第十六章 一元二次方程（复习讲义）数学新教材北京版八年级下册

第十六章 一元二次方程（复习讲义） 1.理解一元二次方程定义及一般形式，能准确识别各项系数； 2.掌握直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解方程； 3.会列一元二次方程解决实际问题，培养建模与运算能力。 知识点 重点归纳 常见易错点 一元二次方程的定义 一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． 判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 一元二次方程的一般形式 一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式 要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式 二、一元二次方程的解 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． 一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c=0（a≠0），ax22+bx2+c=0（a≠0） 解一元二次方程-直接开平方 形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． ①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 解一元二次方程-配方法 将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． ①用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小； ②用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值； 解一元二次方程-公式法 把（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式 用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 解一元二次方程-因式分解法 利用因式分解，将一元二次方程的二次三项式分解成两个一次因式的乘积，这种解法叫做因式分解法. ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 一元二次方程根与系数的关系 若一元二次方程的两个根分别为、，则方程的两个根与各系数a、b、c之间具有以下关系：. 1.已知方程的一个根，求方程的另一个根及待定系数 2.求与两个根有关的代数式的值 3.不解方程，判定根的符号 一元二次方程的应用 列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． 找不到等量关系 题型一 一元二次方程的相关概念 1．下列方程中，关于的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查识别一元二次方程，理解一元二次方程的定义是解答本题的关键． 本题根据一元二次方程的定义判断，一元二次方程需满足：是整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为2，二次项系数不为0，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A、整理原方程，得，满足一元二次方程的所有条件，故此选项符合题意； B、原方程分母含有未知数，不是整式方程，故此选项不符合题意； C、原方程未说明，当时不是一元二次方程，故此选项不符合题意； D、原方程中未知数最高次数为，是一元一次方程，故此选项不符合题意． 故选：A． 2．下列方程是一元二次方程的是（ ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】一元二次方程需满足三个条件：是整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为2且二次项系数不为0，逐个判断后统计符合条件的个数即可． 【详解】解：根据一元二次方程的定义可得是一元二次方程； 当时，不是一元二次方程； 可变形为，不是一元二次方程； 不是整式方程，即不是一元二次方程， 故是一元二次方程的只有①，即只有1个． 3．若关于的方程是一元二次方程，则___________． 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，理解此定义是关键；根据一元二次方程的定义，最高次项指数为2且二次项系数不为零，即可求解． 【详解】解：由题意，方程为一元二次方程， 则满足， 解得， 即或． 当时，二次项系数；当时，二次项系数． 故均符合条件． 故答案为：或． 4．若关于的方程是一元二次方程，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是根据一元二次方程的定义列出关于的方程和不等式． 根据一元二次方程的定义，未知数最高次数是2且二次项系数不为0，据此列方程和不等式求解． 【详解】解：方程是一元二次方程， 的最高次数为2，即， 解得； 二次项系数不为0， ， 解得． 综上，． 故答案为： 题型二 一元二次方程的一般式 5．将方程化成一般形式是____________ 【答案】 【分析】一元二次方程的一般式为，其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项，根据多项式与多项式的乘法法则先去括号，然后移项，合并同类项计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，即． 6．将一元二次方程化为的形式，则___________． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确把握定义是解题关键． 直接利用一元二次方程的一般形式分析得出答案． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ， ， ∴． 故答案为： 7．将一元二次方程化成一般形式后，若二次项系数为1，则一次项系数是________． 【答案】2 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，将原方程化为一般形式，并通过乘以使二次项系数为1，从而得到一次项系数． 【详解】解：原方程为， 展开左边得， 移项得， 再乘以得 ， 此时二次项系数为1，一次项系数为2． 故答案为：2． 8．将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它的二次项系数，一次项系数和常数项． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)，二次项系数为，一次项系数为，常数项； (2)，二次项系数为，一次项系数为，常数项； (3)，二次项系数为，一次项系数为，常数项； (4)，二次项系数为，一次项系数为，常数项． 【分析】（）先去括号、移项，再合并同类项，再找出二次项系数，一次项系数和常数项即可； （）先去括号、移项，再合并同类项，再找出二次项系数，一次项系数和常数项即可； （）先去括号、移项，再合并同类项，再找出二次项系数，一次项系数和常数项即可； （）先去括号、移项，再合并同类项，再找出二次项系数，一次项系数和常数项即可． 【详解】（1）解：， ， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项； （2）解：， ， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项； （3）解： ， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项； （4）解： ， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项． 题型三 一元二次方程的求参问题 9．若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（） A． B．且 C． D．为任意实数 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义进行求解即可． 【详解】∵方程是一元二次方程， ∴二次项系数， ∴． 故选：A． 10．若关于的方程是一元二次方程，则的值为（    ） A．4 B．4 C．0 D．0或4 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义，需满足指数部分且二次项系数据此进行解答即可． 【详解】解：方程是一元二次方程， ，且 解： 当时，； 当时， 但，故 的值为 故选：B． 11．已知关于的方程是一元二次方程，则的值为_____． 【答案】 1 【分析】根据方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数是，二次项系数不为，像这样的方程叫做一元二次方程，据此解答即可． 【详解】解：方程是一元二次方程， ，且 ， 解得． 12．若是关于的一元二次方程，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，像这样的方程叫做一元二次方程．对于一元二次方程，其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 根据二次项系数不能为零列式求解即可． 【详解】解：∵方程 是关于的一元二次方程， ∴二次项系数， 解得． 故答案为． 题型四 一元二次方程的估算 13．观察下列表格，可得出一元二次方程的一个近似解是（ ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 0.84 2.29 3.76 5.25 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求一元二次方程的近似根，根据表格确定相邻两个未知数的值使的值为一正一负，即可确定的解的取值范围． 【详解】解：由表格可知，当时，；当时，， 则当时，存在一个x的值，使， 故关于x的方程的一个解x的范围是， 故选：． 14．根据所给的表格，估计一元二次方程 的一个近似解x，则x的整数部分是（   ） x 0 1 2 3 13 30 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查利用“夹逼”思想估算一元二次方程的解，观察表中数据找到方程最接近0时x的取值范围是解本题的关键． 通过表格数据，观察表达式值的变化，确定根所在区间，从而得到整数部分． 【详解】解：观察表格得到时，， 时，， 故方程的一个解在和之间， 故的整数部分为， 故选：B． 15．由下表估算一元二次方程的一个根的范围_______． 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 13 14.41 15.84 17.29 18.76 【答案】 【分析】本题考查估算一元二次方程的近似解，观察表格中的数据确定16所在范围是解题的关键． 观察表格的值，确定与16最接近时x的范围即可求解． 【详解】解：∵， ∴一元二次方程的一个根的范围为， 故答案为：． 16．小贝在做“一块矩形铁片，面积为，长比宽多，求铁片的长”时是这样做的：设铁片的长为，列出的方程为，整理，得小贝列出方程后，想知道铁片的长到底是多少下面是它的探索过程： 第一步：           所以 第二步：                          所以 ． (1)请你帮小贝填完空格，完成她未完成的部分． (2)通过以上探索，可以估计出矩形铁片的长的整数部分为多少十分位为多少 【答案】(1)见解析 (2)矩形铁片的长的整数部分为3，十分位为3 【分析】本题考查了求一元二次方程的近似解，解题的关键是掌握求一元二次方程近似解的方法和步骤． （1）分别计算当、、、时代数式的值，即可补充表格； （2）根据（1）中得出的x的取值范围，即可解答． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴补充表格如下： 第一步：           3 所以 第二步：                          所以 ． （2）解：由（1）可得：， ∴矩形铁片的长的整数部分为3，十分位为3． 题型五 解一元二次方程 17．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： ∴ ∴ ∴或 解得：， （2）解： ∴ ∴ ∴ ∴或 解得：， 18．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： ，； （2）解： ，． 19．解下列一元二次方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据因式分解法，即可求解； （2）根据因式分解法，即可求解． 【详解】（1）解：由题得， 或， ； （2）解：由题得， ， ， 或， ． 20．解下列一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）根据配方法求解一元二次方程即可； （2）运用提公因式法求解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： ∴或 解得，； （2）解： ∴或 解得，． 题型六 配方法的应用 21．用配方法将方程化成的形式，则m，n的值是（    ） A．，9 B．3，9 C．，10 D．3，10 【答案】D 【分析】按照配方法的步骤完成移项和配方后，和要求的形式对比即可得到，的值． 【详解】解：∵原方程为， ∴移项得， 对左边配方，一次项系数的一半为，两边同时加得： ， 整理得：， ∴，． 22．用配方法解一元二次方程时，可将原方程配方成，则的值是____． 【答案】24 【分析】本题主要考查了配方法的应用，把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，据此可得m、n的值，再代值计算即可得到答案． 【详解】解： ，则， ∴， 故答案为：． 23．将一元二次方程化成（、为常数）的形式，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程，代数式求值，先把移到右边，再方程两边加上，把方程配成的形式，进而得到的值，最后代入到代数式计算即可求解，掌握配方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， ∴，， ∴， 故答案为：． 24．定义：如果关于的一元二次方程有一个根是，那么我们称这个方程为“方程”．已知关于的一元二次方程是“方程”． (1)求的数量关系； (2)求代数式的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的其他应用，新定义，配方法的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，把代入，进行计算化简得； （2）把代入进行计算，然后配方，最后分析当时，代数式有最小值，最小值为，即可作答． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程是“方程” ∴把代入， 得 ∴； （2）解：由（1）得， ∴ ， ∵， ∴当时，代数式有最小值，最小值为． 题型七 根据一元二次方程根的情况求参数 25．已知关于的一元二次方程． (1)若是该方程的两个实数根，且该方程有一个根是，求的值． (2)若该方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把代入原方程求出k的值，再利用根与系数的关系求出和的值即可得到答案； （2）利用判别式求解即可． 【详解】（1）解：∵该方程有一个根是， ∴把代入得， 解得， ∴原方程为， ∴，， ∴； （2）解：方程有两个不相等的实数根， ∴，即， 解得． 26．已知一元二次方程有两个不相等的实数根，求k的最小整数值． 【答案】k的最小整数值为2 【分析】本题主要考查了根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．利用一元二次方程根的判别式进行计算即可． 【详解】解：一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得： 的最小整数值为2． 27．关于的一元二次方程的两个实数根分别为． (1)求的取值范围； (2)若，求和的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系． （1）根据方程有两个实数根得到，再解不等式即可； （2）先将代入方程求解，一元二次方程根与系数的关系求解． 【详解】（1）解：∵的两个实数根分别为， ， 即， ； （2）解：把代入方程得：， ， 由一元二次方程根与系数的关系得：， ， ． 28．已知，是关于的一元二次方程的两实数根． (1)若，求的值； (2)已知等腰的一边长为7，若，恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长． 【答案】(1)m的值为6 (2)这个三角形的周长为 【分析】本题主要考查了根与系数的关系及根的判别式，解一元二次方程，也考查了三角形三边的关系，等腰三角形的定义．掌握一元二次方程的根与系数的关系及根的判别式和对等腰三角形恰当分类是解题的关键． （1）利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． （2）分类讨论：若时，解得，，当时，由根与系数的关系，解得，根据三角形三边的关系，舍去；当时，，解得，则三角形周长为；若，则，方程化为，解得，根据三角形三边的关系，舍去． 【详解】（1）解：，是关于的一元二次方程的两实数根， ， ，， ∴， ，即， ， 整理得， 解得，， ， 的值为6； （2）解：当腰长为7时，则是一元二次方程的一个解， 把代入方程得， 整理得， 解得，， 当时，，解得，而，不能构成三角形，故舍去； 当时，，解得，则三角形周长为； 当7为等腰三角形的底边时，则， ∴， ∴， 方程化为，解得， 则，不能构成三角形，故舍去， 所以这个三角形的周长为． 题型八 换元法解一元二次方程 29．当时，的值为（　　） A． B．1 C．1或 D．0 【答案】B 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，设，原式化成关于的一元二次方程，解方程即可求解， 解题关键是能准确的找出可用替换的代数式，再用字母代替解方程． 【详解】解：设，则原方程可化为：， ∴， 解得， ∴， 故选：B． 30．已知方程的解是或，则方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求一元二次方程的解，解题的关键是掌握方程解的意义以及换元法． 通过变量替换，将新方程转化为已知方程的形式求解. 【详解】解：设，则方程化为， 的解为或， ∴或， 解得或， 故选：C． 31．已知方程的解是，则方程的解是___________． 【答案】， 【分析】利用整体换元的思想，将看作整体，对应已知方程中的值，得到关于的一元一次方程，求解即可得到结果． 【详解】解：∵方程的解是，， ∴方程的解为或， 解得：，． 32．阅读下列例题的解答过程： 解方程：． 解：设，则原方程化为：， ，， ， ． 当时，，； 当时，，． 原方程的解为：． 请仿照上面的例题解决问题：若，求代数式的值． 【答案】3 【分析】本题考查了解一元二次方程，能正确换元是解此题的关键．设，则原方程化为，求出，再求出即可． 【详解】解：， 设，则原方程化为：， 即， ∴， ∴， ∴， 当时，； 当时，， ∵两个数的平方和具有非负性， ∴，即代数式的值为3． 题型九 一元二次方程根与系数的关系 33．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)已知方程的一个根为，求的值和它的另一个根． 【答案】(1)见解析 (2)当时，方程的另一个根为；当时，方程的另一个根为 【分析】（1）根据证明即可． （2）利用一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵一元二次方程，且 ∴ ， 无论取何值，方程总有两个不相等的实数根． （2）解：设是方程的两个根， 则，， 不妨设， ∴把代入方程得：， 故， 整理，得， 或， 当时，， 解得，此时方程的另一个根为； 当时， 解得， 此时方程的另一个根为． 34．已知关于的一元二次方程． (1)若该方程有两个实数根，求的取值范围． (2)若方程的两个实数根为，，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得 ，据此求解即可； （2）由根与系数的关系得到，再根据已知条件得到 ，解之即可得到答案． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程 有两个实数根， ∴ ， ∴； （2）解：根据题意，得，， ∵， ， ∴． 35．已知关于的一元二次方程． (1)若该方程有两个实数根，求的取值范围； (2)若该方程的两个实数根，满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次方程判别式与根的个数的关系，列出不等式并求解即可； （2）根据根与系数的关系可得，，代入得到关于的一元二次方程，求解并结合进行取舍即可． 【详解】（1）解：， ∵方程有两个实数根， ∴， 整理，得， 解得； （2）解：， 根据一元二次方程根与系数的关系可得，，， ∵， ∴， ∴， 整理，得， 解得， 由（1）可知，， ∴． 36．已知关于的一元二次方程，其中为实数． (1)求证：该方程有两个不相等的实数根； (2)若该方程的一个根为，求另一个根； (3)若该方程的一个根大于，另一个根小于，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）由根的判别式计算即可证明； （2）将已知的方程根代入方程后可求得的值，再根据根与系数的关系得到的值，进而可得另一个根； （3）方程的两个实数根为，，由根与系数的关系得到，，再根据两个根的取值范围得到，然后解不等式即可． 【详解】（1）证明：一元二次方程化为一般形式为， ， 该方程有两个不相等的实数根； （2）解：将代入方程得，，解得， 此方程为， ， 另一根为； （3）解：设方程的两个实数根为，， ，， 方程的一个根大于，另一个根小于， ， ， ，解得． 题型十 传播问题 37．数学活动课上，同学们与智能体进行数字传播闯关游戏．智能体给出规则：游戏开始时有6名同学拥有通关密码，在每一轮传播中，每名拥有密码的同学都会传给相同数量的新同学，但每一轮传播结束后，都会随机有6名同学失去密码，不再参与下一轮传播．经过两轮完整传播后，场上共有114名同学持有通关密码．求每一轮传播中，1名同学传给多少名新同学． 【答案】4名 【分析】先设每一轮传播中，1名同学传给x名新同学，根据题意列出一元二次方程，求出解，舍去不合题意的即可． 【详解】解：设每一轮传播中，1名同学传给x名新同学， 根据题意，得． 解得，（不合题意，舍去）． 答：每一轮传播中，1名同学传给4名新同学． 38．有3人患了流感，经过两轮传染后共有300人患流感． (1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人； (2)若不及时控制，第三轮又将有多少人被传染？ 【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染了个人 (2)第三轮又将有人被传染 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是正确理解题意，找到等量关系． （1）设每轮传染中平均一个人传染了个人，则第一轮后患病人数表示为，第二轮后患病人数表示为，即可列出方程求解； （2）两轮传染后共有300人患流感，每人可传染9人列式计算即可． 【详解】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染了个人， 由题意得， 解得或（舍）， 答：每轮传染中平均一个人传染了个人； （2）解：由题意得（人）， 答：第三轮又将有人被传染． 39．传染病就像隐藏的敌人，随时可能偷袭你，做好日常预防，爱护自己，至关重要．德尔塔（）是一种全球流行的新冠病毒变异毒株，其传染性极强．某地有人感染了德尔塔病毒，因为没有及时隔离治疗，经过两轮传染后，一共有人感染了德尔塔病毒．在每轮传染中，平均一个人传染了几个人？ 【答案】每轮传染中平均一个人传染了个人 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设在每轮传染中平均一个人传染了人，则第一轮传染后共有人感染，第二轮传染后有人感染，根据一共有人感染了德尔塔病毒，列方程求解即可． 【详解】解：设在每轮传染中平均一个人传染了人， 由题意得：， 解得：，（不符题意，舍去）， 答：每轮传染中平均一个人传染了个人． 40．为了响应“践行核心价值观，传递青春正能量”的号召，小颖决定走入社区号召大家参加“传递正能量志愿服务者”，被号召参加的人（包括小颖）下一周会继续号召，已知每一个人每周能够号召个人参加． 甲说：“第一周结束后，包括小颖在内有人参加了‘传递正能量志愿服务者’．” 乙说：“第二周新参加‘传递正能量志愿服务者’的有人．” (1)______的说法正确（填“甲”“乙”或“甲和乙”）； (2)丙说：“两周后，包括小颖在内有120人参加了‘传递正能量志愿服务者’．”请你通过列方程分析丙的说法是否正确． 【答案】(1)甲和乙 (2)丙的说法不正确 【分析】本题考查了列代数式、一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）根据每一个人每周能够号召个人参加列出代数式求解即可得； （2）根据题意建立方程，解方程，结合为正整数求解即可得． 【详解】（1）解：由题意可知，第一周结束后，包括小颖在内有人参加了“传递正能量志愿服务者”， 第二周新参加“传递正能量志愿服务者”的有人， 所以甲和乙的说法都正确， 故答案为：甲和乙． （2）解：由题意得：， 整理得：， 解得或（舍去）， 又∵是正整数， ∴不符合题意， 所以丙的说法不正确． 题型十一 增长率问题 41．坐落于苏州金鸡湖畔的“苏州之眼”摩天轮，是全球八大太空舱摩天轮之一、也是亚洲最大的水上摩天轮，为纪念其正式运营，某电商平台推出一款“苏州之眼”摩天轮模型纪念品，引发文旅消费热潮． (1)据统计，某电商平台2025年3月的销售量是3万件，2025年5月的销售量达到4.32万件．若月平均增长率相同，求月平均增长率； (2)苏州观前街某实体店“苏州之眼”摩天轮模型的进价为每件65元，若售价定为每件75元，每天可售出20件，市场调研发现，售价每降低1元，每天销量可增加5件，为配合“江南文化节”推广，商家决定降价促销，同时尽量减少库存．若使每天销售后获利240元，售价应降低多少元? 【答案】(1)月平均增长率为； (2)售价应降低4元． 【分析】（1）设出未知数，利用“初始销量×(1+月平均增长率)²=最终销量”列一元二次方程，舍去不符合题意的负根，即可得到结果． （2）设出降价金额，分别表示出每件商品的利润和降价后的销量，利用“总利润=每件利润×销量”列一元二次方程，结合“尽量减少库存”的要求，选择符合题意的解即可． 【详解】（1）解：设月平均增长率为x， 根据题意得， 解得：，（舍去） 答：月均增长率为． （2）解：设售价应降低x元，则每件盈利为元，即元，销量为：件， 由题意得，， 解得，， 尽量减少库存， ，即售价应降低4元． 答：若使每天销售后获利240元，售价应降低4元． 42．已知某山核桃种植合作社拥有山核桃林100亩．往年采用传统人工授粉，平均每亩的产量为100千克．今年，该合作社决定全面采用无人机辅助授粉新技术． (1)经过测算，若采用无人机授粉，核桃的亩产量将得到提升，假设亩产量的年平均增长率为，经过两年（即两次增长周期）的技术优化与推广，预计每亩产量将达到169千克．请根据题意，列出关于的一元二次方程，并求出年平均增长率． (2)在考虑成本与收益时，合作社发现：无人机授粉虽然提高了产量，但也增加了投入，已知当无人机授粉的作业面积不超过60亩时，作业面积的每亩净利润为3400元；若作业面积超过60亩，由于设备调度和花粉损耗增加，每增加1亩，所有作业面积的每亩净利润就会降低20元．若该合作社希望今年作业面积的总净利润为224000元．请问他们应该安排多少亩山核桃林进行无人机授粉？ 解：设他们应该安排亩山核桃林进行无人机授粉． ①当时，总净利润为：元元，不满足题意， 当时，总净利润为：_____（列方程）； ②求出他们应该安排多少亩山核桃林进行无人机授粉． 【答案】(1)30%； (2)①；②应该安排70亩山核桃林进行无人机授粉 【分析】本题考查一元二次方程的应用，涉及增长率和利润问题．解题的关键是根据题目中的等量关系，合理设未知数并列出一元二次方程，进而求解得到符合实际意义的答案． （1）根据亩产量的两年增长关系，列一元二次方程解答即可． （2）当作业面积时，超过60亩的部分为亩，每亩净利润降低元，故每亩净利润为元．根据，列方程解答即可． 【详解】（1）解：依题意，得 ， 解得：（舍）， 因增长率为正，故舍去负根， ∴增长率为． 答：年平均增长率为30%； （2）解：①当时，总净利润为：； ②， 解得：， 因为合作社共拥有山核桃林100亩，所以，故不符合题意，应舍去， ∴． 答：应该安排70亩山核桃林进行无人机授粉． 43．根据以下素材，完成任务． 素材一 文创小店推出定制纪念徽章，2月份售出40枚，4月份售出90枚，该徽章的月销售量呈持续增长趋势． 素材二 已知该徽章的单件进货成本为10元，小店制定批量购买规则：一次购买该徽章不超过60枚，按单件25元销售；若一次购买超过60枚，每多购买1枚，所购全部徽章的单件售价均降低0．2元，且单件售价不低于24元． 问题解决 问题解决： (1)任务一：求该纪念徽章2月份到4月份的月销售量的月平均增长率； (2)任务二：若顾客批量购买该徽章，小店恰好获利910元，求该顾客此次购买的徽章数量及对应的单件销售价． 【答案】(1)月平均增长率为 (2)该顾客此次购买徽章枚，对应单件销售价为元 【分析】（1）设月平均增长率为，利用初始销量和增长两个月后的销量关系列一元二次方程，舍去不符合题意的负根得到结果； （2）先确定购买数量的范围，判断获利元时购买数量一定超过枚，再结合单件售价的限制，根据总利润公式列一元二次方程求解，舍去不符合限制条件的解得到最终结果． 【详解】（1）解：设该纪念徽章2月份到4月份的月销售量的月平均增长率为， 根据题意可得 ， 解得 ，（增长率为负不符合题意，舍去）， 答：该纪念徽章2月份到4月份的月销售量的月平均增长率为； （2）解：设该顾客此次购买徽章枚. 根据单件售价不低于元可得， 解得， 当时，获利（元）， ∵， ∴， 根据题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 当时，单价为（元）， 答：该顾客此次购买徽章枚，对应单件销售价为元． 44．随着“科技兴农，智慧农业”理念的普及，农业无人机正逐渐成为现代农业的重要装备． (1)某品牌农业无人机2026年1月份销售量为3千架．随着春耕备耕需求激增，该品牌无人机的销售量逐月递增，3月份的销售量达到4.32千架．求从1月份到3月份该品牌无人机销售量的月平均增长率． (2)某农业科技服务公司购进一批农业无人机进行出售，进价为1.5万元/架，出售一段时间后发现：当售价为2.5万元/架时，平均每周售出80架；售价每降低0.05万元，平均每周多售出1架，若该公司计划下调售价使平均每周的利润达到45万元．求下调后每架无人机的售价． 【答案】(1) (2)2万元 【分析】（1）设从1月份到3月份该品牌无人机销售量的月平均增长率为x，再根据3月份销售量列出方程，求出解； （2）设每架无人机的价格下调a万元，根据利润等于单位利润乘以销售量列出方程，求出解即可． 【详解】（1）解：设从1月份到3月份该品牌无人机销售量的月平均增长率为x， 由题意得：， 解得，（不合题意，舍去）． 答：从1月份到3月份该品牌无人机销售量的月平均增长率为； （2）解：设每架无人机的价格下调a万元，由题意得：， 化简得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴（万元）． 答：下调后每架无人机的售价为2万元． 题型十二 图形问题 45．已知长方形的长和宽分别为． (1)当周长为时， ①请用含有的式子表示这个长方形的面积． ②当面积为时，求这个长方形的长和宽． (2)当周长为时，证明：当时，总能围成面积为的长方形． 【答案】(1)①长方形的面积；②这个长方形的长为，宽为 (2)证明见解析 【分析】（1）①利用长方形的周长公式和面积公式即可求解； ②由面积为，代入①中整理为关于的一元二次方程，并解方程即可求解； （2）由长方形的周长得出，再由面积公式得出一元二次方程，利用根的判别式即可求解． 【详解】（1）解：①已知周长为，根据周长公式：， 化简得：， 因此，长方形的面积． ②已知面积为，代入①的结果：，整理为一元二次方程得： ， 因式分解得：，解得或． 当时，，此时长比宽小，不符合题意； 当时，，此时长比宽大，符合题意； 所以长为，宽为． （2）证明：已知周长为，则，即， 要围成面积为的长方形，需满足：， 整理方程：， 计算根的判别式：， 当时，，则，即， 因此，当时，总能围成面积为的长方形． 46．小澜家有一块空地，空地上有一面长为10米的围墙，小澜打算利用围墙和木栏围一块长方形养蜂场，已知木栏总长为48米，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为2米的门，门不消耗木栏，设长为米． (1)如图1，当时， ①____米（用含的代数式表示）． ②若围成的养蜂场面积为92平方米，求的长． (2)如图2，当时，养蜂场的面积是否可以达到230平方米？并说明理由． 【答案】(1)，的长为23米． (2)不能，见解析 【分析】（1）①根据图形和条件确定边长表达式；②根据面积公式列出方程求解并关联题意即可解答； （2）根据面积公式列出方程，再根据一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】（1）解：①由题意得，，而， ∴ ∴米； ②由题意得，， 解得，． ， ∴， ∴不符合题意， 的长为23米． （2）解：养蜂场的面积不能达到230平方米，理由如下： 由题意得， ， ∵ ∴， ∴， 由题意得， 整理得， ， ∴该方程无实数根， ∴养蜂场的面积不能达到230平方米． 47．如图，用长为28米的篱笆围成一个矩形菜地，菜地一边靠墙，与墙平行的边上开一个宽度为2米的门；设，矩形的面积为． (1)若墙长度为15米，围成的菜地面积为100平方米，求出矩形菜地的长和宽． (2)若墙的长度足够长，在与墙平行的边上开一个宽度为2米的门，能否围成面积是120平米的菜地？请说明理由． 【答案】(1)矩形菜地的长和宽都为10米． (2)不能围成面积是120平米的菜地 【分析】（1）设，可得，再利用面积公式列函数关系式，当面积为，代入（1）的函数解析式建立方程求解即可； （2）当面积为，代入（1）的函数解析式建立方程判断是否有根即可． 【详解】（1）解：根据题意得，； 当时，即， 整理得：， 解得：，， ∵墙长15米， 当时，，不符合题意， 当时，，符合题意， ∴矩形菜地的长和宽都为10米． （2）解：当时，即， 整理得：， ， ∴所列方程无实数根， ∴不能围成面积是120平米的菜地． 48．根据以下素材，探究完成任务： 制作长方体收纳盒 背景 某校数学项目化学习小组准备了一些长为，宽为的长方形硬纸板，准备利用纸板做长方体收纳盒（接缝处忽略不计） 方案甲 如图1所示，甲活动小组在长方形纸板的四个直角处裁掉四个边长均为的小正方形，再沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒，盒子的底面是矩形 方案乙 如图2所示，乙活动小组在长方形纸板的四个直角处裁掉四个长均为宽均为的小长方形，再沿虚线折成一个有盖的长方体收纳盒，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面是矩形 (1)任务一：请用含x的代数式表示：方案甲制作出的无盖收纳盒的底面长为 ，底面宽为 ． (2)任务二：若方案甲制作出的无盖收纳盒的底面积为，求裁去小正方形的边长x的值． (3)任务三：若方案乙制作出的有盖收纳盒的底面积为，请通过计算判断，图3中长为，宽为，厚度为的书本能否完全放入该收纳盒内． 【答案】(1)； (2)10 (3)不能 【分析】（1）根据题意可知，裁剪了，据此写出代数式即可； （2）利用（1）的代数式，结合面积公式列出方程解答即可； （3）根据图示得出该收纳盒的高为，然后表示出收纳盒底面的长和宽，结合面积公式列出方程求得收纳盒的高，进而得到收纳盒的长和宽，即可判断． 【详解】（1）解：根据题意无盖收纳盒的底面长；底面宽； （2）解：∵无盖收纳盒的底面长；底面宽；底面积为， ∴， 解得或， ∵底面宽，即， ∴舍去， ∴， 答：裁去小正方形的边长x的值为10． （3）解：根据题意可知，收纳盒的高为， 则盒子的底面的矩形中，， ∵收纳盒的底面积为， ∴， 解得或（不合题意，舍去） ∴收纳盒的高为，，， ∵书本为，宽为，厚度为， ∴书本的最大边长大于收纳盒的最大边长， ∴书本不能完全放入该收纳盒内． 题型十三 营销问题 49．交警部门提醒市民：“出门头盔戴，放心平安归”．某商店销售一批头盔，进价为每顶50元，售价为每顶78元，平均每周可售出200顶．商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于68元．经调查发现：每降价2元，平均每周可多售出40顶．设每顶头盔降价元，平均每周的销售量为顶． (1)每顶头盔降价元后，每顶头盔的利润是________元，销售量为________顶（用含的代数式表示）． (2)若该商店希望平均每周获得7200元的销售利润，则每顶头盔应降价多少？ 【答案】(1)； (2)每顶头盔应降价10元 【分析】（1）根据利润售价进价，列出代数式即可得到每顶头盔的利润；再利用平均每周的销售量，即可得到销售量； （2）利用每周的销售利润每顶的销售利润每周的销售量，可列出关于的一元二次方程，解之可求出的值，再结合降价后每顶头盔的售价不高于元，即可确定结论． 【详解】（1）解：∵进价为每顶50元，原售价为每顶78元， ∴每顶头盔降价x元后，每顶头盔的利润是元； ∵售价为每项78元，平均每周可售出200顶，每降价2元，平均每周可多售出40顶， ∴销售量顶； （2）解：由题意得     ，， 每顶售价不高于68元，且， 答：每顶头盔应降价10元． 50．电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个．为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个． (1)降价5元时，日销量增加了多少个？ (2)当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 【答案】(1)降价5元时，日销量增加了个； (2)当每个玩偶降价2元时，当日总利润可达到5940元． 【分析】（1）根据玩偶售价每降价1元，日销量可增加5个列式计算即可； （2）设每个玩偶降价元，根据当日总利润可达到 5940 元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：根据题意，降价5元时，日销量增加了（个）， 答：降价5元时，日销量增加了个； （2）解：设降价元，则单个玩偶的利润为元，销量个， 由题意得 ， 解得（舍去），， 答：当每个玩偶降价2元时，当日总利润可达到5940元． 51．2026年4月5日是清明节，清明节前一周，铂航妈妈到超市购买了6个肉松青团和8个红豆青团，共付款54元，已知每个红豆青团比每个肉松青团贵1.5元． (1)求每个肉松青团和每个红豆青团各多少元． (2)为进一步提升青团的销量，超市将两种青团分别包装成，两种礼盒销售，两种礼盒每盒都有16个青团（包装成本忽略不计），礼盒中有个肉松青团，礼盒中有个红豆青团．包装后每个青团降价元，统计发现，，两种礼盒的销量分别为盒、盒，，两种礼盒的销售总额为4100元，求m的值． 【答案】(1)每个肉松青团的价格为3元，每个红豆青团的价格为元 (2)6 【分析】（1）设每个肉松青团的价格为元，则每个红豆青团的价格为元，根据“6个肉松青团和8个红豆青团，共付款54元”列方程求解即可； （2）降价后，肉松青团单价为元，红豆青团单价为元，则每盒礼盒有个肉松、个红豆，单盒价格为；每盒礼盒有个红豆、个肉松，单盒价格为；根据“，两种礼盒的销售总额为4100元”列方程求解即可． 【详解】（1）解：设每个肉松青团的价格为元，则每个红豆青团的价格为元， 由题意得：， 解得：， ， 答：每个肉松青团的价格为3元，每个红豆青团的价格为元； （2）解：降价后，肉松青团单价为元，红豆青团单价为元， 则每盒礼盒：个肉松、个红豆，单盒价格为； 每盒礼盒：个红豆、个肉松，单盒价格为； 根据题意，得， 化简得， 解得，（不符合实际，舍去）， 即m的值为6． 52．错题本是同学们整理知识点，提升复习效率的好帮手．某校周边文具店销售的新款活页错题本深受学生喜爱．经销商统计了该款错题本3月份到5月份的销量：3月份销售125本，5月份销售180本． (1)求该款活页错题本3月至5月销售量的月平均增长率； (2)若该款错题本的进价为每本8元，经市场调研发现，当售价为每本12元，月销售量为200本，若在此基础上售价每本上涨0.5元，则月销售量将减少10本．为使月销售利润达到960元，现需适当涨价且尽可能让学生得到实惠，则该款错题本的实际售价应定为每本多少元？ 【答案】(1) (2)14元 【分析】（1）设该款活页错题本销售量的月平均增长率为x，根据题意，得：，即可得到答案； （2）设该款错题本的售价上涨了元/本，根据题意，得：，要尽可能让学生得到实惠，所以，即可得到答案． 【详解】（1）解：设该款活页错题本销售量的月平均增长率为x， 根据题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：该款活页错题本销售量的月平均增长率为； （2）解：设该款错题本的售价上涨了元/本， 根据题意，得：， 解得：，， 因为要尽可能让学生得到实惠，所以，此时实际售价为：（元/本）， 答：该款错题本的实际售价应定为14元/本． 题型十四 行程问题 53．《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率五，乙行率二．乙东行，甲南行八步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．”大意是说：甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为5，乙的速度为2．乙一直往东走，甲先向南走8步（步是古代的长度单位），后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲乙各走了多少步？设甲乙二人从出发到相遇所用的时间是x，下列方程正确的（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程和勾股定理的应用，根据题意，甲、乙的行走路径构成直角三角形，利用勾股定理列方程求解． 【详解】设相遇时间为x，则乙向东行步，甲向南行步后斜向东北行步与乙相遇． ∵ 甲向南行步（直角边），乙向东行步（直角边），甲斜向行步（斜边）， ∴ 由勾股定理，得． 故选：A． 54．在物理中，沿着一条直线且速度均匀增大或减小的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，例如，在一个时段内，初速度为20米/秒，末速度为30米/秒，则这个时间段的平均速度为米/秒．运动路程等于时间与平均速度的乘积（即）．若一个小球以10米/秒的初速度沿平滑的直线向前滚动，并且均匀减速，小球的滚动速度平均每秒减少2米/秒，小球滚动24米用了______秒． 【答案】4 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设小球滚动24米用了x秒，则末速度为米/秒，利用路程平均速度运动时间，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设小球滚动24米用了x秒，则末速度为米/秒， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去， 小球滚动24米用了4秒． 故答案为：． 55．一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止滚动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动用了多少秒（结果保留根号）？ （提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．） 【答案】(1)小球的滚动速度平均每秒减少； (2)小球滚动到用了秒． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）从滚动到停下平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间； （2）利用等量关系：速度×时间＝路程，时间为，根据题意列出方程：求解即可． 【详解】（1）解：从滚动到停下平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间， 即， 故小球的滚动速度平均每秒减少； （2）解：设小球滚动到用了， 即， 解得（舍），． 答：小球滚动到用了秒． 56．一敌方军舰以20海里/时的速度由西向东航行，我方侦察船以30海里/时的速度由北向南航行，它能侦察出周围50海里（包括50海里）范围内的目标．如图所示，当该敌方军舰航行至处时，我方侦察船正位于处正北方向的处，且海里．若敌方军舰和我方侦察船仍按原速度沿原方向继续航行，那么航行途中我方侦察船最早何时能侦察到敌方军舰？ 【答案】最早再过2小时能侦察到． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是能找出军舰和侦察船的距离关系，利用勾股定理正确列出一元二次方程． 设侦察船由B出发到侦察到这艘军舰经过的时间是x小时，由题中信息可以知道军舰和侦察船的行驶方向互相垂直，所以军船和侦察船的距离和时间的关系式是：时侦察船可侦察到这艘军舰，解即可求时间x． 【详解】解：能．设侦察船最早由B出发经过x小时侦察到军舰， 则， 得：， 整理得， 即， ∴， ∴， 即当经过2小时至小时时，侦察船能侦察到这艘军舰． ∴最早再过2小时能侦察到． 题型十五 动态几何问题 题型十六 一元二次方程的新定义问题 57．如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，从点开始沿边向点以的速度移动，（其中一点到终点，另一点也随之停止）如果点、分别从、同时出发． (1)几秒钟后，是等腰三角形？ (2)几秒钟后，的面积等于？ 【答案】(1)秒 (2)秒或秒 【分析】（1）设运动时间为秒，用含的式子表示、的长度，根据两直角边相等列方程求解； （2）设运动时间为秒，用含的式子表示、的长度，根据直角三角形面积公式列方程求解，得到符合条件的时间． 【详解】（1）解：设经过秒后，是等腰三角形， 根据题意可得，，、两点到达终点均需秒， ， ，解得秒． （2）解：设经过秒后，的面积等于， 根据题意可得，，、两点到达终点均需秒， ， 的面积为， ， 解得，， 故经过或秒后，的面积等于． 58．如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边AB向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以的速度移动，如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为xs． (1)用含x的式子表示：______cm，______，______； (2)当的面积为时，求运动时间； (3)四边形APQC的面积能否等于？若能，求出运动的时间；若不能，说明理由． (4)①阅读材料：求代数式的最小值．解：．因为，所以，所以的最小值是2． ②解决问题：运动时间x为何值时，四边形APQC的面积最小？ 【答案】(1)；； (2)或 (3)四边形的面积不能等于，理由见解析 (4)运动时间时，四边形APQC的面积最小 【分析】（1）根据从点开始沿边向点以的速度移动，则，根据，则；根据动点从点开始沿边向点以的速度移动，则；再根据，得，，即可； （2）根据，求出，即可； （3）根据，求出；再根据，即可； （4）将四边形面积变形得，根据即可求解． 【详解】（1）解：∵从点开始沿边向点以的速度移动， ∴， ∵， ∴， ∵动点从点开始沿边向点以的速度移动， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴； （2）解：由（1）得， ∴当的面积为时， ∴， ∴，， ∴当的面积为时，求运动时间为：或． （3）解：由（1）得，， 当四边形的面积等于，， ∴，（舍）， ∵， ∴， ∴四边形的面积不能等于； （4）解：②， ∵， ∴， ∴运动时间时，四边形APQC的面积最小． 59．已知在中，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从开始沿边向点以的速度移动，若一动点运动到终点，则另一个也随之停止． (1)如果、分别从、两点同时出发，那么几秒后，的面积等于？ (2)在（1）中，的面积能否等于？说明理由． 【答案】(1)1秒后的面积等于 (2)不能等于 【分析】（1）设经过x秒钟，的面积等于，根据题意表示出和的长，然后列方程求解； （2）根据（1）的方法列出方程，通过根的判别式即可判定能否达到． 【详解】（1）解：设经过x秒以后面积为， 依题意，，， 则， 整理得：， 解得：，（舍去）， 答：1秒后的面积等于； （2）解：的面积不能等于，理由如下∶ 设经过t秒以后面积为， 则， 整理得：， ， ∴此方程无解， ∴的面积不能等于． 60．如图，在长方形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果、分别从、同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为秒． (1)填空： ， ．（用含的代数式表示） (2)当五边形的面积等于时，求此时的值． (3)是否存在的值，使线段的长度最小，若存在，请求出此时的值和最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当五边形的面积等于104cm2时，此时的值为1 (3)存在，当时，线段的长度最小，最小值为 【分析】（1）根据P、Q两点的运动速度可得、的长度； （2）根据五边形的面积等于，代入相应数据解方程即可； （3）根据勾股定理求得，再根据配方法，求得最小值，即可求解． 【详解】（1）解：∵点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动， ∴； ∵P从点A开始沿边向终点B以的速度移动， ∴， ∵， ∴， （2）解：， ， ，， ， 整理得：， 解得：， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意； ∴当五边形的面积等于104cm2时，此时的值为1． （3）解：， ∵， ∴， ∴当时，线段的长度最小，此时． 题型十六 一元二次方程的新定义问题 61．对于实数，定义新运算：，例如：．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的值可以是（    ） A． B． C． D．0 【答案】D 【分析】根据新运算定义整理得到关于x的一元二次方程，利用一元二次方程根的判别式求出m的取值范围，再选出符合条件的选项即可． 【详解】解：由新运算定义可得， 因此方程可化为， 整理得， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式， 化简得， 解得， 观察选项，仅有D选项的满足． 62．对于实数，，定义运算“”：，关于的方程有两个不相等的实数根，的取值范围是__________． 【答案】 【分析】先根据新定义的运算规则，将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再根据一元二次方程根的判别式，结合方程有两个不相等的实数根得到判别式大于0，解不等式即可得到t的取值范围. 【详解】解：根据定义运算， 将，代入得： ， 展开并整理得：， 该一元二次方程有两个不相等的实数根， 根的判别式， 其中，，， ， 计算得：， ， 解得. 63．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a、b、c均不为0．请根据此定义解决下列问题： (1)方程的倒方程是 ； (2)若是的倒方程的解，求出c的值． (3)若m，n是一元二次方程的倒方程的两个不相等的实数根，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解法和倒方程的定义是解题的关键． （1）根据新定义的含义可得答案； （2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入即可得到的值； （3）根据题意得到方程的倒方程为，再结合方程根与系数的关系进一步解答即可． 【详解】（1）解：方程的倒方程是； 故答案为：； （2）解：由题意得：方程的倒方程为， 把代入方程得 ：， ∴； （3）解：由题意得：方程的倒方程为， ∵m，n是方程的两个不相等的实数根， ∴， ， ∴ ∴ ． 64．定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同一根方程”．例如和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同一根方程”． (1)根据以上定义，下列方程属于“同一根方程”的是__________；（填序号） ①；②；③． (2)若关于的一元二次方程．与为“同一根方程”，求的值； (3)若关于的一元二次方程同时满足和，且与为“同一根方程”，求的值． 【答案】(1)①③ (2)1或 (3)1或 【分析】本题考查了一元二次方程的解、因式分解法解一元二次方程，新定义“同一根方程”． （1）分别求出三个方程的解，根据“同一根方程”的定义进行判断即可； （2）先求出一元二次方程的解，，根据一元二次方程与为“同一根方程”，分情况求解即可； （3）一元二次方程（）同时满足和，可知方程的解为，，分情况求出值即可． 【详解】（1）解：解方程， 可得：，； 解方程， ∴ 可得：，； 解方程， 可得：，； 其中方程和方程有且只有一个相同的实数根， 方程是“同一根方程”； （2）解：解方程， 可得：，， 当相同的根是时， 把代入方程， 可得：， 解得：； 此时方程为，可得：，，符合题意； 当相同的根是时， 把代入方程， 可得：， 解得：， 此时方程为，可得：，，符合题意； 的值是或； （3）解：关于x的一元二次方程同时满足和， 方程的解是，， 方程的解为，， 方程与方程是“同一根方程”， 或， 当时，两方程的根分别为和，只有一个相同实数根1，符合题意； 当时，两方程的根分别为和，只有一个相同实数根，符合题意。 基础巩固通关测 1．（25-26八年级下·北京·阶段练习）一元二次方程的实数根是（    ） A． B． C．， D． 【答案】D 【分析】先将原一元二次方程整理为一般形式，再利用一元二次方程求根公式求解即可． 【详解】解：， ， 判别式 ， ∴代入求根公式得 ∴，即选项D符合题意． 2．（25-26九年级下·北京·期中）将一元二次方程配方后，可化为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的配方的步骤，结合完全平方公式整理即可得到结果． 【详解】解：∵原方程为 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 3．（2026·北京顺义·一模）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数c的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】当一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式，据此列方程求解即可． 【详解】解：对于一元二次方程 ， ∵方程有两个相等的实数根， ∴， 整理得 ， 解得 ． 4．（25-26八年级下·山东·阶段练习）《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出尺；竖放，竿比门高长出尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？设门对角线的长为尺，下列方程符合题意的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得：门高尺、宽尺，门对角线的长为尺，根据勾股定理列方程即可． 【详解】解：门对角线的长为尺， 门高尺、宽尺， 根据勾股定理可得：． 5．（25-26九年级上·云南昭通·期末）已知是方程的一个根，则代数式的值为（    ） A．2026 B．2025 C．2024 D．0 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的定义和代数式求值. 由方程根的性质得出的值，再整体代入代数式求解，即可解题． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， 即， ∴． 故选：A． 6．（25-26九年级上·河北唐山·期末）用公式法解关于的一元二次方程，得，则该一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的求根公式与方程的对应关系，将题目给出的根的表达式与求根公式对比，确定、、的值，从而得到原方程． 【详解】解：一元二次方程的一般形式为()，其求根公式为． 题目中给出的根的表达式为，与求根公式对比可得： ，故； ，故； ，故． 因此，该一元二次方程为； 故选：C． 7．（25-26九年级下·北京·期中）写出一个有两个互为相反数的实数根的方程，这个方程是______． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】根据题意，设出两个互为相反数的实数根，构造一元二次方程，要求满足两根之和为． 【详解】解：设该一元二次方程的两个根分别为和． 由因式分解法可得方程： 展开得： 取，得满足条件的方程为． 8．（25-26八年级下·北京·期中）若是关于的方程的根，则的值为_____． 【答案】 【分析】把代入方程得，然后把等式两边除以可得到的值． 【详解】解：把代入方程得， ， ， 即． 9．（25-26九年级下·北京西城·月考）关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，根的判别式大于零，据此列不等式求解即可． 【详解】解：因为一元二次方程，有两个不相等的实数根， 所以， 即 解得． 10．（25-26九年级下·北京·阶段检测）在某云平台的一次网络安全事件中，最初有5台服务器感染了病毒．经过两轮感染后，共有245台服务器感染了病毒，则每轮感染中平均每台服务器感染___________台服务器． 【答案】6 【分析】设每轮传播中平均一台服务器会感染x台服务器，由经过两轮感染后共有245台服务器感染了病毒，建立方程求出其解即可． 【详解】解：设每轮中平均每台服务器感染服务器的台数为x，根据题意可得： ， 解得，（舍）， ∴每轮感染中平均每台服务器感染6台服务器． 11．（25-26九年级上·江西赣州·期末）有一块矩形红色研学场地，如图，该场地长，宽，工作人员要在场内修筑同样宽的参观通道（图中阴影部分），余下部分作为研学体验区，且使体验区的面积为，若设通道的宽为，那么可列方程为______． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，关键是利用平移求面积．通过平移可得体验区为矩形，长为，宽为，再根据面积的等量关系列出方程，最后化为一般形式即可． 【详解】解：由题意得，， 整理得，． 故答案为：． 12．（25-26九年级上·湖南长沙·期末）已知一元二次方程的两根分别为，，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，分式的加法运算． 由根与系数的关系可求得和的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根分别为，， ∴，， ∴， 故答案为：． 13．（25-26八年级下·全国·阶段练习）设，是方程的两个根，则________． 【答案】10 【分析】利用方程根的定义，将根代入方程得到关于和的等式，再对所求代数式进行整体代换，最后结合韦达定理完成计算． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， 因此． 同理，也是方程的根， ∴． 因此． 于是，． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义和整体代入思想，解题关键是利用根的定义对代数式进行降次与代换，避免直接求解方程根的复杂计算． 14．（25-26九年级上·内蒙古通辽·期末）被称为“代数符号之父”的韦达在研究一元二次方程的解法时，他发现了一元二次方程的根与系数之间存在特殊关系．对于一元二次方程，它的两根，与系数有如下关系：，，人们把这个关系称为韦达定理． 请运用韦达定理解决问题：已知和是关于的方程的两个根，则的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解及根与系数的关系，熟练掌握韦达定理是解题关键．根据为一元二次方程的根得出，利用根与系数的关系得到两根之和为，将化简后，整体代入，求值即可． 【详解】解：∵和是关于的方程的两个根， ∴，， ∴， ∴， ． 故答案为： 15．（25-26八年级下·北京·期中）解下列一元二次方程 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)，； (2)，； (3)，． 【分析】（1）利用因式分解法求解一元二次方程即可； （2）利用直接开平方法求解一元二次方程即可； （3）利用公式法求解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， 解得，； （2）解：， ， ∴，， 解得，； （3）解：， ，，, ， ∴， 解得，． 16．（25-26八年级下·北京·阶段练习）用十字相乘法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】利用十字相乘法进行因式分解求解方程． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， 解得：，． （2）解：， ∴， ∴或， ∴，． （3）解：∵， ∴， ∴或， ∴，． （4）解：∵， ∴， ∴或， ∴，． 17．（25-26九年级上·河北唐山·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)若该方程有一个根为，求方程的另一个根； (2)若该方程有两个相等的实数根，求m的值． 【答案】(1)该方程的另一个根为 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，已知一元二次方程的根的情况求参数，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合两根之和，进行列式计算，即可作答． （2）根据该方程有两个相等的实数根，得，解得，即可作答． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程，且方程的一个根为， ∴另一个根， ∴另一个根为， （2）解：∵关于x的一元二次方程，且该方程有两个相等的实数根， ∴， 解得． 18．（25-26八年级上·北京·月考）某单位开展“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动，第一天收到捐款3000元，第三天收到捐款4320元，如果每天收到的捐款额与前一天相比增长率均相同，求捐款额每天的增长率． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用—增长率问题，准确分析列方程计算是解题的关键． 根据增长率公式，列方程计算即可． 【详解】根据题意可得：， ， ， 解得：或（舍去）； 每天的增长率为． 19．（24-25九年级上·北京丰台·期末）造纸术、印刷术、指南针和火药是中国古代四大发明．这些发明对人类文明发展产生了深远的影响．某校科技节活动中，计划在如图所示的长，宽的展板上展出介绍四大发明的海报，每幅海报面积均为，若展板外沿与海报之间、相邻海报之间均贴有宽度为的彩色纸带，求彩色纸带的宽度． 【答案】 【分析】本题考查了根据矩形的面积公式的列一元二次方程解决实际问题的运用及一元二次方程解法的运用．解答时检验根是否符合题意是容易被忽略的地方． 设彩色纸带的宽为，根据题目条件由面积公式列出方程，求出其解就可以． 【详解】解：设彩色纸带的宽为， 根据题意，得， 解方程，得，（不合题意，舍去)． 答：彩色纸带的宽为． 20．（25-26八年级下·北京·阶段练习）阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程化为．解得． 当时，．∴．∴； 当时，，∴，∴． ∴原方程的解为，，，． 解方程：． 【答案】， 【分析】将视为一个整体，然后设，则原方程化为．求得方程的解，进一步分析探讨得出答案即可． 【详解】解：， 设，则原方程化为． 解得， 当时，．解得： ； 当时，，此方程无解． 因此原方程的解为，． 能力提升进阶练 21．（25-26八年级下·北京·期中）若关于的一元二次方程有一解为，则一元二次方程必有一解为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将所求方程整理变形，使其与原方程结构一致，通过换元利用已知方程的解求解即可. 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一解为 ∴ 整理所求方程 移项得 提取公因式得 令，则方程变为，与原方程结构完全相同，故该方程的一个解为 即 解得 因此所求方程必有一解为 22．（25-26九年级下·北京·月考）若关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值可能是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】一元二次方程有两个不相等的实数根时，判别式，据此求出k的取值范围，即可判断选项． 【详解】解：∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴该方程是一元二次方程，即，且判别式， ， 解得：， ∴k的取值范围是且，选项中只有符合该范围． 23．（2026·北京门头沟·二模）若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】由根的判别式结合一元二次方程的定义列式计算即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， ，且， 且． 24．（25-26九年级上·湖北随州·期末）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（   ）． A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式的应用，牢记一元二次方程的定义和判别式与根的关系是解题关键． 先根据一元二次方程的定义和根的判别式确定且，计算求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， ∵，，， ， ∵， ∴，解得：， 综上且． 故选：D． 25．（25-26九年级上·山东德州·期末）若是方程的一个根，则的值为（    ） A．2025 B． C．2026 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的根，以及代数式求值，利用方程根的性质，将、表示出来，然后代入表达式化简计算，即可解题． 【详解】解：∵ a是方程的根， ∴，即， ∴， ∴． 故选：A． 26．（25-26九年级上·河北石家庄·期末）已知是方程的两个实数根．若，求（    ） A．3 B． C．4 D．0 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，由根与系数的关系，将条件转化为关于a的方程求解即可． 【详解】解：∵方程是， ∴设，，， 则，， ∴， 代入，， 得， 给定， ∴， 解得， ∴， 当时，方程为，其根的判别式，满足题意 此时，方程确为二次方程，符合条件． 故选：D． 27．（25-26九年级上·广东广州·期末）形如的方程，可以按如下方法求它的正数解：如图1，用4个长和宽分别为和的矩形，围成一个边长为的大正方形（四个矩形彼此不重叠）．得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．羊羊同学按此方法解关于的方程时，构造出如图2所示图形，得到该方程的正数解为，则图2所示的大正方形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查配方法的几何意义与方程求解，先利用方程的解求出参数的值，再根据几何构造的面积关系求出大正方形的面积． 【详解】解：将方程的正数解代入方程，得， 展开化简：，解得． 根据图2的构造，大正方形的边长为， 代入、，得边长为， 因此大正方形的面积为； 故选：D． 28．（25-26九年级上·广东揭阳·期末）已知是一元二次方程的一个根，则的值为____________． 【答案】3 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，整式的化简求值，利用 m 是方程的根，得到 ，再根据多项式乘以多项式的运算法则把所求式子展开为，据此求解即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：3． 29．（25-26九年级上·四川凉山·期末）若m、n是两个不相等的实数，且满足，，则代数式的值为______． 【答案】6 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键，由题可得m、n是的两个根，整理得到，从而得到，的值，代入即可得到答案． 【详解】解：∵m、n是两个不相等的实数，且满足，， ∴m、n是，即的两个根， 根据根与系数的关系，得，， ∴ ， 故答案为：6． 30．（2025九年级下·北京·专题练习）学生会举办摄影展览，在每张长和宽分别为厘米和厘米的长方形相片周围镶上一圈等宽的彩纸(如图)．经试验彩纸面积为相片面积的时较美观，则彩纸条的宽为_____． 【答案】厘米 【分析】本题考查一元二次方程在面积问题中的实际应用，关键是结合彩纸与相片面积的数量关系建立方程求解．首先设彩纸宽为厘米，分析得出镶彩纸后大长方形的长和宽；然后根据“彩纸面积=大长方形面积-相片面积”列出一元二次方程；最后解方程并舍去不符合实际的负根，得到彩纸的宽． 【详解】解：设彩纸条的宽为厘米． 镶上彩纸后，大长方形的长为厘米，宽为厘米，其面积为平方厘米； 由彩纸面积=大长方形面积-相片面积，可列方程： ， 化简整理得：， 因式分解得：， 解得：，(舍去)； 故答案为：厘米． 31．（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，在中，，，．动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动时间为，当为以或为底边的等腰三角形时，t的值是______． 【答案】或． 【分析】本题考查勾股定理和动点问题，设运动时间为，分别当为以或为底边的等腰三角形时，列方程解答即可． 【详解】解：设运动时间为， ， 当为以为底边的等腰三角形时，即， ∵，，， ∴， ∴，即， 解得：； 当为以为底边的等腰三角形时，即 ∴即 解得：或（舍去） ∴或． 32．（25-26八年级上·上海金山·月考）已知关于的一元二次方程有两个不相等的整数根和，且，如果是正整数，则的值为______________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，由一元二次方程根与系数的关系得出，，再根据整数，是正整数，可得出或，然后分情况求出c的值，再验证即可得出答案． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的整数根和， ∴， ∵， ∴， 即可得出：，， ∵整数，是正整数， ∴或， 根据题意可知：， 当时，则，， 把，代入， 解得：， 当时，，满足题意， 当时，则，， 把，代入， 解得：， 当时，，满足题意， 综上：或． 故答案为：或． 33．（2025九年级上·山东青岛·专题练习）如图，用长为34米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为20米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门（如图），所围成花圃面积为平方米；设花圃垂直于墙的边长为x米．则可列方程_______．（不用化简） 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，弄清题意、用表示出的长是解答本题的关键． 用篱笆的总长减去段垂直于墙的边长，然后加上两个门的长可表示出的长，然后再根据长方形面积公式列一元二次方程即可． 【详解】解：设花圃垂直于墙的边长为x米， 则， 根据题意可得， 故答案为：． 34．（25-26九年级上·四川成都·月考）若关于x的一元二次方程有两个实数根，且方程的两根满足，则m的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，一元二次方程根的判别式的意义，一元二次方程根与系数的关系．利用根与系数的关系得到，，代入条件得到关于的方程，解方程并检验判别式，确定的值. 【详解】解：由根与系数的关系，得，， 则， 所以，即， 解得或. 又因为方程有两个实数根，所以判别式，即. 当时，不成立，舍去； 当时，成立. 故. 故答案为：． 35．（18-19九年级上·福建福州·月考）解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型． （1）根据配方法即可求出答案； （2）根据因式分解法即可求出答案． 【详解】（1）解：（1）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，； （2）∵， ∴， ∴或， ∴，． 36．（25-26九年级上·湖北黄冈·月考）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根． (2)若方程的两实数根为满足，求k的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据方程的系数结合一元二次方程根的判别式，可得出，进而可证出方程总有两个实数根； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得出，代入得出方程解之即可． 【详解】（1）解：关于x的一元二次方程， ， ∴方程总有两个实数根． （2）解：∵方程的两实数根为， ， ， ， 解得：． 37．（25-26八年级下·北京·阶段练习）阅读下列材料： （1）将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项： ，． ②交叉相乘，验中间项：    ． ③横向写出两因式：． 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． （2）根据乘法原理：若，则或． 试用上述方法和原理解下列方程： ①； ②； ③； ④． 【答案】①，；②，；③，；④， 【分析】利用十字相乘法因式分解求解． 【详解】解：①， 因式分解得：， ∴或， 解得：，； ②， 因式分解得：， ∴或， 解得：，； ③， 因式分解得：， ∴或， 解得：，； ④， 因式分解得： ∴或 解得：，． 38．（25-26八年级下·北京·阶段练习）如图，在长方形中，，，点P以的速度从顶点A出发，沿折线向点C运动，同时点Q以的速度从顶点C出发，沿向点D运动，当其中一个动点到达终点时，另一点也随之停止运动． (1)两动点运动几秒时，四边形的面积是长方形面积的？ (2)是否存在某一时刻，使得点P与点Q之间的距离为？若存在，求出该时刻；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)秒 (2)存在，或 【分析】（1）要使四边形的面积是长方形面积的，此时点P应在上，才能构成四边形．根据路程速度时间，分别用t的代数式表示、的长，再根据梯形的面积公式列方程求解； （2）根据勾股定理列方程即可，注意分情况考虑． 【详解】（1）解：设两动点运动t秒，使四边形的面积是长方形面积的． 根据题意，得，，， 长方形的面积， ， ， 解得：， 所以，两动点运动秒时，四边形的面积是长方形面积的． （2）解：存在，理由如下： 设两动点经过t秒使得点P与点Q之间的距离为． 点P到达B时，；点P到达C时，，      ①当时，如图①，过点作于点， 四边形是长方形， ，， ， 由勾股定理得：， ， 解得：，； ②当时，如图②， ， 由勾股定理得：， ， ， 此时，此方程无解． 综上所述，当两点运动时间为或时，点P与点Q之间的距离为． 39．（25-26九年级上·黑龙江绥化·期末）设一元二次方程有两个根，，则方程可化为：，即，与原方程比较系数，可得到一元二次方程根与系数的关系：，．利用上式结论解题：已知关于x的一元二次方程有两个实数根，． (1)直接写出实数的取值范围_______； (2)是否存在实数，使得等式成立？如果存在，请求出的值，如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，掌握相关公式是解题的关键． （1）利用根的判别式建立不等式求解即可； （2）利用根与系数的关系建立等式进行解方程即可． 【详解】（1）解：在方程中，，，， ∴根的判别式为： ∵该方程有两个实数根， ∴，即， 解得． （2）解：∵， ∵，， ∴， 化简得， 解得或（不满足，舍去）， 故的值为． 40．（25-26九年级上·吉林白城·期末）如图，在矩形中，，．点从点出发，沿运动，速度为每秒个单位长度；点从点出发向点运动，速度为每秒个单位长度．、两点同时出发，当点运动到点时，两点同时停止运动，设点的运动时间为（秒）．连接、、． (1)点运动到点时，____________；当点运动到点时，的长度为____________． (2)当点在上时，用含的代数式表示的长． (3)当的面积为时，求的值． 【答案】(1)； (2) (3)的值为或 【分析】本题考查了矩形的性质，列代数式，一元二次方程的几何动点问题，一元一次方程的应用，三角形的面积等知识，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）点运动到点时，所走路程为，根据速度可得出的值；点从点出发向点运动，点回到中点，可直接求出． （2）结合动点的速度和方向进行列式表示的长，即可作答． （3）分三种情况讨论：点在上时，时，时，再逐个情况作图，结合动点的速度和方向进行列式表示，令，列方程求解即可． 【详解】（1）解：在矩形中，，， ， 点运动到点时，所走路程为， 点的速度为每秒个单位长度， （秒）， 点从点出发向点运动，速度为每秒个单位长度，， 当点运动到点时，（秒）， 此时点的运动路程为， 点从点出发，沿运动，速度为每秒个单位长度，，，， 此时点在边上，． 故答案为：，． （2）解：当点在时， ，， ，如图所示： 此时． （3）解：当点在上时，，如图所示： 则，，，， ， 令， 解得，（舍去）； 当点在时，，如图所示： 同理得， ， 令，解得； 当点在时，同时当点运动到点时，， 此时，如图所示： 同理得， ， 令，解得（舍去）； 综上所述，当的面积为时，则的值为或． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十六章 一元二次方程（复习讲义） 1.理解一元二次方程定义及一般形式，能准确识别各项系数； 2.掌握直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解方程； 3.会列一元二次方程解决实际问题，培养建模与运算能力。 知识点 重点归纳 常见易错点 一元二次方程的定义 一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． 判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 一元二次方程的一般形式 一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式 要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式 二、一元二次方程的解 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． 一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c=0（a≠0），ax22+bx2+c=0（a≠0） 解一元二次方程-直接开平方 形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． ①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 解一元二次方程-配方法 将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． ①用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小； ②用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值； 解一元二次方程-公式法 把（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式 用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 解一元二次方程-因式分解法 利用因式分解，将一元二次方程的二次三项式分解成两个一次因式的乘积，这种解法叫做因式分解法. ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 一元二次方程根与系数的关系 若一元二次方程的两个根分别为、，则方程的两个根与各系数a、b、c之间具有以下关系：. 1.已知方程的一个根，求方程的另一个根及待定系数 2.求与两个根有关的代数式的值 3.不解方程，判定根的符号 一元二次方程的应用 列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． 找不到等量关系 题型一 一元二次方程的相关概念 1．下列方程中，关于的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 2．下列方程是一元二次方程的是（ ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．若关于的方程是一元二次方程，则___________． 4．若关于的方程是一元二次方程，则的值为_____． 题型二 一元二次方程的一般式 5．将方程化成一般形式是____________ 6．将一元二次方程化为的形式，则___________． 7．将一元二次方程化成一般形式后，若二次项系数为1，则一次项系数是________． 8．将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它的二次项系数，一次项系数和常数项． (1)； (2)； (3)； (4)． 题型三 一元二次方程的求参问题 9．若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（） A． B．且 C． D．为任意实数 10．若关于的方程是一元二次方程，则的值为（    ） A．4 B．4 C．0 D．0或4 11．已知关于的方程是一元二次方程，则的值为_____． 12．若是关于的一元二次方程，则的取值范围是___________． 题型四 一元二次方程的估算 13．观察下列表格，可得出一元二次方程的一个近似解是（ ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 0.84 2.29 3.76 5.25 A． B． C． D． 14．根据所给的表格，估计一元二次方程 的一个近似解x，则x的整数部分是（   ） x 0 1 2 3 13 30 A．0 B．1 C．2 D．3 15．由下表估算一元二次方程的一个根的范围_______． 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 13 14.41 15.84 17.29 18.76 16．小贝在做“一块矩形铁片，面积为，长比宽多，求铁片的长”时是这样做的：设铁片的长为，列出的方程为，整理，得小贝列出方程后，想知道铁片的长到底是多少下面是它的探索过程： 第一步：           所以 第二步：                          所以 ． (1)请你帮小贝填完空格，完成她未完成的部分． (2)通过以上探索，可以估计出矩形铁片的长的整数部分为多少十分位为多少 题型五 解一元二次方程 17．解方程： (1)； (2)． 18．解方程： (1)； (2)． 19．解下列一元二次方程： (1)． (2)． 20．解下列一元二次方程： (1)； (2)． 题型六 配方法的应用 21．用配方法将方程化成的形式，则m，n的值是（    ） A．，9 B．3，9 C．，10 D．3，10 22．用配方法解一元二次方程时，可将原方程配方成，则的值是____． 23．将一元二次方程化成（、为常数）的形式，则的值为______． 24．定义：如果关于的一元二次方程有一个根是，那么我们称这个方程为“方程”．已知关于的一元二次方程是“方程”． (1)求的数量关系； (2)求代数式的最小值． 题型七 根据一元二次方程根的情况求参数 25．已知关于的一元二次方程． (1)若是该方程的两个实数根，且该方程有一个根是，求的值． (2)若该方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 26．已知一元二次方程有两个不相等的实数根，求k的最小整数值． 27．关于的一元二次方程的两个实数根分别为． (1)求的取值范围； (2)若，求和的值． 28．已知，是关于的一元二次方程的两实数根． (1)若，求的值； (2)已知等腰的一边长为7，若，恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长． 题型八 换元法解一元二次方程 29．当时，的值为（　　） A． B．1 C．1或 D．0 30．已知方程的解是或，则方程的解是（    ） A． B． C． D． 31．已知方程的解是，则方程的解是___________． 32．阅读下列例题的解答过程： 解方程：． 解：设，则原方程化为：， ，， ， ． 当时，，； 当时，，． 原方程的解为：． 请仿照上面的例题解决问题：若，求代数式的值． 题型九 一元二次方程根与系数的关系 33．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)已知方程的一个根为，求的值和它的另一个根． 34．已知关于的一元二次方程． (1)若该方程有两个实数根，求的取值范围． (2)若方程的两个实数根为，，且，求的值． 35．已知关于的一元二次方程． (1)若该方程有两个实数根，求的取值范围； (2)若该方程的两个实数根，满足，求的值． 36．已知关于的一元二次方程，其中为实数． (1)求证：该方程有两个不相等的实数根； (2)若该方程的一个根为，求另一个根； (3)若该方程的一个根大于，另一个根小于，求的取值范围． 题型十 传播问题 37．数学活动课上，同学们与智能体进行数字传播闯关游戏．智能体给出规则：游戏开始时有6名同学拥有通关密码，在每一轮传播中，每名拥有密码的同学都会传给相同数量的新同学，但每一轮传播结束后，都会随机有6名同学失去密码，不再参与下一轮传播．经过两轮完整传播后，场上共有114名同学持有通关密码．求每一轮传播中，1名同学传给多少名新同学． 38．有3人患了流感，经过两轮传染后共有300人患流感． (1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人； (2)若不及时控制，第三轮又将有多少人被传染？ 39．传染病就像隐藏的敌人，随时可能偷袭你，做好日常预防，爱护自己，至关重要．德尔塔（）是一种全球流行的新冠病毒变异毒株，其传染性极强．某地有人感染了德尔塔病毒，因为没有及时隔离治疗，经过两轮传染后，一共有人感染了德尔塔病毒．在每轮传染中，平均一个人传染了几个人？ 40．为了响应“践行核心价值观，传递青春正能量”的号召，小颖决定走入社区号召大家参加“传递正能量志愿服务者”，被号召参加的人（包括小颖）下一周会继续号召，已知每一个人每周能够号召个人参加． 甲说：“第一周结束后，包括小颖在内有人参加了‘传递正能量志愿服务者’．” 乙说：“第二周新参加‘传递正能量志愿服务者’的有人．” (1)______的说法正确（填“甲”“乙”或“甲和乙”）； (2)丙说：“两周后，包括小颖在内有120人参加了‘传递正能量志愿服务者’．”请你通过列方程分析丙的说法是否正确． 题型十一 增长率问题 41．坐落于苏州金鸡湖畔的“苏州之眼”摩天轮，是全球八大太空舱摩天轮之一、也是亚洲最大的水上摩天轮，为纪念其正式运营，某电商平台推出一款“苏州之眼”摩天轮模型纪念品，引发文旅消费热潮． (1)据统计，某电商平台2025年3月的销售量是3万件，2025年5月的销售量达到4.32万件．若月平均增长率相同，求月平均增长率； (2)苏州观前街某实体店“苏州之眼”摩天轮模型的进价为每件65元，若售价定为每件75元，每天可售出20件，市场调研发现，售价每降低1元，每天销量可增加5件，为配合“江南文化节”推广，商家决定降价促销，同时尽量减少库存．若使每天销售后获利240元，售价应降低多少元? 42．已知某山核桃种植合作社拥有山核桃林100亩．往年采用传统人工授粉，平均每亩的产量为100千克．今年，该合作社决定全面采用无人机辅助授粉新技术． (1)经过测算，若采用无人机授粉，核桃的亩产量将得到提升，假设亩产量的年平均增长率为，经过两年（即两次增长周期）的技术优化与推广，预计每亩产量将达到169千克．请根据题意，列出关于的一元二次方程，并求出年平均增长率． (2)在考虑成本与收益时，合作社发现：无人机授粉虽然提高了产量，但也增加了投入，已知当无人机授粉的作业面积不超过60亩时，作业面积的每亩净利润为3400元；若作业面积超过60亩，由于设备调度和花粉损耗增加，每增加1亩，所有作业面积的每亩净利润就会降低20元．若该合作社希望今年作业面积的总净利润为224000元．请问他们应该安排多少亩山核桃林进行无人机授粉？ 解：设他们应该安排亩山核桃林进行无人机授粉． ①当时，总净利润为：元元，不满足题意， 当时，总净利润为：_____（列方程）； ②求出他们应该安排多少亩山核桃林进行无人机授粉． 43．根据以下素材，完成任务． 素材一 文创小店推出定制纪念徽章，2月份售出40枚，4月份售出90枚，该徽章的月销售量呈持续增长趋势． 素材二 已知该徽章的单件进货成本为10元，小店制定批量购买规则：一次购买该徽章不超过60枚，按单件25元销售；若一次购买超过60枚，每多购买1枚，所购全部徽章的单件售价均降低0．2元，且单件售价不低于24元． 问题解决 问题解决： (1)任务一：求该纪念徽章2月份到4月份的月销售量的月平均增长率； (2)任务二：若顾客批量购买该徽章，小店恰好获利910元，求该顾客此次购买的徽章数量及对应的单件销售价． 44．随着“科技兴农，智慧农业”理念的普及，农业无人机正逐渐成为现代农业的重要装备． (1)某品牌农业无人机2026年1月份销售量为3千架．随着春耕备耕需求激增，该品牌无人机的销售量逐月递增，3月份的销售量达到4.32千架．求从1月份到3月份该品牌无人机销售量的月平均增长率． (2)某农业科技服务公司购进一批农业无人机进行出售，进价为1.5万元/架，出售一段时间后发现：当售价为2.5万元/架时，平均每周售出80架；售价每降低0.05万元，平均每周多售出1架，若该公司计划下调售价使平均每周的利润达到45万元．求下调后每架无人机的售价． 题型十二 图形问题 45．已知长方形的长和宽分别为． (1)当周长为时， ①请用含有的式子表示这个长方形的面积． ②当面积为时，求这个长方形的长和宽． (2)当周长为时，证明：当时，总能围成面积为的长方形． 46．小澜家有一块空地，空地上有一面长为10米的围墙，小澜打算利用围墙和木栏围一块长方形养蜂场，已知木栏总长为48米，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为2米的门，门不消耗木栏，设长为米． (1)如图1，当时， ①____米（用含的代数式表示）． ②若围成的养蜂场面积为92平方米，求的长． (2)如图2，当时，养蜂场的面积是否可以达到230平方米？并说明理由． 47．如图，用长为28米的篱笆围成一个矩形菜地，菜地一边靠墙，与墙平行的边上开一个宽度为2米的门；设，矩形的面积为． (1)若墙长度为15米，围成的菜地面积为100平方米，求出矩形菜地的长和宽． (2)若墙的长度足够长，在与墙平行的边上开一个宽度为2米的门，能否围成面积是120平米的菜地？请说明理由． 48．根据以下素材，探究完成任务： 制作长方体收纳盒 背景 某校数学项目化学习小组准备了一些长为，宽为的长方形硬纸板，准备利用纸板做长方体收纳盒（接缝处忽略不计） 方案甲 如图1所示，甲活动小组在长方形纸板的四个直角处裁掉四个边长均为的小正方形，再沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒，盒子的底面是矩形 方案乙 如图2所示，乙活动小组在长方形纸板的四个直角处裁掉四个长均为宽均为的小长方形，再沿虚线折成一个有盖的长方体收纳盒，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面是矩形 (1)任务一：请用含x的代数式表示：方案甲制作出的无盖收纳盒的底面长为 ，底面宽为 ． (2)任务二：若方案甲制作出的无盖收纳盒的底面积为，求裁去小正方形的边长x的值． (3)任务三：若方案乙制作出的有盖收纳盒的底面积为，请通过计算判断，图3中长为，宽为，厚度为的书本能否完全放入该收纳盒内． 题型十三 营销问题 49．交警部门提醒市民：“出门头盔戴，放心平安归”．某商店销售一批头盔，进价为每顶50元，售价为每顶78元，平均每周可售出200顶．商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于68元．经调查发现：每降价2元，平均每周可多售出40顶．设每顶头盔降价元，平均每周的销售量为顶． (1)每顶头盔降价元后，每顶头盔的利润是________元，销售量为________顶（用含的代数式表示）． (2)若该商店希望平均每周获得7200元的销售利润，则每顶头盔应降价多少？ 50．电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个．为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个． (1)降价5元时，日销量增加了多少个？ (2)当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 51．2026年4月5日是清明节，清明节前一周，铂航妈妈到超市购买了6个肉松青团和8个红豆青团，共付款54元，已知每个红豆青团比每个肉松青团贵1.5元． (1)求每个肉松青团和每个红豆青团各多少元． (2)为进一步提升青团的销量，超市将两种青团分别包装成，两种礼盒销售，两种礼盒每盒都有16个青团（包装成本忽略不计），礼盒中有个肉松青团，礼盒中有个红豆青团．包装后每个青团降价元，统计发现，，两种礼盒的销量分别为盒、盒，，两种礼盒的销售总额为4100元，求m的值． 52．错题本是同学们整理知识点，提升复习效率的好帮手．某校周边文具店销售的新款活页错题本深受学生喜爱．经销商统计了该款错题本3月份到5月份的销量：3月份销售125本，5月份销售180本． (1)求该款活页错题本3月至5月销售量的月平均增长率； (2)若该款错题本的进价为每本8元，经市场调研发现，当售价为每本12元，月销售量为200本，若在此基础上售价每本上涨0.5元，则月销售量将减少10本．为使月销售利润达到960元，现需适当涨价且尽可能让学生得到实惠，则该款错题本的实际售价应定为每本多少元？ 题型十四 行程问题 53．《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率五，乙行率二．乙东行，甲南行八步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．”大意是说：甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为5，乙的速度为2．乙一直往东走，甲先向南走8步（步是古代的长度单位），后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲乙各走了多少步？设甲乙二人从出发到相遇所用的时间是x，下列方程正确的（    ） A． B． C． D． 54．在物理中，沿着一条直线且速度均匀增大或减小的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，例如，在一个时段内，初速度为20米/秒，末速度为30米/秒，则这个时间段的平均速度为米/秒．运动路程等于时间与平均速度的乘积（即）．若一个小球以10米/秒的初速度沿平滑的直线向前滚动，并且均匀减速，小球的滚动速度平均每秒减少2米/秒，小球滚动24米用了______秒． 55．一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止滚动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动用了多少秒（结果保留根号）？ （提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．） 56．一敌方军舰以20海里/时的速度由西向东航行，我方侦察船以30海里/时的速度由北向南航行，它能侦察出周围50海里（包括50海里）范围内的目标．如图所示，当该敌方军舰航行至处时，我方侦察船正位于处正北方向的处，且海里．若敌方军舰和我方侦察船仍按原速度沿原方向继续航行，那么航行途中我方侦察船最早何时能侦察到敌方军舰？ 题型十五 动态几何问题 题型十六 一元二次方程的新定义问题 57．如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，从点开始沿边向点以的速度移动，（其中一点到终点，另一点也随之停止）如果点、分别从、同时出发． (1)几秒钟后，是等腰三角形？ (2)几秒钟后，的面积等于？ 58．如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边AB向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以的速度移动，如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为xs． (1)用含x的式子表示：______cm，______，______； (2)当的面积为时，求运动时间； (3)四边形APQC的面积能否等于？若能，求出运动的时间；若不能，说明理由． (4)①阅读材料：求代数式的最小值．解：．因为，所以，所以的最小值是2． ②解决问题：运动时间x为何值时，四边形APQC的面积最小？ 59．已知在中，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从开始沿边向点以的速度移动，若一动点运动到终点，则另一个也随之停止． (1)如果、分别从、两点同时出发，那么几秒后，的面积等于？ (2)在（1）中，的面积能否等于？说明理由． 60．如图，在长方形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果、分别从、同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为秒． (1)填空： ， ．（用含的代数式表示） (2)当五边形的面积等于时，求此时的值． (3)是否存在的值，使线段的长度最小，若存在，请求出此时的值和最小值，若不存在，请说明理由． 题型十六 一元二次方程的新定义问题 61．对于实数，定义新运算：，例如：．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的值可以是（    ） A． B． C． D．0 62．对于实数，，定义运算“”：，关于的方程有两个不相等的实数根，的取值范围是__________． 63．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a、b、c均不为0．请根据此定义解决下列问题： (1)方程的倒方程是 ； (2)若是的倒方程的解，求出c的值． (3)若m，n是一元二次方程的倒方程的两个不相等的实数根，求代数式的值． 64．定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同一根方程”．例如和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同一根方程”． (1)根据以上定义，下列方程属于“同一根方程”的是__________；（填序号） ①；②；③． (2)若关于的一元二次方程．与为“同一根方程”，求的值； (3)若关于的一元二次方程同时满足和，且与为“同一根方程”，求的值． 基础巩固通关测 1．（25-26八年级下·北京·阶段练习）一元二次方程的实数根是（    ） A． B． C．， D． 2．（25-26九年级下·北京·期中）将一元二次方程配方后，可化为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·北京顺义·一模）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数c的值为（    ） A． B． C． D．2 4．（25-26八年级下·山东·阶段练习）《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出尺；竖放，竿比门高长出尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？设门对角线的长为尺，下列方程符合题意的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·云南昭通·期末）已知是方程的一个根，则代数式的值为（    ） A．2026 B．2025 C．2024 D．0 6．（25-26九年级上·河北唐山·期末）用公式法解关于的一元二次方程，得，则该一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级下·北京·期中）写出一个有两个互为相反数的实数根的方程，这个方程是______． 8．（25-26八年级下·北京·期中）若是关于的方程的根，则的值为_____． 9．（25-26九年级下·北京西城·月考）关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______． 10．（25-26九年级下·北京·阶段检测）在某云平台的一次网络安全事件中，最初有5台服务器感染了病毒．经过两轮感染后，共有245台服务器感染了病毒，则每轮感染中平均每台服务器感染___________台服务器． 11．（25-26九年级上·江西赣州·期末）有一块矩形红色研学场地，如图，该场地长，宽，工作人员要在场内修筑同样宽的参观通道（图中阴影部分），余下部分作为研学体验区，且使体验区的面积为，若设通道的宽为，那么可列方程为______． 12．（25-26九年级上·湖南长沙·期末）已知一元二次方程的两根分别为，，则的值为___________． 13．（25-26八年级下·全国·阶段练习）设，是方程的两个根，则________． 14．（25-26九年级上·内蒙古通辽·期末）被称为“代数符号之父”的韦达在研究一元二次方程的解法时，他发现了一元二次方程的根与系数之间存在特殊关系．对于一元二次方程，它的两根，与系数有如下关系：，，人们把这个关系称为韦达定理． 请运用韦达定理解决问题：已知和是关于的方程的两个根，则的值为______． 15．（25-26八年级下·北京·期中）解下列一元二次方程 (1)； (2)； (3)． 16．（25-26八年级下·北京·阶段练习）用十字相乘法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 17．（25-26九年级上·河北唐山·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)若该方程有一个根为，求方程的另一个根； (2)若该方程有两个相等的实数根，求m的值． 18．（25-26八年级上·北京·月考）某单位开展“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动，第一天收到捐款3000元，第三天收到捐款4320元，如果每天收到的捐款额与前一天相比增长率均相同，求捐款额每天的增长率． 19．（24-25九年级上·北京丰台·期末）造纸术、印刷术、指南针和火药是中国古代四大发明．这些发明对人类文明发展产生了深远的影响．某校科技节活动中，计划在如图所示的长，宽的展板上展出介绍四大发明的海报，每幅海报面积均为，若展板外沿与海报之间、相邻海报之间均贴有宽度为的彩色纸带，求彩色纸带的宽度． 20．（25-26八年级下·北京·阶段练习）阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程化为．解得． 当时，．∴．∴； 当时，，∴，∴． ∴原方程的解为，，，． 解方程：． 能力提升进阶练 21．（25-26八年级下·北京·期中）若关于的一元二次方程有一解为，则一元二次方程必有一解为（    ） A． B． C． D． 22．（25-26九年级下·北京·月考）若关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值可能是（   ） A．0 B． C． D． 23．（2026·北京门头沟·二模）若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 24．（25-26九年级上·湖北随州·期末）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（   ）． A． B．且 C． D．且 25．（25-26九年级上·山东德州·期末）若是方程的一个根，则的值为（    ） A．2025 B． C．2026 D． 26．（25-26九年级上·河北石家庄·期末）已知是方程的两个实数根．若，求（    ） A．3 B． C．4 D．0 27．（25-26九年级上·广东广州·期末）形如的方程，可以按如下方法求它的正数解：如图1，用4个长和宽分别为和的矩形，围成一个边长为的大正方形（四个矩形彼此不重叠）．得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．羊羊同学按此方法解关于的方程时，构造出如图2所示图形，得到该方程的正数解为，则图2所示的大正方形的面积为（   ） A． B． C． D． 28．（25-26九年级上·广东揭阳·期末）已知是一元二次方程的一个根，则的值为____________． 29．（25-26九年级上·四川凉山·期末）若m、n是两个不相等的实数，且满足，，则代数式的值为______． 30．（2025九年级下·北京·专题练习）学生会举办摄影展览，在每张长和宽分别为厘米和厘米的长方形相片周围镶上一圈等宽的彩纸(如图)．经试验彩纸面积为相片面积的时较美观，则彩纸条的宽为_____． 31．（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，在中，，，．动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动时间为，当为以或为底边的等腰三角形时，t的值是______． 32．（25-26八年级上·上海金山·月考）已知关于的一元二次方程有两个不相等的整数根和，且，如果是正整数，则的值为______________． 33．（2025九年级上·山东青岛·专题练习）如图，用长为34米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为20米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门（如图），所围成花圃面积为平方米；设花圃垂直于墙的边长为x米．则可列方程_______．（不用化简） 34．（25-26九年级上·四川成都·月考）若关于x的一元二次方程有两个实数根，且方程的两根满足，则m的值为________． 35．（18-19九年级上·福建福州·月考）解下列方程： (1) (2) 36．（25-26九年级上·湖北黄冈·月考）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根． (2)若方程的两实数根为满足，求k的值． 37．（25-26八年级下·北京·阶段练习）阅读下列材料： （1）将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项： ，． ②交叉相乘，验中间项：    ． ③横向写出两因式：． 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． （2）根据乘法原理：若，则或． 试用上述方法和原理解下列方程： ①； ②； ③； ④． 38．（25-26八年级下·北京·阶段练习）如图，在长方形中，，，点P以的速度从顶点A出发，沿折线向点C运动，同时点Q以的速度从顶点C出发，沿向点D运动，当其中一个动点到达终点时，另一点也随之停止运动． (1)两动点运动几秒时，四边形的面积是长方形面积的？ (2)是否存在某一时刻，使得点P与点Q之间的距离为？若存在，求出该时刻；若不存在，请说明理由． 39．（25-26九年级上·黑龙江绥化·期末）设一元二次方程有两个根，，则方程可化为：，即，与原方程比较系数，可得到一元二次方程根与系数的关系：，．利用上式结论解题：已知关于x的一元二次方程有两个实数根，． (1)直接写出实数的取值范围_______； (2)是否存在实数，使得等式成立？如果存在，请求出的值，如果不存在，请说明理由． 40．（25-26九年级上·吉林白城·期末）如图，在矩形中，，．点从点出发，沿运动，速度为每秒个单位长度；点从点出发向点运动，速度为每秒个单位长度．、两点同时出发，当点运动到点时，两点同时停止运动，设点的运动时间为（秒）．连接、、． (1)点运动到点时，____________；当点运动到点时，的长度为____________． (2)当点在上时，用含的代数式表示的长． (3)当的面积为时，求的值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $