确； 故选D． 7．（25-26九年级上·河北唐山·期末）已知、是一元二次方程的两根，则代数式的值是________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）和代数式的因式分解，解题关键是先对代数式进行因式分解，再利用韦达定理代入与的值计算． 先因式分解代数式，再利用韦达定理得，，代入计算即可． 【详解】∵是一元二次方程的两根， ∴，， ∴． 故答案为． 8．（25-26九年级上·全国·期末）如图，一块长米、宽米的地毯，为了美观设计了两横、两纵的配色条纹图中阴影部分，已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的，则配色条纹的宽度为__________米． 【答案】/ 【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据图形的特点找到数量关系列方程。设条纹的宽度为米，根据等量关系：配色条纹所占面积是整个地毯面积的，列出方程求解即可． 【详解】解：设条纹的宽度为米， 依题意得 ， 解得：(不符合，舍去)，， 答：配色条纹宽度为米． 9．（25-26九年级上·北京大兴·期末）某学校计划成立读书社，采用“线上邀请”的方式招募新成员．活动初始第一轮邀请由1名同学发起，该同学成功邀请到人加入读书社；在第二轮邀请中，每一位已加入读书社的成员（含最初发起邀请的1名同学）都能邀请到名未参与的同学加入．经过这两轮邀请后，读书社的总成员人数达到121人．依据题意可列关于的方程为___________． 【答案】 【分析】本题考查了列一元二次方程． 根据招募过程，第一轮后成员数为，第二轮每位成员邀请x人，新增成员数为，总成员数即为与之和，化简得，等于121，列方程即可． 【详解】解：第一轮邀请由1名同学发起，成功邀请x人加入，故第一轮后成员总数为． 第二轮邀请中，每一位已加入成员（含发起人）均邀请x人，故新增成员数为． 两轮后总成员数为． 依据题意，总成员人数达到121人， 因此可列方程． 故答案为：． 10．（25-26九年级上·全国·期中）新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”，例如： 与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是______． 【答案】2024 【分析】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中“同族二次方程”的定义是解题关键．利用“同族二次方程”定义可得，再利用多项式相等的条件列出关于与的方程求解，进而利用非负数的性质确定出代数式的最小值即可． 【详解】解：关于的一元二次方程与是“同族二次方程”， ， ， ，， 解得：，， 将，代入，得， ，且 代数式的最小值是2024， 故答案为：2024． 11．（25-26九年级上·四川成都·期中）如果关于的一元二次方程（）有一个根是1，那么我们称这个方程为“和美方程”．已知关于的一元二次方程是“和美方程”，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的根及配方法求代数式的最小值，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据“和美方程”的定义，将代入方程得到与的关系式，再代入所求表达式，通过配方法求最小值． 【详解】方程是“和美方程”， 是它的一个根， 将代入方程得：， 即， ， 配方得：， 由于， 当时，取得最小值， 故答案为：． 12．（25-26九年级上·全国·期中）阅读下面的材料，回答问题： 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，于是原方程可变为①，解这个方程得． 当时，，； 当时，，； 原方程有四个根：，，． 请运用上面学到的方法填空： （1）解方程，则______； （2）若，求______． 【答案】 5或 5 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，正确理解已知中的解题方法并仿照解题是解题的关键． （1）仿照例题，设，因式分解后得出，再将值代回求解即可； （2）仿照例题，设，因式分解后得出，再将值代回求解即可． 【详解】解：（1）设，则， ∴，解得， 当时，， 当时，， 故答案为：5或； （2）设  ，则， ∴， ∴， ∴或， ∴，， ∵不论a、b为何值，，即， ， 故答案为：5． 13．（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·期中）解方程∶ (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键： （1）配方法解方程即可； （2）因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 解得，； （2）解：， ， ， 解得，． 14．（25-26九年级上·山西吕梁·期末）某线上学习平台在2025年11月初上线后，凭借其创新的学习体验迅速走红，上线当月活跃用户为120万人．经过两个月的爆发式增长，到2026年1月，活跃用户已达到172.8万人．已知活跃用户数每个月的平均增长率相同． (1)求活跃用户数每个月的平均增长率． (2)按照这个增长趋势，预测2026年2月的活跃用户数． 【答案】(1)活跃用户数每个月的平均增长率为 (2)预测2026年2月的活跃用户数为万 【分析】本题考查一元二次方程解决增长率问题，解题的关键是找到等量关系式． （1）根据增长率的列式方法，列出关于的一元二次方程求解即可； （2）利用计算即可求解． 【详解】（1）解：设活跃用户数每个月的平均增长率为． 根据题意，得． 解得，（不符合题意，舍去）． 答：活跃用户数每个月的平均增长率为； （2）解：（万人）． 答：预测2026年2月的活跃用户数为万． 15．（2026九年级上·福建泉州·专题练习）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该一元二次方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的两个根，是一个矩形的两边长，矩形对角线长为5，试求k的值． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系及矩形的性质，熟练掌握判别式的计算和根与系数的关系是解题的关键． （1）先写出一元二次方程的系数，再计算判别式，判断其符号． （2）先利用根与系数的关系得到和，再结合矩形对角线与边长的勾股定理关系，建立关于的方程，最后求解并检验． 【详解】（1）证明：∵方程为 ∴， ， ， ∵， ∴该一元二次方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵是方程的两个根， ∴， ∵矩形对角线长为， ∴， ∵， ∴， 解得或， ∵矩形边长为正数，即， ∴，， ∴， ∴． 16．（25-26九年级上·北京·期末）关于的一元二次方程经过适当变形，可以写成的形式、现列表探究的变形： 的变形 5 0 4 3 1 6 2 2 7 回答下列问题： (1)表格中的值为__________； (2)观察上述探究过程，表格中与满足的等量关系为__________； (3)记的两个变形为和，则的值为__________． 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握利用公式法、因式分解法和配方法解一元二次方程． （1）先把方程两边加上6，然后把方程左边因式分解，从而得到t的值； （2）利用表中数据得到m与n的和为一次项系数的相反数； （3）由（2）的结论得到，，则即，从而得到的值． 【详解】（1）解：， ， ， 所以， 故答案为：3； （2）解：， ， ， ， 所以为一次项系数的相反数， 即； 故答案为：； （3）解：由（2）的结论得到，， 所以， 即， ∴． 故答案为：． 17．（25-26九年级上·四川达州·期末）根据表中的素材，探索完成任务． 素材1 随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇．某工厂一车间借助智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零件4月份生产100个，6月份生产144个． 素材2 该厂生产的零件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个． 问题解决 任务一 求该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率． 任务二 为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让消费者得到实惠，则该零件的实际售价应定为多少元？ 任务三 该零件月销售利润能达到20000元吗？如果能，请写出涨价方案；如果不能，请说明理由． 【答案】任务一： 任务二：50元 任务三：不能，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 任务一：设该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率为x，利用该车间6月份生产数量该车间4月份生产数量，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论； 任务二：设该零件的实际售价m元，则每个的销售利润为元，利用总利润每个的销售利润月销售量，可列出关于m的一元二次方程，解之可得出m的值，再结合要尽可能让消费者得到实惠，即可确定结论； 任务三：设该零件的实际售价n元，可列出关于n的一元二次方程，解之即可确定结论． 【详解】解：任务一：设车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率x， 由题意得， 解得或（舍去）． 答：该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率； 任务二：设该零件的实际售价m元， 由题意得， 整理得， 解得或． ∵尽可能让消费者得到实惠， ∴． 答：该零件的实际售价应定为50元； 任务三：设该零件的实际售价为n元时，月销售利润能达到20000元， 由题意得， 整理得， ， 方程没有实数根， 故月销售利润不能达到20000元． 18．（24-25九年级上·辽宁丹东·期末）定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的“倒方程”是 ； (2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为 ． 【答案】(1) (2) (3)2025 【分析】此题考查了新定义——倒方程、一元二次方程的根的概念．理解新定义，一元二次方程根的概念以及根与系数关系，是解题的关键． （1）根据新定义的含义可得答案； （2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入即可得到c的值； （3）根据题意得到方程的倒方程为，再结合方程根的定义得到，得到，然后整体代入求解即可． 【详解】（1）解：根据新定义，方程的倒方程是：； （2）解： 由题知，方程的倒方程为， 将代入此方程得，， 解得； （3）解：由题知，一元二次方程的倒方程是， ∵是此方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴． 19．（25-26九年级上·江苏泰州·期末）在长方形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空：__________，__________用t的代数式表示）； (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2t， (2) (3)存在， 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，以及勾股定理的应用，正确表示出、的长度是解题关键． （1）根据距离=速度×时间解答即可； （2）根据的长度等于，利用勾股定理列方程求出值即可得答案； （3）根据五边形的面积加上的面积等于长方形面积列方程求解即可得答案． 【详解】（1）解：∵在长方形中，，， 而，， ∴． （2）解：在中，， ∴， 整理，得：， 解得或2． 把舍去， 所以，当时，的长度等于． （3）解：∵， ∴， 即， 整理，得：， 解得：或4． 依题意，， ∴， ∴，故取． 因此，当时，五边形的面积等于． 20．（25-26八年级上·北京·期中）对于代数式，不同的表达形式能表现出它的不同性质．例如代数式，若将其写成的形式，就能看出不论字母取何值，它都表示正数；若将它写成的形式，就能与代数式建立联系．下面我们改变的值，研究一下，两个代数式取值的规律： 0 1 2 3 10 5 2 1 5 17 10 5 (1)完成上表； (2)观察表格可以发现： 若时，，则时，．我们把这种现象称为代数式参照代数式取值延后，此时延后值为1． ①若代数式参照代数式取值延后，相应的延后值为3，求代数式（按字母降幂排列的形式）； ②已知代数式参照代数式取值延后，直接写出的值______． 【答案】(1)表格见解析 (2)①；② 【分析】本题考查完全平方式配方、新定义问题，熟练找准数量关系是解题的关键． （1）把的值代入代数式计算即可； （2）①根据延后值的定义写出解析式再化简即可； ②由取值延后的定义可知，将它们配方成顶点式后，常数项相等，比较计算求解即可． 【详解】（1）解：将代入代数式得：， 将代入代数式得：， 将代入代数式得：， 将代入代数式得：， 则，两个代数式取值的规律表格为： 0 1 2 3 10 5 2 1 2 5 17 10 5 2 1 2 （2）解：①根据代数式参照代数式取值延后，相应的延后值为3， 则代数式， 代数式的表达式为：； ②由上述可知，，且两个代数式都可以改写为， 所以， 则， 因此， 故答案为：． 21．（25-26八年级上·北京·期中）阅读下列材料，并回答问题． 利用完全平方公式，可以将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法． 运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式．例如： 根据以上材料，解答下列问题： (1)用多项式的配方法将化成的形式_______________； (2)下面是某位同学用配方法及平方差公式把多项式进行分解因式的解答过程： 解： 步骤① 步骤② 步骤③ 步骤④ 老师说，这位同学的解答过程中有错误，该同学解答中开始出现错误的地方是从步骤_______开始的． (3)通过上述材料的学习，证明：，取任何实数时，多项式的值总为正数． 【答案】(1) (2)① (3)见解析 【分析】本题考查了因式分解、平方差公式，熟练掌握配方法是解题关键． （1）利用完全平方公式进行配方即可得； （2）步骤①中利用完全平方公式进行配方时出现错误；利用配方法及平方差公式分解因式即可得； （3）多项式，利用完全平方公式变形，根据偶次方的非负性即可得证． 【详解】（1）解： ， 故答案为：． （2）解：该同学解答中开始出现错误的地方是从步骤①开始的，完整的、正确的解答过程如下： ， 故答案为：①． （3）解： ， ， ， 即取任何实数时，多项式的值总为正数． 22．（25-26九年级上·北京·期中）阅读并思考： 设是关于字母的一个整式，若是方程的一个根，则整式必有一个因式，即．其中仍然是关于字母的一个整式． (1)若，则的一个根是___________； (2)设一元二次方程有两个根，则方程可化为，即，与原方程比较系数， 得到一元二次方程根与系数的关系： 利用上式结论解题：已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，求实数的值； (3)探究引申：设一元三次方程有三个根则原方程可化为，试着展开上式，然后比较系数，可以得到根与系数的关系： 利用上式结论解题：已知方程有三个根，求的值； 【答案】(1)2 (2)3 (3)10 【分析】本题主要考查了一元二次方程和一元三次方程的根与系数的关系、完全平方公式的变形以及一元二次方程根的判别式，熟练掌握根与系数的关系和公式变形是解题的关键． （1）根据已知的整式因式分解形式，结合方程根的定义，直接确定方程的一个根． （2）先利用一元二次方程根与系数的关系求出和，再代入已知条件得到关于的方程，同时结合根的判别式确定的取值． （3）先根据一元三次方程根与系数的关系求出和，再利用完全平方公式的变形计算求值． 【详解】（1）解：∵，令，则， ∴或， ∴的一个根是， 故答案为：2． （2）解：∵方程， ∴ ，． 又∵ ， ∴ ， 整理得， 因式分解得， 解得或． ∵ 方程有两个不相等的实数根， ∴ ， 即， ， ， ． ∴ ． （3）解：对于方程， ∵ 一元三次方程根与系数的关系为，，这里，，， ∴ ，． ∴ ， ． 23．（25-26九年级上·北京·月考）已知：关于的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)设方程的两个实数根都是整数，求整数的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)或． 【分析】（1）根据根的判别式及题中所给的即可得证； （2）利用公式法解一元二次方程得出两个根，由方程的两个实数根都是整数即可得到整数的值． 【详解】（1）解：依题得：， ， ， ， ， 方程有两个不相等的实数根； （2）解：， ， ， 方程的两个实数根都是整数， 是整数， 又， 或． 【点睛】本题考查的知识点是一元二次方程的根的判别式、公式法解一元二次方程，解题关键是熟练掌握如何利用一元二次方程的根的判别式得出方程根的情况． 24．（24-25八年级下·湖南长沙·月考）已知关于的一元二次方程的两个根是和． (1)当时，求的值； (2)设该方程的两个根为，，且满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，熟知解一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）由根与系数的关系得到，，再根据代值计算即可； （2）由，可得出无论为何值，关于的一元二次方程总有两个不相等的实数根，由根与系数的关系得到，，再根据得到关于m的方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，原方程为， ∵关于的一元二次方程的两个根是和， ∴，， ∴ ； （2）解：∵， ∴无论为何值，关于的一元二次方程总有两个不相等的实数根． ∵关于的一元二次方程的两个根是和， ∴，， ∵， ∴． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $