9.2.3 向量的数量积课件-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

第9章　平面向量 9.2.3　向量的数量积 苏教版 必修第二册 【课标要求】 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义. 2.掌握数量积公式及投影向量的意义. 3.掌握平面向量数量积的性质及其运算律. 4.会求向量的模、夹角,能运用数量积解决向量的垂直问题. 要点深化·核心知识提炼 知识点一　平面向量数量积的有关概念 1.数量积的概念 已知两个非零向量a和b,它们的夹角是θ,我们把数量|a||b|cos θ叫作向量a与b的数量积,记作a·b,即a·b=|a||b|cos θ.我们规定:零向量与任一向量的数量积为0. 2.投影向量 设a,b是两个非零向量,如图,表示向量a,表示向量b,过点A作所在直线的垂线,垂足为点A1,我们将上述由向量a得到向量的变换称为向量a向向量b投影,向量称为向量a在向量b上的投影向量. 图① 图② 3.数量积的几何意义 向量a和b的数量积就是向量a在向量b上的投影向量与向量b的数量积. 知识点二　平面向量数量积的性质 由向量数量积的定义,设a,b都是非零向量,则 (1)a⊥b⇔a·b=0; (2)a·a=a2=|a|2或|a|=; (3)当a与b同向时,a·b=|a||b|;当a与b反向时,a·b=-|a||b|; (4)cos θ=,其中θ是非零向量a与b的夹角; (5)|a·b|≤|a||b|,当且仅当向量a,b共线,即a∥b时等号成立. 知识点三　平面向量数量积的运算律 由于数量积是完全不同于数与向量乘法的一种运算,并且这种运算涉及长度、角度等的运算,因此有如下三条运算律: 已知向量a,b,c和实数λ,则 (1)交换律:a·b=b·a; (2)数乘结合律:(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb); (3)分配律:(a+b)·c=a·c+b·c. 【两个常用结论】 (1)(a+b)2=a2+2a·b+b2=a2+2|a||b|cos θ+b2; (2)(a+b)(a-b)=a2-b2. 自主诊断 判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)若a·c=b·c,则a=b.(　　) (2)若|a-b|=|a+b|,则a·b=0.(　　) (3)|a·b|≤|a|·|b|.(　　) (4)(a·b)·c=a·(b·c).(　　) × √ √ × 题型分析·能力素养提升 【题型一】向量数量积的计算 例 1 [链接教材例1](1)已知向量a与b的夹角为,且|a|=3,|b|=4,则a·b的值为　　　　.  -6 解析 a·b=|a||b|cos<a,b>=3×4×cos=-6故答案为-6 (2)如图,在▱ABCD中,||=4,||=3,∠DAB=60°,求:①;②. 解 ①因为,且方向相同,所以的夹角是0°. 所以=||||·cos 0°=3×3×1=9. ②因为的夹角为60°,所以的夹角为120°, 所以=||||·cos 120°=4×3=-6. 规律方法　向量数量积的求法 (1)解决向量数量积的计算问题,要充分利用图形特点及其含有的特殊向量,这里的特殊向量主要指具有特殊夹角或已知长度的向量.对于以图形为背景的向量数量积的题目,解题时要充分把握图形的特征. (2)根据数量积的运算律,向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算. 跟踪训练1 (1)已知△ABC是边长为6的正三角形,则=　　　　.  -18 解析 如图,△ABC是边长为6的正三角形,所以||=||=6,∠ABC=60°, 所以=||·||·cos(180°-60°)=6×6=-18.故答案为-18. (2)在边长为2的菱形ABCD中,∠BAD=60°,点E,F分别为BC,CD的中点,则=　　　　.  - 解析 由题意画出示意图,如图,则=()·() =()·()=4+2×2×cos 60°-4=-故答案为- 【题型二】投影向量 例 2 [链接教材练习,T5]如图,在△ABC中,AB=AC=4,∠BAC=90°,点D是BC的中点,求: (1)上的投影向量; (2)上的投影向量. 解 如图,连接AD,因为AB=AC=4,∠BAC=90°,所以△ABC是等腰直角三角形,所以∠ABD=45°,BC=4 又点D是BC的中点,所以AD⊥BC,BD=2 延长AB到点E,则的夹角为∠DBE=180°-45°=135°. (1)上的投影向量是||cos 135°=4=- (2)上的投影向量是||cos 135°=2=- 题后反思　投影向量的求解策略 求投影向量要搞清是求哪一个向量在哪一个向量上的投影向量,在正确理解其定义的同时,找准两个向量之间的夹角是关键.确定两个向量的夹角时,一定要注意“共始点”. 跟踪训练2 (1)已知正八边形ABCDEFGH,则方向上的投影向量为　　　　.  (1+ 解析 如图,延长AB,DC交于点M,因为正八边形内角为,所以△BMC为等腰直角三角形. 由图可知, 因此方向上的投影向量为=(1+ (2)已知|a|=5,|b|=4,a与b的夹角θ=120°.求: ①a·b; ②a在b上的投影向量. 解 ①a·b=|a||b|cos θ=5×4×cos 120°=-10. ②a在b上的投影向量为(|a|cos θ)=5×cos 120°=-b. 【题型三】向量夹角 例 3 [链接教材习题9.2(3),T4](1)已知平面向量a,b满足a·(2a-b)=5,且|a|=2,|b|=3,则向量a与向量b的夹角的余弦值为(　　) A.1 B.-1 C. D.- C 解析设向量a与b的夹角为θ. ∵平面向量a,b满足a·(2a-b)=5,且|a|=2,|b|=3, ∴5=2a2-|a||b|cos θ,解得cos θ=故选C. (2)已知非零向量a,b,则“两向量a,b数量积大于0”是“两向量a,b夹角是锐角”的(　　) A.必要条件 B.充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 A 解析若“a,b的夹角是锐角”,设夹角为θ,则a·b=|a|·|b|cos θ>0;当θ=0时,满足a·b=|a|·|b|cos θ>0,但a,b的夹角是锐角不成立,所以“两向量a,b数量积大于0”是“两向量a,b夹角是锐角”的必要条件. 规律方法　求非零向量的夹角,主要是利用公式cos θ=(θ为a,b的夹角)求出夹角的余弦值,从而求得夹角.可以直接求出a·b的值及|a|,|b|的值,然后代入求解,也可以寻找|a|,|b|,a·b三者之间的关系,然后代入求解. 跟踪训练3 已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,则a与b的夹角为(　 　) A. B. C. D. A 解析 设a与b的夹角为α,∵(a-b)⊥b,∴(a-b)·b=0,∴a·b=b2, ∴|a|·|b|cos α=|b|2,又|a|=2|b|, ∴cos α=,∵α∈[0,π],∴α=故选A. 【题型四】向量数量积的运算性质 例4 [链接教材练习,T8](多选题)设a,b,c是任意的非零向量,且它们相互不共线,则下列结论正确的是( 　　) A.a·c-b·c=(a-b)·c B.(b·c)a-(c·a)b不与c垂直 C.|a|-|b|<|a-b| D.(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2 ACD 解析 根据向量的数量积的分配律知A正确;因为[(b·c)a-(c·a)b]·c=(b·c)a·c-(a·c)b·c=0,所以(b·c)a-(c·a)b与c垂直,B错误;因为a,b不共线,所以|a|,|b|,|a-b|组成三角形的三边,所以|a|-|b|<|a-b|成立,C正确;根据平面向量的数量积的运算性质可知D正确.故选ACD. 规律方法　向量的数量积a·b与实数a,b的乘积a·b有联系,同时有许多不同之处.例如,由a·b=0并不能得出a=0或b=0.特别是向量的数量积不满足结合律. 对于这类概念、性质、运算律的问题的解答,关键是要对数量积的运算深刻理解.特别是那些易与实数运算相混淆的运算律,如消去律、乘法结合律等,当然还有向量的数量积中有关角的概念以及数量积的性质等. 跟踪训练4 下列给出的关系式中,正确的个数是(　　) ①0·a=0;②a·b=b·a;③a2=|a|2; ④|a·b|≤a·b;⑤(a·b)2=a2·b2. A.1 B.2 C.3 D.4 B 解析 ①错误,正确的是0·a=0,向量数乘的结果还是向量.②③正确,根据向量数量积运算可判断得出.④错误,|a·b|=|a|·|b|·|cos θ|,a·b=|a|·|b|·cos θ,故|a·b|≥a·b.⑤错误,(a·b)2=(|a|·|b|cos θ)2=a2·b2cos2θ≠a2·b2.综上所述,正确的个数为2,故选B. 【题型五】向量数量积的综合问题 角度1垂直问题 例5 [链接教材例2]已知|a|=2,|b|=1,向量a,b的夹角为60°,c=a+5b,d=ma-2b,则实数m为何值时,c与d垂直? 解 由已知得a·b=2×1×cos 60°=1. 若c⊥d,则c·d=0. ∴c·d=(a+5b)·(ma-2b)=ma2+(5m-2)a·b-10b2=4m+5m-2-10=9m-12=0, ∴m= 故当m=时,c与d垂直. 题后反思　解决向量垂直问题主要依据是利用a⊥b⇔a·b=0列方程求解. 跟踪训练5 已知单位向量a,b的夹角为60°,则在下列向量中,与b垂直的是(　　) A.a+2b B.2a+b C.a-2b D.2a-b D 解析 ∵a·b=|a||b|cos 60°=,∴A选项,b·(a+2b)=b·a+2b2=+2=;B选项, b·(2a+b)=2b·a+b2=1+1=2;C选项,b·(a-2b)=b·a-2b2=-2=-;D选项,b·(2a-b) =2b·a-b2=1-1=0,得b⊥(2a-b),故选D. 角度2模的问题 例 6 [链接教材习题9.2(3),T3](1)已知|a|=1,|b|=2,向量a与b的夹角为120°,|2a-3b|=(　　) A.2 B.2 C.2 D.4 C 解析|2a-3b|==2故选C. (2)已知||=3,||=2,|-3|=6,则||=(　　) A.4 B. C.10 D.16 B 解析设的夹角为θ,∵||=3,||=2,|-3|=6,即|+3|=6,∴(+3)2=+9+6=9+36+36cos θ=36,解得cos θ=-, 故()2=+2=9+4-3=10, ∴||=故选B. 题后反思　a·a=a2=|a|2或|a|=是求向量的模及用向量求解图形中线段长度的依据.这种通过求自身的数量积从而求模的思想是解决向量的模的问题的主要方法.此外,根据平面图形求向量的模时,注意利用图形的性质对向量的数量积或夹角等进行转化. 跟踪训练6 已知a,b满足|a|=3,|b|=2,|a+b|=4,则|a-b|=　　　　.  解析 |a+b|2=|a|2+|b|2+2a·b=16, 因为|a|=3,|b|=2,所以a·b=, 所以|a-b|2=|a|2+|b|2-2a·b=9+4-2=10,所以|a-b|=故答案为 $