三角恒等变换：和差公式、倍角公式、给值求值问题专项训练-2026届高三数学三轮冲刺

三角恒等变换：和差公式、倍角公式、给值求值问题专项训练 三角恒等变换：和差公式、倍角公式、给值求值问题专项训练 考点目录 和差公式 倍角公式 给值求值问题 考点一 和差公式 例1．（2026·吉林白山·模拟预测）若，则（   ）. A． B． C． D． 例2．（2026·山西·二模）已知是锐角，，则（   ） A．7 B． C． D． 例3．（25-26高三下·辽宁葫芦岛·期中）在平面直角坐标系中，角的终边经过点，则______． 例4．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则______． 变式1．（2026·贵州黔西南·二模）下列的值能使成立的是（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高三下·甘肃武威·阶段检测）已知，则（    ） A．3 B． C．2 D． 变式3．（25-26高三下·河南·月考）若，，则______． 变式4．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）已知，，则______. 考点二 倍角公式 例1．（2026·西藏日喀则·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D． 例2．（2026·湖南湘西·三模）已知，则（   ） A．-4 B． C． D． 例3．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·月考·多选）已知，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 例4．（2026·江西抚州·二模）已知，且，则__________. 例5．（2026·河北·二模）若，则__________. 变式1．（2026·重庆·模拟预测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 变式2．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）已知，，则（   ） A． B． C． D． 变式3．（2026·重庆·模拟预测·多选）已知角的始边为轴的非负半轴，终边过点，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 变式4．（2026·重庆·模拟预测）已知角满足，则_______. 变式5．（2026·江西赣州·模拟预测）已知，且，则______，______． 考点三 给值求值问题 例1．（2026·河南开封·模拟预测）已知，若，则（   ） A．0 B．1 C． D．-1 例2．（2026·福建厦门·模拟预测）已知，，则（） A． B． C． D． 例3．（2026·山东青岛·一模）已知，则（   ） A．1 B． C． D． 例4．（2026·北京石景山·一模）已知，则__________． 例5．（2026·四川·二模）已知，则__________. 例6．（2026·广西·模拟预测）已知，则______. 变式1．（2026·湖北黄冈·模拟预测）若，，则（    ） A． B． C． D． 变式2．（2026·重庆·模拟预测）已知，则（   ） A． B． C． D． 变式3．（2026·广东湛江·二模）已知，则（   ） A． B． C． D． 变式4．（25-26高三下·上海金山·阶段检测）已知，则________. 变式5．（25-26高三下·海南省直辖县级单位·月考）已知，则______. 变式6．（2026·广西桂林·一模）若，且，则_____. 2 学科网（北京）股份有限公司 $三角恒等变换：和差公式、倍角公式、给值求值问题专项训练 三角恒等变换：和差公式、倍角公式、给值求值问题专项训练 考点目录 和差公式 倍角公式 给值求值问题 考点一 和差公式 例1．（2026·吉林白山·模拟预测）若，则（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据诱导公式、两角和的余弦公式、二倍角公式及同角关系的齐次转化求解即可. 【详解】 可得. 因为 所以. 例2．（2026·山西·二模）已知是锐角，，则（   ） A．7 B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，为锐角，故根据公式可得， 所以. 例3．（25-26高三下·辽宁葫芦岛·期中）在平面直角坐标系中，角的终边经过点，则______． 【答案】 【分析】根据三角函数的定义求，再由两角差的正切公式即可求解. 【详解】由题可知，则． 例4．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则______． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用切化弦思想及逆用和角的余弦公式求解. 【详解】在中，由，得， 整理得， 而，则，又是锐角，所以. 变式1．（2026·贵州黔西南·二模）下列的值能使成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正切的和角公式即可求解. 【详解】， ，故， 故符合要求. 变式2．（25-26高三下·甘肃武威·阶段检测）已知，则（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】D 【详解】由，得， 所以，解得， 所以. 变式3．（25-26高三下·河南·月考）若，，则______． 【答案】 【分析】根据题意，利用三角函数的基本关系式和两角和的正弦公式，准确化简、计算，即可求解. 【详解】由，可得， 又由，可得， 所以 变式4．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）已知，，则______. 【答案】 【分析】本题中的角可以看成，而所求角可以看成．令，，则已知条件变为，，所求为．利用两角和与差的余弦公式，并把化为，即可求出结果． 【详解】令，，则，． 因为，所以与均有意义，从而，． 由两角和的余弦公式，得． 又因为，，所以． 因此． 把代入，得． 又因为，所以，解得． 由两角差的余弦公式，得． 同理，，所以． 于是． 考点二 倍角公式 例1．（2026·西藏日喀则·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，． 例2．（2026·湖南湘西·三模）已知，则（   ） A．-4 B． C． D． 【答案】C 【分析】通过两角和与差的正余弦公式得出和的关系，再利用二倍角的正切公式即可得结果. 【详解】由，得， 即，所以， 所以，所以． 例3．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·月考·多选）已知，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】先利用三角函数的基本关系式，求得，结合基本关系式和正弦和余弦的倍角公式，逐项计算，即可求解. 【详解】对于A，由，可得，所以A正确； 对于B，由，所以B不正确； 对于C，由，所以C正确； 对于D，由，所以D正确. 例4．（2026·江西抚州·二模）已知，且，则__________. 【答案】 【详解】由结合诱导公式，得，又，所以， 则. 例5．（2026·河北·二模）若，则__________. 【答案】 【分析】根据题意，化简得到，代入计算，即可求解. 【详解】因为， 则. 变式1．（2026·重庆·模拟预测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将分别用表示，结合二倍角、两角和差余弦公式可化简整理得到结果. 【详解】. 变式2．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件及诱导公式，结合二倍角的余弦公式，可得，根据的范围，分析即可得答案. 【详解】由题意， 又，所以， 由，得， 所以. 变式3．（2026·重庆·模拟预测·多选）已知角的始边为轴的非负半轴，终边过点，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】根据三角函数定义得，，故A正确； 由二倍角公式得，故B错误； 由，故C正确； 因为角的终边过点，所以， 解得， 当时，，此时，， 由两角和的正弦公式得，故D错误. 变式4．（2026·重庆·模拟预测）已知角满足，则_______. 【答案】 【详解】 ． 变式5．（2026·江西赣州·模拟预测）已知，且，则______，______． 【答案】 【分析】根据题意，结合求得，进而结合二倍角公式求得，再结合，根据正弦差角公式求解即可. 【详解】因为，所以． 因为，所以． 因为， 所以. ． 因为， 所以 ． 考点三 给值求值问题 例1．（2026·河南开封·模拟预测）已知，若，则（   ） A．0 B．1 C． D．-1 【答案】B 【分析】根据诱导公式以及正切的和差角公式可得，即可由正切的二倍角公式求解. 【详解】由，可得， 故，因此， 故，化简得， 故. 例2．（2026·福建厦门·模拟预测）已知，，则（） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为 所以 所以 所以 即 又，所以 即 由得 例3．（2026·山东青岛·一模）已知，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得， 又，所以． 例4．（2026·北京石景山·一模）已知，则__________． 【答案】 【详解】由，可知， ， ． 例5．（2026·四川·二模）已知，则__________. 【答案】 【详解】对展开并整理得： , , , , , , 所以, 所以. 例6．（2026·广西·模拟预测）已知，则______. 【答案】 【分析】根据两角差的正弦公式和辅助角公式化简已知得，再利用诱导公式求值. 【详解】根据题意， ， 所以， 所以. 变式1．（2026·湖北黄冈·模拟预测）若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将条件分别利用两角和差公式展开，两式相比弦化切得解. 【详解】由题意可得，. 两式相比得，即， 整理得. 变式2．（2026·重庆·模拟预测）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】确定角的范围，求出 值，利用正弦和余弦的差角公式求出 和 ，最后用半角公式即可求解. 【详解】已知 ，因此 ， 所以， 所以， 化简得①； 而， 化简得②； 联立①②，相加得： 相减得： ， 由 ，得 ， 根据半角公式 ，代入 得. 变式3．（2026·广东湛江·二模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得， 则. 变式4．（25-26高三下·上海金山·阶段检测）已知，则________. 【答案】 【分析】根据诱导公式，化简整理，即可得答案. 【详解】因为，所以. 变式5．（25-26高三下·海南省直辖县级单位·月考）已知，则______. 【答案】 【详解】由题可得， ， 所以. 变式6．（2026·广西桂林·一模）若，且，则_____. 【答案】 【分析】利用降幂公式化简原式后，通过分解二倍角余弦、展开两角差正弦提取公因式，结合α的范围得到，平方后整体计算得到. 【详解】因为，所以 原等式即， 整理得：. 又，， 所以，即， 因为，所以，因此得 两边平方得， 整理得：. 2 学科网（北京）股份有限公司 $