21.3.3正方形（4知识点+18题型+过关检测）同步培优讲义2025-2026学年八年级数学下册（人教版）

21.3.3正方形 （4知识点+18题型+过关检测） 【题型1 正方形性质理解】 2 【题型2 根据正方形的性质求角度】 3 【题型3 根据正方形的性质求线段长】 4 【题型4 根据正方形的性质求面积】 6 【题型5 正方形折叠问题】 7 【题型6 求正方形重叠部分面积】 8 【题型7 根据正方形的性质证明】 10 【题型8 正方形的判定定理理解】 12 【题型9 添一个条件使四边形是正方形】 13 【题型10 证明四边形是正方形】 14 【题型11 根据正方形的性质与判定求角度】 15 【题型12 根据正方形的性质与判定求线段长】 17 【题型13 根据正方形的性质与判定求面积】 18 【题型14 根据正方形的性质与判定证明】 20 【题型15 中点四边形】 21 【题型16（特殊）平行四边形的动点问题】 23 【题型17 四边形中的线段最值问题】 24 【题型18 四边形其他综合问题】 26 1.知识理解：理解正方形的定义，明确正方形与平行四边形、矩形、菱形的从属关系，掌握正方形的本质特征，知晓正方形是特殊的矩形、特殊的菱形、特殊的平行四边形。 2. 技能掌握：熟练掌握正方形的性质定理、判定定理，能准确区分性质与判定的适用场景，可独立完成正方形相关角度、线段、面积的计算及几何证明题。 3. 能力提升：掌握正方形折叠、重叠、中点四边形、动点、最值等综合题型的解题方法，培养数形结合、分类讨论、转化推理的数学思维，提升几何综合解题能力。 4. 素养培养：理解特殊平行四边形的演变逻辑，能灵活运用四边形知识解决复杂综合问题，适配中考基础题、中档题及简单压轴题型。03 知识•梳理 知识点1：正方形的定义 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 核心解读：正方形需同时满足三个条件，缺一不可：①是平行四边形；②一组邻边相等（菱形特征）；③有一个内角为直角（矩形特征）。 知识点2：正方形的性质（兼具平行四边形、矩形、菱形所有性质） 1. 边的性质 四条边全部相等，对边平行，邻边互相垂直。 2. 角的性质 四个内角均为90°，内角和为360°，邻角互补，对角相等。 3. 对角线性质 对角线互相垂直、互相平分、长度相等；每条对角线平分一组对角（平分后角度为45°）；正方形对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形。 4. 对称性 轴对称图形，有4条对称轴（两条对角线、两组对边中点连线）；中心对称图形，对称中心为对角线交点。 5. 面积与周长公式 周长：（为边长）；面积：（边长平方）、（为对角线长）。 知识点3：正方形的判定定理 1. 定义法（通用判定） 一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。 2. 基于矩形判定 ① 一组邻边相等的矩形是正方形；② 对角线互相垂直的矩形是正方形。 3. 基于菱形判定 ① 有一个角是直角的菱形是正方形；② 对角线相等的菱形是正方形。 4. 直接判定（任意四边形） ① 四条边相等且四个角都是直角的四边形是正方形；② 对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形。 知识点4：特殊拓展知识点 1. 中点四边形 任意四边形的中点四边形为平行四边形；矩形的中点四边形是菱形；菱形的中点四边形是矩形；正方形的中点四边形仍是正方形；对角线垂直且相等的四边形，中点四边形为正方形。 2. 正方形核心隐含结论 正方形内任意一点到四条边的距离之和等于边长；对角线与边的夹角恒为45°；折叠问题中，折叠前后对应边、对应角相等，对称轴垂直平分对应点连线。 04 题型•汇总 【题型1 正方形性质理解】 考查核心：辨析正方形的边、角、对角线、对称性性质，区分正方形与矩形、菱形、平行四边形的异同。 解题思路：1. 牢记正方形兼具三类特殊四边形所有性质，且独有“四边相等、四角90°、对角线垂直且相等、4条对称轴”；2. 排除法做题：矩形无邻边相等、对角线不垂直；菱形无内角直角、对角线不相等，据此区分易错选项；3. 熟记正方形独有特征，快速判断命题正误。 【典例1】．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（   ） A．对角线相等 B．对角线互相垂直平分 C．对角线平分一组对角 D．四条边相等 【变式1】．下面选项中，最能全面概括正方形对角线性质的是（   ） A．互相平分 B．相等 C．互相垂直 D．相等，且互相垂直平分 【变式2】．下列说法正确的是（    ） A．菱形的四个内角都相等 B．矩形的对角线相互垂直 C．正方形的每一条对角线平分一组对角 D．平行四边形是轴对称图形 【变式3】．平行四边形、矩形、菱形、正方形的包含关系可用图表示，则图中阴影部分表示的图形是（　　） A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．平行四边形 【题型2 根据正方形的性质求角度】 考查核心：利用直角、45°角、对角线平分角、三角形内角和求未知角度。 解题思路：1. 基础依据：正方形内角90°，对角线分角为45°；2. 结合等腰直角三角形、对顶角、余角、补角性质推导；3. 复杂图形标注已知角，通过三角形全等、平行线性质转化角度，逐步推导未知角度。 【典例2】．如图，点是正方形内一点，连接．若是等边三角形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，在正方形中，以点A为圆心，的长为半径画弧，再以点D为圆心，的长为半径画弧，交于点E，作射线交于点F，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，在正方形中，E为上一点．若，则________． 【变式3】．如图，四边形是正方形，以为边在正方形内部作等边，连接，则______． 【题型3 根据正方形的性质求线段长】 考查核心：利用边长相等、对角线公式、勾股定理求边长、对角线、线段差值/和值。 解题思路：1. 已知边长，直接得四边长度，通过勾股定理求对角线；2. 已知对角线，反推边长；3. 图形中零散线段，结合全等三角形、等腰直角三角形性质转化线段，再计算长度。 【典例3】．如图，在边长为6的正方形中，E，F分别为边，的中点，连接，，点G，H分别为，的中点，连接，则的长为（    ）． A． B． C． D．3 【变式1】．如图，在边长为2的正方形中，按如下步骤作图： ①分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于两侧，过两交点作直线，分别交，于点，；②连接，以为圆心，适当长为半径作弧，分别与，交于两点；再分别以这两点为圆心，适当长为半径作弧，两弧交于内一点，过与该交点作射线，交于点；③过点作于点．根据以上作图，线段的长为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，在正方形中，．E、F分别为边的中点，连接点N、M分别为的中点，连接，则______，______． 【变式3】．如图，已知正方形的对角线交于点，过点作，分别交、于、，若，，则等于________． 【题型4 根据正方形的性质求面积】 考查核心：灵活运用两种面积公式，结合线段条件求面积。 解题思路：1. 已知边长：直接用；2. 已知对角线：直接用；3. 无直接条件时，先通过勾股定理、线段关系求出边长或对角线，再代入公式计算；4. 不规则阴影面积，用整体减空白、割补法求解。 【典例4】．如图，正方形的对角线相交于点，点又是另一个正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长均为2，则两个正方形重叠部分的面积为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【变式1】．正方形的一条对角线长为4，则该正方形的面积是（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【变式2】．七巧板是我国广为流传的一种益智玩具，被誉为“东方魔板”．某同学用面积为的正方形纸板制作了一副七巧板，如图所示，它由个等腰直角三角形，个正方形和1个平行四边形组成，则图中阴影部分的面积为__________． 【变式3】．中国清代数学家李锐借助三个正方形用出入相补的方法证明了勾股定理，如图，已知正方形和正方形，D、C、E三点在一条直线上．现将其裁剪拼成不重叠无缝隙的大正方形．若正方形和正方形的面积之和为177，阴影部分的面积为165，则的长为_____． 【题型5 正方形折叠问题】 考查核心：折叠的全等性质结合正方形直角、等边特征计算证明。 解题思路：1. 核心原则：折叠前后图形全等，对应边相等、对应角相等、折叠对称轴垂直平分对应点连线；2. 设未知数：设未知线段长为x，利用正方形边长不变，结合勾股定理列方程求解线段长；3. 角度问题：利用折叠等角、正方形90°/45°角，结合三角形内角和推导；4. 优先锁定全等三角形、等腰直角三角形，简化计算。 【典例5】．如图，正方形中，是边上一点且，是的中点，将沿翻折得到，延长交边于点，作的平分线，交的延长线于点，若、、三点共线，则该正方形的边长为（   ） A．2 B． C． D． 【变式1】．如图，在正方形纸片中，对角线相交于点O，折叠正方形纸片，使落在上，点恰好与上的点重合，展开后，折痕分别交、于点、，连接，下列结论：①；②；③；④四边形是菱形；⑤，其中结论正确的是（   ） A．①④ B．②③④ C．①④⑤ D．①②④⑤ 【变式2】．如图，在矩形中，，，点，分别在边，上，沿着折叠矩形，使点，分别落在，处，且点在线段上（可与点，重合），过点作于点，连接．当与重合时，________；若四边形为正方形，则________． 【变式3】．在边长为6的正方形中，，分别是边、上的点，连接．将四边形沿翻折，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为点，连接．若为中点，则_______；若为上任意一点，则的最小值是_______． 【题型6 求正方形重叠部分面积】 考查核心：两个正方形相交重叠，利用全等、割补法求重叠面积。 解题思路：1. 常见模型：一个正方形顶点绕另一个正方形中心旋转重叠；2. 核心结论：正方形中心重叠区域面积恒为原正方形面积的（通用结论）；3. 非常规重叠：通过证明周围三角形全等，将不规则重叠区域转化为规则图形，或用总面积减空白面积求解。 【典例6】．如图，有大小不同的2个正方形A和B，当B的对角线交点与A的一个顶点重合时，重叠部分的面积是A的，那么当A的对角线交点与B的一个顶点重合时，重叠部分的面积是B的（  ） A． B． C． D． 【变式1】．已知正方形纸片和的面积分别为，．如图①，先将正方形纸片的顶点A放置在正方形纸片的对称中心O处，此时重叠部分的面积为；如图②，再将正方形纸片的顶点H放置在正方形纸片的对称中心处，此时重叠部分的面积为．若，则等于（    ） A． B． C．4 D．9 【变式2】．如图，将面积为2和8的两个小正方形放到一个面积为16的大正方形中，两个小正方形的重叠部分（阴影部分）面积为______． 【变式3】．现有①②③三种不同的矩形木板（边长如图（1）所示），取①②③木板各一块，按如图（2）所示的方式摆放（木板②③无重叠，无缝隙），则木板①没有被覆盖的面积为________；在图（2）摆放的基础上再放置一块木板②，如图（3）所示，则此时的木板①没有被覆盖的面积为________． 【题型7 根据正方形的性质证明】 考查核心：证明线段相等、线段垂直、角相等、三角形全等。 解题思路：1. 活用正方形基础性质：四边相等、四角90°、对角线相等垂直平分、45°角；2. 证明线段/角相等：优先证三角形全等（SAS、ASA、SSS、AAS）；3. 证明垂直：推导夹角为90°，或利用等腰三角形三线合一；4. 步骤规范：先列正方形性质条件，再推导全等或角度线段关系，最后得出结论。 【典例7】．如图，在正方形外取一点E，连接、、．过点A作的垂线交于点P．若，，则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】．如图，正方形中，E、F分别为、的中点，、交于点P，连接、．则下列结论中：①；②；③；④，⑤所有正确的结论是（只需填写序号）_____________． 【变式2】．某数学兴趣小组在课外活动中，对正方形内两条互相垂直的线段做了如下探究： (1)如图1，在正方形中，点，分别在边，上，且，易得．请证明； (2)如图2，在正方形中，点，，分别在边，，上，且．试判断与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，将边长为6的正方形沿折叠，使得点落在的中点处，点落在点处，直接写出的长． 【变式3】．综合与实践 【问题背景】小宁打算挑选一块正方形桌布装饰茶几．在非遗工坊，他被一块四边形壮锦吸引，便询问店员它的形状是否为正方形．店员向小宁展示：沿壮锦的一条对角线折叠，两边能完全重合，沿另一条对角线折叠，两边也能完全重合．小宁听后认为以上操作仍不能确定这块壮锦是否为正方形，店员随即拿出尺子，测量发现，这块壮锦的两条对角线相等，小宁随即买下． 根据以上信息，完成下面的解答： 【抽象建模】如图1，将壮锦抽象为四边形，对角线与相交于点O，先沿着折叠，点B与点D重合，再沿着折叠，点A与点C重合，； (1)请你判断：四边形______正方形（填写“是”或“不是”）； 【动手操作】如图2，在（1）的条件下，买下壮锦后为了进一步的装饰，小宁在边上取一点E，从点B到点E贴一条装饰带，他沿折叠壮锦，发现顶点A恰好落在对角线上的点F处，连接并延长，分别交装饰带于点G，交边于点H； (2)小宁观察到与的长度相等，请你帮小宁完成证明； 【拓展应用】 (3)如图3，在（2）的条件下，取的中点M，的中点N，连接，若，，请求出的长． 【题型8 正方形的判定定理理解】 考查核心：辨析判定定理正误，区分平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定条件。 解题思路：1. 明确判定层级：平行四边形→加直角变矩形、加邻边相等变菱形；矩形+邻边相等/对角线垂直=正方形；菱形+直角/对角线相等=正方形；2. 规避易错点：仅四边相等是菱形、仅四角直角是矩形，均不能判定正方形；3. 熟记判定口诀：矩形垂对角线、菱形等对角线、邻边等直角平行四边形，均为正方形。 【典例8】．下列说法正确的是（   ） A．对角线相等且互相平分的四边形是矩形 B．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 C．对角线互相垂直且平分的四边形是正方形 D．一组邻边相等的四边形是菱形 【变式1】．下列结论中：①两条对角线互相平分且相等的四边形是矩形；②两条对角线互相垂直的四边形是菱形；③顺次连接四边形各边中点所得的四边形是平行四边形；④对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；⑤平行四边形对角相等；⑥菱形每一条对角线平分一组对角．其中正确的结论是____________（填序号）． 【变式2】．如图， 是等腰直角三角形， ，点 、分别是 、上的一 动点，且满足 ，是 的中点． (1)求证：； (2)当点运动到什么位置时，四边形是正方形，并说明理由． 【变式3】．如图，在中，，，，点D从点C出发沿方向以的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒．过点D作于点F，连接、． 备用图 (1)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由； (2)四边形能够成为正方形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由． 【题型9 添一个条件使四边形是正方形】 考查核心：根据现有图形（平行四边形/矩形/菱形）补充唯一条件，判定正方形。 解题思路：1. 已知是平行四边形：补充“一组邻边相等且一个直角”（最简：邻边相等 或 对角线垂直+直角）；2. 已知是矩形：补充一组邻边相等 或 对角线互相垂直；3. 已知是菱形：补充一个内角为90° 或 对角线相等；4. 已知普通四边形：需补充对角线垂直且相等且平分（一般不考），优先结合题干图形层级补充条件。 【典例9】．小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（    ） A．（1）处可填 B．（2）处可填 C．（3）处可填 D．（4）处可填 【变式1】．已知在中，．添加一个条件，使得四边形为正方形．添加的条件可以为（    ） A． B．平分 C． D． 【变式2】．如图，矩形的对角线相交于点O，再添加一个条件，使得四边形是正方形，这个条件可以是_______（写出一个条件即可）． 【变式3】．如图，在中，点是上的任意一点（不与点、重合），过点平行于的直线分别与的外角的平分线交于点． (1)与相等吗？证明你的结论： (2)试确定点的位置，使四边形是矩形，并加以证明； (3)在（2）的条件下，满足什么条件，四边形是正方形？证明你的结论． 【题型10 证明四边形是正方形】 考查核心：完整书写正方形判定证明过程。 解题思路：1. 优选最简路径：先证平行四边形→再证矩形/菱形→最后补条件证正方形（三步走）；2. 路径1：证平行四边形+一个直角+一组邻边相等；3. 路径2：证矩形+对角线垂直/邻边相等；4. 路径3：证菱形+对角线相等/一个直角；5. 根据题干已知条件，选择步骤最少的判定方法，避免冗余证明。 【典例10】．如图，在矩形中，的角平分线交于点，于点，于点，与交于点． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求证；． 【变式1】．如图，在中，，点为其内一点，且，分别平分．若于点，于点，则四边形是正方形吗请说明理由． 【变式2】．如图，点、、、分别是、、、的中点． (1)判断四边形的形状，并证明你的结论． (2)当、满足__________条件时，四边形是正方形．（选出合适的序号）①；②；③ 【变式3】．如图，在中，，，D，E分别是边AB，BC的中点，F，G是边AC的三等分点，DF，EG的延长线相交于点H，连接HA，HC，BF，BG． (1)试判断四边形FBGH的形状，并说明理由． (2)求证：四边形ABCH是正方形． (3)若，则DF的长为________． 【题型11 根据正方形的性质与判定求角度】 考查核心：先判定正方形，再利用性质求角度。 解题思路：1. 先通过题干条件，证明四边形为正方形；2. 再套用正方形角度性质（90°、45°），结合三角形、平行线性质推导未知角；3. 复杂题型先判定图形形状，再转化角度关系，避免直接套用性质出错。 【典例11】．将矩形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在边上点F处，折痕为（如图1）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在上的点处，折痕为（如图2）；再展平纸片（如图3）．则图3中的度数是（　　） A． B． C． D． 【变式1】．如图所示，在矩形中，是上一点，交于点F，将沿折叠，点C恰好落在边上的点处，则的度数为________． 【变式2】．如图，已知在菱形中，点为对角线上一点，连结，过点作，与交于点，． (1)求证：； (2)求证：． 【变式3】．在菱形中，点E是对角线上一点，点F、G在直线上，且，． (1)如图1，求证：①；②； (2)如图2，当时，判断、、的数量关系，并说明理由； (3)如图3，当时，点F在线段上，判断、、的数量关系，并说明理由． 【题型12 根据正方形的性质与判定求线段长】 考查核心：判定正方形后，利用边长、对角线关系计算线段。 解题思路：1. 第一步：证明四边形是正方形，确定四边相等、对角线垂直相等；2. 第二步：结合勾股定理、全等三角形、线段和差关系，计算目标线段；3. 若为动态图形，先判定静态正方形特征，再代入线段公式求解。 【典例12】．如图，长方形的长与宽比值为，将点B沿折叠与点G重合，将点C沿折叠与点H重合，则长方形的长与宽的比值为（    ） A．2 B． C． D．3 【变式1】．如图，两个全等的等腰和等腰有公共斜边，且四边形的面积为36，为等边三角形，点在四边形内，在上有一点，使的和最小，则这个最小值为（   ）    A．5 B．6 C．7 D．8 【变式2】．如图，在矩形中，，，点是边上一点，连接，将沿折叠，使点落在点处．当为直角三角形时，______． 【变式3】．如图1，已知菱形和菱形的边长分别为，点在同一条直线上，点在边上，连接． (1)如图1，当时，连接，，．把四边形、和的面积分别记作，则①_____，_____（用含的代数式表示） ②请直接写出满足的关系式：_____； (2)如图2，当时，点是的中点，连接，．请判断的形状，并说明理由； (3)如图3，当时，点是的中点，连接，． ①用含的代数式表示；②连接，四边形可能成为平行四边形吗？若可能，请探究此时满足什么关系；若不可能，请说明理由． 【题型13 根据正方形的性质与判定求面积】 考查核心：判定正方形后，求解图形总面积、阴影面积。 解题思路：1. 先证四边形为正方形，确定边长或对角线长度；2. 代入正方形面积公式计算总面积；3. 不规则图形面积，结合割补法、整体减空白、全等转化法求解；4. 多个嵌套图形，逐个判定形状后分步计算。 【典例13】．如图，点为正方形的对角线的中点，在中，两直角边，分别交，于点，．若正方形的边长为，则重叠部分四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，点是矩形边上一点（）．且，过点作交于点，在上取点使，连结．记四边形面积为，四边形面积为，，若，则（   ） A．10 B．12 C．20 D．24 【变式2】．如图，正方形的对角线相交于点O，，．若，则四边形的面积是______． 【变式3】．如图1，已知平行四边形，点、分别为边上的动点，连接． (1)若，证明：平分； (2)如图2，若，，，求的面积； (3)如图3，在四边形中，，用表示四边形的面积． 【题型14 根据正方形的性质与判定证明】 考查核心：先判定正方形，再完成线段、角度、位置关系证明。 解题思路：1. 分两步证明：第一部分证明四边形为正方形，第二部分利用正方形性质推导结论；2. 灵活结合全等、相似、垂直、平行等几何知识；3. 逻辑闭环：条件→判定正方形→正方形性质→最终结论，步骤完整无漏洞。 【典例14】．如图，正方形的边长为，是对角线上一动点，于点，于点，连接，给出种情况：①若为上任意一点，则；②若为的中点，则四边形是正方形；③若，则；④若过点作正方形交边于，则．则其中正确的是（   ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【变式1】．如图，在正方形中，点是的中点，点是的中点，与相交于点，设．得到以下结论：①；②；③；④．则上述结论正确的是______． 【变式2】．，已知四边形为正方形，，为对角线上一点，连接，过点作，交射线于点，以，为邻边作矩形，连接． (1)的长为______，______； (2)求证：矩形是正方形； 【变式3】．如图，在正方形中，点是对角线的中点，点是线段上一动点（不与点重合）．连接，作交于点． (1)猜想与的数量关系，并证明； (2)连接，交于点，用等式表示线段，，的数量关系，并证明． 【题型15 中点四边形】 考查核心：各类四边形中点四边形的形状判定，重点是正方形相关中点四边形。 解题思路：1. 核心依据：三角形中位线定理（中位线平行且等于底边一半）；2. 形状判定关键：看原四边形对角线的关系（相等、垂直、平分）；3. 固定结论：对角线垂直且相等的四边形，中点四边形是正方形；正方形的中点四边形仍是正方形；4. 解题步骤：先判断原四边形对角线特征，再推导中点四边形的边、角特征，确定形状。 【典例15】．顺次连接矩形各边中点得到的四边形是（   ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【变式1】．如图，点，，，分别是四边形的各边中点，顺次连接、、、，当（   ）时，四边形是菱形． A． B． C． D．且 【变式2】．如图，在四边形中，、、、分别是边、、、中点，．有下列结论： ①连接，则有； ②若，则以、、、为顶点的四边形为正方形； ③连接，相交于点，则； ④若，则． 上述结论中，正确结论的序号有__________． 【变式3】．【猜想结论】如图1，在中，点、分别是边、的中点，可以根据度量或目测猜想结论：且. 【验证结论】 (1)如图2，是小丽同学所作的辅助线，延长至，使得，连接，根据所作的辅助线，求证：，且． 【应用结论】 (2)如图3，在四边形中，点、、、分别为边、、、的中点，顺次连接四边形各边中点得到新四边形，请利用上述结论和符号语言说明四边形是平行四边形． 【题型16（特殊）平行四边形的动点问题】 考查核心：正方形边上动点，探究线段、角度、图形形状变化。 解题思路：1. 定值问题：锁定不变量（正方形边长、角度、对角线关系），排除动点干扰；2. 最值/存在性问题：设动点运动时间/线段长度，用代数式表示动态线段；3. 结合勾股定理、全等三角形、二次函数性质求解；4. 分类讨论：动点在不同边上的不同情况，避免漏解。 【典例16】．如图，在四边形中，，动点P从点B出发，沿射线以每秒3个单位的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段上以每秒1个单位的速度向终点D运动，当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为（    ）秒． A．2或 B．或 C．或 D．2或 【变式1】．如图，在边长为的正方形中，为边上一点，且，点在边上以的速度由点向点运动；同时，点在边上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为，连接．当与全等时，的值为（　　） A．1 B．2 C．2或4 D．1或1.5 【变式2】．如图，在四边形中，，，，、分别从、两点同时出发，以的速度由向运动，以的速度由向运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止．经过_________秒，直线将四边形截出一个平行四边形． 【变式3】．如图，平面直角坐标系中，点为坐标原点，四边形为矩形，，．点是的中点，点在边上以每秒1个单位长的速度由点向点运动．设动点的运动时间为秒． (1)当四边形是平行四边形时，求的值； (2)在线段上是否存在一点，使得四边形为菱形？若存在，求当四边形为菱形时的值，并求出点的坐标：若不存在，请说明理由； (3)若点是平面内一点，且、、、四点为顶点的四边形构成菱形，则符合条件的的坐标有_____． 【题型17 四边形中的线段最值问题】 考查核心：正方形背景下线段最短、线段和差最值问题。 解题思路：1. 核心模型：将军饮马模型（对称转化求最短路径）；2. 正方形对称优势：利用正方形对称轴做对称点，将折线段转化为直线段；3. 线段最大值：利用三角形三边关系、直径最长等性质；4. 步骤：找对称点→转化线段→结合勾股定理计算最值长度。 【典例17】．如图，在中，，，以为一边向三角形外作正方形，正方形的中心为，则的长最大值等于（   ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，四边形为菱形，，两点的坐标分别是、，点，在坐标轴上，点在上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．如图在矩形中，，，点E是边的中点，点F是矩形左侧的一个动点，且，连接，线段的最大长度_____________． 【变式3】．如图1，在平面直角坐标系中，点、、、的坐标分别为、、、，连接和，点为线段上从左向右运动的点，以为边作菱形，其中点落在轴上． (1)则的长为______，的度数为______； (2)在点运动过程中，是否能使得四边形为正方形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图，当点运动到使菱形的顶点恰好在边上时，求出此时点F的坐标； (4)若点为射线上的动点，连接、，交于点，连接．在运动过程中，的最小值为______． 【题型18 四边形其他综合问题】 考查核心：正方形与全等、相似、直角三角形、折叠、旋转、动点结合的压轴综合题。 解题思路：1. 拆解题干：将综合题拆分为判定、计算、证明多个基础小问题；2. 巧用转化思想：旋转、折叠转化全等，动态问题转化静态几何关系；3. 数形结合：用字母表示线段，列方程求解未知量；4. 规范逻辑：先判定图形、再推线段角度、最后求解或证明，分层解题，逐步突破难点。 【典例8】．如图，在中，O为的中点，点E，M为同一边上任意两个不重合的动点（不与端点重合），的延长线分别与的另一边交于点F，N，连接，下面四个推断： ①；②；③若是菱形，则至少存在一个四边形是菱形；④对于任意的，存在无数个四边形是矩形；其中所有正确的有（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【变式1】．如图1是七巧板图案，现将它剪拼成一个“台灯”造型（如图2），过该造型的上下左侧五点作矩形，使得，点N为的中点，并且在矩形内右上角部分留出正方形作为印章区域（），形成一幅装饰画，则矩形的周长为 __．若点M，N，E在同一直线上，且点H到的距离与到的距离相等，则印章区域的面积为 __． 【变式2】．已知，如图点M为的边中点，点D为直线上一个动点（不与点A重合），，连接． (1)如图1，当点D与M重合时，求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，当时，求证：四边形是矩形； (3)如图3，延长交边于点H，过点D作于点F，若，且，求证：四边形是正方形． 【变式3】．如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫作垂美四边形． (1)概念理解：下列四边形中：①正方形，②矩形，③菱形，④平行四边形，是垂美四边形的是___________（填写序号）； (2)性质探究：如图1，垂美四边形中，，垂足为，试猜想：与的数量关系，并说明理由； (3)问题解决：如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，且与相交于点，已知，求的长． 05 过关•检测 1．如图，在正方形中，对角线交于点，若，则正方形的周长为（   ） A． B．4 C． D．8 2．如图，将一张正方形纸片的顶点A折叠至边上的E点，折痕为，若折痕比边长长2，，则正方形的边长为（   ） A．20 B．22 C．24 D．25 3．如图，已知正方形，点E为边上一点，连接，作的垂直平分线交于点G，交于点F，若，，则的周长为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，点从点出发沿边向点运动，运动到点停止，过点分别作交于点，交于点，则四边形形状的变化描述最准确的依次为（   ） A．矩形→菱形→矩形 B．矩形→正方形→矩形 C．平行四边形→菱形→平行四边形 D．平行四边形→正方形→平行四边形 5．如图，正方形中，为边上一点，，连接，过点作于，交于，在射线上截取，连接，则的长度为（    ） A． B． C． D． 6．如图，点D是的边的中点，按下列方法尺规作图：先以点D为角的顶点，以所在射线为角的一边，在的右侧作，然后在射线上截取，最后连接．根据以上条件和作法，下列判断不正确的是（   ） A．若，则四边形是菱形 B．若四边形是菱形，则是直角三角形 C．若，则四边形是矩形 D．若是直角三角形，则四边形是正方形 7．如图，点在正方形内，满足，，，则图中阴影部分的面积是（    ） A．18 B．19 C．25 D．31 8．如图，在边长为3的正方形中，P是上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作和的垂线，垂足分别为E、F．的值为（    ） A． B．3 C． D．不确定 9．如图，在正方形中，点在的延长线上，点是的中点，连接并延长交于点，连接，，，则（  ） A． B．5 C． D．10 10．如图，四边形为正方形，为对角线上一点，交于点，过点作于点．若，则的长为（    ） A． B．5 C． D．6 11．已知正方形，连接、，平分交于点E，则______． 12．定义：在平面内，一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有点的最短距离，在平面内有一个正方形，边长为3，中心为，在正方形外有一点，当正方形绕着点旋转时，则点到正方形的最短距离的取值范围为_____． 13．如图，正方形的面积为16，点、分别是边、上的动点，连接、，点为的中点，点为的中点，连接，则的最大值是______． 14．四边形ABCD是正方形，O是其中心，以OC为边作一个正六边形，度数是____． 15．如图，在平行四边形中，于点E，，，P，F分别是，上的动点，当的值最小时，的长为_________． 16．如图，在正方形中，为上一点（不与点B、C重合），连接，为延长线上一点，，连接，，过点作于点，连接．给出下面四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是_______． 17．如图，正方形的对角线、交于点，是上一点，，垂足为．与相交于点． (1)求证：； (2)求证：． 18．【问题探究】 如图，正方形中，是对角线，现有较大的直角三角板，一边始终经过点．直角顶点在射线上移动，另一边交于． (1)如图1，当点在边上时，探究与所满足的数量关系；小明同学探究此问题的方法是：过点作于点，于点，根据正方形的性质和角平分线的性质很容易证明，得出结论，请你帮他写出完整的证明过程 (2)【类比思考】如图2，当点落在的延长线上时，猜想并写出与满足的数量关系，并证明你的猜想． (3)【拓展应用】如图3，过点作于点，若正方形的边长为2，则在点运动的过程中，发现的长度不发生变化，请直接写出这个不变的值为______． 19．如图，在矩形中，，．点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上以每秒的速度从点出发，在之间往返运动，两点同时出发，当点到达点时停止，求经过多长时间，四边形为矩形？ 20．［问题探究］ (1)如图1，在矩形中，点E、F、G分别在、、边上，，连接EF，过点G作，交的延长线于点H，若，则的长为__________； (2)如图2，菱形的对角线、相交于点O，点P、Q分别是、边上的动点（不与端点重合），连接、，点M、N分别是、的中点，连接，若，，求的最小值； 【问题解决】 (3)如图3，李叔叔家有一个正方形菜地，他计划对其进行改造，点P为菜地内一动点，且，点E为的中点，点F、G分别为、边上的动点，在改造的过程中始终要满足，连接，点Q为的中点，他计划在区域内种植茄子，在区域内种植西红柿，其余区域内种植辣椒，并分别沿、修建灌溉水渠，经测量，米，为了控制成本，要求灌溉水渠的总长度尽可能的短．求当灌溉水渠的总长度最小时，点G的位置（即求的长度）．（水渠的宽度忽略不计） 21．如图，在矩形中，E，F分别为边，上的点，，，相交于点G，过点C作，交的延长线于点H，且． (1)求证：四边形是正方形． (2)已知，． ①连接，求的长． ②请直接写出与之间的距离． 22．如图1，正方形中，E，F分别为，上的点，，垂足为H． (1)求证：； (2)如图2，连接，交于点M，O为的中点，交于点N，连接．求证：； (3)如图3，若正方形的边长为10，P，Q是上两动点，且，请直接写出的最小值． 23．如图1，已知正方形的对角线、相交于点O，E是直线上一点，连接，过点A作直线的垂线，垂足为M，交直线于点F． (1)求证； (2)若点E在的延长线上，其它条件不变，则结论“”还成立吗？如果成立，请在备用图上将图形补充完整并给出证明；如果不成立，请说明理由． (3)若点E在的延长线上，其他条件不变，请你将图形补充完整，并回答：结论“”还成立吗？（提醒：先画图再回答、不需要说明理由：只回答、不画图不得分） 24．已知正方形． (1)如图1，是上一点，过上一点作的垂线，交于点，交于点，求证：； (2)如图2，过正方形内任意一点作两条互相垂直的直线，分别交，于点，，交，于点，，判断与的数量关系并证明； (3)当点在正方形的边上或外部时，过点作两条互相垂直的直线，其中一种情形如图3所示，过正方形外一点作互相垂直的两条直线，，直线与，的延长线分别交于点，，直线与，的延长线分别交于点，，试就该图形判断与的数量关系并证明． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 21.3.3正方形 （4知识点+18题型+过关检测） 【题型1 正方形性质理解】 2 【题型2 根据正方形的性质求角度】 4 【题型3 根据正方形的性质求线段长】 6 【题型4 根据正方形的性质求面积】 12 【题型5 正方形折叠问题】 15 【题型6 求正方形重叠部分面积】 22 【题型7 根据正方形的性质证明】 26 【题型8 正方形的判定定理理解】 37 【题型9 添一个条件使四边形是正方形】 40 【题型10 证明四边形是正方形】 43 【题型11 根据正方形的性质与判定求角度】 49 【题型12 根据正方形的性质与判定求线段长】 55 【题型13 根据正方形的性质与判定求面积】 62 【题型14 根据正方形的性质与判定证明】 69 【题型15 中点四边形】 77 【题型16（特殊）平行四边形的动点问题】 82 【题型17 四边形中的线段最值问题】 87 【题型18 四边形其他综合问题】 94 1.知识理解：理解正方形的定义，明确正方形与平行四边形、矩形、菱形的从属关系，掌握正方形的本质特征，知晓正方形是特殊的矩形、特殊的菱形、特殊的平行四边形。 2. 技能掌握：熟练掌握正方形的性质定理、判定定理，能准确区分性质与判定的适用场景，可独立完成正方形相关角度、线段、面积的计算及几何证明题。 3. 能力提升：掌握正方形折叠、重叠、中点四边形、动点、最值等综合题型的解题方法，培养数形结合、分类讨论、转化推理的数学思维，提升几何综合解题能力。 4. 素养培养：理解特殊平行四边形的演变逻辑，能灵活运用四边形知识解决复杂综合问题，适配中考基础题、中档题及简单压轴题型。03 知识•梳理 知识点1：正方形的定义 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 核心解读：正方形需同时满足三个条件，缺一不可：①是平行四边形；②一组邻边相等（菱形特征）；③有一个内角为直角（矩形特征）。 知识点2：正方形的性质（兼具平行四边形、矩形、菱形所有性质） 1. 边的性质 四条边全部相等，对边平行，邻边互相垂直。 2. 角的性质 四个内角均为90°，内角和为360°，邻角互补，对角相等。 3. 对角线性质 对角线互相垂直、互相平分、长度相等；每条对角线平分一组对角（平分后角度为45°）；正方形对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形。 4. 对称性 轴对称图形，有4条对称轴（两条对角线、两组对边中点连线）；中心对称图形，对称中心为对角线交点。 5. 面积与周长公式 周长：（为边长）；面积：（边长平方）、（为对角线长）。 知识点3：正方形的判定定理 1. 定义法（通用判定） 一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。 2. 基于矩形判定 ① 一组邻边相等的矩形是正方形；② 对角线互相垂直的矩形是正方形。 3. 基于菱形判定 ① 有一个角是直角的菱形是正方形；② 对角线相等的菱形是正方形。 4. 直接判定（任意四边形） ① 四条边相等且四个角都是直角的四边形是正方形；② 对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形。 知识点4：特殊拓展知识点 1. 中点四边形 任意四边形的中点四边形为平行四边形；矩形的中点四边形是菱形；菱形的中点四边形是矩形；正方形的中点四边形仍是正方形；对角线垂直且相等的四边形，中点四边形为正方形。 2. 正方形核心隐含结论 正方形内任意一点到四条边的距离之和等于边长；对角线与边的夹角恒为45°；折叠问题中，折叠前后对应边、对应角相等，对称轴垂直平分对应点连线。 04 题型•汇总 【题型1 正方形性质理解】 考查核心：辨析正方形的边、角、对角线、对称性性质，区分正方形与矩形、菱形、平行四边形的异同。 解题思路：1. 牢记正方形兼具三类特殊四边形所有性质，且独有“四边相等、四角90°、对角线垂直且相等、4条对称轴”；2. 排除法做题：矩形无邻边相等、对角线不垂直；菱形无内角直角、对角线不相等，据此区分易错选项；3. 熟记正方形独有特征，快速判断命题正误。 【典例1】．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（   ） A．对角线相等 B．对角线互相垂直平分 C．对角线平分一组对角 D．四条边相等 【答案】A 【详解】解：A选项 正方形对角线相等，菱形对角线不一定相等，符合题意； B选项 正方形和菱形的对角线都互相垂直平分，不符合题意； C选项 正方形和菱形的对角线都平分一组对角，不符合题意； D选项 正方形和菱形的四条边都相等，不符合题意． 【变式1】．下面选项中，最能全面概括正方形对角线性质的是（   ） A．互相平分 B．相等 C．互相垂直 D．相等，且互相垂直平分 【答案】D 【详解】解：正方形的对角线相等且互相垂直平分． 【变式2】．下列说法正确的是（    ） A．菱形的四个内角都相等 B．矩形的对角线相互垂直 C．正方形的每一条对角线平分一组对角 D．平行四边形是轴对称图形 【答案】C 【分析】本题考查特殊平行四边形的性质，根据各图形的性质逐一判断选项正误即可得到答案． 【详解】解：∵菱形的对角相等、邻角互补，四个内角不都相等， ∴A错误； ∵矩形的对角线相等但不互相垂直，∴B错误； ∵正方形的每一条对角线平分一组对角，符合正方形的性质，∴C正确； ∵平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，∴D错误． 【变式3】．平行四边形、矩形、菱形、正方形的包含关系可用图表示，则图中阴影部分表示的图形是（　　） A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．平行四边形 【答案】A 【分析】利用平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系解答即可． 【详解】解：正方形既是特殊的矩形，也是特殊的菱形； 正方形、矩形和菱形都是特殊的平行四边形， 故图中阴影部分表示的图形是正方形． 【题型2 根据正方形的性质求角度】 考查核心：利用直角、45°角、对角线平分角、三角形内角和求未知角度。 解题思路：1. 基础依据：正方形内角90°，对角线分角为45°；2. 结合等腰直角三角形、对顶角、余角、补角性质推导；3. 复杂图形标注已知角，通过三角形全等、平行线性质转化角度，逐步推导未知角度。 【典例2】．如图，点是正方形内一点，连接．若是等边三角形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方形的性质得到，，，根据等边三角形的性质得到，，则，，最后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵正方形， ∴，，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 【变式1】．如图，在正方形中，以点A为圆心，的长为半径画弧，再以点D为圆心，的长为半径画弧，交于点E，作射线交于点F，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】证明是等边三角形，求解即可； 【详解】解：正方形， 故，， 根据作图，得到， 故是等边三角形， ， ， ； 【变式2】．如图，在正方形中，E为上一点．若，则________． 【答案】70 【分析】由正方形的性质可得，根据三角形内角和定理求出即可． 【详解】解：四边形是正方形， ，平分， ， ， ． 【变式3】．如图，四边形是正方形，以为边在正方形内部作等边，连接，则______． 【答案】75 【分析】根据正方形的性质可得，，根据等边三角形的性质可得，，所以，，再根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理，即可求得答案． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 是等边三角形， ，， ，， ， ， ， 解得． 【题型3 根据正方形的性质求线段长】 考查核心：利用边长相等、对角线公式、勾股定理求边长、对角线、线段差值/和值。 解题思路：1. 已知边长，直接得四边长度，通过勾股定理求对角线；2. 已知对角线，反推边长；3. 图形中零散线段，结合全等三角形、等腰直角三角形性质转化线段，再计算长度。 【典例3】．如图，在边长为6的正方形中，E，F分别为边，的中点，连接，，点G，H分别为，的中点，连接，则的长为（    ）． A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】连接并延长交于M，连接，推出，由等量关系得出，即可得到解． 【详解】解：连接并延长交于M，连接， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴，， ∵G为的中点， ∴， 在和中， ， ∴（AAS）， ∴，， ∴ ∵点H为的中点， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∴， ∴． 【变式1】．如图，在边长为2的正方形中，按如下步骤作图： ①分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于两侧，过两交点作直线，分别交，于点，；②连接，以为圆心，适当长为半径作弧，分别与，交于两点；再分别以这两点为圆心，适当长为半径作弧，两弧交于内一点，过与该交点作射线，交于点；③过点作于点．根据以上作图，线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由作图步骤可知是线段的垂直平分线，平分，因此由正方形的性质可得四边形是矩形，利用勾股定理求得，然后在上截取，连接、，根据角平分线的定义，利用可证，推出，，然后设，在和中，利用勾股定理建立方程，即可求解． 【详解】解：四边形是正方形，边长为， ∴， ， 由步骤①可知，是线段的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴在中，， 由步骤②可知，平分，即， 如图，在上截取，连接、， 在和中， ， ， ，， ， 设，则，， 在中，， ∴， 在 中，， ∴， ， 解得， ． 【变式2】．如图，在正方形中，．E、F分别为边的中点，连接点N、M分别为的中点，连接，则______，______． 【答案】 5 【分析】延长交于点G，先通过证明得到，后，证明是的中位线，可得，在中利用勾股定理求出的长，从而求出的长． 【详解】解：延长交于点G，连接，如图所示， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， 在中， ∴ ∵E、F分别为边、的中点， ∴，． ∵M为的中点， ∴， 在和中， ． ∴． ∴，． ∴M为的中点， ∴ ∵N为的中点， ∴是的中位线． ∴． 在中， ， ∴． ∴． 【变式3】．如图，已知正方形的对角线交于点，过点作，分别交、于、，若，，则等于________． 【答案】 【分析】根据正方形的性质以及，证明，故，再运用勾股定理得出，即可作答． 【详解】解：由题意得： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型4 根据正方形的性质求面积】 考查核心：灵活运用两种面积公式，结合线段条件求面积。 解题思路：1. 已知边长：直接用；2. 已知对角线：直接用；3. 无直接条件时，先通过勾股定理、线段关系求出边长或对角线，再代入公式计算；4. 不规则阴影面积，用整体减空白、割补法求解。 【典例4】．如图，正方形的对角线相交于点，点又是另一个正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长均为2，则两个正方形重叠部分的面积为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A 【分析】根据旋转的性质，可得，结合正方形的性质证明，则两个正方形重叠部分的面积等于，即正方形面积的四分之一，已知正方形的边长，可据此求出重叠部分的面积． 【详解】解：如图，设与交于点，与交于点， 根据旋转的性质，， 四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ， 则两个正方形重叠部分的面积． 【变式1】．正方形的一条对角线长为4，则该正方形的面积是（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【分析】正方形是特殊的菱形，可利用菱形面积等于对角线乘积一半的公式计算，正方形对角线长度相等，代入已知对角线长度即可求解． 【详解】解：∵正方形是特殊的菱形，且正方形的对角线长度相等，该正方形一条对角线长为4， ∴该正方形另一条对角线长也为， 根据菱形面积公式，得该正方形面积 ． 【变式2】．七巧板是我国广为流传的一种益智玩具，被誉为“东方魔板”．某同学用面积为的正方形纸板制作了一副七巧板，如图所示，它由个等腰直角三角形，个正方形和1个平行四边形组成，则图中阴影部分的面积为__________． 【答案】 【分析】根据正方形的面积公式可以求出，利用勾股定理可以求出，根据正方形的性质和等腰直角三角形的性质可以求出，根据梯形的面积公式即可求出，根据各部分的形状可以求出． 【详解】解：如下图所示， 正方形的面积为，是正方形的对角线， ， ， 和是等腰直角三角形，四边形是正方形， ， ， ， ，， ， ． 【变式3】．中国清代数学家李锐借助三个正方形用出入相补的方法证明了勾股定理，如图，已知正方形和正方形，D、C、E三点在一条直线上．现将其裁剪拼成不重叠无缝隙的大正方形．若正方形和正方形的面积之和为177，阴影部分的面积为165，则的长为_____． 【答案】15 【分析】设正方形和正方形的边长分别为，则由题意得，,证明，则，由勾股定理可得，再由，求出，然后结合完全平方公式求解即可． 【详解】解：设正方形和正方形的边长分别为， 则由题意得， ∵正方形和正方形 ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴（舍负）． 【题型5 正方形折叠问题】 考查核心：折叠的全等性质结合正方形直角、等边特征计算证明。 解题思路：1. 核心原则：折叠前后图形全等，对应边相等、对应角相等、折叠对称轴垂直平分对应点连线；2. 设未知数：设未知线段长为x，利用正方形边长不变，结合勾股定理列方程求解线段长；3. 角度问题：利用折叠等角、正方形90°/45°角，结合三角形内角和推导；4. 优先锁定全等三角形、等腰直角三角形，简化计算。 【典例5】．如图，正方形中，是边上一点且，是的中点，将沿翻折得到，延长交边于点，作的平分线，交的延长线于点，若、、三点共线，则该正方形的边长为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】设正方形的边长为，过点作交的延长线于点，得矩形，矩形，证明，得，然后利用勾股定理即可解决问题． 【详解】解：四边形是正方形，设正方形的边长为 ，， 如图，过点作交的延长线于点，连接， 则四边形，是矩形， ，， 由折叠可知：，， ， 平分， ， ， ， 是边的中点， ， 由折叠可知：，， ， ， ， 在中，根据勾股定理得：， ， 或（舍去）． ∴该正方形的边长为． 【变式1】．如图，在正方形纸片中，对角线相交于点O，折叠正方形纸片，使落在上，点恰好与上的点重合，展开后，折痕分别交、于点、，连接，下列结论：①；②；③；④四边形是菱形；⑤，其中结论正确的是（   ） A．①④ B．②③④ C．①④⑤ D．①②④⑤ 【答案】C 【分析】①由四边形是正方形，可得，又由折叠的性质，可求得的度数；②由，可得；③由，可得的面积的面积；④由折叠的性质与平行线的性质，易得是等腰三角形，即可证得，易证得四边形是菱形；⑤由菱形性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，即可得． 【详解】解：四边形是正方形， ， 由折叠的性质可得： 故，故①正确． 由折叠的性质可得：，， ， ， ， ，故②错误． ， ，与同高， ，故③错误． ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 四边形是菱形， 故四边形是菱形，故④正确． 四边形是菱形， ， ， ， ， 同理可得．故⑤正确． 综上，正确的结论有①④⑤． 【变式2】．如图，在矩形中，，，点，分别在边，上，沿着折叠矩形，使点，分别落在，处，且点在线段上（可与点，重合），过点作于点，连接．当与重合时，________；若四边形为正方形，则________． 【答案】 /0.875 【分析】利用矩形的性质得，利用折叠的性质可得，当与重合时，设，则，在中，根据勾股定理可得； 连接，当四边形为正方形时，，由勾股定理得出，在中，利用勾股定理求出，进而即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 当与重合时，由折叠可得， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴； 当四边形为正方形时，如图，连接， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 由勾股定理得，， 由折叠可得，，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴． 【变式3】．在边长为6的正方形中，，分别是边、上的点，连接．将四边形沿翻折，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为点，连接．若为中点，则_______；若为上任意一点，则的最小值是_______． 【答案】 【分析】根据翻折的性质得出，若为中点，则，在中，根据勾股定理得出，解方程即可；为上任意一点，过D作交于P，连接，根据平行四边形的判定与性质可得出，证明，得出，证明，得出，延长至点Q，连接，，根据垂直平分的性质得出，则，故当D、E、Q三点共线时，取最小值，最小值为，然后在中，根据勾股定理求出的长度即可． 【详解】解：∵正方形的边长为6， ∴，，， ∵翻折， ∴， 当为中点时，， 在中，， ∴， 解得； 过D作交于P，连接， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵折叠， ∴垂直平分，，， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又， ∴， 又，， ∴， ∴， 延长至点Q，连接，，则垂直平分， ∴， ∴， ∴当D、E、Q三点共线时，取最小值，最小值为， 在中，，， ∴， ∴的最小值为． 【题型6 求正方形重叠部分面积】 考查核心：两个正方形相交重叠，利用全等、割补法求重叠面积。 解题思路：1. 常见模型：一个正方形顶点绕另一个正方形中心旋转重叠；2. 核心结论：正方形中心重叠区域面积恒为原正方形面积的（通用结论）；3. 非常规重叠：通过证明周围三角形全等，将不规则重叠区域转化为规则图形，或用总面积减空白面积求解。 【典例6】．如图，有大小不同的2个正方形A和B，当B的对角线交点与A的一个顶点重合时，重叠部分的面积是A的，那么当A的对角线交点与B的一个顶点重合时，重叠部分的面积是B的（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，涉及到正方形性质的应用，正确认识图形是解题的关键． 根据题意，结合图形，先得到图1中，结合已知条件，得到，结合图2，得到结果． 【详解】解∶如图，设正方形的面积为，正方形的面积为，图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为， ∵图1中，，，， ∴（）， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理，图2中，， ∴， 即当的对角线交点与的一个顶点重合时，重叠部分的面积是的， 故选∶． 【变式1】．已知正方形纸片和的面积分别为，．如图①，先将正方形纸片的顶点A放置在正方形纸片的对称中心O处，此时重叠部分的面积为；如图②，再将正方形纸片的顶点H放置在正方形纸片的对称中心处，此时重叠部分的面积为．若，则等于（    ） A． B． C．4 D．9 【答案】A 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，连接，设交于点，交于点，证明，推出，同理推出，进而求出即可． 【详解】解：连接，设交于点，交于点， ∵正方形，正方形，点为正方形的中心， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选A． 【变式2】．如图，将面积为2和8的两个小正方形放到一个面积为16的大正方形中，两个小正方形的重叠部分（阴影部分）面积为______． 【答案】/ 【分析】先求出三个正方形的边长，再将面积为2的小正方形分成阴影部分和剩余空白部分的面积，据此求解即可． 【详解】解：由题意可知，大正方形的边长为， 面积为8的小正方形边长为，面积为2的小正方形边长为， ． 【变式3】．现有①②③三种不同的矩形木板（边长如图（1）所示），取①②③木板各一块，按如图（2）所示的方式摆放（木板②③无重叠，无缝隙），则木板①没有被覆盖的面积为________；在图（2）摆放的基础上再放置一块木板②，如图（3）所示，则此时的木板①没有被覆盖的面积为________． 【答案】 【分析】此题考查正方形的性质，整式的混合运算，掌握基本平面图形的面积计算方法是解决问题的关键． 图（2）木板①没有被覆盖的是长为，宽为的矩形，利用矩形的面积公式直接求解即可；图（3）木板①没有被覆盖的部分可以用长为，宽为的矩形面积减去长为，宽为的矩形，化简后合并同类项即可． 【详解】解：图（2）木板①没有被覆盖的面积为， 图（3）木板①没有被覆盖的面积为， 故答案为：，． 【题型7 根据正方形的性质证明】 考查核心：证明线段相等、线段垂直、角相等、三角形全等。 解题思路：1. 活用正方形基础性质：四边相等、四角90°、对角线相等垂直平分、45°角；2. 证明线段/角相等：优先证三角形全等（SAS、ASA、SSS、AAS）；3. 证明垂直：推导夹角为90°，或利用等腰三角形三线合一；4. 步骤规范：先列正方形性质条件，再推导全等或角度线段关系，最后得出结论。 【典例7】．如图，在正方形外取一点E，连接、、．过点A作的垂线交于点P．若，，则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】利用SAS可证明，根据等腰直角三角形性质得，进而可得，即可判断结论①；在中，根据勾股定理可得的长，即可判断结论②；结合前面的结论可知，进而可判断结论③；连接，根据可求出正方形的边长，进而可判断结论④． 【详解】解：对于结论①， 在正方形中，，． ， ， ，， ． 在和中， ． ． ， ，， ，故结论①符合题意； 对于结论②， 由前面的结论可得， ． 在中，，， ，故结论②不符合题意； 对于结论③， ，故结论③符合题意； 对于结论④， 如图，连接． ， ， ， ， ， ， ，故结论④不符合题意； 综上，结论①③符合题意． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、正方形的性质、勾股定理，二次根式．熟练掌握全等三角形的判定和性质，能够把复杂的问题进行有效地转化是解题的关键． 【变式1】．如图，正方形中，E、F分别为、的中点，、交于点P，连接、．则下列结论中：①；②；③；④，⑤所有正确的结论是（只需填写序号）_____________． 【答案】①②③④ 【分析】根据正方形性质得出；，证明，推出，求出即可判断①；取的中点，的中点，连接，证明是的垂直平分线，推出是等腰三角形，即可判断②；由②知：得到，又根据，得到，又根据，得到，就可以得到③正确；延长至N，使得，证，推出，求出是等腰直角三角形，即可判断④；设正方形边长为，根据勾股定理求出，根据等积法求，再根据勾股定理分别表示，即可判断⑤． 【详解】解：如图， ∵正方形，E，F均为中点， ∴；， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴①正确； 如图，取的中点，的中点，连接， 则：，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴三点共线， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴是等腰三角形， ∴， ∴②正确； 由②知： ∴ 又∵ ∴ 又∵， ∴ 又 ∴；故③正确； 如图，延长至N，使得，连接， ∵ ∴ 又∵E，F分别是的中点， ∴， ∵在和中， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴，故④正确； 设正方形的边长为，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴．故⑤错误， ∴故答案为：①②③④． 【变式2】．某数学兴趣小组在课外活动中，对正方形内两条互相垂直的线段做了如下探究： (1)如图1，在正方形中，点，分别在边，上，且，易得．请证明； (2)如图2，在正方形中，点，，分别在边，，上，且．试判断与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，将边长为6的正方形沿折叠，使得点落在的中点处，点落在点处，直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)，． 【分析】（1）可证明，从而得出； （2）过点G作于H，根据正方形的性质得到，，得到，根据全等三角形的性质得到； （3）连接，过点作交于，可得，再证明即可得，进而勾股定理求得，再在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，即 在和中， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 过点G作于H， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴同理可得：， 在和中， ∴， ∴； （3）解：如图，连接，过点作交于， 四边形是正方形， ，，， ， 将边长为的正方形沿折叠，使得点落在的中点处， ，， ， ， ， ， ， 为的中点， ， ， ； 设，则， 在中，， ∴，即， 解得， ∴． 【变式3】．综合与实践 【问题背景】小宁打算挑选一块正方形桌布装饰茶几．在非遗工坊，他被一块四边形壮锦吸引，便询问店员它的形状是否为正方形．店员向小宁展示：沿壮锦的一条对角线折叠，两边能完全重合，沿另一条对角线折叠，两边也能完全重合．小宁听后认为以上操作仍不能确定这块壮锦是否为正方形，店员随即拿出尺子，测量发现，这块壮锦的两条对角线相等，小宁随即买下． 根据以上信息，完成下面的解答： 【抽象建模】如图1，将壮锦抽象为四边形，对角线与相交于点O，先沿着折叠，点B与点D重合，再沿着折叠，点A与点C重合，； (1)请你判断：四边形______正方形（填写“是”或“不是”）； 【动手操作】如图2，在（1）的条件下，买下壮锦后为了进一步的装饰，小宁在边上取一点E，从点B到点E贴一条装饰带，他沿折叠壮锦，发现顶点A恰好落在对角线上的点F处，连接并延长，分别交装饰带于点G，交边于点H； (2)小宁观察到与的长度相等，请你帮小宁完成证明； 【拓展应用】 (3)如图3，在（2）的条件下，取的中点M，的中点N，连接，若，，请求出的长． 【答案】(1)是 (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用折叠性质，得出对角线互相垂直且平分，先判定是菱形；再结合已知对角线相等，用对角线相等的菱形是正方形判定即可． （2）利用折叠得，结合正方形直角，用同角的余角相等推出一组等角；再利用正方形边长相等、直角相等，证，由全等对应边相等得． （3）由正方形边长、，用勾股定理求出；借助第二问全等，得、；用面积法求出高；利用中点定义，得、长度，算出；在中勾股求；由，在中，再用勾股定理求出． 【详解】（1）解：沿折叠，点B与点D重合， ∴垂直平分，即，． 沿折叠，点A与点C重合， ∴垂直平分，即，． ∴四边形是菱形， ∵， ∴四边形是正方形． （2）已知四边形是正方形， ∴，． ∵沿折叠，点A落在上的F处， ∴， ∴， ∴． 又∵在中，， ∴． 在和中： ∴， ∴． （3）解：∵四边形是正方形， ∴，． 在中，，， 由勾股定理得： 由， 得．， ∵点A恰好落在对角线上的点F处，连接并延长，分别交装饰带于点G，交边于点H； ∴ ∴ ∵M是的中点，N是的中点， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵在中 ， ∴． 【题型8 正方形的判定定理理解】 考查核心：辨析判定定理正误，区分平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定条件。 解题思路：1. 明确判定层级：平行四边形→加直角变矩形、加邻边相等变菱形；矩形+邻边相等/对角线垂直=正方形；菱形+直角/对角线相等=正方形；2. 规避易错点：仅四边相等是菱形、仅四角直角是矩形，均不能判定正方形；3. 熟记判定口诀：矩形垂对角线、菱形等对角线、邻边等直角平行四边形，均为正方形。 【典例8】．下列说法正确的是（   ） A．对角线相等且互相平分的四边形是矩形 B．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 C．对角线互相垂直且平分的四边形是正方形 D．一组邻边相等的四边形是菱形 【答案】A 【详解】解：A、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，正确； B、一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，也可能是等腰梯形，原说法错误； C、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，原说法错误； D、一组邻边相等的平行四边形不一定是菱形，原说法错误． 【变式1】．下列结论中：①两条对角线互相平分且相等的四边形是矩形；②两条对角线互相垂直的四边形是菱形；③顺次连接四边形各边中点所得的四边形是平行四边形；④对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；⑤平行四边形对角相等；⑥菱形每一条对角线平分一组对角．其中正确的结论是____________（填序号）． 【答案】①③⑤⑥ 【分析】本题考查了平行四边形，矩形，菱形，正方形，利用它们的判定与性质是解题关键．根据平行四边形的判定与性质，可得答案． 【详解】①两条对角线互相平分且相等的四边形是矩形，说法正确； ②两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形，原说法错误； ③顺次连接四边形各边中点所得的四边形是平行四边形，说法正确； ④对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，原说法错误； ⑤平行四边形对角相等，说法正确； ⑥菱形每一条对角线平分一组对角，说法正确， 故答案为：①③⑤⑥． 【变式2】．如图， 是等腰直角三角形， ，点 、分别是 、上的一 动点，且满足 ，是 的中点． (1)求证：； (2)当点运动到什么位置时，四边形是正方形，并说明理由． 【答案】(1)证明见详解； (2)当点运动到的中点时，四边形是正方形 【分析】本题考查等腰三角形的性质和判定，等腰直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，全等三角形的判定，正方形的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键； （1）连接，根据直角三角形的性质可得，从而证明，得到由，得出，从而求证； （2）若四边形是正方形，则，得到点是的中点． 【详解】（1）证明：连接， 是等腰直角三角形，是的中点， ，，， 又， ， ， ， （2）当点运动到的中点时，四边形是正方形， ， ，， 为等腰直角三角形， 当为的中点时，，即， 又，， 四边形为矩形， 又， 四边形为正方形。 【变式3】．如图，在中，，，，点D从点C出发沿方向以的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒．过点D作于点F，连接、． 备用图 (1)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由； (2)四边形能够成为正方形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)能， (2)不能，理由见解析 【分析】（1）由已知条件可得中，即可知，然后问题可求证； （2）由（1）知且，即四边形是平行四边形，若构成菱形，则邻边相等即，可得关于的方程，求解即可知； （3）四边形不为正方形，若该四边形是正方形即，即，此时，根据求得的值，继而可得，可得答案． 【详解】（1）四边形能够成为菱形，理由如下： ∵中，，， ． 在中，，， ， ，， 四边形是平行四边形， 当时，四边形是菱形， 即，解得：， 即当时，四边形是菱形； （2）四边形不能为正方形，理由如下： 当时，． ， ， ， ， 时， 但， 四边形不可能为正方形． 【点睛】本题主要考查直角三角形的性质、平行四边形的判定、菱形的性质、正方形的性质等知识点，熟练掌握平行四边形、菱形、正方形的判定是解题的关键． 【题型9 添一个条件使四边形是正方形】 考查核心：根据现有图形（平行四边形/矩形/菱形）补充唯一条件，判定正方形。 解题思路：1. 已知是平行四边形：补充“一组邻边相等且一个直角”（最简：邻边相等 或 对角线垂直+直角）；2. 已知是矩形：补充一组邻边相等 或 对角线互相垂直；3. 已知是菱形：补充一个内角为90° 或 对角线相等；4. 已知普通四边形：需补充对角线垂直且相等且平分（一般不考），优先结合题干图形层级补充条件。 【典例9】．小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（    ） A．（1）处可填 B．（2）处可填 C．（3）处可填 D．（4）处可填 【答案】B 【分析】根据矩形，菱形和正方形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、当时，可以根据有一个内角是直角的平行四边形是矩形证明平行四边形是矩形，故此选项不符合题意； B、当时，不可以证明矩形是正方形，故此选项符合题意； C、当时，可以根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形证明平行四边形是菱形，故此选项不符合题意； D、当时，可以根据有一个内角是直角的菱形是正方形证明菱形是正方形，故此选项不符合题意； 【变式1】．已知在中，．添加一个条件，使得四边形为正方形．添加的条件可以为（    ） A． B．平分 C． D． 【答案】C 【分析】先根据已知条件推出四边形是菱形，再结合正方形的判定定理逐一分析各选项即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，且， ∴四边形是菱形， A、菱形对边相等，是菱形原本就成立的性质，添加该条件不能判定四边形是正方形，错误； B、菱形对角线平分内角，平分是菱形原本就成立的性质，添加该条件不能判定四边形是正方形，错误； C、根据正方形的判定，对角线相等的菱形是正方形， ∴添加，可判定菱形是正方形，正确； D、平行四边形对角相等，原本就成立，添加该条件不能判定四边形是正方形，错误． 【变式2】．如图，矩形的对角线相交于点O，再添加一个条件，使得四边形是正方形，这个条件可以是_______（写出一个条件即可）． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴当时，四边形是正方形． 【变式3】．如图，在中，点是上的任意一点（不与点、重合），过点平行于的直线分别与的外角的平分线交于点． (1)与相等吗？证明你的结论： (2)试确定点的位置，使四边形是矩形，并加以证明； (3)在（2）的条件下，满足什么条件，四边形是正方形？证明你的结论． 【答案】(1)，证明见解析 (2)当点O是的中点时，四边形是矩形，证明见解析 (3)当满足时，四边形是正方形，证明见解析 【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线的定义推出，根据等角对等边推出，同理可得，然后运用等量代换即可解答； （2）对角线互相平分且相等的平行四边形是矩形，据此只需要满足即可，据此可得答案； （3）令，证明四边形是菱形，再结合四边形是矩形，即可证明是正方形． 【详解】（1）解：，证明如下： ∵直线， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴； （2）解：当点O是的中点时，四边形是矩形，证明如下： ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形． （3）解：当满足时，四边形是正方形，证明如下： ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∵平行四边形是矩形， ∴， ∴菱形是正方形． 【题型10 证明四边形是正方形】 考查核心：完整书写正方形判定证明过程。 解题思路：1. 优选最简路径：先证平行四边形→再证矩形/菱形→最后补条件证正方形（三步走）；2. 路径1：证平行四边形+一个直角+一组邻边相等；3. 路径2：证矩形+对角线垂直/邻边相等；4. 路径3：证菱形+对角线相等/一个直角；5. 根据题干已知条件，选择步骤最少的判定方法，避免冗余证明。 【典例10】．如图，在矩形中，的角平分线交于点，于点，于点，与交于点． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求证；． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（）先证明四边形是矩形， 再根据角平分线的性质得出，即可求证； （）证明即可求证． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴ ， ∵于点， ∴ ， ∴四边形是矩形， ∵平分，，， ∴， ∴四边形是正方形； （2）证明：∵于点， ∴ ， ∵平分，， 又∵， ∴， ∴． 【变式1】．如图，在中，，点为其内一点，且，分别平分．若于点，于点，则四边形是正方形吗请说明理由． 【答案】四边形为正方形,理由见解析 【分析】此题考查了正方形的判定，以及角平分线定理；过作垂直于点，由三个角为直角的四边形为矩形得到四边形为矩形，由为角平分线，利用角平分线定理得到，同理得到，等量代换得到，利用邻边相等的矩形为正方形即可得证． 【详解】解：：四边形是正方形，理由如下： 过作，交于点，    ， 四边形为矩形， 平分，，， ； 平分，，， ， ， 四边形为正方形． 【变式2】．如图，点、、、分别是、、、的中点． (1)判断四边形的形状，并证明你的结论． (2)当、满足__________条件时，四边形是正方形．（选出合适的序号）①；②；③ 【答案】(1)平行四边形，见解析 (2)①② 【分析】（1）根据题意得到分别是的中位线，得到，即可证明结论； （2）选择①②，根据已知条件以及中位线定理证明和，即可得到结论． 【详解】（1）四边形是平行四边形，证明如下： 点分别是的中点， 分别是的中位线， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：①②； 由（1）知，， ， ， ，， ， 故四边形是正方形． 【变式3】．如图，在中，，，D，E分别是边AB，BC的中点，F，G是边AC的三等分点，DF，EG的延长线相交于点H，连接HA，HC，BF，BG． (1)试判断四边形FBGH的形状，并说明理由． (2)求证：四边形ABCH是正方形． (3)若，则DF的长为________． 【答案】(1)四边形FBGH是菱形．理由见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由是的中位线，则，，同理，得四边形为平行四边形，连接交于点，证明，从而证明结论； （2）由（1）知，四边形是平行四边形形，再根据，，可知四边形是正方形； （3）如图②所示：取的中点，连接，先证，再求出、的长，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：四边形是菱形．理由如下： ∵是边的三等分点， ∴， 又∵是边的中点， ∴， ∴ 同理可得， ∴四边形是平行四边形． 如图①，连接交于点，则， ∴． ∵， ∴， ∴四边形是菱形． （2）证明：∵四边形是菱形， ∴． 由（1）可得， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形． 又， ∴四边形是正方形． （3）解：如图②，取的中点，连接，则． ∵， ∴是的中位线， ∴， ∴． 在和中， ∴， ∴． ∵四边形是正方形， ∴，． ∵是边的中点， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了三角形中位线定理、菱形的判定与性质、正方形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握特殊四边形的判定与性质是解题的关键． 【题型11 根据正方形的性质与判定求角度】 考查核心：先判定正方形，再利用性质求角度。 解题思路：1. 先通过题干条件，证明四边形为正方形；2. 再套用正方形角度性质（90°、45°），结合三角形、平行线性质推导未知角；3. 复杂题型先判定图形形状，再转化角度关系，避免直接套用性质出错。 【典例11】．将矩形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在边上点F处，折痕为（如图1）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在上的点处，折痕为（如图2）；再展平纸片（如图3）．则图3中的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形与折叠，正方形的判定与性质．熟练掌握矩形与折叠，正方形的判定与性质是解题的关键． 由矩形与折叠的性质可证四边形是正方形，，由折叠的性质可知，，根据，计算求解即可． 【详解】解：由矩形与折叠的性质可知，，， ∴四边形是正方形，， 由折叠的性质可知，， ∴， 故选：B． 【变式1】．如图所示，在矩形中，是上一点，交于点F，将沿折叠，点C恰好落在边上的点处，则的度数为________． 【答案】 【分析】本题考查矩形与折叠，正方形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，折叠的性质，是解题的关键，先求出的度数，折叠，推出四边形是正方形，进而得到，根据三角形的外角的性质，折叠的性质和平角的定义，进行求解即可． 【详解】解：在矩形中，，． 沿折叠，点C恰好落在边上的点处，， 四边形是正方形， ． 由三角形的外角性质，得． 由翻折的性质，得，． 故答案为：． 【变式2】．如图，已知在菱形中，点为对角线上一点，连结，过点作，与交于点，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）通过证明和全等得到、，结合推出，进而证得； （2）利用菱形性质、全等三角形判定与性质，结合等腰三角形三线合一、矩形及正方形的判定，推导得出． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形，是对角线， ∴，． 在和中， ， ∴（）， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是菱形，是对角线， ∴，． 在和中， ， ∴（）， ∴． 又∵， ∴， ∴是等腰三角形． 过点作于，交于， ∴（等腰三角形三线合一）． ∵四边形是菱形，，， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∵是菱形对角线， ∴， 又∵，， ∴（）， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∵四边形是菱形， ∴菱形是正方形， ∴． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、正方形的判定，熟练掌握菱形的性质及全等三角形的判定方法是解题的关键． 【变式3】．在菱形中，点E是对角线上一点，点F、G在直线上，且，． (1)如图1，求证：①；②； (2)如图2，当时，判断、、的数量关系，并说明理由； (3)如图3，当时，点F在线段上，判断、、的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）①由菱形性质得到，由等腰三角形性质得到．从而有．由等量代换得到，从而可证； ②由全等的性质得出，由菱形的性质得出，从而有，最后有等量代换即可得到； （2）由菱形的性质可求出，从而得到为等边三角形，得到，从而可证结论； （3）证明四边形是正方形，得到，同（1）可证，得到，进而得到为等腰直角三角形，从而得到结论． 【详解】（1）证明∶①如图， ∵四边形是菱形， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴，即． ∴； ②∵， ∴． ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴．即． （2）解：． 理由如下： ∵四边形是菱形，， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴． 由（1）知：， ∵， ∴． （3）解：． 理由如下： 如图， ∵四边形是菱形，， ∴四边形是正方形， ∴． ∵， ∴． ∴． 又∵， ∴，即． ∴， ∴． ∵， ∴在中，． ∵． ∴． ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，灵活运用相关性质定理和判定定理是解题的关键． 【题型12 根据正方形的性质与判定求线段长】 考查核心：判定正方形后，利用边长、对角线关系计算线段。 解题思路：1. 第一步：证明四边形是正方形，确定四边相等、对角线垂直相等；2. 第二步：结合勾股定理、全等三角形、线段和差关系，计算目标线段；3. 若为动态图形，先判定静态正方形特征，再代入线段公式求解。 【典例12】．如图，长方形的长与宽比值为，将点B沿折叠与点G重合，将点C沿折叠与点H重合，则长方形的长与宽的比值为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【分析】设，则，根据折叠性质得出四边形为正方形，求出和的长，再根据第二次折叠求出，进而得出的长，最后计算长方形的长宽比． 【详解】解：设， 长方形的长与宽比值为， ， 由折叠可知， ，，， ， 四边形为正方形， ，， ∵长方形 ∴ ∴， ∴点共线， ∴， 同理可得，三点共线， 由折叠可得，， ∴ 长与宽的比值为． 【变式1】．如图，两个全等的等腰和等腰有公共斜边，且四边形的面积为36，为等边三角形，点在四边形内，在上有一点，使的和最小，则这个最小值为（   ）    A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查正方形的判定与性质和等边三角形的性质，根据题意推出四边形为正方形，先求得正方形的边长，依据等边三角形的定义可知，连接，依据正方形的对称性可知， 则，由两点之间线段最短可知：当点、、在一条直线上时，有最小值，最小值为的长. 【详解】： 连接，      ∵两个全等的等腰和等腰有公共斜边， ∴， ， ∴四边形为正方形， ∵正方形的面积为， ∴正方形的边长为， ∵为等边三角形， ∴， ∵四边形为正方形， ∴与关于对称， ∴， ∴， ∴有最小值为， 故选： B． 【变式2】．如图，在矩形中，，，点是边上一点，连接，将沿折叠，使点落在点处．当为直角三角形时，______． 【答案】3或6 【分析】先求出，，，再分三种情况：①，②，③，利用勾股定理和正方形的性质求解即可． 【详解】解：∵在矩形中，，， ∴， 由折叠的性质得：，，． ①如图1，当时，为直角三角形， ∴， ∴点三点共线， ∵在中，， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得， 即； ②如图2，当时，为直角三角形， ∴， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴矩形是正方形， ∴； ③如图3，当时，为直角三角形， ∵， ∴在中，斜边，不符合题意，舍去； 综上，或． 【变式3】．如图1，已知菱形和菱形的边长分别为，点在同一条直线上，点在边上，连接． (1)如图1，当时，连接，，．把四边形、和的面积分别记作，则①_____，_____（用含的代数式表示） ②请直接写出满足的关系式：_____； (2)如图2，当时，点是的中点，连接，．请判断的形状，并说明理由； (3)如图3，当时，点是的中点，连接，． ①用含的代数式表示；②连接，四边形可能成为平行四边形吗？若可能，请探究此时满足什么关系；若不可能，请说明理由． 【答案】(1)①；②； (2)等腰直角三角形，见解析； (3)①；②． 【分析】（1）①根据正方形的判定和性质进行解答即可；②根据的代数式之间的关系进行解答即可； （2）根据正方形的性质和全等三角形是判定与性质证明，，即可得到结论； （3）①根据含角的直角三角形的性质进行解答即可；②根据四边形是平行四边形，即可求出答案． 【详解】（1）解：∵，菱形和菱形的边长分别为， ∴四边形是正方形， ∴， ∴菱形是正方形， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴ （2）是等腰直角三角形， 理由：延长交于点， 四边形和是菱形，， 图2四边形和是正方形， ， ， 在和中， 又， ， 又， ， 是等腰直角三角形； （3）①同（2）可证，， ， 图3 ②四边形是菱形， 是等边三角形， ， ， ， 当时，四边形是平行四边形， ， ． 【题型13 根据正方形的性质与判定求面积】 考查核心：判定正方形后，求解图形总面积、阴影面积。 解题思路：1. 先证四边形为正方形，确定边长或对角线长度；2. 代入正方形面积公式计算总面积；3. 不规则图形面积，结合割补法、整体减空白、全等转化法求解；4. 多个嵌套图形，逐个判定形状后分步计算。 【典例13】．如图，点为正方形的对角线的中点，在中，两直角边，分别交，于点，．若正方形的边长为，则重叠部分四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于点于点，证明，得到计算即可． 【详解】解：过点作于点于点， ∵四边形是正方形， ∴平分， ∴， ∴四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ． 【变式1】．如图，点是矩形边上一点（）．且，过点作交于点，在上取点使，连结．记四边形面积为，四边形面积为，，若，则（   ） A．10 B．12 C．20 D．24 【答案】A 【分析】本题考查矩形的性质，三角形的面积，关键是由三角形的面积公式得到． 判定四边形是正方形，四边形是矩形，设，，得到，可得． 【详解】解：四边形是矩形， ， ，， 四边形是正方形，四边形是矩形， 设，，则， ，， ， ， ， ． 故选：A． 【变式2】．如图，正方形的对角线相交于点O，，．若，则四边形的面积是______． 【答案】25 【分析】本题考查正方形的判定与性质． 根据正方形的对角线互相垂直平分且相等，得到，再利用两对边平行的四边形为平行四边形得到四边形为平行四边形，利进而可得到四边形为正方形，即可求出其面积． 【详解】解：∵四边形为正方形， ，， ， ， ∴， ， ∴四边形为平行四边形， ，， ∴四边形为正方形， ． 故答案为：25 【变式3】．如图1，已知平行四边形，点、分别为边上的动点，连接． (1)若，证明：平分； (2)如图2，若，，，求的面积； (3)如图3，在四边形中，，用表示四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）先证出四边形是正方形，再通过延长至使构造全等三角形，先证，利用角的代换得到，再证，由全等三角形的对应角相等证得，从而证明平分． （2）取边的中点，作，交于点，连接，证四边形为正方形，利用（1）的角平分线结论结合的边角关系，通过勾股定理求出的长度，进而计算出的面积，结合正方形的面积与内部各三角形面积的数量关系求出的面积，再由是中点且证出是的中位线，得到为中点，最终将的面积转化为2倍的面积求解，核心是构造正方形实现面积拆分，利用中位线定理实现面积的倍数转化． （3）先在的延长线上取点使，连接，利用四边形内角和证得，结合四点共圆的性质证出，进而证得，得到且，由此证出为等边三角形，过作于，利用勾股定理求出的长度，再将四边形的面积转化为与的面积和，即等边的面积，最后通过三角形底乘高的面积公式求出结果． 【详解】（1）解：延长至点，使得，如图， ∵四边形是平行四边形，，， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴，即． 在和中，， ∴， ∴，． ∵，， ∴， ∴，即． 在和中，， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：如图，取边的中点，作，交于点，连接． ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形， ∴，． ∵， ∴四边形是矩形． ∵，， ∴四边形是正方形，面积为． 由（1）． ∴， ∴， 由勾股定理得，得， 解得， ∴． 在中，，同理，． ∴， 由（1），而， ∴． ∵是中点，， ∴是的中位线， 点是的中点， ∴. （3）解：如图，在的延长线上取点，使得，连接． ∵四边形的内角和为， ∴． ∵，， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴、、、四点共圆， ∵， ∴． 在和中，， ∴， ∴， 又∵， ∴为等边三角形，． 过点作于，则为的中点，． 在中，由勾股定理：， ∵，且， ∴． 【点睛】本题考查了矩形、正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，同时考查了图形面积的转化与计算，核心侧重辅助线的构造与几何图形间的边角、面积转化技巧．本题的关键是根据不同问题特征构造合适的辅助线，利用全等、特殊三角形的性质实现边角和面积的转化，将未知问题转化为已知可解的问题． 【题型14 根据正方形的性质与判定证明】 考查核心：先判定正方形，再完成线段、角度、位置关系证明。 解题思路：1. 分两步证明：第一部分证明四边形为正方形，第二部分利用正方形性质推导结论；2. 灵活结合全等、相似、垂直、平行等几何知识；3. 逻辑闭环：条件→判定正方形→正方形性质→最终结论，步骤完整无漏洞。 【典例14】．如图，正方形的边长为，是对角线上一动点，于点，于点，连接，给出种情况：①若为上任意一点，则；②若为的中点，则四边形是正方形；③若，则；④若过点作正方形交边于，则．则其中正确的是（   ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】证明得到，又可得四边形是矩形，得到，即可判断①；由点为的中点，可得和为的中位线，即可判断②；由，可得，进而可得，即可判断③；由四边形为正方形，得，，可证明，得到，即得，又由，即可判断④． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴，故①正确； 若点为的中点，则， ∵，， ∴，， ∴和为的中位线， ∴，， ∵， ∴， 由①可知四边形是矩形， ∴四边形是正方形，故②正确； 若，则， ∵， ∴，故③错误； 若四边形为正方形，则，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故④正确； 综上，正确的是①②④． 【变式1】．如图，在正方形中，点是的中点，点是的中点，与相交于点，设．得到以下结论：①；②；③；④．则上述结论正确的是______． 【答案】①②③④ 【分析】先证明，可得到，继而证得，故①正确；延长交延长线于点M，再证明，可得，由，可得，故②正确；由勾股定理和面积可得：，故③正确；过点作于点，，交的延长线于点N，则四边形是矩形，证明，得到，则可证明四边形是正方形，得到，故④正确． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 点是中点，点是中点， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，故①正确； 如图所示，延长交的延长线于点， 在和中， ， ， ， ， ， ∴，故②正确； ， ， ， ， ∴，故③正确； 如图所示，过点作于点，，交的延长线于点N， 则四边形是矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，故④正确， ∴正确的有①②③④． 【变式2】．，已知四边形为正方形，，为对角线上一点，连接，过点作，交射线于点，以，为邻边作矩形，连接． (1)的长为______，______； (2)求证：矩形是正方形； 【答案】(1)；45 (2)见解析 【分析】（1）利用正方形的性质和勾股定理即可得到答案； （2）过点E作于点M，于点N，可证明四边形是矩形，且，则可证明，得到，据此可证明矩形是正方形． 【详解】（1）解：∵四边形为正方形，， ∴， ∴； （2）证明：如图所示，过点E作于点M，于点N， ∴； ∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形是矩形，且， ∴； ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形是正方形． 【变式3】．如图，在正方形中，点是对角线的中点，点是线段上一动点（不与点重合）．连接，作交于点． (1)猜想与的数量关系，并证明； (2)连接，交于点，用等式表示线段，，的数量关系，并证明． 【答案】(1)，理由见解析； (2)，理由见解析； 【分析】（1）通过过点作和的垂线，利用正方形性质得到等腰直角三角形和线段等量关系，再结合进行等角代换，证明两个直角三角形全等，从而得出所求． （2）借鉴正方形中过对角线上一点作两边的垂线构造正方形的经典方法，过点作于点，于点，过点作于点，于点，连接，先利用全等三角形和等腰三角形性质确定各垂线段之间的数量关系，再利用面积法求出点G到两边的距离，最后通过代数恒等变形完成证明． 【详解】（1）， 过点作于点，交于点， ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵、、三点共线，、在直线同侧， ∴， ∴， 又∵在中，， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）， 过点作于点，于点， 过点作于点，于点，连接， ∵四边形是正方形，点在对角线上， ∴， 又∵， ∴，， ∴四边形是正方形，， ∴， ∴，， 设，正方形边长为，则， 又∵， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵点在对角线上， ∴四边形是正方形， 设，则， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴ ， ∴． 【题型15 中点四边形】 考查核心：各类四边形中点四边形的形状判定，重点是正方形相关中点四边形。 解题思路：1. 核心依据：三角形中位线定理（中位线平行且等于底边一半）；2. 形状判定关键：看原四边形对角线的关系（相等、垂直、平分）；3. 固定结论：对角线垂直且相等的四边形，中点四边形是正方形；正方形的中点四边形仍是正方形；4. 解题步骤：先判断原四边形对角线特征，再推导中点四边形的边、角特征，确定形状。 【典例15】．顺次连接矩形各边中点得到的四边形是（   ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】C 【分析】连接矩形的两条对角线，利用三角形中位线定理得到新四边形各边与矩形对角线的关系，结合矩形对角线相等的性质，推出新四边形四边相等，根据菱形的判定定理得到结果． 【详解】解：连接矩形的对角线和，设分别为矩形各边的中点．    ∵分别是矩形各边的中点， ∴，，，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形． 【变式1】．如图，点，，，分别是四边形的各边中点，顺次连接、、、，当（   ）时，四边形是菱形． A． B． C． D．且 【答案】C 【分析】利用三角形中位线定理，将四边形的边长与原四边形的对角线和的长度建立联系，再根据邻边相等的平行四边形是菱形即可解答． 【详解】解：如图，连接，， 点，，，分别是四边形的各边中点， ，， ， 同理可得，， 四边形是平行四边形， 当时，平行四边形是菱形， ，即， 故选：． 【变式2】．如图，在四边形中，、、、分别是边、、、中点，．有下列结论： ①连接，则有； ②若，则以、、、为顶点的四边形为正方形； ③连接，相交于点，则； ④若，则． 上述结论中，正确结论的序号有__________． 【答案】①③④ 【分析】如图：连接，设交于点O，证明四边形是矩形，然后逐个判断即可． 【详解】解：如图：连接， ∵， ∴， 同理：，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，故①正确； ∴，故③正确； ∴，若，则，故④正确； ∵，， ∴， ∴四边形不是正方形，故②错误， 综上可知，正确的有①③④． 【变式3】．【猜想结论】如图1，在中，点、分别是边、的中点，可以根据度量或目测猜想结论：且. 【验证结论】 (1)如图2，是小丽同学所作的辅助线，延长至，使得，连接，根据所作的辅助线，求证：，且． 【应用结论】 (2)如图3，在四边形中，点、、、分别为边、、、的中点，顺次连接四边形各边中点得到新四边形，请利用上述结论和符号语言说明四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了三角形中位线性质的证明和应用，平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质等知识，掌握三角形中位线的性质是解题的关键． （）先证明可得，，可得四边形是平行四边形，由此即可得出结论. （）连接，利用三角形中位线的性质分别得到，，，，即可得到，，进而由平行四边形的判定定理即可求证； 【详解】（1）证明：延长至，使得，连接， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴（）， ∴，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴. （2）证明：连接， ∵点分别为边的中点，    ∴，， 同理可得，， ∴，， ∴四边形是平行四边形． 【题型16（特殊）平行四边形的动点问题】 考查核心：正方形边上动点，探究线段、角度、图形形状变化。 解题思路：1. 定值问题：锁定不变量（正方形边长、角度、对角线关系），排除动点干扰；2. 最值/存在性问题：设动点运动时间/线段长度，用代数式表示动态线段；3. 结合勾股定理、全等三角形、二次函数性质求解；4. 分类讨论：动点在不同边上的不同情况，避免漏解。 【典例16】．如图，在四边形中，，动点P从点B出发，沿射线以每秒3个单位的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段上以每秒1个单位的速度向终点D运动，当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为（    ）秒． A．2或 B．或 C．或 D．2或 【答案】C 【分析】本题考查了动点问题，平行四边形的判定，利用分类讨论的思想解决问题是关键．由题意可得，分两种情况讨论：当点在上时；当点在延长线上时，表示出，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形求解即可． 【详解】解：由题意可知，，， ， ， 当点在上时，， ， 当时，四边形是平行四边形， ， 解得：； 当点在延长线上时，， ， 当时，四边形是平行四边形， ， 解得：， 综上可知，以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为或秒， 故选：C 【变式1】．如图，在边长为的正方形中，为边上一点，且，点在边上以的速度由点向点运动；同时，点在边上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为，连接．当与全等时，的值为（　　） A．1 B．2 C．2或4 D．1或1.5 【答案】C 【分析】此题重点考查正方形的性质、全等三角形的性质．由正方形的性质得，，而，则，再分两种情况讨论，一是当，时，，此时，求得；二是当，时，，由，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是边长为的正方形， ∴，， ∵E为边上一点，且， ∴， 由题意得，则， 当，时，， ∴， ∴； 当，时，， ∴， ∴， 综上，的值为2或4． 故选：C． 【变式2】．如图，在四边形中，，，，、分别从、两点同时出发，以的速度由向运动，以的速度由向运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止．经过_________秒，直线将四边形截出一个平行四边形． 【答案】或 【分析】根据平行四边形的性质可知当直线将四边形截出一个平行四边形时，或，设运动时间为，可得，，根据或列方程求解即可． 【详解】解：设运动时间为， ∵， ∴当直线将四边形截出一个平行四边形时，或， ∵、的速度分别为和， ∴，， ∵，， ∴当时，， 解得：， 当时，， 解得：． 综上所述：经过或秒，直线将四边形截出一个平行四边形． 【变式3】．如图，平面直角坐标系中，点为坐标原点，四边形为矩形，，．点是的中点，点在边上以每秒1个单位长的速度由点向点运动．设动点的运动时间为秒． (1)当四边形是平行四边形时，求的值； (2)在线段上是否存在一点，使得四边形为菱形？若存在，求当四边形为菱形时的值，并求出点的坐标：若不存在，请说明理由； (3)若点是平面内一点，且、、、四点为顶点的四边形构成菱形，则符合条件的的坐标有_____． 【答案】(1) (2)存在，， (3)或或或 【分析】（1）根据平行四边形的性质就可以知道，可以求出，从而可以求出的值． （2）要使为菱形，可以得出，由三角形的勾股定理就可以求出的值而求出的值． （3）分三种情况①当为菱形的边时，②当为菱形的边时，③当为菱形的边时，分别画图求解． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形，，，点是的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ， ， ． （2）解：∵四边形为菱形，点是线段上一点， ， ， ， ∴，． （3）解：①当为菱形的边时，， 则，， ∴， ∴； ②当为菱形的边时，， ∵， ∴，解得或， ∴或， ∴或， ∴或； ③当为菱形的边时，，点P与点M关于对称， 过点P作， ∴， ∴， ∴， 综上，或或或． 【题型17 四边形中的线段最值问题】 考查核心：正方形背景下线段最短、线段和差最值问题。 解题思路：1. 核心模型：将军饮马模型（对称转化求最短路径）；2. 正方形对称优势：利用正方形对称轴做对称点，将折线段转化为直线段；3. 线段最大值：利用三角形三边关系、直径最长等性质；4. 步骤：找对称点→转化线段→结合勾股定理计算最值长度。 【典例17】．如图，在中，，，以为一边向三角形外作正方形，正方形的中心为，则的长最大值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用旋转变换构造全等三角形，将转化到中，结合三角形三边关系求解最大值． 【详解】 解：将绕点逆时针旋转得到，连接， 四边形是正方形，为中心， ，， 由旋转性质可知：， ，，， ， 是等腰直角三角形， ， 在中，，， 根据三角形三边关系，， ， ， 当 ，， 三点共线时， 取得最大值，最大值． 【变式1】．如图，四边形为菱形，，两点的坐标分别是、，点，在坐标轴上，点在上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作点关于直线的对称点，连接交的延长线于点，连接，连接交于点，根据勾股定理可求得的长，再利用菱形的面积可求得的长，再次根据勾股定理求解即可． 【详解】解：作点关于直线的对称点，连接交的延长线于点，连接，连接交于点， 则， ，， ， 当点与点重合时，的值最小， 四边形为菱形，、， ，， ，， ， ， ， 解得， ， ． 【变式2】．如图在矩形中，，，点E是边的中点，点F是矩形左侧的一个动点，且，连接，线段的最大长度_____________． 【答案】 【分析】使用勾股定理计算出，由“三角形的两边之和大于第三边”可知，，因此当，，三点共线时，最大． 【详解】解：∵点是的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 在直角中，， ∵， ∴当，，三点共线时，取得最大值． 【变式3】．如图1，在平面直角坐标系中，点、、、的坐标分别为、、、，连接和，点为线段上从左向右运动的点，以为边作菱形，其中点落在轴上． (1)则的长为______，的度数为______； (2)在点运动过程中，是否能使得四边形为正方形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图，当点运动到使菱形的顶点恰好在边上时，求出此时点F的坐标； (4)若点为射线上的动点，连接、，交于点，连接．在运动过程中，的最小值为______． 【答案】(1)， (2)存在， (3) (4) 【分析】（1）过点作于，根据各点坐标得出，，，，四边形是矩形，求出，利用勾股定理求出，是等腰直角三角形，得出； （2）利用正方形的性质及角的和差关系得出，即可证明，得出，即可得出； （3）过点作轴于，延长交延长线于，延长交轴于，根据菱形的性质及平行线的性质得出，可得，得出，，可得是等腰直角三角形，得出,即可得出点坐标； （4）设，，根据菱形点性质，结合中点坐标公式求出，即可得出点在直线上运动，根据垂线段最短即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，过点作于， ∵点、、的坐标分别为、、， ∴，，，， ∴， ∴四边形是矩形，，， ∴， ∴． ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴点运动过程中，能使得四边形为正方形，点坐标为． （3）解：如图，过点作轴于，延长交延长线于，延长交轴于， ∴四边形是矩形，， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴点的坐标为． （4）解：如图，设，， ∵四边形是菱形，、，交于点， ∴点为中点， ∴， ∴点在直线上运动， ∴当轴时，取最小值，最小值为． 【题型18 四边形其他综合问题】 考查核心：正方形与全等、相似、直角三角形、折叠、旋转、动点结合的压轴综合题。 解题思路：1. 拆解题干：将综合题拆分为判定、计算、证明多个基础小问题；2. 巧用转化思想：旋转、折叠转化全等，动态问题转化静态几何关系；3. 数形结合：用字母表示线段，列方程求解未知量；4. 规范逻辑：先判定图形、再推线段角度、最后求解或证明，分层解题，逐步突破难点。 【典例8】．如图，在中，O为的中点，点E，M为同一边上任意两个不重合的动点（不与端点重合），的延长线分别与的另一边交于点F，N，连接，下面四个推断： ①；②；③若是菱形，则至少存在一个四边形是菱形；④对于任意的，存在无数个四边形是矩形；其中所有正确的有（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定，菱形的判定和性质，平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定和性质，证明四边形是平行四边形是解题的关键． 由“”可证，，可证四边形是平行四边形，可得，与不一定相等，故①错误，②正确，由菱形的判定和性质和矩形的判定可判断③错误，④正确． 【详解】解：如图1，∵O为对角线的中点， ∴，， ∴， 在和中， ，    ∴， ∴， 同理可得：， ∴，即； 又∵， ∴四边形是平行四边形，   ∴，故②正确； 根据现有条件无法证明，故①错误． 若平行四边形是菱形，则， ∴， ∵点E，M为边上任意两个不重合的动点(不与端点重合)， ∴， ∴四边形不可能是菱形，故③不正确； 如图2，当时，则， ∵四边形是平行四边形， ∴边形是矩形， 又∵存在无数个点E、M满足， ∴对于任意的，存在无数个四边形是矩形，故④正确；        综上所述，正确结论为②④． 故选：D． 【变式1】．如图1是七巧板图案，现将它剪拼成一个“台灯”造型（如图2），过该造型的上下左侧五点作矩形，使得，点N为的中点，并且在矩形内右上角部分留出正方形作为印章区域（），形成一幅装饰画，则矩形的周长为 __．若点M，N，E在同一直线上，且点H到的距离与到的距离相等，则印章区域的面积为 __． 【答案】 64 12.25 【分析】本题考查正方形的性质及矩形的性质，能由图1求出各图形的边长是解题的关键．根据“台灯”的造型及图1，可求出的长，进而可求出矩形的周长；延长经过点E并与相交于点L，连接，可得出四边形是平行四边形，求出长即可解决问题． 【详解】解：由图1可知， 七巧板中的等腰直角三角形最大的直角边长为6，然后，最小的直角边长为3， 正方形和平行四边形的短边长都是3． 过点N作和的垂线，垂足分别为J，K，则， 又 ，且是等腰直角三角形， ，故． 又， 四边形是矩形， ． 又， ， 故矩形的周长为． 延长经过点E与交于点L，连接， ，且， ． 又点H到的距离与到的距离相等， 点H在的角平分线上，则． ， ， 又， 四边形是平行四边形． 又， ． ．则， 四边形是正方形， 印章区域的面积为． 故答案为：64，12.25． 【变式2】．已知，如图点M为的边中点，点D为直线上一个动点（不与点A重合），，连接． (1)如图1，当点D与M重合时，求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，当时，求证：四边形是矩形； (3)如图3，延长交边于点H，过点D作于点F，若，且，求证：四边形是正方形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）先判断出，进而判断出，即可得出结论； （2）过点M作交延长线于点G，先判断出四边形是平行四边形，借助（1）的结论即可得出四边形是平行四边形，结合，即可证明四边形是矩形； （3）取线段的中点I，连接，过点M作交延长线于点G，先判断出四边形是平行四边形，借助（1）的结论即可证明四边形是平行四边形；再证明四边形是矩形；判断出，，则是等腰直角三角形，进而得出，推出是等腰直角三角形，得到，即可证明． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵点M为中点，且D与M重合， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）证明：如图2，过点M作交延长线于点G， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， 由（1）同理可证：， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； （3）解：如图3，取线段的中点I，连接，过点M作交于点G， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， 由（1）同理可证：， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，即， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是矩形； ∵， ∴是的中位线， ∴，， ∵，且， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴四边形是正方形． 【变式3】．如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫作垂美四边形． (1)概念理解：下列四边形中：①正方形，②矩形，③菱形，④平行四边形，是垂美四边形的是___________（填写序号）； (2)性质探究：如图1，垂美四边形中，，垂足为，试猜想：与的数量关系，并说明理由； (3)问题解决：如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，且与相交于点，已知，求的长． 【答案】(1)①③ (2)；理由见解析 (3) 【分析】（1）根据垂美四边形的定义进行判断即可； （2）根据勾股定理得出，，，，即可得出结论； （3）连接，，设交点为，根据勾股定理得出，证明，得出，证明，得出，根据解析（2）的结论可知，，求出，即可得出结论． 【详解】（1）解：正方形的对角线互相垂直平分且相等； 矩形的对角线互相平分且相等； 菱形对角线互相垂直平分； 平行四边形的对角线互相平分； 因此是垂美四边形的是①③； （2）解：；理由如下： ∵， ∴， ∴，，，， ∴，， ∴； （3）解：连接，，如图所示：设交点为， ∵在中，，， ∴， ∵四边形和为正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 根据解析（2）的结论可知，， ∵，， ∴， ∴． 05 过关•检测 1．如图，在正方形中，对角线交于点，若，则正方形的周长为（   ） A． B．4 C． D．8 【答案】B 【分析】设正方形边长为，利用勾股定理解出即可． 【详解】解：设正方形边长为， ，即， 解得（负值已舍去）， 故正方形的周长为． 2．如图，将一张正方形纸片的顶点A折叠至边上的E点，折痕为，若折痕比边长长2，，则正方形的边长为（   ） A．20 B．22 C．24 D．25 【答案】C 【分析】先过点作于点，利用三角形全等的判定得到，从而求出，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：过点作于点， 由正方形的性质得，，， ，， 由折叠得到， ， 又， ， ∴，又， ， ∴． 在中，，， 由勾股定理得， 解得，即正方形的边长为24． 3．如图，已知正方形，点E为边上一点，连接，作的垂直平分线交于点G，交于点F，若，，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设正方形的边长为，，则，，，；由是的垂直平分线得，，可得，，消去可求出得，，由勾股定理得，从而可求出的周长． 【详解】解：设正方形的边长为，， ∴，，，； ∵是的垂直平分线， ∴，， 由得， 整理得； 由得， 整理得， 代入，得：， 整理得， ②代入①得：， 解得：， ∴， 即，， 在中，， 所以，的周长为． 4．如图，在中，，点从点出发沿边向点运动，运动到点停止，过点分别作交于点，交于点，则四边形形状的变化描述最准确的依次为（   ） A．矩形→菱形→矩形 B．矩形→正方形→矩形 C．平行四边形→菱形→平行四边形 D．平行四边形→正方形→平行四边形 【答案】B 【分析】根据得四边形是平行四边形，再根据得平行四边形是矩形，由此得在点的运动过程中，四边形始终是矩形，只有当时，矩形是正方形，据此即可得出答案． 【详解】解：∵ 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是矩形， 在点的运动过程中，四边形始终是矩形， 当时，矩形是正方形， 四边形形状的变化依次为：矩形正方形矩形． 5．如图，正方形中，为边上一点，，连接，过点作于，交于，在射线上截取，连接，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用勾股定理和面积法求出、的长度，即可得、的长度，过点作于点，构造与全等的，得到、的长度，最后利用勾股定理计算出即可． 【详解】解：∵正方形中，， ∴，，， ∴​， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴ ∴， 如图，过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在△和中， ， ​∴， ∴，， ∴， ∴． 6．如图，点D是的边的中点，按下列方法尺规作图：先以点D为角的顶点，以所在射线为角的一边，在的右侧作，然后在射线上截取，最后连接．根据以上条件和作法，下列判断不正确的是（   ） A．若，则四边形是菱形 B．若四边形是菱形，则是直角三角形 C．若，则四边形是矩形 D．若是直角三角形，则四边形是正方形 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，矩形的判定，正方形的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据作图过程，证明四边形是平行四边形，又因为点D是的边的中点，证明四边形是平行四边形，然后结合每个选项的条件进行分析，即可作答． 【详解】解：∵ ， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵点D是的边的中点， ∴ ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， 故A选项正确，不符合题意； ∵四边形是菱形， ∴ ∵ ， ∴， ∴， 则是直角三角形, 故B选项正确，不符合题意； ∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， 故C选项正确，不符合题意； ∵是直角三角形， ∴当时， ∵ ∴ 此时， 则四边形不是正方形， 或当时， 此时， 则四边形不是正方形， 或当时， ∵， ∴， 但不一定相等， 则四边形不是正方形， 故D选项不正确，符合题意； 7．如图，点在正方形内，满足，，，则图中阴影部分的面积是（    ） A．18 B．19 C．25 D．31 【答案】B 【详解】解：由勾股定理得， ． 8．如图，在边长为3的正方形中，P是上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作和的垂线，垂足分别为E、F．的值为（    ） A． B．3 C． D．不确定 【答案】A 【分析】由正方形性质可得，由勾股定理得对角线，则有，然后通过即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵在正方形中，， ∴，， 同理可得， ∴， ∴， ∴． 9．如图，在正方形中，点在的延长线上，点是的中点，连接并延长交于点，连接，，，则（  ） A． B．5 C． D．10 【答案】D 【分析】根据正方形的性质得到，求出的长，再根据三角形的面积公式可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴． 10．如图，四边形为正方形，为对角线上一点，交于点，过点作于点．若，则的长为（    ） A． B．5 C． D．6 【答案】B 【分析】连接、，设和相交于点O，先根据正方形的性质推导出得到，；再根据四边形的内角和为和补角性质得到，则，然后证明得到即可解答． 【详解】解：连接、，设和相交于点O， ∵四边形是正方形，， ∴，，，，，， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，则， 又∵，， ∴， ∴． 11．已知正方形，连接、，平分交于点E，则______． 【答案】 【分析】根据正方形的性质可知，然后由角平分线的定义即可解答． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 又∵平分， ∴． 12．定义：在平面内，一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有点的最短距离，在平面内有一个正方形，边长为3，中心为，在正方形外有一点，当正方形绕着点旋转时，则点到正方形的最短距离的取值范围为_____． 【答案】 【分析】由题意以及正方形的性质得过正方形各边的中点时，d最大，过正方形的顶点时，d最小，分别求出d的值即可得出答案． 【详解】解：设的中点是E， 当过点E时，如图： ∴点O与边上所有点的连线中，最小，此时最小， ∵正方形边长为3，O为正方形中心， ∴，，， ∴， ∵， ∴； 当过顶点A时，如图：            ∴点O与边上所有点的连线中，最大，此时最小， ∵正方形边长为3，O为正方形中心， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴d的取值范围为． 13．如图，正方形的面积为16，点、分别是边、上的动点，连接、，点为的中点，点为的中点，连接，则的最大值是______． 【答案】 【分析】连接，由三角形的中位线性质可知，，所以要使最大，只要达到最大即可，当与重合时，达到最大，这样即可求解本题． 【详解】解：如图，连接，， 正方形的面积为， ， ， 点为的中点，点为的中点， ， 当有最大值时，有最大值， 点是边上的动点， 当点与点重合时，有最大值为， 的最大值为． 14．四边形ABCD是正方形，O是其中心，以OC为边作一个正六边形，度数是____． 【答案】 【分析】根据正方形的性质可得和，根据正六边形的性质可得其内角为，即，最后利用四边形的内角和为即可求的度数． 【详解】解：设与交于点， ∵四边形是正方形, ∴，, ∵以为边作一个正六边形， ∴正六边形的内角为， ∴． 在四边形中，由四边形内角和定理得：， 即， ∴． 15．如图，在平行四边形中，于点E，，，P，F分别是，上的动点，当的值最小时，的长为_________． 【答案】 【分析】在上截取，过点G作于点Q，交于点H，根据垂线段最短，勾股定理求解即可 【详解】解：在上截取，过点G作于点Q，交于点H， ， 垂直平分， ， 故当P与点H重合时，的值最小，且最小值为，， ，， ， 故， 根据三角形的面积，得， 故， ， 故的长为 16．如图，在正方形中，为上一点（不与点B、C重合），连接，为延长线上一点，，连接，，过点作于点，连接．给出下面四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是_______． 【答案】①②④ 【分析】根据正方形的性质证明，即可判断①②，根据等腰直角三角形的性质即可判断③④，进而可得答案. 【详解】解：四边形为正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， 结论①正确； ， ， ， 又， 是等腰直角三角形， 结论②正确； 在等腰中，， ， ， ， ， ∴结论③错误， ， 是的中点， ， ， 结论④正确； 综上，正确结论的序号是①②④． 17．如图，正方形的对角线、交于点，是上一点，，垂足为．与相交于点． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用等角的余角相等即可证明； （2）利用证明即可得到． 【详解】（1）证明：∵正方形的对角线、交于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵正方形的对角线、交于点， ∴， ∵，即， ∵， ∴， ∴． 18．【问题探究】 如图，正方形中，是对角线，现有较大的直角三角板，一边始终经过点．直角顶点在射线上移动，另一边交于． (1)如图1，当点在边上时，探究与所满足的数量关系；小明同学探究此问题的方法是：过点作于点，于点，根据正方形的性质和角平分线的性质很容易证明，得出结论，请你帮他写出完整的证明过程 (2)【类比思考】如图2，当点落在的延长线上时，猜想并写出与满足的数量关系，并证明你的猜想． (3)【拓展应用】如图3，过点作于点，若正方形的边长为2，则在点运动的过程中，发现的长度不发生变化，请直接写出这个不变的值为______． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）过P作，先证明四边形为正方形，再证明，即可得到结论； （2）过P作，先证明四边形为正方形，再证明，从而可得结论． （3）连接，根据正方形的性质，对角线垂直和同角的余角相等，证明，即可得解． 【详解】（1）证明：过P作，如图所示： ∵P，C为正方形对角线上的点， ∴平分，， ∴， ∴四边形为正方形， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴． （2）解：，理由如下， 过P作， ∴ ∵P，C为正方形对角线上的点， ∴平分，， ∴， ∴四边形为正方形， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：在P点运动的过程中，的长度不发生变化．理由如下： 如图，连接． ∵四边形是边长为2的正方形， ∴， ∵点O是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴． 由（1）得：， ∴， ∴． ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 即的长不发生变化，为． 19．如图，在矩形中，，．点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上以每秒的速度从点出发，在之间往返运动，两点同时出发，当点到达点时停止，求经过多长时间，四边形为矩形？ 【答案】当经过的时间为秒或4秒或秒或12秒时，四边形是矩形 【分析】根据矩形的判定条件：有一个角是直角的平行四边形是矩形，已知，，故只要使得，四边形即为矩形，分类讨论点Q的不同情况，用含t的式子表示，列方程求解即可． 【详解】解：四边形是矩形，， ， 当时，四边形是矩形，设运动的时间为秒， 点在边上以每秒的速度从点向点运动，到达点时停止， 点的运动时间为：（秒）， 又点在边上以每秒的速度从点出发，在间往返运动， 点从点到点的运动时间为：（秒）， 有以下四种情况： ①当时，此时点从点向点运动，，， 又当时，四边形是矩形， ， 解得：， 当秒时，四边形是矩形； ②当时，此时点从点向点运动，， 又当时，四边形是矩形， ， 解得：， 当秒时，四边形是矩形； ③当时，此时点从点向点运动，， 又当时，四边形是矩形， ， 解得：， 当秒时，四边形是矩形； ④当时，此时点从点向点运动，， 又当时，四边形是矩形， ， 解得：， 当秒时，四边形是矩形， 综上所述：当经过的时间为秒或4秒或秒或12秒时，四边形是矩形． 20．［问题探究］ (1)如图1，在矩形中，点E、F、G分别在、、边上，，连接EF，过点G作，交的延长线于点H，若，则的长为__________； (2)如图2，菱形的对角线、相交于点O，点P、Q分别是、边上的动点（不与端点重合），连接、，点M、N分别是、的中点，连接，若，，求的最小值； 【问题解决】 (3)如图3，李叔叔家有一个正方形菜地，他计划对其进行改造，点P为菜地内一动点，且，点E为的中点，点F、G分别为、边上的动点，在改造的过程中始终要满足，连接，点Q为的中点，他计划在区域内种植茄子，在区域内种植西红柿，其余区域内种植辣椒，并分别沿、修建灌溉水渠，经测量，米，为了控制成本，要求灌溉水渠的总长度尽可能的短．求当灌溉水渠的总长度最小时，点G的位置（即求的长度）．（水渠的宽度忽略不计） 【答案】(1) (2) (3)米 【分析】（1）可证得，从而， （2）连接，连接，交于O，根据三角形中位线的性质得出，从而得出当时，最小，从而最小，根据可求得，进而得出结果； （3）取的中点T，作射线，交延长线于，在的延长线上截取，连接，可证得是矩形，从而，进而求得的值，可证得，从而，从而得出，作于V，则最小值是的值，进一步得出结果． 【详解】（1）解：如图， 四边形是矩形，， ∵， ， ， ， ； （2）解：如图1， 连接，连接，交于O， 点M、N分别是、的中点， ， 当时，最小，从而最小， 四边形是菱形， ，，， ， ， 由， ， ， ； （3）解：如图2， 取的中点T，作射线，交延长线于，在的延长线上截取，连接， 四边形是矩形， ，，， ，为的中点， ，， ， 四边形是平行四边形， 是矩形，， ，， 米， ， ， ， ， 是的中点， ， ， 作于V， 则最小值是的值，此时W、G、H三点共线， ，， ， ，即， 米， ， 在中，， ∴， 解得米． 21．如图，在矩形中，E，F分别为边，上的点，，，相交于点G，过点C作，交的延长线于点H，且． (1)求证：四边形是正方形． (2)已知，． ①连接，求的长． ②请直接写出与之间的距离． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】（1）先证明，得出，再根据有一组邻边相等的矩形为正方形，即可证明矩形为正方形； （2）①过点D作于点M，根据，，求出，，用等积法求出，，根据勾股定理求出，求出，根据勾股定理求出即可； ②过点C作于点N，证明，得出，根据勾股定理求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴矩形为正方形； （2）解：①过点D作于点M，如图所示： ∵四边形为正方形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 根据解析（1）可知：， ∴， ∴， ∴， 同理得：， 在中，根据勾股定理得： ， ∴， 在中，根据勾股定理得：； ②过点C作于点N，如图所示： 则， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得：， 即与之间的距离为． 22．如图1，正方形中，E，F分别为，上的点，，垂足为H． (1)求证：； (2)如图2，连接，交于点M，O为的中点，交于点N，连接．求证：； (3)如图3，若正方形的边长为10，P，Q是上两动点，且，请直接写出的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）证明，利用全等三角形的对应边相等可证得结论； （2）过点作交于点， 可证出，得，，利用勾股定理得到，进而可证得结论； （3）过点B作的平行线，过点P作的平行线，两线交于点G，过点G作于点H，交于点K，连接，则四边形为平行四边形，可以得到，当G、P、D三点共线时，最小，最小值为长，然后根据等腰直角三角形的判定与性质及勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：过点作交于点，则， ∵四边形是正方形，O为的中点， ∴，，即， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）解：过点B作的平行线，过点P作的平行线，两线交于点G，过点G作于点H，交于点K，则四边形为平行四边形， ∴，， ∴，即当G、P、D三点共线时，最小，最小值为的长， ∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， 又∵，， ∴，四边形是矩形， ∴， ∴，， ∴， ∴最小值为． 23．如图1，已知正方形的对角线、相交于点O，E是直线上一点，连接，过点A作直线的垂线，垂足为M，交直线于点F． (1)求证； (2)若点E在的延长线上，其它条件不变，则结论“”还成立吗？如果成立，请在备用图上将图形补充完整并给出证明；如果不成立，请说明理由． (3)若点E在的延长线上，其他条件不变，请你将图形补充完整，并回答：结论“”还成立吗？（提醒：先画图再回答、不需要说明理由：只回答、不画图不得分） 【答案】(1)见解析 (2)成立，证明见解析 (3)成立，证明见解析 【分析】（1）由正方形得到，，然后证明出，即可得到； （2）由正方形得到，，然后证明出，即可得到； （3）由正方形得到，，然后证明出，即可得到． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形． ∴，． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：成立． 证明：∵四边形是正方形，如图， ∴，． 又∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：成立． 证明：如图， ∵四边形是正方形， ∴，． 又∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 24．已知正方形． (1)如图1，是上一点，过上一点作的垂线，交于点，交于点，求证：； (2)如图2，过正方形内任意一点作两条互相垂直的直线，分别交，于点，，交，于点，，判断与的数量关系并证明； (3)当点在正方形的边上或外部时，过点作两条互相垂直的直线，其中一种情形如图3所示，过正方形外一点作互相垂直的两条直线，，直线与，的延长线分别交于点，，直线与，的延长线分别交于点，，试就该图形判断与的数量关系并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3)相等，证明见解析 【分析】（1）过点作的平行线，交于点，交于点，得四边形为平行四边形，得到，证明，即可得证； （2）过作，过作，则，证明，即可得证； （3）过点作的平行线交于点，过点作的平行线交于点，同法（1）即可得证． 【详解】（1）证明：在图中，过点作的平行线，交于点，交于点， 是正方形， ，，，， ∴四边形为平行四边形， ∴； ，， ． ． ． 在和中， ， ， ； （2）解：，理由如下： 过作，过作，则， ，， 又， ， ，， ， ， ； （3）解：．证明如下： 过点作的平行线交于点，过点作的平行线交于点． ∵，， ∴四边形，四边形均为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 同（1）法可知，， ． ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $