专题07正方形寒假预习核心讲义(知识点梳理+常考题型精析+强化巩固)2025-2026学年人教版八年级数学下册

专题07正方形寒假预习核心讲义 1.理解正方形的定义，明确正方形与平行四边形、菱形、矩形的从属关系，能精准梳理三者间的区别与联系。 2.掌握正方形的性质（边、角、对角线），能灵活运用性质解决边长、角度、面积等基础几何问题。 3.牢记正方形的判定方法，能根据已知条件选择合适的定理证明图形为正方形，避开常见易错点。 4.结合生活实例感受正方形的应用，提升几何综合思维，为开学后综合题型及中考备考筑牢基础。 预习必备 知识点梳理 1.正方形的定义 2.正方形的性质(重点+综合考点) 3.正方形的判定(中考热点+难点) 4.易错点辨析 常考题型 精讲精炼 1.正方形的性质梳理与理解 2.利用正方形的性质求角度问题 3.借助正方形的性质计算线段长度 4.依据正方形的性质求图形面积 5.正方形折叠类几何问题解析 6.基于正方形性质的几何证明 7.正方形判定定理的理解与应用 8.补充条件使四边形成为正方形 9.四边形为正方形的证明方法 10.结合正方形的性质与判定求线段长度 11.正方形性质与判定的综合证明 12(特殊)平行四边形的动点问题 强化巩固 题型通关 (17题) 【知识点01.正方形的定义】 定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 关键点拆解：① 正方形是特殊的平行四边形，同时满足“菱形的邻边相等”和“矩形的一个角是直角”两大条件；② 从属关系：正方形⊂菱形⊂平行四边形，正方形⊂矩形⊂平行四边形，是三者的交集。 补充说明：也可表述为“有一组邻边相等的矩形是正方形”或“有一个角是直角的菱形是正方形”，本质与定义一致，更便于结合菱形、矩形知识理解。 【知识点02.正方形的性质(重点+综合考点)】 正方形同时继承了平行四边形、菱形、矩形的所有性质，是性质最完备的特殊四边形，我们分维度梳理： 1. 边的性质 对边平行且相等（继承自平行四边形）； 四条边都相等（继承自菱形）； 邻边互相垂直（由“矩形的角是直角”推导得出）。 2. 角的性质 四个角都是直角（继承自矩形），度数均为90°； 对角相等、邻角互补（继承自平行四边形，是直角属性的延伸）。 3. 对角线的性质（核心综合考点） 互相平分（继承自平行四边形）； 相等（继承自矩形）； 互相垂直（继承自菱形）； 每条对角线平分一组对角（继承自菱形，正方形中每条对角线平分两个45°角）。 总结：正方形的对角线具备“平分、相等、垂直”三大特性，这是区别于其他特殊平行四边形的核心标志，也是中考常考的计算与证明突破口。 4. 对称性与面积公式 对称性：既是中心对称图形（对称中心为对角线交点），也是轴对称图形，有4条对称轴（两条对角线所在直线、两组对边垂直平分线所在直线）； 面积公式： 1 通用公式：面积=边长×边长（S=a²，a为边长） 2 推导公式：面积=对角线乘积的一半（S=×d₁×d₂，d₁、d₂为对角线长度，由菱形面积公式推导，因正方形对角线相等，也可表示为S=d²）。 【知识点03.正方形的判定(中考热点+难点)】 正方形的判定核心是“先定性为平行四边形/菱形/矩形，再补充特殊条件”，常用方法有4种，按便捷度排序如下： 定义法：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。（最基础，需同时验证两个条件） 菱形升级法：有一个角是直角的菱形是正方形。（先证菱形，再补“直角”条件，无需重复验证平行四边形属性） 矩形升级法：有一组邻边相等的矩形是正方形。（先证矩形，再补“邻边相等”条件，高效便捷，应用最广） 对角线法：对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形。（由“对角线垂直→菱形”“对角线相等→矩形”推导，需以平行四边形为前提） 易错提醒：① 不可直接说“对角线互相垂直且相等的四边形是正方形”，缺少“平行四边形”前提（反例：等腰梯形对角线相等，添加垂直条件后仍非正方形）；② 区分“菱形升级”与“矩形升级”的条件，避免混淆。 【知识点04.易错点辨析(避坑指南)】 1.从属关系混淆：误认为“菱形是正方形”或“矩形是正方形”，忽略正方形需同时满足两者的特殊条件； 2.判定条件遗漏：用对角线判定时，忘记“平行四边形”前提，直接由“对角线垂直且相等”推正方形； 3.性质应用不全：计算正方形对角线或边长时，忽略“对角线相等且垂直平分”的综合特性，仅用单一性质解题。 【题型1.正方形的性质梳理与理解】 【典例】在正方形中，，则正方形的周长为（   ） A．9 B．12 C． D．6 【答案】B 【分析】本题考查正方形的周长计算．根据正方形的四条边长度相等，周长等于边长的4倍求解即可． 【详解】解：∵正方形中，， ∴正方形的每条边均为3， 所以，周长为， 故选：B． 【跟踪专练1】如图，阴影部分是两个正方形，其它部分是两个直角三角形和一个正方形，若右边的直角三角形中，，，则阴影部分的面积是 ． 【答案】25 【分析】本题主要考查的是勾股定理、正方形的性质，掌握如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么是解题的关键．根据勾股定理求出，根据正方形的性质得到，根据勾股定理、正方形的面积公式计算即可． 【详解】解：由勾股定理得，， 四边形为正方形， ， 阴影部分的面积， 故答案为：25． 【跟踪专练2】如图，在正方形中，E为边上的中点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，使得，连接和，令，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质及等腰三角形的性质是解题的关键；由题意易得，则有，然后可得，，进而根据等腰三角形的性质及三角形内角和可进行求解． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， 在正方形中，，且， ∴， ∴， ∵E为边上的中点， ∴， ∴， ∴； 故选B． 【题型2.利用正方形的性质求角度问题】 【典例】如图，点是正方形的对角线上一点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握正方形的性质，三角形内角和定理是解决问题的关键．根据正方形性质得，在中，，根据三角形内角和定理即可得出的度数． 【详解】解：四边形为正方形， ， 在中，， ． 故选：． 【跟踪专练1】如图，四边形是正方形，是延长线上的一点，且，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质及三角形外角的性质，掌握这些知识是关键；由正方形的性质得，由等腰三角形的性质得，再由三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，六边形是正六边形，四边形是正方形，是正三角形，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正多边形的内角，正方形的性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握正多边形的性质是解题的关键； 连接，，由正多边形的性质可知是正三角形，再由正方形的性质可知，，可得到，即可求解． 【详解】解：连接，， 是正三角形， ，， 六边形是正六边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 同理， ， 是正三角形， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ； 故选：C． 【题型3.借助正方形的性质计算线短长度】 【典例】若正方形的边长为1，则该正方形的对角线长为（   ） A．1 B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的性质，根据正方形的性质得出边长相等，四个内角都是直角，正方形的对角线长为，即可作答． 【详解】解：∵正方形的边长为1， ∴该正方形的对角线长为， 故选：C． 【跟踪专练1】如图，有正方形，，现将放在的内部得图，将，并列放置后构造新的正方形得图，若图，图中阴影部分的面积分别为，，下列说法正确的有 正方形和的面积和是；图中新的正方形的面积是；正方形和的面积差是；正方形的边长是． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用， 先设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，再表示出图1的阴影部分的面积，图2的阴影部分的面积，结合题意可得，将两式展开整理解答①；然后根据解答②；接下来求出a，b的值解答③④即可． 【详解】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b， 图1的阴影部分是边长为的正方形，因此面积是， 图2的阴影部分是边长为的大正方形与边长为a，边长为b的两个正方形的面积差为， ∵图1，图2的阴影部分的面积分别为4，30， ∴， ∴， 即，则①正确； ∴，则②正确； ∵， ∴， 解得， ∴， 即正方形A与正方形B的面积差为16，则③正确； 由于，即正方形A的边长为5，则④正确． 综上所述，正确的结论有①②③④． 故答案为：①②③④． 【跟踪专练2】如图，在正方形中，点在上，于点，于点．若，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正方形性质、全等三角形判定与性质、勾股定理的应用，解题的关键是通过全等三角形转化线段长度，结合勾股定理列方程求解． 利用正方形性质与垂直条件证，；设，则，结合勾股定理列方程，求解后计算三角形面积． 【详解】解：根据正方形的性质，得， ． 于点于点， ， ， ， ， 由勾股定理得， ， ， . 设，则， 因为， 所以， 解得， ． 故答案为：． 【题型4.依据正方形的性质求图形面积】 【典例】如图，正方形的边长为，点分别为边的中点，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形面积，掌握知识点的应用是解题的关键． 由四边形是正方形，则，则有，然后通过四边形的面积为即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵点分别为边的中点， ∴， ∴四边形的面积为 ， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，有一个边长为的正方形，将一块的三角板直角顶点与正方形对角线交点O重合，两条直角边分别与边交于点E，与边交于点F．则四边形的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点．连接，则交于点O，证明，可得，从而得到四边形的面积，即可求解． 【详解】解：如图，连接，则交于点O， ∵四边形是正方形，边长为， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积． 故选：B 【跟踪专练2】如图，正方形和正方形的对称中心都是点O，其边长分别是5和4，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是中心对称，正方形的性质，连接，根据中心对称的定义可知，阴影的面积等于正方形面积差的四分之一． 【详解】解：连接， ∵正方形和正方形的对称中心都是点O，其边长分别是5和4， ∴正方形的面积分别为25和16， ∴图中阴影部分的面积． 故答案为：． 【题型5.正方形折叠类几何问题解析】 【典例】将一张正方形纸片，按如图步骤①，②，沿虚线对折两次，然后沿③中的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠，掌握折叠的性质是关键．根据展开后的图形即可作出判断． 【详解】 解：根据图③的剪法，展开后所得图形为， 故选：B． 【跟踪专练1】如图，在正方形中，，是上一点，且，是上一动点，连接，若将沿翻折后，点落在点处，则到点的最短距离为 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理、圆外一点到圆上的最短距离；由翻折的性质可知：点在上运动的过程中，点的轨迹是一段圆弧，由此可以求出的最小值； 【详解】解：如图，连接，以为圆心，的长为半径画弧； 在正方形中，， ∴， 在中，， 由翻折的性质可知： 点在上运动的过程中，， ∴点的轨迹是以为圆心，半径为的一段弧； ∴当 三点共线时，有最小值， 此时， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则点E的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设正方形的边长为a，与y轴相交于G，先判断四边形是矩形，得出，，，根据折叠的性质得出，，在中，利用勾股定理构建关于a的方程，求出a的值，在中，利用勾股定理构建关于的方程，求出的值，即可求解． 【详解】解：设正方形的边长为a，与y轴相交于G， ∵正方形的边在x轴上， ∴ ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵折叠， ∴，， ∵点A的坐标为，点F的坐标为， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴，， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴点E的坐标为， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形，矩形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理等知识，利用勾股定理求出正方形的边长是解题的关键． 【题型6.基于正方形性质的几何证明】 【典例】如图，正方形的边长是6，对角线、相交于点O，点E、F分别在边、上，且，则四边形的面积为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．利用正方形的性质，证明，那么四边形的面积等于的面积，然后利用的面积等于正方形面积的四分之一，即可求得答案． 【详解】解：四边形为正方形， ，，， ， ， ， ， ， 四边形的面积等于， 正方形的边长是6， ， 四边形的面积为9． 故答案为：9． 【跟踪专练1】如图，在正方形中，点E为对角线边上一点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了正方形的性质、三角形外角的性质、等腰三角形的判定和性质.求出，根据三角形外角的性质即可求出答案. 【详解】解：在正方形中，点E为对角线边上一点， ∴， ∴ ∵，是的一个外角， ∴， 故选：D 【跟踪专练2】如图，正方形的边长为8，M为线段上一动点，于点P，于点Q，则长的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及三角形面积等知识，掌握矩形的判定与性质是解题的关键．连接，首先根据勾股定理解得的值，证明四边形是矩形，可得，当时，最小，则最小，然后由面积法求出的长，即可获得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形为边长为8的正方形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 当时，最小，则最小， 此时， 即， 解得， ∴的最小值为． 故答案为：． 【题型7.正方形判定定理的理解与应用】 【典例】下列命题中正确的是（    ） A．四边都相等的四边形是正方形 B．对角线互相平分的四边形是平行四边形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线相等的四边形是矩形 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形，菱形，矩形和正方形的判定定理，根据平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定定理判断各选项即可得到答案． 【详解】解：A、四边都相等的四边形是菱形，不一定是正方形，原说法错误，不符合题意； B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，原说法正确，符合题意； C、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，原说法错误，不符合题意； D、对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形的对角线也相等，原说法错误，不符合题意； 故选；B． 【跟踪专练1】一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形：a.两组对边分别相等，b.一组对边平行且相等，c.一组邻边相等 ，d.一个角是直角，顺次添加的条件：①②③，则正确的是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查正方形的判定，熟练掌握正方形的判定定理是解题的关键． 根据题意及正方形的判定定理可直接进行排除选项． 【详解】解∶ ①由两组对边分别相等可得该四边形是平行四边形，添加一组邻边相等可得该四边形是菱形，再添加一个角是直角则可得该四边形是正方形，故符合题意； ②由一组对边平行且相等可得该四边形是平行四边形，添加一个角是直角可得该四边形是矩形，再添加一组邻边相等则可得该四边形是正方形，故符合题意； ③a、b都为平行四边形的判定定理，故不能判定该四边形是正方形，不符合题意； 故答案为：； 【跟踪专练2】下列命题正确的是（   ） A．有三个角是直角的平行四边形是正方形 B．一组邻边相等的四边形是菱形 C．有一个角是直角的平行四边形是矩形 D．对角线相等的四边形是矩形 【答案】C 【分析】本题考查命题与定理，矩形、菱形、正方形的判定定理，需根据各图形的定义和判定条件判断选项正误． 【详解】解：A、有三个角是直角的平行四边形是矩形，故原命题错误，不符合题意； B、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故原命题错误，不符合题意； C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故原命题正确，符合题意； D、对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题错误，不符合题意． 故选：C． 【题型8.补充条件使四边形成为正方形】 【典例】如图，在菱形中，添加一个条件使其成为正方形，你添加的条件是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了正方形的判定方法，①对角线相等的菱形是正方形，②有一个角是直角的菱形是正方形，③对角线互相垂直的矩形是正方形，④一组邻边相等的矩形是正方形． 根据①对角线相等的菱形是正方形，②有一个角是直角的菱形是正方形，添加条件即可． 【详解】解：∵有一个角是直角的菱形是正方形， ∴添加的条件是． 故答案为：（答案不唯一）． 【跟踪专练1】如图，已知，，用尺规进行如下操作：①以点B为圆心，长为半径画弧；②以点D为圆心，长为半径画弧；③两弧在上方交于点C，连接，．再添加一个条件，仍不能判定四边形是正方形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了基本作图，矩形和正方形的判定，熟练掌握矩形和正方形的判定定理是解题的关键． 首先证明出四边形是矩形，然后根据正方形的判定定理逐项判断即可． 【详解】根据题意得，， ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴平行四边形是矩形 A．添加，故可证明矩形是正方形，不符合题意； B．添加，故可证明矩形是正方形，不符合题意； C．添加， ∵ ∴ ∴ ∴，故可证明矩形是正方形，不符合题意； D．添加，不能证明矩形是正方形，符合题意； 故选：D． 【跟踪专练2】如图，在中，点、、分别在边、、上，且，．下列四种说法：①四边形是平行四边形；②如果，那么四边形是矩形；③如果平分，那么四边形是菱形；④如果且，那么四边形是正方形．其中，正确的有 ．（只填序号） 【答案】①②③ 【分析】根据平行四边形平行四边形、菱形、矩形的判定，即可求解， 本题主要考查了平行四边形、菱形、矩形的判定，掌握平行四边形、菱形、矩形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：①∵， ∴四边形是平行四边形，故①正确； ②若， ∴平行四边形是矩形；故②正确； ③若平分， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴； ∴平行四边形是菱形；故③正确； ④若； ∴平分； ∴结合③可得平行四边形是菱形；故④错误； 所以正确的结论是①②③， 故答案为：①②③． 【题型9.四边形为正方形的证明方法】 【典例】下列条件可以利用定义说明平行四边形是正方形的是（   ） A． B． C． D．以上都对 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的判定定理，平行四边形的性质，熟练掌握正方形的定义是解题的关键． 根据正方形的判定定理得出答案． 【详解】正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形．由此可知选． 故选：． 【跟踪专练1】在四边形中，，，，，，分别是，，，的中点，则四边形的形状是 ． 【答案】正方形 【分析】由三角形中位线的性质，可判断，，可得四边形是菱形，四边形的对角线，满足，且，四边形是正方形．本题考查了中点四边形的性质，中位线的定理，解题中需要理清思路，属于中档题． 【详解】解：如图所示： 在中，，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， 同理，，． ∵， ∴， ∴四边形是菱形， 设与交于点，与交于点， 在中，，分别是，的中点， ∴，同理， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是正方形． 故答案为：正方形 【跟踪专练2】如图，在中，，下列四个判断不正确的是（　　）    A．四边形是平行四边形 B．如果，那么四边形是矩形 C．如果平分，那么四边形是菱形 D．如果且，那么四边形是正方形 【答案】D 【分析】本题考查的是平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定与性质，根据特殊四边形的判定方法逐一分析即可． 【详解】解：A、∵， ∴四边形是平行四边形， 故A选项正确，不符合题意； B、∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是矩形， 故B选项正确，不符合题意； C、∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形，故C选项正确，不符合题意； D、∵， ∴四边形是平行四边形， ∵且， ∴， 同理可得：四边形是菱形， 故D选项错误，符合题意． 故选：D 【题型10.结合正方形的性质与判定求线段长度】 【典例】如图，在一张矩形纸片中，，分别是和的中点．现将纸片按如图方式折叠，使点与上的点重合．若平分，则的长为 ． 【答案】 【分析】根据题意可得四边形是矩形，，是等腰直角三角形，则，如图所示，过点作，可得是等腰三角形，四边形是矩形，是正方形，四边形是矩形，则，，根据折叠，得到，在中由勾股定理得到，由即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵点，分别是和的中点， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵平分， ∴， ∴是等腰直角三角形，则， 如图所示，过点作， ∴是等腰三角形， ∴四边形是矩形，是正方形，四边形是矩形， ∴，， ∵折叠， ∴， 在中，， ∴， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，正方形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，折叠性质，勾股定理的运用，掌握矩形的折叠，勾股定理的运用是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，在矩形中，，E为边上一个动点，连接．将沿折叠，使点B落在边上的点P处． 结论Ⅰ：当点P与点D重合时，此时四边形为正方形； 结论Ⅱ：当P为的中点时，． 关于结论Ⅰ，Ⅱ，下列判断正确的是（　　） A．结论Ⅰ对，结论Ⅱ错 B．结论Ⅰ错，结论Ⅱ对 C．结论Ⅰ，Ⅱ都对 D．结论Ⅰ，Ⅱ都错 【答案】C 【分析】本题重点考查矩形的性质、翻折变换的性质、正方形的判定、勾股定理等知识，当点P为的中点时，求得是解题的关键． 当点P与点D重合时，证四边形为正方形，可判断结论Ⅰ正确；当点P为的中点时，由矩形的性质，折叠的性质，利用勾股定理求的长度，可判断结论Ⅱ正确，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图1，点P与点D重合，则， ∵将沿折叠，点B落在边上的点P处， ∴， ∴， ∵四边形为矩形，， ∴四边形为正方形， 故结论Ⅰ正确； 如图2，点P为的中点， ∵四边形是矩形，， ∴， ∴， 由折叠得 ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 故结论Ⅱ正确， 故选：C． 【跟踪专练2】如图，矩形中，，，为边上一动点，过点作，垂足为，连接，以为轴将进行翻折，得到，连接． （1）若，，三点在同一条直线上时，的长度为 ； （2）若点落在线段上时，的长度为 ． 【答案】 或 【分析】（）由勾股定理可得，由折叠的性质可得，，，求出，在中由勾股定理可求解；（）过点作于，过点作于，证明四边形是矩形，所以，，，由“”可证，可得，可证四边形是平行四边形，可得，可证四边形是平行四边形，可得，当与点重合时，，则，即可求解． 【详解】解：（）如图， ∵，， ∴，， ∵以为轴将进行翻折，得到， ∴，，， ∴， ∴在中，， ∴， 解得：， 故答案为：； （）如图，过点作于，过点作于， ∵以为轴将进行翻折，得到， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，即， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 如图，当与点重合时， 同理可得：四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，翻折变换的性质，正方形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【题型11.正方形性质与判定的综合证明】 【典例】我们在学习四边形时．先学习了平行四边形．再通过平行四边形的边角特殊化获得矩形、菱形、正方形，得到了这些特殊四边形的性质定理和判定定理，这种研究方法主要体现的数学思想是（   ） A．转化 B．归纳 C．由一般到特殊 D．数形结合 【答案】C 【分析】本题主要考查的是正方形、矩形、菱形、平行四边形的性质，读懂题意是解题的关键．依据探究过程并结合选项可作出判断． 【详解】解：这种研究方法主要体现的数学思想是由一般到特殊． 故选：C． 【跟踪专练1】如图，点E、F、G、H分别是四边形边、、、的中点，则下列命题中：①若，则四边形为矩形；②若，则四边形为菱形；③若四边形是平行四边形，则与互相平分；④若四边形是正方形，则与互相垂直且相等．其中是真命题的序号是 ． 【答案】④ 【分析】本题考查中点四边形、平行四边形、矩形、菱形的判定等知识， 先证明一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线时，中点四边形是菱形，当对角线时，中点四边形是矩形，当对角线，且时，中点四边形是正方形，再逐一分析各选项即可． 【详解】解：∵点 E、F、G、H分别是四边形边边、、、的中点， ∴，，，，，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ①当时，则， 则四边形为菱形，①说法错误； ②当时，则， 则四边形为矩形，②说法错误； ③四边形一定是平行四边形，与不一定互相平分，③说法错误； ④当四边形是正方形时，与互相垂直且相等，④说法正确； 故答案为：④． 【跟踪专练2】如图，已知四边形为正方形，E为对角线上一点，连接，过点E作，交的延长线于点F，连接，若，，则的长为（　　） A．5 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质与判定，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，角平分线的性质等知识，正确作出辅助线是解本题的关键． 过E作于点M，作于N，证明四边形是正方形，根据勾股定理求出，再证明，得即可解答． 【详解】解：过E作于点M，作于N， ∴ ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵在正方形中，平分， 又， ∴， ∴四边形是正方形， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在正方形中，， 即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 故选：B． 【题型12.特殊平行四边形的动点问题】 【典例】如图，在四边形中，，动点P从点B出发，沿射线以每秒3个单位的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段上以每秒1个单位的速度向终点D运动，当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为（    ）秒． A．2或 B．或 C．或 D．2或 【答案】C 【分析】本题考查了动点问题，平行四边形的判定，利用分类讨论的思想解决问题是关键．由题意可得，分两种情况讨论：当点在上时；当点在延长线上时，表示出，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形求解即可． 【详解】解：由题意可知，，， ， ， 当点在上时，， ， 当时，四边形是平行四边形， ， 解得：； 当点在延长线上时，， ， 当时，四边形是平行四边形， ， 解得：， 综上可知，以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为或秒， 故选：C 【跟踪专练1】如图，四边形中，，，，M是上一点，且，点E从点A出发以的速度向点D运动，点F从点C出发，以的速度向B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为t秒，则当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时， 【答案】或 【分析】本题考查了动点问题，平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，合理分类是解题的关键．分F在M的右侧和左侧两种情况讨论即可． 【详解】解∶∵，， ∴， ∵， ∴当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，， 当F在M的右侧时，， 又， ∴， ∴； 当F在M的左侧时，， 又， ∴， ∴； 综上， 当以A，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为或， 故答案为：或． 【跟踪专练2】如图，矩形的边，，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，若以为边向右侧作等腰直角三角形，，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】过点G作于H，过点G作，由“”可证，可得，可得点G在平行且到距离为1的直线上运动，则当F与D重合时，有最小值，即可求解． 【详解】解：如图，过点G作于H，过点G作， ∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点G在平行且到距离为1的直线上运动， ∴当F与D重合时，有最小值，此时， ∴的最小值， 故选：B． 【点睛】本题考查了（特殊）平行四边形的动点问题，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，确定点G的运动轨迹是解题关键． 1．如图，正方形的对角线相交于点O，点O是正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长都等于2．那么正方形绕O点无论怎样转动，两个正方形重叠的部分的面积是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等知识内容，难度适中，正确掌握相关性质内容是解题的关键．过点O分别作于点M，于点N，根据四边形和是正方形，证明，得，故两个正方形重叠的部分的面积等于正方形，即可列式作答． 【详解】解：过点O分别作于点M，于点N，连接交于点O，如图所示： ∵四边形和是正方形， ∴，， ∵正方形的对角线相交于点O， ∴，， ∴， ∴四边形是正方形， ∵，， ∴ ∵ ∴， ∴， 则， 故两个正方形重叠的部分的面积等于正方形面积， ∴， 那么两个正方形重叠的部分的面积等于， 故答案为：． 2．我们把顺次连接四边形四条边的中点所得的四边形叫中点四边形．现有一个对角线分别为和的菱形，它的中点四边形的对角线长是 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关的性质． 由菱形的性质可得对角线互相垂直，用勾股定理可求菱形边长，根据平行四边形的判定和性质，可得中点四边形的对角线长． 【详解】解：如图，点、点、点、点是菱形各边中点，，， ∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， 又∵点是的中点，点是的中点， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 同理可得，， 故答案为：． 3．数学老师用四根长度相等的木条首尾顺次相接制成一个如图①所示的菱形教具，此时测得，对角线长为，改变这个教具的形状成为如图②所示的正方形，则正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的性质并灵活运用，菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．连接，根据菱形的性质可知，，可判定是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，故正方形的边长为． 【详解】解：如图，连接，    ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴正方形的边长是， 故选：C． 4．如图，点分别是正方形各边的中点，中间阴影部分面积为1．则大正方形的边长（    ） A． B．5 C． D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方形的性质与三角形的中位线定理，灵活运用相关知识是解题的关键．由题意得：，，，，四边形为正方形，利用中点的定义可得同理，可得，从而得出，，由，可得，从而可得，由，可得出，由正方形的面积为1可知正方形的面积是5，由此即可求出其边长． 【详解】解：如图， 由题意得：，，， ，四边形为正方形， ，点是的中点， ， ， ， ，， ， ，， ， ， 在中，， ，， ， ， ， ，， ， ∴正方形的面积与正方形的面积之比是， 又正方形的面积为1， 正方形的面积是5， 则正方形的边长是． 故选：A． 5．如图，在平面直角坐标系中，正方形的位置如图所示，，若，则点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 由直角三角形的性质可求的长，由可证，可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于， ， ， ∵四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， 点， 故选：C． 6．如图，在一张矩形纸片中，，，点E，F分别在，上，将沿直线折叠，点C落在上的点H处，点D落在点G处．设线段的长度为m，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，正方形的性质，当点H与点A重合时，有最小值，由勾股定理可求的最小值，若点与点重合时，有最大值，由正方形的性质可求的最大值． 【详解】解：当点H与点A重合时，有最小值， ，则， 在中，， 即， 解得， ∴， 若点与点重合时，有最大值， ∴四边形是正方形， ∴， ∴最大值为4， ∴， 故答案为：． 7．如图，正方形的对角线与相交于点，是边上一点，连接，将沿折叠，使得点恰好落在上的点处．若，则的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算，折叠的性质等知识点，熟练掌握正方形的性质和折叠的性质是解题的关键． 先根据正方形的性质求出，由勾股定理求出，由折叠得到，，然后求出，再由等腰直角三角形求出，即可求解周长． 【详解】解：正方形， ∴，， ∴，， ∵折叠， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的周长是． 故选：A． 8．如图，正方形的对角线与相交于点，是边上一点，连接，将沿折叠，使得点恰好落在上的点处．若，则的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算，折叠的性质等知识点，熟练掌握正方形的性质和折叠的性质是解题的关键． 先根据正方形的性质求出，由勾股定理求出，由折叠得到，，然后求出，再由等腰直角三角形求出，即可求解周长． 【详解】解：正方形， ∴，， ∴，， ∵折叠， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的周长是． 故选：A． 9．如图，以正方形的边向外作等边，连接交边于点F，则的度数是（    ） A．60° B．70° C．75° D．80° 【答案】C 【分析】本题主要考查正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质及直角三角形的角关系；掌握利用边相等转化为角相等，结合外角性质与直角三角形内角和进行角度推导是解题的关键．解题时通过正方形与等边三角形的边、角性质，结合等腰三角形判定及直角三角形角的关系，逐步推导即可得出所求角的度数． 【详解】如图，延长过点作于点， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵三角形是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵三角形是等边三角形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴三角形是直角三角形， ∴， ∴， ∴． 故选：． 10．如图，在中，O为的中点，点E，M为同一边上任意两个不重合的动点（不与端点重合），的延长线分别与的另一边交于点F，N，连接，下面四个推断： ①；②；③若是菱形，则至少存在一个四边形是菱形；④对于任意的，存在无数个四边形是矩形；其中所有正确的有（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定，菱形的判定和性质，平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定和性质，证明四边形是平行四边形是解题的关键． 由“”可证，，可证四边形是平行四边形，可得，与不一定相等，故①错误，②正确，由菱形的判定和性质和矩形的判定可判断③错误，④正确． 【详解】解：如图1，∵O为对角线的中点， ∴，， ∴， 在和中， ，    ∴， ∴， 同理可得：， ∴，即； 又∵， ∴四边形是平行四边形，   ∴，故②正确； 根据现有条件无法证明，故①错误． 若平行四边形是菱形，则， ∴， ∵点E，M为边上任意两个不重合的动点(不与端点重合)， ∴， ∴四边形不可能是菱形，故③不正确； 如图2，当时，则， ∵四边形是平行四边形， ∴边形是矩形， 又∵存在无数个点E、M满足， ∴对于任意的，存在无数个四边形是矩形，故④正确；        综上所述，正确结论为②④． 故选：D． 11．如图，在直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A，C分别在x轴，y轴上，B点坐标为，D为的中点，线段在边上移动，且，当四边形的周长最小时，则点M的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，坐标与图形，平行四边形的判定和性质，一次函数的性质等知识，作点D关于y轴的对称点E，过点E作，截取，连接、．得四边形是平行四边形，求出，，得出，要使四边形的周长最小，只要使的值最小，当A、N、F三点共线时的值最小．运用待定系数法求出直线的解析式即可解决问题． 【详解】解：作点D关于y轴的对称点E，过点E作，截取，连接、． ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵D是的中点，， ∴， ， ， 要使四边形的周长最小，只要使的值最小， ∴当A、N、F三点共线时的值最小． 设直线的解析式为：， ∵，， ∴， 解得， ， 当时，， ∴ ， ∴． 故答案为：． 12．如图，在四边形中，对角线互相垂直，点E、F、G、H分别是边的中点，依次连接这四个中点得到四边形． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)25 【分析】本题考查了中点四边形，三角形中位线的性质，矩形的性质与判定，熟练掌握相关的判定和性质，是解题的关键． （1）设交于点，交于点，先根据三角形的中位线定理，得到，证明四边形是平行四边形，再根据可得，即可证明四边形是矩形； （2）由（1）得，结合，，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，设交于点，交于点， 点E、F、G、H分别是边的中点， 是的中位线，即， 同理，是的中位线，即， 是的中位线，即， 是的中位线，即， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 四边形是矩形； （2）解：由（1）知四边形是矩形， ， ，， ， 四边形的周长为：． 13．实践探究： （1）如图①，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，要得到一个正方形．剪口与折痕应成___________度的角． 知识应用： （2）小明按照以上方法剪出两个边长为1的全等正方形，把正方形绕正方形的中心点转动的过程中，如图②所示摆放，求证． 拓展延伸 （3）小明把2024个边长为1的全等正方形重叠在一起，如图③……分别是正方形的中心，请直接写出正方形重叠阴影部分的面积． 【答案】（1）45；（2）见解析；（3） 【分析】本题考查了正方形的性质与判定，全等三角形的判定和性质． （1）根据翻折变换的性质及正方形的判定进行分析从而得到最后答案； （2）由正方形的性质得，，然后证明可证明结论成立； （3）由（2）可得，进而可求出2024个边长为1的全等正方形重叠在一起阴影部分的面积． 【详解】解：（1）一张长方形纸片对折两次后，剪下一个角，是菱形，而出现的四边形的两条对角线分别是两组对角的平分线， 所以当剪口线与折痕成角，菱形就变成了正方形． 故答案为：45； （2）证明：在正方形和正方形中， ，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）由（2）可知，， ∴， ∴， ∵2024个边长为1的全等正方形重叠在一起， ∴正方形重叠阴影部分的面积为： 14．如图，在中，，D为边的中点，四边形是平行四边形，、相交于点O． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，时，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)24 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，三线合一，矩形的判定和正方形的判定和性质，解决此题的关键是熟练掌握三线合一； （1 ）根据是等腰三角形，由三线合一，得到，先证明四边形是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形为矩形，即可得证； （2 ）先证明四边形是正方形，再利用分割法求面积即可． 【详解】（1）证明：∵在中，， ∴是等腰三角形， ∵D是的中点， ∴，即，， 又∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形，，即， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ， ∴， 故的面积为． 15．如图，四边形中，，，，，作于点E，交的延长线于点F． (1)求证：四边形是正方形； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)144 【分析】本题主要考查了正方形的判定和性质，垂直的定义，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据垂直得出直角，证明四边形为矩形，利用证明，得出，即可得出结论； （2）借助（1）的结论得出四边形的面积等于正方形的面积，求出，即可求出面积． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， 又∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形； （2）解：由（1）得四边形是正方形，且， ∴四边形的面积等于正方形的面积，， ∵，， ∴， ∴正方形的面积为， 即四边形的面积为144． 16．在菱形中，点E是对角线上一点，点F、G在直线上，且，． (1)如图1，求证：①；②； (2)如图2，当时，判断、、的数量关系，并说明理由； (3)如图3，当时，点F在线段上，判断、、的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）①由菱形性质得到，由等腰三角形性质得到．从而有．由等量代换得到，从而可证； ②由全等的性质得出，由菱形的性质得出，从而有，最后有等量代换即可得到； （2）由菱形的性质可求出，从而得到为等边三角形，得到，从而可证结论； （3）证明四边形是正方形，得到，同（1）可证，得到，进而得到为等腰直角三角形，从而得到结论． 【详解】（1）证明∶①如图， ∵四边形是菱形， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴，即． ∴； ②∵， ∴． ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴．即． （2）解：． 理由如下： ∵四边形是菱形，， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴． 由（1）知：， ∵， ∴． （3）解：． 理由如下： 如图， ∵四边形是菱形，， ∴四边形是正方形， ∴． ∵， ∴． ∴． 又∵， ∴，即． ∴， ∴． ∵， ∴在中，． ∵． ∴． ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，灵活运用相关性质定理和判定定理是解题的关键． 17．已知如图1，E是正方形边上一点，连接，过点作于点，交于点． (1)试猜想与的数量关系并证明； (2)如图2，若点为的中点，其他条件不变，连接，请判断与的数量关系，并证明； (3)如图3，将边长为的正方形沿折叠，使得点落在的中点处，点落在点处，求折痕的长． 【答案】(1)，证明见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）证明即可得出结论； （2）延长，交于点，同（1）可得，根据全等三角形的性质得．由点为的中点以及得，再证明可得，根据直角三角形斜边上的中线定理即可得出结论； （3）连接，过点作交于，可得，再证明即可得，进而勾股定理求得，即可求解． 【详解】（1）解：． 证明：如图1， 四边形是正方形， ，，． 又， ， ， ， ； （2）． 证明：延长，交于点， 同（1）可得， ． 又点为的中点，． ， ． 又， ， 又， (， ， ， ， ， ， ； （3）如图3，连接，过点作交于， 四边形是正方形， ，，， ， 将边长为的正方形沿折叠，使得点落在的中点处， ， ， ， ， ()， ， 为的中点， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $专题07正方形寒假预习核心讲义 预习目标 1.理解正方形的定义，明确正方形与平行四边形、菱形、矩形的从属关系，能精准梳 理三者间的区别与联系。 2.掌握正方形的性质（边、角、对角线），能灵活运用性质解决边长、角度、面积等 基础几何问题。 3.牢记正方形的判定方法，能根据已知条件选择合适的定理证明图形为正方形，避开 常见易错点。 4结合生活实例感受正方形的应用，提升几何综合思维，为开学后综合题型及中考备 考筑牢基础。 2 预习内容概览 预习必备 1.正方形的定义 2.正方形的性质（重点+综合考点） 知识点梳理 3.正方形的判定（中考热点+难点 4.易错点辨析 1正方形的性质梳理与理解 2利用正方形的性质求角度问题 3借助正方形的性质计算线段长度 4.依据正方形的性质求图形面积 常考题型 5.正方形折叠类几何问题解析 6基于正方形性质的几何证明 精讲精炼 7.正方形判定定理的理解与应用 8.补充条件使四边形成为正方形 9.四边形为正方形的证明方法 10.结合正方形的性质与判定求线 段长度 11.正方形性质与判定的综合证明 12(特殊)平行四边形的动点问题 强化巩固 (17题) 题型通关 3 知识点梳理 【知识点01.正方形的定义】 定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 试卷第1页，共3页 关键点拆解：①正方形是特殊的平行四边形，同时满足“菱形的邻边相等”和 矩形的一个角是直角”两大条件；②从属关系：正方形C菱形C平行四边形， 正方形C矩形C平行四边形，是三者的交集。 补充说明：也可表述为“有一组邻边相等的矩形是正方形”或“有一个角是直角 的菱形是正方形”，本质与定义一致，更便于结合菱形、矩形知识理解。 【知识点02.正方形的性质（重点+综合考点）】 正方形同时继承了平行四边形、菱形、矩形的所有性质，是性质最完备的特殊四 边形，我们分维度梳理： 1.边的性质 对边平行且相等（继承自平行四边形）； 四条边都相等（继承自菱形）； 邻边互相垂直（由“矩形的角是直角”推导得出）。 2.角的性质 四个角都是直角（继承自矩形），度数均为90°； 对角相等、邻角互补（继承自平行四边形，是直角属性的延伸）。 3.对角线的性质（核心综合考点） 互相平分（继承自平行四边形）； 相等（继承自矩形)； 互相垂直（继承自菱形）； 每条对角线平分一组对角（继承自菱形，正方形中每条对角线平分两个45°角）。 总结：正方形的对角线具备“平分、相等、垂直”三大特性，这是区别于其他特 殊平行四边形的核心标志，也是中考常考的计算与证明突破口。 4.对称性与面积公式 对称性：既是中心对称图形（对称中心为对角线交点），也是轴对称图形，有4 条对称轴（两条对角线所在直线、两组对边垂直平分线所在直线）； 面积公式： ①通用公式：面积=边长×边长(S=a2,a为边长) ②推导公式：面积=对角线乘积的一半(S=号×d1×d2,d1、d2为对角线长度， 由菱形面积公式推导，因正方形对角线相等，也可表示为$)。 试卷第1页，共3页 【知识点03.正方形的判定（中考热点+难点）】 正方形的判定核心是“先定性为平行四边形/菱形/矩形，再补充特殊条件”，常 用方法有4种，按便捷度排序如下： 定义法：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。（最基础， 需同时验证两个条件) 菱形升级法：有一个角是直角的菱形是正方形。（先证菱形，再补“直角”条件， 无需重复验证平行四边形属性) 矩形升级法：有一组邻边相等的矩形是正方形。（先证矩形，再补“邻边相等” 条件，高效便捷，应用最广) 对角线法：对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形。（由“对角线垂直→ 菱形”“对角线相等→矩形”推导，需以平行四边形为前提) 易错提醒：①不可直接说“对角线互相垂直且相等的四边形是正方形”，缺少 平行四边形”前提（反例：等腰梯形对角线相等，添加垂直条件后仍非正方形）； ②区分“菱形升级”与“矩形升级”的条件，避免混淆。 【知识点04.易错点辨析（避坑指南）】 1.从属关系混淆：误认为“菱形是正方形”或“矩形是正方形”，忽略正方形需 同时满足两者的特殊条件； 2.判定条件遗漏：用对角线判定时，忘记“平行四边形”前提，直接由“对角线 垂直且相等”推正方形： 3.性质应用不全：计算正方形对角线或边长时，忽略“对角线相等且垂直平分” 的综合特性，仅用单一性质解题。 常考题型精讲精练 【题型1.正方形的性质梳理与理解】 【典例】在正方形ABCD中，AB=3,则正方形ABCD的周长为() A.9 B.12 C.32 D.6 【跟踪专练1】如图，阴影部分是两个正方形，其它部分是两个直角三角形和一个正方形， 若右边的直角三角形ABC中，AC=13,BC=12,则阴影部分的面积是」 试卷第1页，共3页 【跟踪专练2】如图，在正方形ABCD中，E为BC边上的中点，将线段AB绕点A逆时针旋 转得到线段AF,使得∠BAE=∠FAE,连接EF和CF,令LBAE=a,则LFCD为() A.120°-3a B.a C.2a-30 D.45°-a 【题型2.利用正方形的性质求角度问题】 【典例】如图，点P是正方形ABCD的对角线AC上一点，连接BP,若∠BPC=55°，则 ∠PBC的度数为() D A.80° B.75° C.70° D.659 【跟踪专练1】如图，四边形ABCD是正方形，E是CB延长线上的一点，且BD=BE,则 ∠E的度数是 B 【跟踪专练2】如图，六边形ABCDEF是正六边形，四边形ABMN是正方形，△OED是正三 角形，则∠ONM的度数是() 试卷第1页，共3页 A.14° B.14.5° C.15 D.16° 【题型3.借助正方形的性质计算线短长度】 【典例】若正方形的边长为1，则该正方形的对角线长为() A.1 B.3 C.2 D.4 【跟踪专练1】如图，有正方形A,B,现将B放在A的内部得图1，将A,B并列放置后构 造新的正方形得图2，若图1，图2中阴影部分的面积分别为4,30，下列说法正确的有 .①正方形A和B的面积和是34；②图2中新的正方形的面积是64；③正方形A和B的面 积差是16；④正方形A的边长是5 4 B 图1 图2 【跟踪专练2】如图，在正方形ABCD中，点E在AB上，AF⊥DE于点F,CG⊥DE于点 G.若AD=5,CG=4,则△AEF的面积为() D D. 翠 【题型4.依据正方形的性质求图形面积】 【典例】如图，正方形ABCD的边长为4，点E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,AD的中点，则 四边形EFGH的面积为 试卷第1页，共3页 【跟踪专练1】如图，有一个边长为4cm的正方形ABCD,将一块45°的三角板直角顶点与 正方形对角线交点O重合，两条直角边分别与BC边交于点E,与CD边交于点F,则四边 形OECF的面积是() A.2cm2 B.4cm2 C.5cm2 D.8cm2 【跟踪专练2】如图，正方形ABCD和正方形EFGH的对称中心都是点O,其边长分别是5 和4，则图中阴影部分的面积是 A D E H B 【题型5.正方形折叠类几何问题解析】 【典例】将一张正方形纸片，按如图步骤①，②，沿虚线对折两次，然后沿③中的虚线剪去 一个角，展开铺平后的图形是() ① ② ③ B 【跟踪专练1】如图，在正方形ABCD中，AB=12,E是CD上一点，且DE=3,F是AD上 试卷第1页，共3页 一动点，连接EF,若将aDEF沿EF翻折后，点D落在点D处，则D到点B的最短距离为 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点A的坐标为 (-2,O),点E在边CD上.将△BCE沿BE折叠，点C落在点F处.若点F的坐标为0,6)， 则点E的坐标为() A AO B A.2,8 B.(3,10 C.(4,6 D.(3,8 【题型6.基于正方形性质的几何证明】 【典例】如图，正方形ABCD的边长是6，对角线AC、BD相交于点O,点E、F分别在边 AD、AB上，且OE⊥OF,则四边形AFOE的面积为 D E A B 【跟踪专练1】如图，在正方形ABCD中，点E为对角线AC边上一点，若∠AEB=65°，则 ∠CBE的度数为() C E B 试卷第1页，共3页 A.45° B.250 C.15° D.20° 【跟踪专练2】如图，正方形ABCD的边长为8，M为线段BD上一动点，MP⊥CD于点P, MQ⊥BC于点Q,则PQ长的最小值是 四边形ABCD为边长为8的正方形， B .∠A=∠BCD=90°，AD=AB=CD=BC=8, 【题型7.正方形判定定理的理解与应用】 【典例】下列命题中正确的是() A.四边都相等的四边形是正方形 B.对角线互相平分的四边形是平行四边形 C.对角线互相垂直的四边形是菱形 D.对角线相等的四边形是矩形 【跟踪专练1】一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形：α.两组对边分别相 等，b.一组对边平行且相等，c.一组邻边相等，d.一个角是直角，顺次添加的条件：① a→c→d②b→d→c③a→b→c,则正确的是_ 添加条件 四边形 正方形 【跟踪专练2】下列命题正确的是() A.有三个角是直角的平行四边形是正方形 B.一组邻边相等的四边形是菱形 C.有一个角是直角的平行四边形是矩形 D.对角线相等的四边形是矩形 【题型8.补充条件使四边形成为正方形】 【典例】如图，在菱形ABCD中，添加一个条件使其成为正方形，你添加的条件是 试卷第1页，共3页 D ⊙ 【跟踪专练1】如图，已知Rt△ABD,∠A=90°，用尺规进行如下操作：①以点B为圆心， AD长为半径画弧；②以点D为圆心，AB长为半径画弧；③两弧在BD上方交于点C,连 接BC,DC,再添加一个条件，仍不能判定四边形ABCD是正方形的是() A A.AB=BCB.AC⊥BD C.LABD=∠CBDD.∠ABC=90 【跟踪专练2】如图，在ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB、CA上，且DE∥CA, DF‖BA.下列四种说法：①四边形AEDF是平行四边形；②如果∠BAC=90°，那么四边 形AEDF是矩形；③如果AD平分∠BAC,那么四边形AEDF是菱形；④如果AD⊥BC且 AB=AC,那么四边形AEDF是正方形.其中，正确的有 (只填序号) B 【题型9.四边形为正方形的证明方法】 【典例】下列条件可以利用定义说明平行四边形ABCD是正方形的是() A.AB=CD,∠A=90° B.AB=AD,∠A=90° C.AB‖CD,∠A=90° D.以上都对 【跟踪专练1】在四边形ABCD中，AC=BD,AC⊥BD,E,F,G,H分别是AB, BC,CD,DA的中点，则四边形EFGH的形状是 试卷第1页，共3页 【跟踪专练2】如图，在ABC中，DE∥AC,DF∥AB,下列四个判断不正确的是() A.四边形AEDF是平行四边形 B.如果LBAC=90°，那么四边形AEDF是矩形 C.如果AD平分∠BAC,那么四边形AEDF是菱形 D.如果AD⊥BC且AB=AC,那么四边形AEDF是正方形 【题型10.结合正方形的性质与判定求线段长度】 【典例】如图，在一张矩形纸片ABCD中，E,F分别是AD和BC的中点.现将纸片按如 图方式折叠，使点C与EF上的点G重合.若AG平分∠BAD,BC=2,则AB的长 为 【跟踪专练1】如图，在矩形ABCD中，AB=6,E为边BC上一个动点，连接AE,将 △ABE沿AE折叠，使点B落在边CD上的点P处， 结论I:当点P与点D重合时，此时四边形ABCD为正方形； 结论Ⅱ：当P为CD的中点时，EC=√万. 关于结论I,Ⅱ，下列判断正确的是() D A.结论I对，结论Ⅱ错 B,结论I错，结论Ⅱ对 C.结论I,Ⅱ都对 D.结论，Ⅱ都错 试卷第1页，共3页