第10讲 正方形与四边形综合（知识详解+18典例分析+习题巩固）2025-2026学年人教版八年级数学下册同步讲义与测试

第10讲 正方形与四边形综合（知识详解+18典例分析+习题巩固） 【知识点01】正方形的定义 1.正方形的定义 定义 数学语言 图示 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形 在▱ABCD中，若AB＝BC(或AB＝AD或BC＝CD或AD＝CD)且∠A＝90°(或∠B＝90 ° 或∠C＝90° 或∠D＝90°)则▱ABCD 是正方形 2. 四边形定义间的关系 【知识点02】正方形的性质 1. 正方形的性质 性质 数学语言 图示 边 对边平行，四条边都相等 ∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝BC＝CD＝AD 角 四个角都是直角 ∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90° 对角线 互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组 对角 ∵ 四边形ABCD 是正方形，∴ AC⊥BD，OA＝OB＝OC＝OD ，∠CAD＝∠CAB＝∠ABD＝∠CBD＝∠ACB＝∠ACD＝∠BDC＝∠ADB＝45° 对称性 正方形是轴对称图形， 有四条对称轴 直线AC，BD，m，n 均是正方形ABCD 的对称轴 2. 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质对比 类型 平行四边形 矩形 菱形 正方形 边 共性 对边平行且相等 特性 四条边都相等 角 共性 对角相等且邻角互补 特性 四个角都是直角 四个角都是直角 对角线 共性 对角线互相平分 特性 对角线相等 对角线互相垂直 对角线相等且互相垂直 对称性 共性 轴对称图形 特性 2条对称轴 2条对称轴 4条对称轴 【知识点03】正方形的判定 1. 正方形的判定方法 (1)从四边形出发：①有四条边相等，四个角都是直角的四边形是正方形；②对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形； (2)从平行四边形出发：①有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形；②对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形； (3)从矩形出发：① 有一组邻边相等的矩形是正方形；②对角线互相垂直的矩形是正方形； (4)从菱形出发：① 有一个角是直角的菱形是正方形；②对角线相等的菱形是正方形. 2. 四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的转化关系 【题型一】正方形性质理解 例1．（25-26八年级下·全国·课后作业）正方形具有而菱形不一定具有的性质是（   ） A．对角线相等 B．对角线互相垂直 C．对角线平分一组对角 D．对角线互相平分 变式1．（23-24八年级下·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，已知正方形的三个顶点的坐标分别为，，，其中，则点的坐标为______． 变式2．（24-25八年级下·江西赣州·期末）如图，正方形放置在矩形上，且，请仅用无刻度的直尺按要求完成作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，画出的中点； (2)在图2中，画出的中点． 【题型二】根据正方形的性质求角度 例2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，正方形的对角线相交于点O，则的度数是（    ） A． B． C． D． 变式1．（24-25八年级下·陕西延安·期末）如图，在正方形中，点为对角线上一点，若，则的度数为________． 变式2．（24-25八年级下·北京昌平·期末）正方形，点E是线段上一点，作射线，交于点F，．点A关于射线的对称点为点G，连接，，线段与，分别交于点P，Q． (1)①补全图形； ②求的度数； (2)延长交射线于点H，连接，若，用等式表示，，的数量关系，并证明． 【题型三】根据正方形的性质求线段长 例3．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图所示，已知正方形边长为，连接平分交于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，四边形是正方形，是边上一点，于点，，且交于点．已知，，则的长度为___________． 变式2．（25-26八年级下·全国·月考）如图，在的网格中，每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点叫作格点．请仅用无刻度的直尺按下列要求作图． (1)在图①中作边长为且顶点在格点上的正方形． (2)在图②中作斜边长为且顶点在格点上的等腰直角三角形． 【题型四】根据正方形的性质求面积 例4．（24-25八年级下·云南普洱·期末）如图，四边形是正方形，是延长线上一点．已知，，则正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 变式1．（2026·广东中山·模拟预测）如图，边长分别为8，4，2的正方形拼接在一起，三点分别是正方形的中心，则图中阴影部分的面积为_______． 变式2．（24-25八年级下·吉林松原·期中）图①、图2、图③均是的正方形网格，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫作格点，以格点为顶点分别按下列要求画图形． (1)在图①中画一个直角三角形，使它的三边长均为有理数； (2)在图②中画一个正方形，使其面积为5； (3)在图③中画一个平行四边形，使其一条对角线长为． 【题型五】正方形折叠问题 例5．（2025·西藏·中考真题）如图，在正方形中，，点E是的中点，把沿折叠，点B落在点F处，延长交于点G，连接，则的长为（   ） A． B．2 C． D． 变式1．（23-24八年级下·河南洛阳·月考）如图，四边形是边长为8的正方形纸片，将其沿折叠，使点B落在边上的处，点A对应点为，且，则的长是________． 变式2．（24-25八年级下·广西河池·期末）如图，正方形的边长为2，点是边的中点，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得到，延长交于点． (1)判断和的数量关系，并说明理由； (2)求四边形的面积． 【题型六】求正方形重叠部分面积 例6．（24-25八年级下·四川遂宁·期末）如图，正方形的对角线相交于点，点是正方形的一个顶点，已知两个正方形的边长都为，那么绕点转动正方形，两个正方形重叠部分的面积为（  ）． A．12 B．9 C． D．不确定 变式1．（22-23八年级下·全国·假期作业）如图，边长为6cm的正方形ABCD先向上平移3cm，再向右平移1.5cm，得到正方形，此时阴影部分的面积为________cm2 【题型七】根据正方形的性质证明 例7．（23-24八年级下·陕西商洛·期末）如图，在菱形中，连接，有以下结论：①当时，菱形是正方形；②当时，菱形是正方形，下列说法正确的是（   ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①错误，②错误 D．①正确，②正确 变式1．（22-23八年级下·山东临沂·期中）如图，正方形的对角线相交于点O，以O为顶点的正方形的两边分别交正方形的边于点．记的面积为的面积为，若正方形的边长，则的大小为____________． 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，正方形的边长为1，、分别为边、上的点，的周长为2，连接．求证： (1)； (2)． 【题型八】正方形的判定定理理解 例8．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列叙述错误的是（    ） A．既是矩形又是菱形的四边形是正方形 B．有一组邻边相等的矩形是正方形 C．有一个角是直角的菱形是正方形 D．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 变式1．（22-23八年级下·新疆阿克苏·期末）如图，数学课上老师给出了以下四个条件：a两组对边分别平行；b对角线互相平分；c对角线互相垂直；d一个角是直角．有三位同学给出了不同的组合方式：．你认为能得到正方形的是______．（填写你认为正确的序号） 变式2．（24-25八年级下·湖北恩施·期中）如图，点为直线外一点，垂直于直线，垂足为．在图中作正方形，使点、在直线上（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）：并根据作图证明所作四边形是正方形． 【题型九】添一个条件使四边形是正方形 例9．（2026八年级下·全国·专题练习）如图，在矩形中，对角线、交于点O，添加下列一个条件，能使矩形成为正方形的是（   ） A． B． C． D． 变式1．（24-25八年级下·福建福州·期中）在菱形中，添加一个条件_____，使菱形是正方形． 变式2．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在中，，为中点，过点作，交于点，过点作，交的延长线于点，连接，．    (1)判断四边形的形状，并说明理由． (2)当满足条件 时，四边形是正方形． 【题型十】证明四边形是正方形 例10．（23-24八年级下·湖南邵阳·期中）若四边形的对角线互相垂直平分且相等，则它一定是（   ）． A．菱形 B．正方形 C．等腰梯形 D．以上说法均不正确 变式1．（23-24八年级下·黑龙江大庆·期中）四边形的对角线，分别过A，B，C，D作对角线的平行线，所成的四边形是______． 变式2．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）如图，在矩形中，平分，平分交于点E，点E在边上，．求证：四边形是正方形． 【题型十一】根据正方形的性质与判定求角度 例11．如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别是对角线AC上的两点，EG⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J．则图中阴影部分的面积等于___． 变式1．（2024·山东菏泽·二模）【方法回顾】 如图1，在中，D，E分别是边的中点，小明在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长到点F，使，连接，证明，再证四边形是平行四边形即得证． （1）上述证明过程中： ①证明的依据是（_____） A．    B．    C．    D． ②证明四边形是平行四边形的依据是_______； 【类比迁移】 （2）如图2，是的中线，交于点E，交于点F，且，求证：．小明发现可以类比材料中的思路进行证明． 证明：如图2，延长至点G，使，连接，请根据小明的思路完成证明过程； 【理解运用】 （3）如图3，四边形与四边形均为正方形，连接，点P是的中点，连接．请判断线段与的数量关系及位置关系．（不要求证明） 【题型十二】根据正方形的性质与判定求线段长 例12．（24-25八年级下·河北保定·期末）如图，在矩形中，，E为边上一个动点，连接．将沿折叠，使点B落在边上的点P处． 结论Ⅰ：当点P与点D重合时，此时四边形为正方形； 结论Ⅱ：当P为的中点时，． 关于结论Ⅰ，Ⅱ，下列判断正确的是（　　） A．结论Ⅰ对，结论Ⅱ错 B．结论Ⅰ错，结论Ⅱ对 C．结论Ⅰ，Ⅱ都对 D．结论Ⅰ，Ⅱ都错 变式1．（2025·四川广元·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点B是x轴负半轴上的动点，点C是y轴负半轴上的动点，，则________． 变式2．（24-25八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图1，在正方形中，E是上一点，F是延长线上一点，且，连接． (1)求证：； (2)在图1中，若G在上，且，连接，求证：； (3)根据你所学的知识，运用（1）（2）解答中积累的经验，完成下题： 如图2，在四边形中，是的中点，且，直接写出的长； 【题型十三】根据正方形的性质与判定求面积 例13．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）如图，点是矩形边上一点（）．且，过点作交于点，在上取点使，连结．记四边形面积为，四边形面积为，，若，则（   ） A．10 B．12 C．20 D．24 变式1．如图，已知点E为正方形ABCD外一点，连接AE、BE，∠AEB=90°，过C点作CF//AE，过D点作DF//BE，交点为F，连接EF，若AE=5，BE=4，则四边形EBCF的面积为________． 变式2．（23-24八年级下·安徽池州·月考）如图，在正方形中，点分别在边上，是等边三角形，连接交于点． (1)求证：． (2)①______； ②求证：． (3)求证：． 【题型十四】根据正方形的性质与判定证明 例14．（2025八年级下·全国·专题练习）已知四边形和都是正方形，点F在线段上，连接、，交于点H．若，则（    ） A． B． C． D． 变式1．（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）顺次连接对角线垂直平分且相等的四边形各边中点所得的四边形是________． 变式2．（24-25八年级下·河北保定·期末）题情境： 如图，四边形为正方形，点为对角线上的一动点，连接，过点作，交直线于点，以为邻边作矩形，连接． 猜想证明： （1）求证：四边形是正方形； 解决问题： （2）求的度数； （3）若，，请直接写出的长． 【题型十五】中点四边形 例15．（24-25八年级下·广西南宁·月考）如图，已知矩形的邻边长分别为、，进行如下操作：第一次，顺次连接矩形各边的中点，得到四边形；第二次，顺次连接四边形各边的中点，得到四边形则第次操作后，得到四边形的面积是（    ） A． B． C． D． 变式1．（24-25八年级下·四川凉山·期末）如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形，…，按此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为_______请用含的式子写出你猜想的规律． 变式2．（25-26八年级下·全国·周测）如图，已知E，F，G，H分别是各边的中点，则四边形EFGH是什么四边形？若把条件中的依次改为矩形、菱形、正方形，其他条件不变，则四边形EFGH依次是什么四边形？试说明理由． 【题型十六】（特殊）平行四边形的动点问题 例16．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，在四边形中，，动点P从点B出发，沿射线以每秒3个单位的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段上以每秒1个单位的速度向终点D运动，当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为（    ）秒． A．2或 B．或 C．或 D．2或 变式1．（22-23八年级下·河南驻马店·期末）如图在矩形中，，，为的中点，动点从点出发，以每秒的速度沿运动，最终到达点，若点运动的时间为秒，则当的面积为时，值为________．    变式2．（24-25八年级下·山西太原·月考）综合与探究： 问题情境：复习课上，同学们以三角形纸板为背景结合图形的变化展开探究．如图1，中，，中，． 探究： 将图1中的两个三角形纸板按图2所示的方式摆放，边与边重合．动点从点出发以的速度向点运动，同时，动点从点出发以的速度向点运动．当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动． ①若．判断四边形的形状，并说明理由； ②若，经过多长时间四边形为平行四边形． 【题型十七】四边形中的线段最值问题 例17．（25-26八年级下·全国·周测）如图，在矩形ABCD和矩形EFGH中，，，两矩形重叠部分为平行四边形，且点E与点D重合，则图中阴影部分的周长的最大值是（   ） A．17 B．15 C．14 D．12 变式1．（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，点E是矩形内部一个动点，满足，F为AE上一点且，当，时，则的最小值为______． 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，四边形中，，，，，分别为线段，上的动点（含端点，但点不与点重合），，分别为，的中点，求的最大值． 【题型十八】四边形其他综合问题 例18．（2024·山西临汾·一模）我们在学习多边形时，先认识一般多边形，再认识正多边形；在学习特殊四边形时，先认识平行四边形，再认识特殊的平行四边形——矩形、菱形和正方形……这种研究方法主要体现的数学思想为（    ） A．一般到特殊 B．数形结合思想 C．模型思想 D．分类讨论思想 变式1．如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，以BE为边向上作平行四边形BEFG，连接AG、AF、BF，若，的面积是2，则的面积是_________． 变式2．（2025·新疆乌鲁木齐·二模）如图①，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． 概念理解：如图②，在四边形中，如果，那么四边形是垂美四边形吗？请说明理由． 性质探究：如图①，垂美四边形两组对边，与，之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明． 问题解决：如图②，已知，，，，求垂美四边形的面积． 一、单选题 1．下列命题错误的是（   ） A．平行四边形的对角相等 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．两条对角线相等的平行四边形是矩形 D．正方形的对角线相等 2．四边形不具有稳定性．四条边长都确定的四边形，当内角的大小发生变化时，其形状也随之改变．如图，改变正方形的内角，使正方形变为菱形，如果，那么菱形与正方形的面积之比是（    ）    A． B． C． D．1 3．如图，围绕在正方形四周的四条线段a，b，c，d中，长度最小的是（　　） A．a B．b C．c D．d 4．下列说法中不正确的是（    ） A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 C．有一个内角是直角的平行四边形是矩形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 5．如图，在正方形中，，延长至点，使．过点作于点，同时使，且点与点分别在直线的两旁，连接和．已知的中点为，连接，则的长为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在菱形中，对角线、交于点，点是边上的一个动点（不与、两点重合），过点作射线交边于点，作线段的垂直平分线分别交、边于点、，得到四边形．在点的运动过程中，下列结论正确的是（    ） ①存在无数个四边形是平行四边形； ②存在无数个四边形是矩形； ③存在无数个四边形是菱形； ④至少存在一个四边形是正方形． A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 7．如图，矩形的边上有一点，，垂足为，将绕着点顺时针旋转，使得点的对应点落在上，点恰好落在点处，连接．下列结论：①；②四边形是正方形；③，④．其中结论正确的序号是（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 8．如图（1）在正方形纸片中，各边分别取点E、F、G、H，使得，沿着裁剪，得到的六边形，再沿对角线剪开分成如图（2）两个四边形，将四边形沿的垂直平分线对称得到图（3）四边形，再将与重合（A与重合，C与重合）得如图（4）六边形，连接，则之间的关系是（　　） A． B． C． D． 9．如图，正方形中，点E是边的中点，交于点交于点G，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（   ）    A．①③ B．①②③④ C．①②③ D．①③④ 10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°， 分别以AC， BC为边向外作正方形ACDE与正方形BCFG， H为EG的中点，连接DH，FH．记△FGH的面积为S1，△CDH的面积为S2，若S1－S2＝6，则AB的长为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，在正方形ABCD中，BD是对角线，点E是CD的中点，过点E作EF⊥BD，垂足为点F，若BC=，则EF的长是_________． 12．如图边长为8的正方形沿方向平移6个单位得到正方形，则长为___________． 13．正方形的对称中心为点，若，则该正方形的周长为_______． 14．如图，正方形的边长为7，在各边上顺次截取，则四边形的面积为___________． 15．一个四边形的对角线相等且互相垂直，则它的中点四边形是______形． 16．如图，正方形中，点为边的中点，点在边上，且，若，则线段的长为___________． 17．在正方形ABCD中，点O、点G分别是BD，BF形的中点，，有下列结论： ①；②；③；④4；其中正确的结论是___________．（填写序号） 18．如图，在正方形中，点，分别在，上，，与相交于点．下列结论：①垂直平分；②；③当时，为等边三角形；④当时，．其中正确的是_______． 三、解答题 19．如图，已知在正方形中，E是的中点，F在上，且． (1)请你判断的形状，并说明理由． (2)若此正方形的面积为16，求的长． 20．如图，在与中，，，，相交于点．过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，，相交于点． (1)求证：； (2)满足什么条件时，四边形是正方形？请说明理由． 21．某个车间批量生产零件，图纸如下所示．印有图案外轮廓的钢板在流水线上等待激光机处理．对于一个零件，激光机会沿外轮廓切割一圈，切割的时间不低于安全时间，否则有可能会由于激光切割不充分而出现品控问题．以下是零件的示意图，虚线部分是设计师在设计时的辅助线．根据设计参数，四边形为菱形，四边形为正方形，毫米，毫米． 操作批次 切割长度 操作内容 单次切割时间 1 原零件切割长度 调至最大速度 安全时间2倍 2 550毫米 速度下调50毫米每秒 安全时间+5秒 (1)请求出单个该零件的切割长度． (2)上表为在两个批次的零件生产的生产记录．在第2批生产时，设计人员简化了零件模型，切割长度下降．求安全时间． 22．网格纸上每个小正方形的边长为1． (1)在图1中，以端点均在网格格点上的线段为边画正方形． (2)在图2中，画底边长，腰的等腰，并求高的长度． 23．如图，两个正方形与，连接，二者相交于点H． (1)请说明的位置和数量关系，并给予证明； (2)连接和，请问的面积和的面积有怎样的数量关系？并说明理由． 24．现有一块长方形木板，木工采用如图所示的方式，在长方形木板上截出三个面积分别为4平方分米、8平方分米和18平方分米的正方形木板A，B，C． (1)正方形木板A的边长为 分米，B的边长为 分米，C的边长为 分米； (2)求木板中阴影部分的面积． 25．如图，点是正方形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个正方形，线段和相交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 26．已知，如图，O为正方形对角线的交点，平分，交于点，延长到点，使，连接，交的延长线于点，连接． (1)求证：． (2)判断与有什么关系，证明你的结论． (3)若，求正方形的面积？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 正方形与四边形综合（知识详解+18典例分析+习题巩固） 【知识点01】正方形的定义 1.正方形的定义 定义 数学语言 图示 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形 在▱ABCD中，若AB＝BC(或AB＝AD或BC＝CD或AD＝CD)且∠A＝90°(或∠B＝90 ° 或∠C＝90° 或∠D＝90°)则▱ABCD 是正方形 2. 四边形定义间的关系 【知识点02】正方形的性质 1. 正方形的性质 性质 数学语言 图示 边 对边平行，四条边都相等 ∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝BC＝CD＝AD 角 四个角都是直角 ∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90° 对角线 互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组 对角 ∵ 四边形ABCD 是正方形，∴ AC⊥BD，OA＝OB＝OC＝OD ，∠CAD＝∠CAB＝∠ABD＝∠CBD＝∠ACB＝∠ACD＝∠BDC＝∠ADB＝45° 对称性 正方形是轴对称图形， 有四条对称轴 直线AC，BD，m，n 均是正方形ABCD 的对称轴 2. 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质对比 类型 平行四边形 矩形 菱形 正方形 边 共性 对边平行且相等 特性 四条边都相等 角 共性 对角相等且邻角互补 特性 四个角都是直角 四个角都是直角 对角线 共性 对角线互相平分 特性 对角线相等 对角线互相垂直 对角线相等且互相垂直 对称性 共性 轴对称图形 特性 2条对称轴 2条对称轴 4条对称轴 【知识点03】正方形的判定 1. 正方形的判定方法 (1)从四边形出发：①有四条边相等，四个角都是直角的四边形是正方形；②对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形； (2)从平行四边形出发：①有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形；②对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形； (3)从矩形出发：① 有一组邻边相等的矩形是正方形；②对角线互相垂直的矩形是正方形； (4)从菱形出发：① 有一个角是直角的菱形是正方形；②对角线相等的菱形是正方形. 2. 四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的转化关系 【题型一】正方形性质理解 例1．（25-26八年级下·全国·课后作业）正方形具有而菱形不一定具有的性质是（   ） A．对角线相等 B．对角线互相垂直 C．对角线平分一组对角 D．对角线互相平分 【答案】A 【知识点】正方形性质理解 【分析】正方形是特殊的菱形，具有菱形的所有性质，但对角线相等是正方形独有的性质，菱形不一定具有． 本题考查了正方形与菱形的性质．此题比较简单，解题的关键是熟记正方形与菱形的性质定理． 【详解】解：∵正方形的性质有：四条边都相等，四个角都是直角，对角线互相平分垂直且相等，而且每一条对角线平分一组对角； 又∵ 菱形的性质有：四条边都相等，对角线互相垂直平分，而且每一条对角线平分一组对角； ∴正方形具有而菱形不一定具有的性质是：对角线相等． 故选：A． 变式1．（23-24八年级下·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，已知正方形的三个顶点的坐标分别为，，，其中，则点的坐标为______． 【答案】 【知识点】正方形性质理解、坐标系中的对称 【分析】本题考查了正方形的性质，坐标与图形，关于坐标轴对称的点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据题意可知点，在轴上，且关于轴对称，再根据正方形的性质得点，在轴上，且关于轴对称，得到点的坐标为，进而可得点的坐标． 【详解】解：，， 点，在轴上，且关于轴对称， 四边形是正方形，为对角线， 点，在轴上，且关于轴对称， 又点， ， 即点的坐标为， 点的坐标为． 故答案为：． 变式2．（24-25八年级下·江西赣州·期末）如图，正方形放置在矩形上，且，请仅用无刻度的直尺按要求完成作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，画出的中点； (2)在图2中，画出的中点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】根据矩形的性质求线段长、正方形性质理解 【分析】本题主要考查矩形的性质、正方形的性质及轴对称图形的性质，熟练掌握矩形的性质、正方形的性质及轴对称图形的性质是解题的关键． （1）连接正方形和矩形的对角线交于，作直线交于点，点即为所求； （2）延长交于点，则四边形是矩形，连接正方形和矩形的对角线，交于，作直线交于点，点即为所求． 【详解】（1）解：如图点为所作中点 （2）解：如图点为所作中点 【题型二】根据正方形的性质求角度 例2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，正方形的对角线相交于点O，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据正方形的性质求角度 【分析】根据四边形为正方形，得到，平分，即可求出． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，平分， ∴． 变式1．（24-25八年级下·陕西延安·期末）如图，在正方形中，点为对角线上一点，若，则的度数为________． 【答案】/20度 【知识点】三角形的外角的定义及性质、根据正方形的性质求角度 【分析】本题考查正方形的性质，三角形的外角性质，根据正方形的性质求出，然后利用三角形的外角解答即可． 【详解】解：∵是正方形， ∴， ∴， 故答案为：． 变式2．（24-25八年级下·北京昌平·期末）正方形，点E是线段上一点，作射线，交于点F，．点A关于射线的对称点为点G，连接，，线段与，分别交于点P，Q． (1)①补全图形； ②求的度数； (2)延长交射线于点H，连接，若，用等式表示，，的数量关系，并证明． 【答案】(1)①见解析；② (2)，见解析 【知识点】根据正方形的性质求角度、等腰三角形的性质和判定、全等三角形综合问题 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，轴对称的性质，正确地添加辅助线是解题的关键． （1）①根据题意补全图形即可； ②由点，关于射线对称，得到，，根据等腰三角形的性质得到，求得，得到，推出，于是得到； （2）连接交于点，连接，求得，，得到，求得，根据全等三角形的性质得到，，得到，求得，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：①补全图形如下； ②点，关于射线对称， ，， ， ， 四边形为正方形， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：， 理由：如图，连接交于点，连接， ，， ，， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ，， ，， ， ． 【题型三】根据正方形的性质求线段长 例3．（24-25八年级下·全国·单元测试）如图所示，已知正方形边长为，连接平分交于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理及角平分线的性质，关键是灵活应用知识点解题；过点作于点，设，根据，列方程求解即可． 【详解】解：过点作于点， ∵四边形是正方形， ∴，平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴即：是等腰直角三角形， ∵正方形边长为， ∴， ∴， 设， 在中， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故选：D． 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，四边形是正方形，是边上一点，于点，，且交于点．已知，，则的长度为___________． 【答案】6 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质求线段长 【分析】先通过证明，进而得到，，从而可得，代入数据进而可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ，． 又，， ， ， ． ，，， ， ，， ． 变式2．（25-26八年级下·全国·月考）如图，在的网格中，每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点叫作格点．请仅用无刻度的直尺按下列要求作图． (1)在图①中作边长为且顶点在格点上的正方形． (2)在图②中作斜边长为且顶点在格点上的等腰直角三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】根据正方形的性质求线段长、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）边长为的正方形，其边长相当于网格中的正方形的对角线长度； （2）斜边长为且顶点在格点上的等腰直角三角形，为直角边分别为1和3的直角三角形的斜边. 【详解】（1）解：如图，正方形即为所求． （2）解：如图，等腰直角三角形即为所求（作法不唯一）． 【点睛】本题主要考查了无刻度的直尺作图，解决本题的关键是熟练掌握正方形，等腰直角三角形，勾股定理的相关知识. 【题型四】根据正方形的性质求面积 例4．（24-25八年级下·云南普洱·期末）如图，四边形是正方形，是延长线上一点．已知，，则正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求面积 【分析】本题主要考查了勾股定理、正方形的性质等知识点，灵活运用勾股定理求直角三角形的边是解题的关键． 先根据正方形的性质和勾股定理可求得，再根据正方形的性质求面积即可． 【详解】解：∵四边形是正方形，是延长线上一点， ∴， ∴， ∴正方形的面积为． 故选B． 变式1．（2026·广东中山·模拟预测）如图，边长分别为8，4，2的正方形拼接在一起，三点分别是正方形的中心，则图中阴影部分的面积为_______． 【答案】42 【知识点】根据正方形的性质求面积 【分析】本题主要考查正方形的性质，根据经过正方形中心的直线把这个正方形分成面积相等的两部分解答即可． 【详解】解：∵边长分别为8，4，2的正方形的面积为：64，16和4， ∴三个正方形的面积和为, ∵三点分别是正方形的中心， ∴图中阴影部分的面积为， 故答案为：42． 变式2．（24-25八年级下·吉林松原·期中）图①、图2、图③均是的正方形网格，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫作格点，以格点为顶点分别按下列要求画图形． (1)在图①中画一个直角三角形，使它的三边长均为有理数； (2)在图②中画一个正方形，使其面积为5； (3)在图③中画一个平行四边形，使其一条对角线长为． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【知识点】根据正方形的性质求面积、利用平行四边形的性质求解、勾股定理与网格问题 【分析】本题考查作图-应用与设计，勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）画出边长分别为3，4，5的直角三角形即可． （2）画出边长为的正方形即可． （3）先确定四边形为平行四边形，再结合勾股定理求出对角线为即可． 【详解】（1）如图①，即为所求． 由图可知，，，， ， ， 它的三边长均为有理数； （2）如图②，正方形即为所求． 由图可知，， 正方形的面积为5； （3）如图③，平行四边形即为所求． 根据图可知，，， 四边形为平行四边形， 连接，根据勾股定理可知，． 【题型五】正方形折叠问题 例5．（2025·西藏·中考真题）如图，在正方形中，，点E是的中点，把沿折叠，点B落在点F处，延长交于点G，连接，则的长为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、用勾股定理解三角形、正方形折叠问题 【分析】本题考查正方形中的翻折问题，勾股定理，三角形全等的判定与性质，解题的关键是掌握翻折性质，由折叠的性质易知，证明，设，则，由勾股定理得到，求出，最后利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， 由折叠的性质易知， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴． ∵E为边的中点， ∴． 设，则， ∴，， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 变式1．（23-24八年级下·河南洛阳·月考）如图，四边形是边长为8的正方形纸片，将其沿折叠，使点B落在边上的处，点A对应点为，且，则的长是________． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、正方形折叠问题 【分析】本题主要考查折叠问题及勾股定理，掌握折叠的性质和勾股定理是关键．由翻折的性质可知：，设，则，连接，在和中利用勾股定理构建方程求出y，即可求解． 【详解】解：由折叠的性质得：， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 设，则， 连接， 在中，， 在中，， ∴， 即， 解得， 即， 故答案为：． 变式2．（24-25八年级下·广西河池·期末）如图，正方形的边长为2，点是边的中点，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得到，延长交于点． (1)判断和的数量关系，并说明理由； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、正方形折叠问题 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，图形的折叠问题，全等三角形的判定和性质： （1）连接，证明，即可解答； （2）设，则，，在中，根据勾股定理可得，再由，即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： 连接， 四边形是正方形， ，， 点是边的中点， ， 将沿直线翻折得， ，，， ， ， ∴， ； （2）解：设，则，， 根据勾股定理得， 即， 解得， ，， ∴ ． 【题型六】求正方形重叠部分面积 例6．（24-25八年级下·四川遂宁·期末）如图，正方形的对角线相交于点，点是正方形的一个顶点，已知两个正方形的边长都为，那么绕点转动正方形，两个正方形重叠部分的面积为（  ）． A．12 B．9 C． D．不确定 【答案】B 【知识点】求正方形重叠部分面积、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查正方形的性质及全等三角形的判定及性质．求两个正方形重叠部分的面积，首先应证明：，从而将重叠部分的面积转化为的面积． 【详解】解：∵和是边长相等的正方形， ∴，，， ∴， 即， ∵，，， ∴， ∴重叠部分面积为：， 故选B． 变式1．（22-23八年级下·全国·假期作业）如图，边长为6cm的正方形ABCD先向上平移3cm，再向右平移1.5cm，得到正方形，此时阴影部分的面积为________cm2 【答案】13.5// 【知识点】利用平移的性质求解、求正方形重叠部分面积 【分析】将边长为6cm的正方形ABCD先向上平移3cm，再向右平移1.5cm，得到正方形，可得阴影部分是矩形，且可求阴影部分的长和宽，则面积能求出． 【详解】∵将边长为6cm的正方形ABCD先向上平移3cm，再向右平移1.5cm，得到正方形， ∴由平移的性质可得阴影部分是矩形， ∵根据题意得：阴影部分的宽为6-3=3（cm），长为6-1.5=4.5（cm）， ∴S阴影部分=3×4.5=13.5 （cm2）， 故答案为13.5cm2． 【点睛】本题考查正方形的性质，平移的性质，关键是理解图形变化的所表达的意义． 【题型七】根据正方形的性质证明 例7．（23-24八年级下·陕西商洛·期末）如图，在菱形中，连接，有以下结论：①当时，菱形是正方形；②当时，菱形是正方形，下列说法正确的是（   ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①错误，②错误 D．①正确，②正确 【答案】A 【知识点】利用菱形的性质证明、根据正方形的性质证明 【分析】本题考查正方形的判定以及菱形的性质，解题的关䋖是熟练掌握正方形和菱形的相关判定定理与性质． 分别分析当时，菱形的形状，以及当时，菱形的形状，从而判断对错． 【详解】解：①当时，菱形又是矩形，判定菱形是正方形， ②当时，推出是等边三角形，得到，不能判定菱形是正方形， ∴①正确，②错误． 故选：A． 变式1．（22-23八年级下·山东临沂·期中）如图，正方形的对角线相交于点O，以O为顶点的正方形的两边分别交正方形的边于点．记的面积为的面积为，若正方形的边长，则的大小为____________． 【答案】9 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质证明 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，根据正方形的性质得出，推出，证出可得答案． 【详解】解：∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：9． 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，正方形的边长为1，、分别为边、上的点，的周长为2，连接．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】根据正方形的性质证明、全等的性质和SSS综合（SSS）、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】对于本题，重点掌握截长补短法证明全等三角形． （1）延长至点，使，连结、，先证明，再根据全等三角形的性质进行线段的转化证明即可； （2）证明即可． 【详解】（1）证明：如答图，延长至点，使，连结、． ∵四边形是正方形， ，， ． 在和中， ， ， 设，，则，． 的周长为， ， ， ． （2）解：由（1）得． 在和中， ． 【题型八】正方形的判定定理理解 例8．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列叙述错误的是（    ） A．既是矩形又是菱形的四边形是正方形 B．有一组邻边相等的矩形是正方形 C．有一个角是直角的菱形是正方形 D．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 【答案】D 【知识点】正方形的判定定理理解 【详解】解：A．既是矩形又是菱形的四边形是正方形，故A正确； B．有一组邻边相等的矩形是正方形，故B正确； C．有一个角是直角的菱形是正方形，故C正确； D．对角线相等且互相垂直的四边形，如果对角线不互相平分，就不是平行四边形，更不可能是正方形，故D错误． 变式1．（22-23八年级下·新疆阿克苏·期末）如图，数学课上老师给出了以下四个条件：a两组对边分别平行；b对角线互相平分；c对角线互相垂直；d一个角是直角．有三位同学给出了不同的组合方式：．你认为能得到正方形的是______．（填写你认为正确的序号） 【答案】①② 【知识点】正方形的判定定理理解 【分析】本题考查了正方形的判定，根据对角线互相平分，垂直且相等的四边形正方形，判断即可． 【详解】∵两组对边分别平行， ∴四边形是平行四边形； ∵一个角是直角， ∴平行四边形变成矩形； ∴对角线相等且互相平分， ∵对角线互相垂直， ∴对角线互相平分，垂直且相等， 故四边形是正方形， 故①正确； ∵对角线互相平分， ∴四边形是平行四边形； ∵一个角是直角， ∴平行四边形变成矩形； ∴对角线相等且互相平分， ∵对角线互相垂直， ∴对角线互相平分，垂直且相等， 故四边形是正方形， 故②正确； 组合③只能得到对角线互相平分，垂直，无法得证对角线相等，故错误， 故答案为：①②． 变式2．（24-25八年级下·湖北恩施·期中）如图，点为直线外一点，垂直于直线，垂足为．在图中作正方形，使点、在直线上（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）：并根据作图证明所作四边形是正方形． 【答案】见解析 【知识点】正方形的判定定理理解 【分析】本题考查了正方形的判定．以点为圆心，为半径作，延长交于点，连接，，，，则四边形是正方形． 【详解】解：正方形即为所作， 证明：， 四边形是平行四边形，且， 平行四边形是矩形， ， 矩形是正方形． 【题型九】添一个条件使四边形是正方形 例9．（2026八年级下·全国·专题练习）如图，在矩形中，对角线、交于点O，添加下列一个条件，能使矩形成为正方形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】添一个条件使四边形是正方形 【分析】本题考查正方形的判定，熟练掌握正方形的判定定理是解题的关键． 根据正方形的判定逐个判定即可得到答案． 【详解】解：选项A、时不能判定矩形是正方形，故A不符合题意， 选项B、时，矩形是正方形，故B符合题意， 选项C、时不能判定矩形是正方形，故C不符合题意， 选项D、时不能判定矩形是正方形，故D不符合题意， 故选：B． 变式1．（24-25八年级下·福建福州·期中）在菱形中，添加一个条件_____，使菱形是正方形． 【答案】或（答案不唯一） 【知识点】添一个条件使四边形是正方形 【分析】本题考查的是正方形的判定，特别是掌握在菱形的基础上判定正方形是解本题的关键． 根据正方形的判定定理求解即可． 【详解】∵四边形是菱形 ∴添加或，使菱形是正方形． 故答案为：或（答案不唯一）． 变式2．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在中，，为中点，过点作，交于点，过点作，交的延长线于点，连接，．    (1)判断四边形的形状，并说明理由． (2)当满足条件 时，四边形是正方形． 【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析 (2) 【知识点】添一个条件使四边形是正方形、证明四边形是菱形、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、菱形的判定、正方形的判定等知识，证明是解题的关键． （1）由，得，而即可根据“”证明，得，则四边形是平行四边形，因为，所以四边形是菱形； （2）当时，四边形是正方形，由，点与点重合，则，所以当或时，四边形是正方形，于是得到问题的答案． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下： ∵， ∴， ∵为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，，交的延长线于点， ∴， ∴四边形是菱形． （2）解：∵四边形是菱形， ∴当时，四边形是正方形， ∵， ∴点与点重合， ∴， ∴当时，四边形是正方形， 故答案为：． 【题型十】证明四边形是正方形 例10．（23-24八年级下·湖南邵阳·期中）若四边形的对角线互相垂直平分且相等，则它一定是（   ）． A．菱形 B．正方形 C．等腰梯形 D．以上说法均不正确 【答案】B 【知识点】证明四边形是正方形 【分析】本题考查了特殊四边形的判定，掌握平行四边形、菱形、矩形和正方形的判定方法是关键． 根据对角线互相平分可得四边形为平行四边形，再结合垂直可得菱形，最后对角线相等可得正方形． 【详解】解：∵ 四边形的对角线互相平分，   ∴ 该四边形是平行四边形， ∵ 平行四边形的对角线互相垂直， ∴ 该平行四边形是菱形， ∵ 菱形的对角线相等，   ∴ 该菱形是正方形． 故选：B． 变式1．（23-24八年级下·黑龙江大庆·期中）四边形的对角线，分别过A，B，C，D作对角线的平行线，所成的四边形是______． 【答案】正方形 【知识点】证明四边形是正方形、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】本题主要考查了正方形的判定，平行四边形的性质与判定，根据题意作图，先证明四边形是平行四边形，再证明，即可证明四边形为正方形． 【详解】解：如图所示，， ∴四边形、四边形、四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴平行四边形是正方形， 故答案为：正方形．    变式2．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）如图，在矩形中，平分，平分交于点E，点E在边上，．求证：四边形是正方形． 【答案】见解析 【知识点】利用矩形的性质求角度、证明四边形是正方形 【分析】本题考查了正方形的判定，矩形的性质，等腰三角形的判定等，熟练掌握相关知识点并灵活运用是解题的关键； 根据可推出四边形是平行四边形，再由矩形的性质和角平分线的定义推出，从而可说明平行四边形是正方形． 【详解】 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ， 平分，平分， ， ， 平行四边形是正方形． 【题型十一】根据正方形的性质与判定求角度 例11．如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别是对角线AC上的两点，EG⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J．则图中阴影部分的面积等于___． 【答案】 【知识点】根据正方形的性质与判定求角度 【分析】根据轴对称图形的性质，解决问题即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴直线AC是正方形ABCD的对称轴， ∵EG⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J． ∴根据对称性可知：四边形EFHG的面积与四边形EFJI的面积相等，△AIE的面积＝△AEG的面积， ∴S阴＝S正方形ABCD＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，解题的关键是利用轴对称的性质解决问题，属于中考常考题型． 变式1．（2024·山东菏泽·二模）【方法回顾】 如图1，在中，D，E分别是边的中点，小明在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长到点F，使，连接，证明，再证四边形是平行四边形即得证． （1）上述证明过程中： ①证明的依据是（_____） A．    B．    C．    D． ②证明四边形是平行四边形的依据是_______； 【类比迁移】 （2）如图2，是的中线，交于点E，交于点F，且，求证：．小明发现可以类比材料中的思路进行证明． 证明：如图2，延长至点G，使，连接，请根据小明的思路完成证明过程； 【理解运用】 （3）如图3，四边形与四边形均为正方形，连接，点P是的中点，连接．请判断线段与的数量关系及位置关系．（不要求证明） 【答案】（1）①A；②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（2）见解析；（3）， 【知识点】根据正方形的性质与判定求角度、利用平行四边形性质和判定证明、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）①根据判断全等三角形的方法，证明，即可解答； ②利用全等三角形的性质，得到，，可得，，即可解答； （2）证明，即可解答； （3）延长交于点，延长使得，证明，再利用全等三角形的性质和正方形的性质，证明，利用角度转换即可得到，． 【详解】（1）①解： D，E分别是边的中点， ， 在与中， ， ， 故选：A； ②， ，， ， 点是的中点， ， 四边形是平行四边形， 故答案为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； （2）证明：在和中， ， ， ， , , ； （3）如图，延长交于点，延长使得， 根据（2）中原理，可得， ，， 四边形与四边形均为正方形， ，，， ， ， ，， ， ， ，． 【题型十二】根据正方形的性质与判定求线段长 例12．（24-25八年级下·河北保定·期末）如图，在矩形中，，E为边上一个动点，连接．将沿折叠，使点B落在边上的点P处． 结论Ⅰ：当点P与点D重合时，此时四边形为正方形； 结论Ⅱ：当P为的中点时，． 关于结论Ⅰ，Ⅱ，下列判断正确的是（　　） A．结论Ⅰ对，结论Ⅱ错 B．结论Ⅰ错，结论Ⅱ对 C．结论Ⅰ，Ⅱ都对 D．结论Ⅰ，Ⅱ都错 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、根据正方形的性质与判定求线段长 【分析】本题重点考查矩形的性质、翻折变换的性质、正方形的判定、勾股定理等知识，当点P为的中点时，求得是解题的关键． 当点P与点D重合时，证四边形为正方形，可判断结论Ⅰ正确；当点P为的中点时，由矩形的性质，折叠的性质，利用勾股定理求的长度，可判断结论Ⅱ正确，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图1，点P与点D重合，则， ∵将沿折叠，点B落在边上的点P处， ∴， ∴， ∵四边形为矩形，， ∴四边形为正方形， 故结论Ⅰ正确； 如图2，点P为的中点， ∵四边形是矩形，， ∴， ∴， 由折叠得 ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 故结论Ⅱ正确， 故选：C． 变式1．（2025·四川广元·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点B是x轴负半轴上的动点，点C是y轴负半轴上的动点，，则________． 【答案】6 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、根据正方形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查了平面直角坐标系中坐标与线段长度的关系、正方形的性质和判定、全等三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 作轴于点，轴于点，连接，证明，得到，拆分线段即可求解． 【详解】解：作轴于点，轴于点，连接，如图， ∵， ∴，， ∴四边形为正方形， ∴， 又∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：6． 变式2．（24-25八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图1，在正方形中，E是上一点，F是延长线上一点，且，连接． (1)求证：； (2)在图1中，若G在上，且，连接，求证：； (3)根据你所学的知识，运用（1）（2）解答中积累的经验，完成下题： 如图2，在四边形中，是的中点，且，直接写出的长； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质与判定求线段长 【分析】本题是几何综合题，考查了全等三角形的判定和性质、正方形的判定和性质，勾股定理的应用等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． （1）利用已知条件，可证出，即； （2）根据全等的性质得出，进而得出，即，可证，可得结论； （3）过C作，交延长线于G，先证四边形是正方形，由（2）结论可知，，设，则，在中利用勾股定理列方程求解，即可求出的长． 【详解】（1）证明：在正方形中， ，，， ． ； （2）证明：， ． ． 即． ， ． ，，， ． ． ∵， ； （3）解：如图，过C作，交延长线于G， 在直角梯形中，，， ∴， ， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， 四边形为正方形． ． ， 由（2）结论可知，， ∵为中点， ， 设，则， ． 在中，， ， 解得：． ． 【题型十三】根据正方形的性质与判定求面积 例13．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）如图，点是矩形边上一点（）．且，过点作交于点，在上取点使，连结．记四边形面积为，四边形面积为，，若，则（   ） A．10 B．12 C．20 D．24 【答案】A 【知识点】根据矩形的性质求面积、根据正方形的性质与判定求面积 【分析】本题考查矩形的性质，三角形的面积，关键是由三角形的面积公式得到． 判定四边形是正方形，四边形是矩形，设，，得到，可得． 【详解】解：四边形是矩形， ， ，， 四边形是正方形，四边形是矩形， 设，，则， ，， ， ， ， ． 故选：A． 变式1．如图，已知点E为正方形ABCD外一点，连接AE、BE，∠AEB=90°，过C点作CF//AE，过D点作DF//BE，交点为F，连接EF，若AE=5，BE=4，则四边形EBCF的面积为________． 【答案】/30/30.5 【知识点】根据正方形的性质与判定求面积 【分析】延长EB、FC交于点H，延长EA、FD交于点G，得到边长为9的正方形GEHF，根据四边形EBCF的面积=即可求解． 【详解】解：延长EB、FC交于点H，延长EA、FD交于点G，如图： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD=DA，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°， ∵CF//AE，DF//BE， ∴四边形GEHF是平行四边形， ∵∠AEB=90°， ∴平行四边形GEHF是矩形， ∴∠AEB =∠G=∠CFD=∠H=90°， 根据等角的余角相等， ∴∠EAB=∠GDA=∠FCD=∠HBC， ∴Rt△EAB≌Rt△GDA≌Rt△FCD≌Rt△HBC， ∴EA=GD=FC=HB=5，EB=GA=FD=HC=4， ∴EG=GF=FH=HE=5+4=9，即矩形GEHF是边长为9的正方形， ∴四边形EBCF的面积为： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 变式2．（23-24八年级下·安徽池州·月考）如图，在正方形中，点分别在边上，是等边三角形，连接交于点． (1)求证：． (2)①______； ②求证：． (3)求证：． 【答案】(1)详见解析 (2)①15°；②详见解析 (3)详见解析 【知识点】根据正方形的性质与判定求面积、等腰三角形的性质和判定、用HL证全等（HL） 【分析】（1）由正方形的性质和等边三角形的性质可证明，从而得出； （2）①；②首先证明，由，可以得出垂直平分； （3）设，表示出与，利用三角形的面积公式分别表示出和再通过比较大小就可以得出结． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ， 是等边三角形， ， 在和中， ， ． （2）①； 故答案为：； ②证明： ，即， 垂直平分， 即． （3）设，由勾股定理得， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等边三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答本题时运用勾股定理的性质解题时关键． 【题型十四】根据正方形的性质与判定证明 例14．（2025八年级下·全国·专题练习）已知四边形和都是正方形，点F在线段上，连接、，交于点H．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据正方形的性质与判定证明、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】过点E作于点M，作，交的延长线于N，设与交于T，先证明四边形为矩形，再证明和全等得，则矩形为正方形，由此得，则，进而得，则，由此可得的度数． 【详解】解：过点E作于点M，作，交的延长线于N，设与交于T，如图所示： 则， ∵四边形和都是正方形， ∴，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形为正方形， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是正方形的对角线， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，正确地作出辅助线，构造正方形和全等三角形是解决问题的难点． 变式1．（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）顺次连接对角线垂直平分且相等的四边形各边中点所得的四边形是________． 【答案】正方形 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据正方形的性质与判定证明 【分析】本题考查了正方形的性质与判定等知识，全等三角形的判定与性质等知识．先根据四边形对角线垂直平分且相等证明四边形是正方形，根据中点定义证明，，得到四边形为菱形，，即可证明菱形为正方形． 【详解】解：如图， ∵互相平分， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴为矩形， ∵， ∴为菱形， ∴四边形是正方形． ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形为菱形， ∴菱形为正方形． 故答案为：正方形 变式2．（24-25八年级下·河北保定·期末）题情境： 如图，四边形为正方形，点为对角线上的一动点，连接，过点作，交直线于点，以为邻边作矩形，连接． 猜想证明： （1）求证：四边形是正方形； 解决问题： （2）求的度数； （3）若，，请直接写出的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）的长为或． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质与判定证明 【分析】本题考查正方形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定． （1）作出辅助线，由，得到，即可求解； （2）由，得到，即可求解； （3）当点在线段上时，由正方形，正方形，得到，由，得到，依次求出，，，,的长，由，得到；当点在线段的延长线上时，同理求解即可． 【详解】解：（1）过作于点，过作于点， 正方形， ，， ，且， 四边形为矩形， ， 四边形为正方形， ， 四边形是矩形， ， ， 又， 在和中，， ， ， 矩形为正方形； （2）矩形为正方形， ，， 四边形是正方形， ，， ， ， ； （3）当点在线段上时， ∵正方形，正方形， ∴，， ∴，即：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴,, ∵， ． 当点在线段的延长线上时， ∵正方形，正方形， ∴，， ∴，即：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴,, ∵， ． 综上，的长为或． 【题型十五】中点四边形 例15．（24-25八年级下·广西南宁·月考）如图，已知矩形的邻边长分别为、，进行如下操作：第一次，顺次连接矩形各边的中点，得到四边形；第二次，顺次连接四边形各边的中点，得到四边形则第次操作后，得到四边形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】图形类规律探索、中点四边形 【分析】本题主要考查了图形的变化类规律，找出规律、的表示方法是解题的关键．记四边形， 的面积为，易知四边形为菱形，四边形为矩形，，，，……，推出依此可得，最后令即可解答． 【详解】解：如图，连接， ∵顺次连接矩形各边的中点，得到四边形， ∴四边形 是矩形， ∴，. 同理，，， ∴， ∴， ∵顺次连接四边形，各边的中点，得到四边形， ∴，， ∴， 依此可得， ∴四边形的面积是． 故选：B． 变式1．（24-25八年级下·四川凉山·期末）如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形，…，按此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为_______请用含的式子写出你猜想的规律． 【答案】 【知识点】图形类规律探索、中点四边形 【分析】本题考查图形类规律探索，中点四边形，解题的关键是总结规律． 根据图形变化引起的面积变化，总结规律即可． 【详解】解： ∵第个矩形的面积为， 第个矩形的面积为， 第个矩形的面积为 …… 第个矩形的面积为， 故答案为：． 变式2．（25-26八年级下·全国·周测）如图，已知E，F，G，H分别是各边的中点，则四边形EFGH是什么四边形？若把条件中的依次改为矩形、菱形、正方形，其他条件不变，则四边形EFGH依次是什么四边形？试说明理由． 【答案】四边形EFGH是平行四边形；当四边形ABCD为矩形时，四边形EFGH是菱形；当四边形ABCD为菱形时，四边形EFGH是矩形．当四边形ABCD为正方形时，四边形EFGH是正方形；理由见解析 【知识点】中点四边形 【分析】连接，，由三角形中位线定理可得，，，，，，根据菱形、矩形、正方形的性质定理和判定解答即可． 【详解】解：如图，连接，． ，分别为，的中点， ∴，． 同理可得，， ∴，， ∴四边形是平行四边形． ∵，分别为，的中点， ∴，． 当四边形为矩形时，， ∴， ∴四边形是菱形． 当四边形为菱形时，， ∴， ∴四边形是矩形． 当四边形为正方形时，，， ∴，， ∴四边形是正方形． 【点睛】此题主要考查了三角形的中位线定理、矩形、菱形、正方形的性质定理和判定定理，解题关键是掌握三角形中位线定理． 【题型十六】（特殊）平行四边形的动点问题 例16．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，在四边形中，，动点P从点B出发，沿射线以每秒3个单位的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段上以每秒1个单位的速度向终点D运动，当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为（    ）秒． A．2或 B．或 C．或 D．2或 【答案】C 【知识点】（特殊）平行四边形的动点问题 【分析】本题考查了动点问题，平行四边形的判定，利用分类讨论的思想解决问题是关键．由题意可得，分两种情况讨论：当点在上时；当点在延长线上时，表示出，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形求解即可． 【详解】解：由题意可知，，， ， ， 当点在上时，， ， 当时，四边形是平行四边形， ， 解得：； 当点在延长线上时，， ， 当时，四边形是平行四边形， ， 解得：， 综上可知，以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为或秒， 故选：C 变式1．（22-23八年级下·河南驻马店·期末）如图在矩形中，，，为的中点，动点从点出发，以每秒的速度沿运动，最终到达点，若点运动的时间为秒，则当的面积为时，值为________．    【答案】6或11/11或6 【知识点】（特殊）平行四边形的动点问题 【分析】分在上、在上两种情况，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：①当在上时， 的面积等于， ， 解得：； ②当在上时， 的面积等于， ， ， 解得：； 综上所述，的值为6或11， 故答案为：6或11． 【点睛】本题考查了矩形的性质以及三角形的面积等知识，熟练掌握矩形的性质，分情况讨论是解题的关键． 变式2．（24-25八年级下·山西太原·月考）综合与探究： 问题情境：复习课上，同学们以三角形纸板为背景结合图形的变化展开探究．如图1，中，，中，． 探究： 将图1中的两个三角形纸板按图2所示的方式摆放，边与边重合．动点从点出发以的速度向点运动，同时，动点从点出发以的速度向点运动．当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动． ①若．判断四边形的形状，并说明理由； ②若，经过多长时间四边形为平行四边形． 【答案】①四边形是平行四边形，理由见详解② 【知识点】（特殊）平行四边形的动点问题、利用平行四边形的判定与性质求解 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质． 探究：①证明，由，根据平行四边形的判定定理即可得到四边形是平行四边形； ②设运动时间为，由题意得，列出方程，据此求解即可； 【详解】解：①四边形是平行四边形，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； ②设运动时间为，四边形为平行四边形， ∴，，， 由题意得， ∴， 得． 【题型十七】四边形中的线段最值问题 例17．（25-26八年级下·全国·周测）如图，在矩形ABCD和矩形EFGH中，，，两矩形重叠部分为平行四边形，且点E与点D重合，则图中阴影部分的周长的最大值是（   ） A．17 B．15 C．14 D．12 【答案】A 【知识点】四边形中的线段最值问题、证明四边形是菱形 【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质，熟练掌握运用勾股定理是解题的关键． 先证明是菱形，再用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，当点与点重合时，阴影部分的周长最大． ∵，，， ∴， ∴，． ∵四边形为平行四边形，， ∴为菱形． 设，则． 在中，，即， 解得，所以， ∴菱形的周长为． 故选：A． 变式1．（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，点E是矩形内部一个动点，满足，F为AE上一点且，当，时，则的最小值为______． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、四边形中的线段最值问题 【分析】在上截取，先证，得到，从而得出，当且仅当C、E、G三点共线时取等，再根据题干条件求解即可． 【详解】解：如图，在上截取，连接，， 在和中， ， ， ，当且仅当C、E、G三点共线时取等， ，且， ， ， 四边形是矩形，， 在中，， 即， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形三边关系等内容，构造全等三角形，将双动点问题转化为单动点问题是解题的关键． 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，四边形中，，，，，分别为线段，上的动点（含端点，但点不与点重合），，分别为，的中点，求的最大值． 【答案】6.5 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、四边形中的线段最值问题 【分析】本题考查了三角形中位线定理，勾股定理，动点最值问题，掌握利用中位线定理将转化为的一半，通过分析的最大值来求的最大值是解题的关键． 连接，利用三角形中位线定理将转化为的一半，再分析的最大值，从而求出的最大值． 【详解】解：如图，连接． ，分别为，的中点， 为的中位线， ， 当的值最大时，的值最大． 当点与点重合时，的值最大， 此时， 的最大值为． 【题型十八】四边形其他综合问题 例18．（2024·山西临汾·一模）我们在学习多边形时，先认识一般多边形，再认识正多边形；在学习特殊四边形时，先认识平行四边形，再认识特殊的平行四边形——矩形、菱形和正方形……这种研究方法主要体现的数学思想为（    ） A．一般到特殊 B．数形结合思想 C．模型思想 D．分类讨论思想 【答案】A 【知识点】四边形其他综合问题 【分析】本题主要考查的是正方形、矩形、菱形、平行四边形的性质，依据探究过程并结合选项可作出判断． 【详解】解：这种研究方法主要体现的数学思想是由一般到特殊． 故选：A． 变式1．如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，以BE为边向上作平行四边形BEFG，连接AG、AF、BF，若，的面积是2，则的面积是_________． 【答案】11． 【知识点】四边形其他综合问题、根据正方形的性质求面积 【分析】先构造出与ABG全等的HEF，再利用面积和即可得出的面积． 【详解】 解：如图所示，延长ED至H ，使EH=AB，连接AH，FH， ∵AB∥EH， ∴四边形ABEH是平行四边形， ∴BE∥AH，BE=AH， ∵□BEFG中，BG=EF，GF∥BE，GF=BE， ∴GF∥AH，GF=AH， ∴四边形AHFG是平行四边形， ∴AG=FH， ∴△ABG≌△HEF， 过点F作FN⊥AB于N，交直线CD于M， ∴FM⊥CD， ∴四边形ABMN是矩形， ∴FN+FM=MN=AD= ， ∵S△ABG+ S△AGF+ S△ABF=S△BEF， 即S△HEF+ S△AGF+ S△ABF=S△BEF， ∴S△BEF==+2=11． 故填：11． 【点睛】本题考查正方形的性质及矩形的性质和判定．正确添加辅助线构造出全等三角形是正确解题的关键． 变式2．（2025·新疆乌鲁木齐·二模）如图①，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． 概念理解：如图②，在四边形中，如果，那么四边形是垂美四边形吗？请说明理由． 性质探究：如图①，垂美四边形两组对边，与，之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明． 问题解决：如图②，已知，，，，求垂美四边形的面积． 【答案】概念理解：是，见解析；性质探究：，见解析；问题解决：1 【知识点】四边形其他综合问题、用勾股定理解三角形、全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】（1）先利用证明，再根据全等性质的得出，然后证明，再根据垂美四边形的定义得出结论； （2）先证明，再利用勾股定理列出式子：，，，，然后分别求出，，证明； （3）先利用邻补角的意义求出，再利用三角形面积公式分别求得， ，再求出四边形的面积． 【详解】解：概念理解：四边形是垂美四边形；理由如下： 如图，连接、交于点， 在和中， ， ， ， ， ， 即， ∴四边形是垂美四边形； 性质探究：； 证明如下： 记和交于点， 由题可知， ， 在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ，， ； 问题解决： 如图，连接，过作于点， ， ， 在中，， ∴， ， ， ． 【点睛】本题考查了四边形的新定义问题，利用证明三角形全等，全等三角形的性质，勾股定理，求三角形的面积，求四边形的面积等知识，解题的关键理解新定义，再根据新定义推理论证． 一、单选题 1．下列命题错误的是（   ） A．平行四边形的对角相等 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．两条对角线相等的平行四边形是矩形 D．正方形的对角线相等 【答案】B 【分析】本题考查正方形的性质，平行四边形的性质，菱形的判定定理，矩形的判定定理．以及命题与定理的概念等知识点．正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假的关键是要熟悉课本中的性质定理． 根据平行四边形的性质对A进行判断；根据菱形的判定方法对B进行判断；根据矩形的判定方法对C进行判断；根据正方形的性质对D进行判断． 【详解】解：A、平行四边形的对角相等，所以A选项的说法正确； B、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，所以B选项的说法错误； C、两条对角线相等的平行四边形是矩形，所以C选项的说法正确； D、正方形的对角线相等且互相垂直平分，所以D选项的说法正确． 故选：B． 2．四边形不具有稳定性．四条边长都确定的四边形，当内角的大小发生变化时，其形状也随之改变．如图，改变正方形的内角，使正方形变为菱形，如果，那么菱形与正方形的面积之比是（    ）    A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查正方形与菱形面积，涉及含直角三角形的三边关系，熟记正方形与菱形面积公式是解决问题的关键． 过作于，如图所示，设正方形边长为，求出，利用含直角三角形的三边关系，在中得到，从而，两个面积作比即可得到答案． 【详解】解：过作于，如图所示：    设正方形边长为， ， ， 在中，，，则， ， ，， 菱形与正方形ABCD的面积之比是， 故选：A． 3．如图，围绕在正方形四周的四条线段a，b，c，d中，长度最小的是（　　） A．a B．b C．c D．d 【答案】B 【分析】根据正方形的性质可得四边相等，根据图形比较线段与四边形的边长的长度即可求解． 【详解】解：根据图形可知，的长度大于正方形的边长，的长度等于正方形的边长，的长度小于正方形的边长， 所以长度最小的是． 故选B 【点睛】本题考查了正方形的性质，线段长短比较，理解正方形的四边相等是解题的关键． 4．下列说法中不正确的是（    ） A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 C．有一个内角是直角的平行四边形是矩形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】D 【分析】根据平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定方法分别分析即可得出答案． 【详解】A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，不合题意； B. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形，正确，不合题意； C. 有一个内角是直角的平行四边形是矩形，正确，不合题意； D. 两条对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故原命题错误，符合题意． 故选D． 【点睛】本题主要考查了正方形以及平行四边形、菱形、矩形的判定，正确掌握相关判定方法是解题关键． 5．如图，在正方形中，，延长至点，使．过点作于点，同时使，且点与点分别在直线的两旁，连接和．已知的中点为，连接，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方形，勾股定理，直角三角形．构造直角三角形，熟练掌握正方形和等腰直角三角形的性质，勾股定理解直角三角形，直角三角形斜边上的中线的性质，是解决问题的关键． 首先连接，由正方形的性质可得，利用勾股定理求出的长，根据，，可推出是等腰直角三角形，进而得出为直角三角形， 求出的长，求出的长，在中求出的长，然后由M为的中点求解即可. 【详解】连接， ∵四边形是正方形， ∴． ∵，， ∴是等腰直角三角形． ∴． ∴． ∴为直角三角形． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵M为的中点， ∴． 故选：D． 6．如图，在菱形中，对角线、交于点，点是边上的一个动点（不与、两点重合），过点作射线交边于点，作线段的垂直平分线分别交、边于点、，得到四边形．在点的运动过程中，下列结论正确的是（    ） ①存在无数个四边形是平行四边形； ②存在无数个四边形是矩形； ③存在无数个四边形是菱形； ④至少存在一个四边形是正方形． A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定、正方形的判定与性质、矩形的判定等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题关键．先画出图形，根据菱形的性质可得，再证出、，根据全等三角形的性质可得，，然后根据平行四边形和菱形的判定即可得①③正确；若菱形是正方形时，证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据正方形的判定即可得④正确，②错误． 【详解】解：由题意，画出图形如下： ∵四边形是菱形， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴必经过的中点， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形的对角线互相平分， ∴四边形是平行四边形， 又∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∵点是边上的一个动点（不与、两点重合）， ∴存在无数个四边形是平行四边形，则结论①正确； 存在无数个四边形是菱形，则结论③正确； 若菱形是正方形时（正方形是特殊的菱形，在此只证明存在性）， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴当菱形是正方形时，菱形是正方形， ∵点是边上的一个动点（不与、两点重合）， ∴至少存在一个四边形是正方形，则结论④正确； 不存在无数个四边形是矩形，则结论②错误； 综上，结论正确的是①③④， 故选：C． 7．如图，矩形的边上有一点，，垂足为，将绕着点顺时针旋转，使得点的对应点落在上，点恰好落在点处，连接．下列结论：①；②四边形是正方形；③，④．其中结论正确的序号是（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】延长交于，连接，根据直角三角形的两个锐角互余得出，根据旋转的性质得出，得出即可判断①，根据题意得出四边形是矩形，由即可判断②，进而得出，根据判断③，根据勾股定理以及等角对等边可得，得出，由四边形是正方形，得出，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵将绕着点顺时针旋转得， ∴， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵四边形是矩形， ∴ ∵ ∴四边形是矩形， 又∵， ∴矩形是正方形，故②正确； ∴， ∴ ，故③正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 又∵四边形是正方形， ∴， ∴，故④错误， ∴正确的是：①②③， 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，三角形内角和定理的应用，综合运用以上知识是解题的关键． 8．如图（1）在正方形纸片中，各边分别取点E、F、G、H，使得，沿着裁剪，得到的六边形，再沿对角线剪开分成如图（2）两个四边形，将四边形沿的垂直平分线对称得到图（3）四边形，再将与重合（A与重合，C与重合）得如图（4）六边形，连接，则之间的关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得图4中，，在图4的中，由勾股定理可得，，在图1的和图4的中，证明，则，得到图4中的图1中的，在图4中的中，由勾股定理可得，，得到，即可得到结论． 【详解】解：图1中，∵四边形是正方形， ∴， ∵图4中，是由和拼成的， ∴图4中，， 在图4的中，由勾股定理可得， ， 在图1中，四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 在图1的和图4的中， ∵， ∴， ∴， ∴图4中的图1中的， 在图4中的中，由勾股定理可得， ， ∴， 即， ∴， 故选：C 【点睛】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、轴对称等知识，弄清楚剪拼过程中的不变关系是解题的关键． 9．如图，正方形中，点E是边的中点，交于点交于点G，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（   ）    A．①③ B．①②③④ C．①②③ D．①③④ 【答案】B 【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质，证明得到，可判断①；证明得到，，进而，可判断③④正确；根据平行线的性质得，进而可判断③． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，，， ∵点E是边的中点， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵，，， ∴， ∴，， ∴，，故④正确； ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故③正确， 故选：B． 10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°， 分别以AC， BC为边向外作正方形ACDE与正方形BCFG， H为EG的中点，连接DH，FH．记△FGH的面积为S1，△CDH的面积为S2，若S1－S2＝6，则AB的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接AD交EC于点M，连接BF交CG于点N，设，分别求出，，，，，，，分别求得，，由得，，由勾股定理可得结论． 【详解】解：连接AD交EC于点M，连接BF交CG于点N， ∵四边形ACDE，BCFG是正方形， ∴，， 设， ∵∠， ∴ ∴， ∴， 同理可证：， ∵， ∴， ∵H为EG的中点， ∴， ∴， ∵， 又∵， ∴， 整理得，， ∵∠， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键． 二、填空题 11．如图，在正方形ABCD中，BD是对角线，点E是CD的中点，过点E作EF⊥BD，垂足为点F，若BC=，则EF的长是_________． 【答案】1 【分析】根据正方形的性质可得BD=4，再由点E是CD的中点，可得，然后根据勾股定理可得，设DF=x，则BF=4-x，由勾股定理可得，可得到DF=1，即可求解． 【详解】解：在正方形ABCD中，CD=BC=，∠C=90°， ∴， ∵点E是CD的中点， ∴， ∴， 设DF=x，则BF=4-x， ∵EF⊥BD， ∴∠DFE=∠BFE=90°， ∴， ∴， 解得：， 即DF=1， ∴． 故答案为：1 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，勾股定理是解题的关键． 12．如图边长为8的正方形沿方向平移6个单位得到正方形，则长为___________． 【答案】14 【分析】根据题意可得，根据沿方向平移6个单位，可得，再根据线段的和与差关系可以算出的长． 【详解】解：∵正方形的边长为8， ∴， ∵沿方向平移6个单位， ∴， ∴， 故答案为：14． 【点睛】本题考查了平移的性质，解决本题的关键是掌握平移的性质． 13．正方形的对称中心为点，若，则该正方形的周长为_______． 【答案】 【分析】根据正方形的性质，对角线的交点为对称中心，利用正方形的性质进行求解即可． 【详解】解：∵正方形的对称中心为点， 则：为正方形对角线的交点， ∵是正方形， ∴ ， ∴， ∴正方形的周长为：； 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质．熟练掌握正方形的对角线垂直平分且相等是解题的关键． 14．如图，正方形的边长为7，在各边上顺次截取，则四边形的面积为___________． 【答案】25 【分析】本题考查了正方形的性质，根据正方形的性质得，，再根据四边形的面积为大正方形的面积减去四个小三角形的面积即可，熟练掌握相关性质是解题的关键． 【详解】解：正方形的边长为7，， ，， 四边形的面积为：， 故答案为：25． 15．一个四边形的对角线相等且互相垂直，则它的中点四边形是______形． 【答案】正方 【分析】根据三角形中位线定理证明，和，，得到平行四边形，根据得到菱形，根据得到答案． 【详解】解：如图，   、分别是、边的中点， ，， 同理，， ，， 四边形是平行四边形， 、分别是、边的中点， ，， 又， ， 四边形是菱形， ，，， ， 四边形是正方形， 故答案为：正方． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理和正方形的判定，掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半是解题的关键． 16．如图，正方形中，点为边的中点，点在边上，且，若，则线段的长为___________． 【答案】6 【分析】此题考查正方形性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识点，作出合理辅助线并证明全等是解题关键．过点作的垂线，垂足为，连接，证明，得到 ，设，则，证明，则，得到，在中，，列方程方程即可． 【详解】解：过点作的垂线，垂足为，连接， 四边形为正方形，点为边的中点，， ∴，， ，， ∴， ， 设，则， 在和中，，， ∴， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得，即， 故答案为：． 17．在正方形ABCD中，点O、点G分别是BD，BF形的中点，，有下列结论： ①；②；③；④4；其中正确的结论是___________．（填写序号） 【答案】①② 【分析】根据正方形的性质证明①正确，结合①的结论表示三角形的面积可证明②正确，由勾股定理分别表示出BE、BD、OB 长即可判断③错误，由三角形面积可以判断④错误． 【详解】解：①∵四边形ABCD是正方形 ∴ ∴， 又，OB=OD ∴（ASA） 故①正确，符合题意； ②如图,过点O作交于点H， ∵点O 是BD中点 ∴ 由①可知 ∴DE=BF ∴AE=CF ∴ ∵， ∴ 故②正确，符合题意； ③设AE=a，则DE=2a，AB=3a 根据勾股定理可得 则 ∴ 故③错误，不符合题意； ④ ∴ ∴ 故④错误，不符合题意． 故答案为：①②． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积，勾股定理等，解题的关键是掌握三角形全等的判定和性质以及正方形的性质． 18．如图，在正方形中，点，分别在，上，，与相交于点．下列结论：①垂直平分；②；③当时，为等边三角形；④当时，．其中正确的是_______． 【答案】①③④ 【分析】①通过条件可以得出△ABE≌△ADF，从而得出∠BAE＝∠DAF，BE＝DF，由正方形的性质就可以得出EC＝FC，就可以得出AC垂直平分EF， ②设BC＝x，CE＝y，由勾股定理就可以得出EF与x、y的关系，表示出BE与EF，即可判断BE+DF与EF关系不确定； ③当∠DAF＝15°时，可计算出∠EAF＝60°，即可判断△EAF为等边三角形， ④当∠EAF＝60°时，设EC＝x，BE＝y，由勾股定理就可以得出x与y的关系，表示出BE与EF，利用三角形的面积公式分别表示出S△CEF和S△ABE，再通过比较大小就可以得出结论． 【详解】解：①四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°． 在Rt△ABE和Rt△ADF中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）， ∴BE＝DF ∵BC＝CD， ∴BC﹣BE＝CD﹣DF，即CE＝CF， ∵AE＝AF， ∴AC垂直平分EF．故①正确； ②设BC＝a，CE＝y， ∴BE+DF＝2（a﹣y） EF＝y， ∴BE+DF与EF关系不确定，只有当y＝（2﹣）a时成立，故②错误； ③当∠DAF＝15°时， ∵Rt△ABE≌Rt△ADF， ∴∠DAF＝∠BAE＝15°， ∴∠EAF＝90°﹣2×15°＝60°， 又∵AE＝AF ∴△AEF为等边三角形．故③正确； ④当∠EAF＝60°时，设EC＝x，BE＝y，由勾股定理就可以得出： （x+y）2+y2＝（x）2， ∴x2＝2y（x+y） ∵S△CEF＝x2，S△ABE＝y（x+y）， ∴S△ABE＝S△CEF．故④正确． 综上所述，正确的有①③④， 故答案为：①③④． 【点睛】本题属于四边形综合题，是中考填空题的压轴题，考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等边三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答本题时运用勾股定理的性质是解题的关键． 三、解答题 19．如图，已知在正方形中，E是的中点，F在上，且． (1)请你判断的形状，并说明理由． (2)若此正方形的面积为16，求的长． 【答案】(1)为直角三角形．理由见解析 (2) 【分析】本题考查了正方形的性质、比例关系、勾股定理及其逆定理等初中数学知识点，解题关键在于通过设定正方形边长，利用比例关系计算各线段长度，再应用勾股定理验证直角三角形的条件，最后结合正方形面积求解目标线段的长度，体现了数学建模和逻辑推理的能力． （1）可通过设正方形边长，利用勾股定理计算三边平方关系来确定； （2）先由正方形面积得出边长的平方，再结合第（1）问结论求的长． 【详解】解：（1）为直角三角形．理由如下： 设正方形的边长为，则． 是的中点， ． 在正方形中， 在中，； 在中，； 在中，， ， 为直角三角形； （2）因为正方形的面积为16， ， ， （负值已舍去）． 20．如图，在与中，，，，相交于点．过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，，相交于点． (1)求证：； (2)满足什么条件时，四边形是正方形？请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的性质与判定、正方形的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定方法进行证明即可； （2）根据平行线的性质得到两组对边互相平行，证得四边形是平行四边形，根据的性质证得平行四边形是菱形，要使菱形是正方形，需要有一个角是，当时，时等腰直角三角形，进而证得，则四边形是正方形． 【详解】（1）证明：在和中， ； （2）解：，理由如下： 证明：， 四边形是平行四边形 平行四边形是菱形 ， 又 菱形是正方形． 21．某个车间批量生产零件，图纸如下所示．印有图案外轮廓的钢板在流水线上等待激光机处理．对于一个零件，激光机会沿外轮廓切割一圈，切割的时间不低于安全时间，否则有可能会由于激光切割不充分而出现品控问题．以下是零件的示意图，虚线部分是设计师在设计时的辅助线．根据设计参数，四边形为菱形，四边形为正方形，毫米，毫米． 操作批次 切割长度 操作内容 单次切割时间 1 原零件切割长度 调至最大速度 安全时间2倍 2 550毫米 速度下调50毫米每秒 安全时间+5秒 (1)请求出单个该零件的切割长度． (2)上表为在两个批次的零件生产的生产记录．在第2批生产时，设计人员简化了零件模型，切割长度下降．求安全时间． 【答案】(1) (2)安全时间为秒 【分析】本题主要考查了正方形，菱形的性质，分式方程的运用，理解数量关系，正确列式求解是关键． （1）根据正方形和菱形的性质得到毫米，毫米，，由勾股定理得到毫米，由此即可求解； （2）假设安全时间为秒，由此列分式方程求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵四边形菱形， ∴， 设交于点， ∴毫米，毫米，， 在直角中，毫米， ∴切线长度为； （2）解：假设安全时间为秒， ∴， 解得，或， 经检验，或，原分式方程有意义， 但不符合实际意义，舍去， ∴， 答：安全时间为秒． 22．网格纸上每个小正方形的边长为1． (1)在图1中，以端点均在网格格点上的线段为边画正方形． (2)在图2中，画底边长，腰的等腰，并求高的长度． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， 【分析】本题主要考查了勾股定理，正方形的判定和等腰三角形的判定和性质，熟知勾股定理是解题的关键． （1）利用网格图的特征以及勾股定理画出图形即可； （2）方法一：根据等腰三角形的性质可得， 然后在中，根据勾股定理解答即可；方法二：根据，解答即可． 【详解】（1）解：如图1，正方形即为所求； （2）解：如图2，等腰即为所求． 方法一：在等腰中，， ， ∴在中，，根据勾股定理得： ； 方法二：， 又 ∴． 23．如图，两个正方形与，连接，二者相交于点H． (1)请说明的位置和数量关系，并给予证明； (2)连接和，请问的面积和的面积有怎样的数量关系？并说明理由． 【答案】(1)，证明见解析 (2)，证明见解析 【分析】（1）利用证明得到，利用得到，即可推出； （2），作于P，交的延长线于N，证明，得到，再利用三角形的面积公式分别表示出的面积，的面积，即可得到结论． 【详解】（1）解：，理由如下， ∵四边形与都是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：， 作于P，交的延长线于N，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】此题考查正方形的性质，三角形全等的判定及性质，利用三角形面积公式求解，根据图形得到三角形全等的条件是解题的关键． 24．现有一块长方形木板，木工采用如图所示的方式，在长方形木板上截出三个面积分别为4平方分米、8平方分米和18平方分米的正方形木板A，B，C． (1)正方形木板A的边长为 分米，B的边长为 分米，C的边长为 分米； (2)求木板中阴影部分的面积． 【答案】(1)2，， (2)平方分米 【分析】本题考查了正方形面积与边长的关系及长方形面积计算． （1）根据正方形面积公式求出边长； （2）先确定长方形木板的长和宽，再用长方形面积减去三个正方形面积得到阴影部分面积． 【详解】（1）解：由题意知，设正方形木板的边长分别为，，， ∴，，， 解得，，， 故答案为：2，，． （2）解：木板中的阴影面积为：长方形木板面积-正方形木板A面积-正方形木板B面积-正方形木板C面积， 由（1）知，长方形木板的长为，长方形木板的宽为， ∴木板中阴影部分的面积为： ． 25．如图，点是正方形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个正方形，线段和相交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． （1）由四边形和四边形是正方形，可得，，，从而得到，然后利用即可证明结论； （2）如图所示，连接交于点，计算出、，根据勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）解：由四边形和四边形是正方形， ，，， ， ， 在和中： ， ， ． （2）解：如图，连接交于点， ， ， ， ． 26．已知，如图，O为正方形对角线的交点，平分，交于点，延长到点，使，连接，交的延长线于点，连接． (1)求证：． (2)判断与有什么关系，证明你的结论． (3)若，求正方形的面积？ 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3)2 【分析】（1）利用正方形的性质，由全等三角形的判定定理即可证得； （2）首先先判断出，从而得到是的中位线，即可得出答案； （3）设，则，，由，得出，，利用勾股定理，解得，即正方形的面积是2． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ，， 在和中， ， ∴； （2）解：且， 理由：如图， 是正方形的对角线， ， 平分， ， 由（1）知，， ， ， ， ， 而是的平分线， ， 为正方形的中心， ， 是的中位线， ∴且； （3）解：设，则，，由（2）知， ， ， ， ，解得， 正方形的面积是2． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，涉及全等三角形的判定与性质及正方形的性质，解题的关键是灵活运用三角形全等的判定及性质. 1 学科网（北京）股份有限公司 $