专题14 解三角形中有关中线、角平分线、垂线问题（压轴题专项训练）高一数学苏教版必修第二册

专题14 解三角形中有关中线、角平分线、垂线问题 （七类重难点题型） 目录 典例解析 题型一：三角形中与中线有关的求值问题 类型二：三角形中与中线有关的最值（范围）问题 类型三：三角形中与角平分线有关的求值问题 类型四：三角形中与角平分线有关的最值（范围）问题 类型五：三角形中与垂线有关的求值问题 类型六：三角形中与垂线有关的最值（范围）问题 类型七：三角形中线、角平分线、垂线问题与其他章节的融合 压轴专练 类型一、三角形中与中线有关的求值问题 中线问题： 如图，△ABC中，AD为BC的中线，已知AB,AC,及∠A，求中线AD长. 【技巧方法】 中线问题的处理方法： ①向量法：,平方即可； ② 余弦定理：邻补角余弦值为相反数，即 注：若或将条件“AD为BC的中线”换为“”则可以考虑方法②或方法③. 例1．在中，，，已知边上的中线，使存在且唯一确定，则的面积为（ ） A．1 B．2 C． D． 变式1-1．在中，，，边上的中线，则的面积S为（ ） A． B． C． D． 变式1-2．三边长分别为，，，则BC边上的中线AD的长为 . 变式1-3．如图，在中，已知，，边上的中线，则 ． 变式1-4．如图，已知的内角的对边分别为，. (1)求； (2)若边上的中线，且，求的周长. 类型二、三角形中与中线有关的最值（范围）问题 【技巧方法】 利用正弦定理、三角恒等变换等知识化简已知条件，结合余弦定理、向量运算、基本不等式等知识来求得。 例2．记的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足,记BC边的中点为D，，若A为钝角，则x的取值范围为_________． 变式2-1．在中，已知，，为的中点，则线段长度的最大值为（ ） A．3 B． C．2 D． 变式2-2．记的内角所对的边分别为，若，则边上的中线长度的最小值为（ ） A． B． C． D． 变式2-3．在中，内角所对的边分别为，且，若的中线，则的最大值为（ ） A．1 B． C． D．4 变式2-4．在底边为的等腰中，腰边上的中线为，若的面积为4，则的最小值为 . 变式2-5．已知在中，角所对的边分别为，，是的中点，若，则的最大值为______． 变式2-6．已知的内角、、的对边分别为、、，且． (1)求； (2)设为的中点，；求：的最大值． 类型三、三角形中与角平分线有关的求值问题 角平分线问题： △ABC中，AD平分∠BAC. ①角平分线定理： 证法1（等面积法），得 注：为A到BC的距离，为D到AB,AC的距离. 证法2（正弦定理） 如图，，,而，整理得 ②等面积法 【技巧方法】 中线问题的处理方法：　①角平分线定理：②等面积法　 例3．在斜中，设角、、的对边分别为、、，已知，若是的角平分线，且，则（ ） A． B． C． D． 变式3-1．在中，，，的角平分线交AC于点D，，则的面积为（ ） A． B． C． D． 变式3-2．在中，角A、B、C的对边分别为a，b、c，若，是的角平分线，点在上，，，则（ ） A． B． C． D．4 变式3-3．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，满足,的面积为，设M为BC的中点，且，的平分线交BC于N，则线段AN的长度为_________． 变式3-4．黄金三角形被誉为“最美三角形”，是较短边与较长边之比为黄金比（即）的等腰三角形、已知，，的角平分线与边交于点，线段的中垂线过点，则的比值为_____________. 变式3-5．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知． （1）求A； （2）若的平分线交于点D，求． 变式3-6．在中，内角所对的边分别为，且满足． (1)求角； (2)若角的角平分线交于点，点在线段上，，求的面积． 类型四、三角形中与角平分线有关的最值（范围）问题 【技巧方法】 三角形中与角平分线有关的最值（范围）问题的处理思路： 利用正弦定理、三角恒等变换等知识化简已知条件，结合余弦定理、三角函数单调性、基本不等式等知识来求得。 例4．在中，的角平分线交于点，若，，则的面积的最小值为（ ） A． B． C． D． 变式4-1．如图，在中，，的角平分线交于，。则的取值范围为 （ ） A． B． C． D．   变式4-2．如图，在中，是上一点，是上一点，且，若是的角平分线，，则的最大值为（ ） A． B．1 C． D．   变式4-3．在中，内角的对边分别是，且，平分交于，，则面积的最小值为 ；若，则的面积为 ． 变式4-4．在中，已知角的对边分别为的平分线交于点，的外接圆的半径分别为，且. (1)证明：； (2)求； (3)若，求的取值范围. 变式4-5．在中，内角的对边分别为，若的角平分线交于点D．    (1)若，求的长度； (2)若为锐角三角形，且的角平分线交于点E，且与交于点O，求周长的取值范围． 类型五、三角形中与垂线有关的求值问题 垂线问题： 【技巧方法】 三角形中与垂线有关的求值问题常见处理方法： ①等面积法： ② ③ 例5．记的内角A，B，C的对边为a，b，c，已知， (1)求 (2)设，求边上的高. 变式5-1．在△ABC中，若，，，则边上的高为（ ） A．1 B． C． D．2 变式5-2．已知中，角的对边分别是，且， 的外接圆半径为， 边上的高为2，则（ ） A．5 B．6 C．8 D．9 变式5-3．在中，角的对边分别为边上的高等于，则的面积是 ， . 变式5-4．如图，在中，为BC边上一点，且. (1)求AB的长； (2)求的值； (3)若的面积为，求中AD边上的高. 类型六、三角形中与垂线有关的最值（范围）问题 【技巧方法】 三角形中与垂线有关的最值（范围）问题的处理思路： 利用正弦定理、三角恒等变换等知识化简已知条件，结合余弦定理、三角函数单调性、基本不等式等知识来求得。 例6．已知分别为锐角三角形三哥内角的对边，且. (1)求； (2)已知，点为的垂心，求的周长的最大值. 变式6-1．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC中BC边上的高，，则的最大值为 ． 变式6-2．在中，角，，所对的边分别为，，c，若，是边上的高，，则的最大值为 ． 变式6-3．代数式化简中常用到“配、凑、拆”等技巧，例如可以通过拆角转化为，这种技巧在一些三角函数化简问题中常被使用．已知在，角的对边分别为，若点是边（不包含端点）上的一动点，过点向直线作垂线，垂足为，已知，则的取值范围为___________． 注：； 变式6-4．在面积为S的中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求C的值； (2)若为锐角三角形，且AB边上的高h为2，求面积的取值范围． 类型七、三角形中线、角平分线、垂线问题与其他章节的融合 三角形中线、角平分线、垂线问题常常由三角恒等变换公式化简函数解析式或者利用正弦定理进行边角互化，结合平面向量知识、余弦定理与三角形的面积公式代入计算，即可得到结果。 例7．在中，角的对边分别为，且． (1)求； (2)若是边上的高，且，求． 变式7-1．在中，，，，是的垂心，若，其中，，则动点的轨迹所覆盖图形的面积为（ ） A．7 B．14 C． D． 变式7-2．如图，在四边形中，，，，为线段的中点，，则（   ） A．3 B． C． D． 变式7-3．在中，角，，的对边分别为，，，且.则 ；若，是边上的高，且，则 . 变式7-4．已知函数，在中，若是的中点，且，则的面积为____________； 变式7-5．在中，内角，，的对边分别为，，，． （1）若，求的值； （2）若，平分，求的值； 变式7-6．在中，设角，，的对边长分别为，，，已知：. (1)求角； (2)，求边上的中线的最小值； (3)已知锐角的面积为.点是的重心，点是的中点，，线段与线段交于点，若，求的取值范围. 1.在中，，，边上的中线，则的面积S为（ ） A． B． C． D． 2.在中，角A、B、C的对边分别为a，b、c，若，是的角平分线，点在上，，，则（ ） A． B． C． D．4 3.在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，，则边上的高为（ ） A． B． C． D． 4.在中，边上的高为2，则满足条件的的个数（ ） A．0 B．1 C．2 D．0或者1 5.在中，角所对的边分别为，且，若为锐角三角形，中点为且，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 6.（多选）在中，角，，所对的边分别为，，，两条中线，相交于点（如图），已知，，，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 7.（多选）中,,点在线段上,下列结论正确的是（） A．若是中线,则 B．若是高,则 C．若是角平分线,则 D．若,则是线段的三等分点 8.（多选） 在中，，向量在向量上的投影向量为，则（ ） A．边上的高为 B． C．边上的中线为 D．  10. 在中，角，，的对边分别为，，，且.则 ；若，是边上的高，且，则 . 11.已知中，角、、所对的边分别为、、，，的角平分线交于点，且，则的最小值为___． 12.已知锐角中，内角，，的对边分别为，，，若，且， (1)求； (2)若为边上的高，过点分别作边、的垂线，垂足分别为、， （ⅰ）求证：； （ⅱ）求的最大值． 13.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求C的大小； (2)若，的角平分线交于点，且，求边上的中线的长. 14.已知的内角的对边为，且． (1)求； (2)若的面积为； ①已知为的中点，求边上中线长的最小值； ②求内角的角平分线长的最大值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14 解三角形中有关中线、角平分线、垂线问题 （七类重难点题型） 目录 典例解析 题型一：三角形中与中线有关的求值问题 类型二：三角形中与中线有关的最值（范围）问题 类型三：三角形中与角平分线有关的求值问题 类型四：三角形中与角平分线有关的最值（范围）问题 类型五：三角形中与垂线有关的求值问题 类型六：三角形中与垂线有关的最值（范围）问题 类型七：三角形中线、角平分线、垂线问题与其他章节的融合 压轴专练 类型一、三角形中与中线有关的求值问题 中线问题： 如图，△ABC中，AD为BC的中线，已知AB,AC,及∠A，求中线AD长. 【技巧方法】 中线问题的处理方法： ①向量法：,平方即可； ② 余弦定理：邻补角余弦值为相反数，即 注：若或将条件“AD为BC的中线”换为“”则可以考虑方法②或方法③. 例1．在中，，，已知边上的中线，使存在且唯一确定，则的面积为（ ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】由正弦定理可得，再根据余弦定理即可求得答案． 【解析】（1）因为， 由正弦定理可得．        所以，或． 因为，所以不满足题意舍去， 所以，所以．   所以． 因为边上的中线．    ，． 所以   由余弦定理可得 ． 解得 ． 所以． 变式1-1．在中，，，边上的中线，则的面积S为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长到点使，连接，根据可得面积等于的面积，利用余弦定理求出，再求出sin∠ACE，根据三角形面积公式即可求得答案． 【解析】如图所示， 延长到点使，连接， 又∵，∴(SAS)， ∴的面积等于的面积． 在中，由余弦定理得， 又，则， ∴． 故选：C． 变式1-2．三边长分别为，，，则BC边上的中线AD的长为 . 【答案】 【分析】先由余弦定理得到，由平面向量基本定理得到，两边平方，结合向量数量积运算法则得到答案. 【解析】由余弦定理得， ，两边平方得， 故. 故答案为： 变式1-3．如图，在中，已知，，边上的中线，则 ． 【答案】 【分析】将补成平行四边形，然后根据余弦定理求出，利用正弦定理求出. 【详解】将已知图形补形为平行四边形，如图， 在中，根据余弦定理则有，解得， 再在中，由正弦定理，. 化简得，即. 又， 解得． 故答案为：. 变式1-4．如图，已知的内角的对边分别为，. (1)求； (2)若边上的中线，且，求的周长. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据余弦定理以及向量数量积的定义列出方程组即可求解； （2）由，在与中结合余弦定理求解即可得出结果. 【详解】（1）因为，即， 又，所以， 可得，又， 因此； （2）由（1）可得，又， 由余弦定理可得，所以； 在中，，由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得； 又因为，可得， 联立，解得； 又，可得， 所以的周长为. 类型二、三角形中与中线有关的最值（范围）问题 【技巧方法】 利用正弦定理、三角恒等变换等知识化简已知条件，结合余弦定理、向量运算、基本不等式等知识来求得。 例2．记的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足,记BC边的中点为D，，若A为钝角，则x的取值范围为_________． 【答案】 【分析】由、余弦定理及基本不等式得到，然后由求解. 【解析】因为BC边的中点为D，所以, 所以 ， 又， 所以， 在三角形中，，所以， 所以，即， 又A为钝角，则，解得， 故由，可得， 所以. 故答案为： 变式2-1．在中，已知，，为的中点，则线段长度的最大值为（ ） A．3 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】由余弦定理得到，再利用基本不等式得到，然后由求解. 【解析】由余弦定理得，即，即，又， ，即，当且仅当时等号成立. ， . . 故选：B 变式2-2．记的内角所对的边分别为，若，则边上的中线长度的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理、三角恒等变换等知识化简已知条件，求得，结合余弦定理、向量运算、基本不等式等知识来求得正确答案. 【解析】由，得， 所以， 即， 则由正弦定理得， 因为，所以，所以，即， 又，所以，因为， 所以由余弦定理得，即. 由题可得， 所以， 因为，所以，当且仅当时等号成立， 所以，则， 所以边上的中线长度的最小值为. 故选：C. 变式2-3．在中，内角所对的边分别为，且，若的中线，则的最大值为（ ） A．1 B． C． D．4 【答案】D 【分析】. . 为中线结果. 【解析】由题可得，，结合正弦定理可得， 因为，所以，得， 因为，所以． 易知，（技巧：向量的平行四边形法则） 两边同时平方得，得． 法一：可化为， 因为，所以， 所以，得， 当且仅当时取等号．（点拨：运用基本不等式求最值时，注意等号是否可以取到） 所以的最大值是4． 法二：， 令 则， 所以， 当且仅当，即时等号成立．（点拨：三角函数的有界性） 所以的最大值为4． 故选：D. 变式2-4．在底边为的等腰中，腰边上的中线为，若的面积为4，则的最小值为 . 【答案】 【分析】设，，应用三角形面积公式、余弦定理得到含参数关于的方程，根据方程有解求的最小值. 【解析】设，，则，得， 在中，由余弦定理得，得， 由上式平方相加得：，即， 令，设，则在上必有零点， 的对称轴为，则，得，即. 故答案为： 变式2-5．已知在中，角所对的边分别为，，是的中点，若，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦定理及两角差的正弦公式可得，，再利用余弦定理可得，进而得到，再根据基本不等式求解即可. 【详解】由， 根据正弦定理得，， 即，所以． 又因为，， 所以，所以． 在中，，① 在中，，② 因为，所以， ①②可得，又因为，所以， 即，所以， 令，则，即，解得， 又因为，所以，当且仅当时，等号成立， 则的最大值为． 故答案为：. 变式2-6．已知的内角、、的对边分别为、、，且． (1)求； (2)设为的中点，；求：的最大值． 【答案】(1);(2)①；②. 【分析】（1）由余弦定理、正弦定理结合两角差的正弦公式可得出，结合、的取值范围可得出、的关系，由此可得出角的值； （2）由平面向量的线性运算可得出，由平面向量数量积的运算性质可得出，由余弦定理可得出，可得出、的表达式，结合基本不等式可得出关于的不等式，由此可解得的最大值. 【解析】（1）由余弦定理可得，所以，， 由得，整理可得， 由正弦定理可得， 即， 所以，， 所以，， 因为、、，所以，、、，有如下几种情况： ，即，矛盾； ，即，矛盾； ，可得，解得. （2）因为为边的中点，则，即， 所以，， 所以，， 又因为， 所以，，由①知， 可得，解得， 当且仅当时，等号成立，故的最大值为. 类型三、三角形中与角平分线有关的求值问题 角平分线问题： △ABC中，AD平分∠BAC. ①角平分线定理： 证法1（等面积法），得 注：为A到BC的距离，为D到AB,AC的距离. 证法2（正弦定理） 如图，，,而，整理得 ②等面积法 【技巧方法】 中线问题的处理方法：　①角平分线定理：②等面积法　 例3．在斜中，设角、、的对边分别为、、，已知，若是的角平分线，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正余弦定理可得，即可根据等面积法可得，利用余弦定理可得，由二倍角公式即可求解. 【解析】解：由正弦定理可得得，    由余弦定理可得， 由于所以， ， 由于，所以， 由于，， 由余弦定理可得， ， ，， ，， ， 故选：B 变式3-1．在中，，，的角平分线交AC于点D，，则的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用角平分线表示面积求出边长t,再应用三角形面积公式计算即可. 【解析】设, ， 所以, 所以 故选：D. 变式3-2．在中，角A、B、C的对边分别为a，b、c，若，是的角平分线，点在上，，，则（ ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】由正弦定理可得，可得，由已知利用角平分线的性质可得，由余弦定理，角平分线的性质可得，进而解得的值，进而根据余弦定理可得的值． 【解析】因为， 所以由正弦定理可得， 即， 在中，， 所以， 所以，即， 因为，， 所以，因为， 所以， 因为是的角平分线， 所以， 在中，，① 在中，，② 因为，所以， 由①②可得，， 解得，， 所以，由余弦定理可得，. 故选：A 变式3-3．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，满足,的面积为，设M为BC的中点，且，的平分线交BC于N，则线段AN的长度为_________． 【答案】 【分析】根据题意，由正弦定理的边角互化将原式化简，再结合三角恒等变换即可求得结果；根据，可得，再结合三角形的面积公式，代入计算，即可得到结果. 【解析】由题意知中，， 由正弦定理边角关系得：则， ∴， ∵， ∴，∴， ∴，∴， 又，， 所以，即． 如下图所示，在中，为中线， ∴， ∴， ∴． ∵，∴，， ∴， ∵， ∴，∴． 故答案为： 变式3-4．黄金三角形被誉为“最美三角形”，是较短边与较长边之比为黄金比（即）的等腰三角形、已知，，的角平分线与边交于点，线段的中垂线过点，则的比值为_____________. 【答案】 【分析】设，由题意，根据三角形边角关系，可知，设，，由三角形相似，可求出，利用正弦定理即可求解. 【解析】根据题意，作图如下： 设， 因为为的平分线， 所以， 因为，所以， 又因为为线段的中垂线， 所以， 所以， 所以， 所以， 由题意，设，， 则， 显然， 所以，解得或（舍）， 中，由正弦定理，所以. 故答案为： 变式3-5．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知． （1）求A； （2）若的平分线交于点D，求． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）根据题意，由正弦定理的边角互化代入计算，即可得到结果； （2）先由余弦定理可得的值，再由等面积法结合三角形的面积公式代入计算，即可得到结果. 【解析】（1）由正弦定理可得， 即， ， 即，且， 则，，则. （2）由可得， 由正弦定理可得， 即，解得，则， 且为角的角平分线， ，即， 化简可得，解得. 变式3-6．在中，内角所对的边分别为，且满足． (1)求角； (2)若角的角平分线交于点，点在线段上，，求的面积． 【答案】(1);(2) 【分析】（1）利用正弦定理将已知等式统一成角的形式，化简可求出角； （2）由及角的角平分线交于点，可得，再由余弦定理得，则求出，所以，由可得，从而可求得的面积． 【解析】（1）因为， 所以由正弦定理得， 所以， 所以， 所以， 所以， 因为，所以， 所以， 因为，所以； （2）因为角的角平分线交于点， 所以， 因为，所以由，得 ， 所以， 由余弦定理得，所以， 所以，解得或（舍去）， 所以，解得， 所以， 因为角的角平分线交于点，所以， 因为，所以， 所以. 类型四、三角形中与角平分线有关的最值（范围）问题 【技巧方法】 三角形中与角平分线有关的最值（范围）问题的处理思路： 利用正弦定理、三角恒等变换等知识化简已知条件，结合余弦定理、三角函数单调性、基本不等式等知识来求得。 例4．在中，的角平分线交于点，若，，则的面积的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据可得，由基本不等式可得，然后可得面积最小值. 【解析】在中，记所对的边为， 因为， 所以， 即 ，所以，即， 当且仅当时等号成立， 所以. 故选：D 变式4-1．如图，在中，，的角平分线交于，。则的取值范围为 （ ） A． B． C． D．   【答案】A 【分析】（根据角平分线定理，结合余弦定理进行求解即可； 【详解】设，，则，， 由角平分线定理，知， 在中，由余弦定理得:， 在中，由余弦定理得:， 所以， 化简得，即， 因为，所以． 故选：A 变式4-2．如图，在中，是上一点，是上一点，且，若是的角平分线，，则的最大值为（ ） A． B．1 C． D．   【答案】B 【分析】结合三角形的角平分线，由面积相等推得，在中由余弦定理和基本不等式求得，再由和基本不等式即可求出的最大值(两次不等式等号成立条件相同). 【详解】因， 则得， 即(*). 在中，由余弦定理得： ， 因，且，故可得， 当且仅当时，等号成立. 此时，由(*)可得：， 当且仅当时，等号成立. 所以的最大值为1． 故选：B 变式4-3．在中，内角的对边分别是，且，平分交于，，则面积的最小值为 ；若，则的面积为 ． 【答案】 【分析】利用等面积法可得出，以及基本不等式可求得. 【解析】由题意，平分交于且， 可得，即， 整理得，所以，所以，当且仅当时，等号成立，所以面积的最小值， 因为，即， 又因为，所以，即， 因为，解得，因此． 故答案为：；.    变式4-4．在中，已知角的对边分别为的平分线交于点，的外接圆的半径分别为，且. (1)证明：； (2)求； (3)若，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3) 【分析】（1）利用正弦定理表示，根据可证明结论. （2）利用正弦定理可得，根据二倍角公式结合三角形内角取值范围可得结果. （3）设，利用等面积法可得，结合余弦定理得，构造函数，根据函数单调性可求的取值范围. 【解析】（1） 在中，由正弦定理得，， ∴，同理得，， ∴，即. （2）在中，由正弦定理得，，∴， ∴，即， 由得，， ∴，故，∴. （3）设，由，得，故. ∵，，∴，故， ∴， 令，则， ∵，当且仅当时等号成立，∴，故， ∵在上单调递增，当时，，当时，， ∴的取值范围是. 变式4-5．在中，内角的对边分别为，若的角平分线交于点D．    (1)若，求的长度； (2)若为锐角三角形，且的角平分线交于点E，且与交于点O，求周长的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）由关系，结合面积公式列方程求解； （2）由正弦定理化边为角，结合三角恒等变换化简求，结合正弦定理利用角表示，结合正弦型函数的性质求的范围，由此可得结论. 【解析】（1）因为为的角平分线，， 所以， 因为 所以，             所以. （2）在中，由正弦定理得，， 所以，     又，则， 又，所以，又，则.                                     在，由正弦定理得，， 所以 ，                    因为是锐角三角形，所以，于是， 则，所以， 所以，从而，                     所以三角形周长的取值范围为. 类型五、三角形中与垂线有关的求值问题 垂线问题： 【技巧方法】 三角形中与垂线有关的求值问题常见处理方法： ①等面积法： ② ③ 例5．记的内角A，B，C的对边为a，b，c，已知， (1)求 (2)设，求边上的高. 【答案】(1)；(2) 【分析】先利用余弦定理求得的长，再利用正弦定理即可求得边上的高. 【解析】（1）在中， ，， 而A为三角形内角， ， ， 整理得，得， 又，且， （2）由正弦定理得， 得， 由（1）得，，， ， 设边上的高为h，则， 边上的高为 变式5-1．在△ABC中，若，，，则边上的高为（ ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】先利用余弦定理求得的长，再利用三角形等面积法即可求得边上的高. 【解析】由余弦定理，得， 设边上的高为，则，解得. 故选：C. 变式5-2．已知中，角的对边分别是，且， 的外接圆半径为， 边上的高为2，则（ ） A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【解析】由，得，整理得， 由正弦定理得， 则，则，则． 因为，所以，所以． 由于，所以．且． ，得， 由余弦定理得，即，因此， 则，所以， 故选：B． 变式5-3．在中，角的对边分别为边上的高等于，则的面积是 ， . 【答案】 【解析】在中，作，垂足为点， 则，又 在中，， 即，解得， 所以， 在中，，所以， 由正弦定理，，即，可得. 故答案为：； 变式5-4．如图，在中，为BC边上一点，且. (1)求AB的长； (2)求的值； (3)若的面积为，求中AD边上的高. 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）先利用同角三角函数关系得，然后在中利用正弦定理即可求出； （2）结合三角形的性质，由两角和的正弦公式求解即可； （3）方法一：先根据三角形的面积公式求出，再在中，由余弦定理求出，再在中，由余弦定理求出，即可求高； 方法二：先根据三角形的面积公式求出，再在中，利用正弦定理求得，进而求得，即可求高． 【详解】（1）因为， 所以， 所以， 在中，由正弦定理得， 所以. （2）. （3）方法一：，所以， 在中，由余弦定理得， 所以， 在中，由余弦定理得， 解得（CD舍去）， 所以中AD边上的高为. 方法二：，所以， 在中，， ， 所以中AD边上的高为. 类型六、三角形中与垂线有关的最值（范围）问题 【技巧方法】 三角形中与垂线有关的最值（范围）问题的处理思路： 利用正弦定理、三角恒等变换等知识化简已知条件，结合余弦定理、三角函数单调性、基本不等式等知识来求得。 例6．已知分别为锐角三角形三哥内角的对边，且. (1)求； (2)已知，点为的垂心，求的周长的最大值. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）应用正弦定理结合两角和差公式计算得出正切值进而求出角； （2）先根据图形特征应用余弦定理，再应用基本不等式计算求出周长最大值或应用正弦定理再应用三角恒等变换结合角的范围得出周长得最大值. 【解析】（1）依题，由正弦定理， 得， 由，得，代入得 ， 即， 由，得， 得， 由，得. （2）如图，由为锐角三角形的垂心，有，垂足为，垂足为，即. 由，四边形内角和为，得 设 在中，由余弦定理， 得，即， 由，得，当且仅当时，等号成立 ，得 当时，的最大值为2 故周长的最大值为 变式6-1．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC中BC边上的高，，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】依题意可得，利用正弦定理，求出，利用辅助角公式求解范围. 【解析】依题意可得，则， 则，解得，， 所以 ． 因为，即，故， 所以,即, 当，即，即时， 取得最大值，且最大值为． 故答案为： 变式6-2．在中，角，，所对的边分别为，，c，若，是边上的高，，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】由余弦定理可得，根据重要不等式及三角形的面积公式即可求解. 【解析】因为， 所以由余弦定理得， 又，所以， 又因为，所以，即， 当且仅当时取等号， 又是边上的高，则， 所以，则的最大值为． 故答案为：. 变式6-3．代数式化简中常用到“配、凑、拆”等技巧，例如可以通过拆角转化为，这种技巧在一些三角函数化简问题中常被使用．已知在，角的对边分别为，若点是边（不包含端点）上的一动点，过点向直线作垂线，垂足为，已知，则的取值范围为___________． 注：； 【答案】 【分析】由得出，由得出，根据二倍角公式化简即可求解； 根据余弦定理求出和，设，则，，根据三角形面积公式及余弦定理表示出和，进而表示出，再根据基本不等式即可证明． 【解析】因为，所以， 因为，所以，所以， 因为， 所以，由正弦定理得，， ， 所以，即， 因为，所以，所以，即． 设，，则， 由余弦定理得，， 整理得，，代入， 得，解得，或 因为，所以， 设，则，， 则， 在中，由余弦定理得，，即， 整理得，， 所以 ， 因为， 当且仅当时，即时等号成立， 又 ， 所以， 即，所以， 所以． 故答案为： 变式6-4．在面积为S的中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求C的值； (2)若为锐角三角形，且AB边上的高h为2，求面积的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用正弦定理和三角形面积公式化角为边后，再运用余弦定理即可求得； （2）利用三角形面积相等得到，根据正弦定理，将边分别用角表示，利用三角恒等变换将三角形面积表示成，求得的取值范围，利用正弦函数的值域即可求得面积的取值范围. 【解析】（1）由和正弦定理，三角形面积公式可得，， 因，故得，， 由余弦定理，，因，则； （2）由可得， 由正弦定理，，即得，，, 则 , 由为锐角三角形可得，，解得，， 则，由正弦函数的图象知，，故得， 即面积的取值范围为. 类型七、三角形中线、角平分线、垂线问题与其他章节的融合 三角形中线、角平分线、垂线问题常常由三角恒等变换公式化简函数解析式或者利用正弦定理进行边角互化，结合平面向量知识、余弦定理与三角形的面积公式代入计算，即可得到结果。 例7．在中，角的对边分别为，且． (1)求； (2)若是边上的高，且，求． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）中，，由正弦定理和同角三角函数的商数关系， 得，由倍角公式得． 又因为为的内角，所以，， 所以． 所以，， 则有，得． （2）方法一 ：，，， 所以， 由题意知，所以， 即． 所以，所以． 方法二 ：中，由余弦定理得， 所以． 又因为， 所以． 所以，． 所以． 由平面向量基本定理知，，    所以． 变式7-1．在中，，，，是的垂心，若，其中，，则动点的轨迹所覆盖图形的面积为（ ） A．7 B．14 C． D． 【答案】D 【分析】先通过解三角形方法求出和的长，然后说明点能够取到的集合恰为由点和的三边中点构成的平行四边形的内部及边界，由此得到其面积为的一半，最后通过和的长求出，即得所求结果. 【解析】延长，，分别交，，于，，，如图， 由为垂心，可知在直角三角形中，， ，由余弦定理可得 ， 由四点共圆及正弦定理可得， ， 由余弦定理，， 所以. 又因为， 所以，从而. 由于，其中，故点能够取到的集合，恰为由点和的三边中点构成的平行四边形的内部及边界. 所以点能够覆盖的区域的面积等于的一半，而，故，选项D正确. 故选：D. 变式7-2．如图，在四边形中，，，，为线段的中点，，则（   ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【详解】在中，由余弦定理可得， 则， 由，可得， 又为线段中点，则， 又，则，，且， 所以. 故选：D. 变式7-3．在中，角，，的对边分别为，，，且.则 ；若，是边上的高，且，则 . 【答案】 【分析】由，利用正弦定理边化角，再切化弦由倍角公式化简，得，可求的值；以为基底，由，代入数据运算得的关系. 【解析】中，，由正弦定理和同角三角函数的商数关系， 得，由倍角公式得． 又为的内角，即，，则， 于是，解得，因此，得； 由，，得， 显然， 由，得， 即． 即，所以． 故答案为：； 变式7-4．已知函数，在中，若是的中点，且，则的面积为____________； 【答案】 【分析】由恒等变换公式化简函数解析式，由中线可得，从而可得，结合余弦定理与三角形的面积公式代入计算，即可得到结果； 【解析】， 所以，且，则， 则，解得， 由为三角形的中线，则， 即， 即，化简可得①， 由余弦定理可得， 化简可得②， ①②可得，即， 则. 变式7-5．在中，内角，，的对边分别为，，，． （1）若，求的值； （2）若，平分，求的值； 【答案】（1） （2）0 【分析】（1）利用正弦定理以及化简，得，即可求解； （2）设，由角平分线定理得，在等腰中求出，再在中利用余弦定理得，建立方程，得出，即可求得，进而计算； 【解析】（1）由得， 由正弦定理得， 即， 得， 因为，为三角形内角，所以或（舍去）， 所以， 因，则． （2）由（1）得，平分，则， 设，因，则， 因为平分，则由角平分线定理得， 则， 在等腰中，，在中由余弦定理得，， 由，得，， 又因为，则，，所以． 变式7-6．在中，设角，，的对边长分别为，，，已知：. (1)求角； (2)，求边上的中线的最小值； (3)已知锐角的面积为.点是的重心，点是的中点，，线段与线段交于点，若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）应用正弦定理结合余弦定理计算，最后结合角的范围求出角； （2）应用平面向量的数量积及运算律计算结合基本不等式计算求最小值； （3）先根据三点共线列式对比得出，再结合向量的数量积公式及面积公式计算求解； 【详解】（1）在中，据正弦定理可将题设条件化为： 即，又据余弦定理： 可知， 又，故. （2）是的中点, ; 当且仅当时取等号，故. 所以边的中线的最小值是. （3）依题可知，； ，，共线，，，共线，则有， ； 两式对比可得； 故； 点为三角形的重心， 则； 又因的面积为，故； 则可得； 可得， ， 因为是锐角三角形，则为锐角， 故有， 可得， 同理为锐角，故有，可得， 可得， 设，则， 则有，当时，易知该对勾函数单调递增， 则，故. 1.在中，，，边上的中线，则的面积S为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长到点使，连接，根据可得面积等于的面积，利用余弦定理求出，再求出sin∠ACE，根据三角形面积公式即可求得答案． 【详解】如图所示， 延长到点使，连接， 又∵，∴(SAS)， ∴的面积等于的面积． 在中，由余弦定理得， 又，则， ∴． 故选：C． 2.在中，角A、B、C的对边分别为a，b、c，若，是的角平分线，点在上，，，则（ ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】由正弦定理可得，可得，由已知利用角平分线的性质可得，由余弦定理，角平分线的性质可得，进而解得的值，进而根据余弦定理可得的值． 【详解】因为， 所以由正弦定理可得， 即， 在中，， 所以， 所以，即， 因为，， 所以，因为， 所以， 因为是的角平分线， 所以， 在中，，① 在中，，② 因为，所以， 由①②可得，， 解得，， 所以，由余弦定理可得，. 故选：A 3.在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，，则边上的高为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据余弦定理可得，再根据三角形的面积列方程即可得解. 【解析】由余弦定理可知，即， 又，， 则， 所以的面积， 又面积，即， 解得， 故选：B. 4.在中，边上的高为2，则满足条件的的个数（ ） A．0 B．1 C．2 D．0或者1 【答案】2 【分析】根据正弦定理计算出三角形外接圆半径，求得A到的距离的最大值，和边上的高为2比较，即可确定答案. 【解析】因为中，， 所以的外接圆半径为, 即A位于以2为半径的圆弧上， 如图，当为正三角形时，此时顶点A到的距离的最大值为, 如图当A位于处时，此时为外接圆直径，则, 则，满足边上的高为2， 故满足条件的的个数为2个， 故答案为：2 5.在中，角所对的边分别为，且，若为锐角三角形，中点为且，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别使用向量、正弦定理以及余弦定理解决问题. 【解析】因为，所以， 由正弦定理可得：，即. 由余弦定理得：， 所以. 由正弦定理得：， 所以，，其中，. 又. 所以 因为：，所以，所以. 所以. 所以中线的取值范围为：. 故选：A 6.（多选）在中，角，，所对的边分别为，，，两条中线，相交于点（如图），已知，，，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据正弦定理及余弦定理结合向量数量积计算判断A,根据三角形面积公式计算判断B，应用数量积公式及向量夹角余弦计算判断C，D. 【详解】由得， 化简，所以 又因为，所以， ∵为边中线，， 两边平方可得，，故A正确， 又，则∽，故，则，B正确， 对于CD: 解法一： . ， 前面已得， 所以. 故C正确，D错误. 解法二：因为，所以， ， 又 ，C正确， 由A选项知：，同理：，， 所以D错误， 故选:ABC． 7.（多选）中,,点在线段上,下列结论正确的是（） A．若是中线,则 B．若是高,则 C．若是角平分线,则 D．若,则是线段的三等分点 【答案】AC 【分析】分别使用向量解决三角形中线长问题，等面法求解高线、角平分线问题，两次使用余弦定理解决三等分点问题. 【详解】 A选项：由余弦定理知： 因为是中线，则 则 则 B选项： 则 则故B错误. C选项： 即 则则故C正确. D选项：在中 在中 即若是线段的三等分点，则 但不是方程的解，则选项D错误. 故选：AC. 8.（多选） 在中，，向量在向量上的投影向量为，则（ ） A．边上的高为 B． C．边上的中线为 D． 【答案】ABC 【详解】由题设，则，即， 又且，则，故， 又，则，故， ，，则，B对， 边上的高为，A对， ，D错， 边上的中线为，C对. 故选：ABC 9.已知中， ① ； ②为边的中点，若，则 . 【答案】 /0.25 【解析】， 即 由正弦定理角化边可得 由余弦定理可得； 设 由余弦定理结合①得 在中，在中， 所以，即， ， 等式两边同时除以可得， 解得或（舍去）， 所以. 故答案为：；.   10. 在中，角，，的对边分别为，，，且.则 ；若，是边上的高，且，则 . 【答案】 【分析】由，利用正弦定理边化角，再切化弦由倍角公式化简，得，可求的值；以为基底，由，代入数据运算得的关系. 【详解】中，，由正弦定理和同角三角函数的商数关系， 得，由倍角公式得． 又为的内角，即，，则， 于是，解得，因此，得； 由，，得， 显然， 由，得， 即． 即，所以． 故答案为：； 11.已知中，角、、所对的边分别为、、，，的角平分线交于点，且，则的最小值为___． 【答案】 【分析】利用等面积法可得出，化简可得，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【解析】因为，的角平分线交于点，且， 因为，即， 即，即，所以，， 所以，， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 故答案为：. 12.已知锐角中，内角，，的对边分别为，，，若，且， (1)求； (2)若为边上的高，过点分别作边、的垂线，垂足分别为、， （ⅰ）求证：； （ⅱ）求的最大值． 【答案】(1)；(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【分析】（1）依题意可得，利用诱导公式及和差角公式得到，即可得解； （2）（ⅰ）由余弦定理得到，再由已知条件得到，由等面积法得到，从而得证；（ⅱ）设，，在中由余弦定理，由三角形相似得到，，从而得到，，则，再利用换元法及函数的性质求出的最大值，即可求出的最大值. 【解析】（1）因为， 所以， 即， 即， 又， 所以， 所以， 又，所以，所以，即， 因为，所以. （2）（ⅰ）因为，即， 由余弦定理，即， 所以，则， 所以， 又，所以， 所以； （ⅱ）设，， 在中由余弦定理， 由（ⅰ）可得，， 因为，即，即， 且，即，即， 则，所以，， 所以， 且，， 令，则原式， 且，当且仅当时取等号， 所以，又越大则的值越小， 所以， 所以当时，取得最大值， 即，所以. 13.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求C的大小； (2)若，的角平分线交于点，且，求边上的中线的长. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由题意结合正、余弦定理边角转化即可得结果； （2）根据题意利用余弦定理和面积公式可得，，再根据中线性质结合数量积的运算律分析求解. 【解析】（1）因为，由正弦定理可得， 整理可得， 由余弦定理可得， 且，所以. （2）由题意可知：，， 又因为，则，， 且，则，即， 整理可得，， 又因为为边上的中线，则， 可得， 所以. 14.已知的内角的对边为，且． (1)求； (2)若的面积为； ①已知为的中点，求边上中线长的最小值； ②求内角的角平分线长的最大值． 【答案】(1) (2)①，② 【分析】（1）由正弦定理和余弦定理得到，进而求出； （2）由面积公式求出，进而根据向量的模长公式结合不等式即可求解的最值，根据三角形面积公式，结合等面积法，利用基本不等式可求解的最值． 【解析】（1）由正弦定理得，即， 由余弦定理有，又， 所以； （2）①由（1）知，又的面积为， 则，解得， 也， 则 ， 当且仅当时，等号取得到， 所以； ②由题，， 所以， 因为，所以， 所以， 又，， 故， 由基本不等式，当且仅当时，等号取得到， 故， 故，所以． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $